习题3.3无穷小量与无穷大量的阶 1.确定a与α,使下列各无穷小量或无穷大量等价于(~)ax": (1)x)=x3-3x+2x3,(x→0,x→∞); +2 (2)l(x)= (3)u(x)=√x3+Vx2(x (4)l(x)=√x+√x+√x(x→0+,x→+∞) (5)(x)=√1+3x-+2x(x→0,x→+∞) (6)l(x)= 1-x(x→+∞); 7)l( (8)l(x)= (x→0+); (9)u(x)=In cos x-arc tan x2(x-0) 10)(x)=√1+tanx-√l-sinx(x→0 解(1)u(x)~2x3(x→0);u(x)~x3(x→∞)。 (2)u(x)~-2x(x→0);(x)~x(x→∞) 3 (3)v(x)~x3(x→>0+);u(x)~x2(x→+∞)。 )~x8(x→0+);u(x)~x2(x→+∞)o (5)l(x)~3x(x→0);(x) X→+0 (6)()~1(x→+∞) (7)u(x) x-(x→ (8)l(x)~-2x(x→0+)
习 题 3.3 无穷小量与无穷大量的阶 1. 确定 a 与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) a xα ： (1) u(x) = x x x 5 4 − 3 + 2 3 , (x→0，x→∞)； (2) u(x) = x x x x 5 2 4 2 3 + − 3 (x→0，x→∞)； (3) u(x) = x 3 + x 3 2 (x→0+，x→+∞)； (4) u(x) = x + +x x (x→0+，x→+∞)； (5) u(x) = 1+ 3x - 1 2 3 + x (x→0，x→+∞)； (6) u(x) = x 2 + 1 - x (x→+∞)； (7) u(x) = 3 x + x - 3 2 x (x→0+)； (8) u(x) = 1+ x x - e2x (x→0+)； (9) u(x) = ln cos x - arc tan x 2 (x→0)； (10) u(x) = 1+ tan x - 1− sin x (x→0)。 解（1）u(x) ～2x 3 (x → 0)；u(x) ～ x 5 (x → ∞)。 （2）u(x) ～− 2x−1 (x → 0)；u(x) ～ ( ) 3 1 x x → ∞ 。 （3）u(x) ～ ( 0 ) 3 2 x x → + ；u(x) ～ ( ) 2 3 x x → +∞ 。 （4）u(x) ～ ( 0 ) 8 1 x x → + ；u(x) ～ ( ) 2 1 x x → +∞ 。 （5）u(x) ～ ( 0) 6 5 x x → ；u(x) ～ 3 ( ) 2 1 x x → +∞ 。 （6）u(x) ～ ( ) 2 1 1 → +∞ − x x 。 （7）u(x) ～ ( 0 ) 2 1 x x → + 。 （8）u(x) ～− 2x (x → 0+)。 47
(9)u(x) 0 (10)(x)~x(x→0)。 2.(1)当x→+∞时,下列变量都是无穷大量,将它们从低阶到高阶进 行排列,并说明理由。 a2(a>1),x2,x"(a>0),lnx(k>0),[x]; (2)当x→0+时,下列变量都是无穷小量,将它们从高阶到低阶进 行排列,并说明理由。 x 解(1)当x→+∞时,从低阶无穷大量到高阶无穷大量的排列为 ln*x(k>0),x"(a>0),a2(a>1),[x],x。 证明:设n≤x1,x(a>0),l(1)(k>0) 证明:令y=1,则当x→0+时,有y→+。参考(1)的排列即可得 到(2)的排列 3.计算下列极限:
（9）u(x) ～ ( 0) 2 − 3 x 2 x → 。 （10）u(x) ～ x (x → 0)。 2. (1) 当 x→+∞时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进 行排列，并说明理由。 a x (a＞1), x x , xα (α＞0)， lnk x (k＞0)， [x]!； (2) 当 x→0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进 行排列，并说明理由。 xα (α＞0)， ! 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x , a x − 1 (a＞1)， x x 1 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ x k 1 ln (k＞0)。 解（1）当 x→+∞时，从低阶无穷大量到高阶无穷大量的排列为 lnk x (k＞0)， xα (α＞0)，a (a＞1), [x]!, x x x 。 证明：设n ≤ x < n +1，则 x n a n a xα α ( 1) 0 + < < ， [ ]! ! 0 1 n a x a x n+ < < ， x n n n x [x]! ( 1)! 0 + < < 。 由 n→∞ lim 0 ( 1) = + n a n α ， n→∞ lim 0 ! 1 = + n an 与 n→∞ lim 0 ( 1)! = + n n n ，即得到 x x a xα →+∞ lim = 0， n→∞ lim 0 [ ]! = x a x ，n→∞ lim 0 [ ]! = x x x ，同时也得到 α x x k x ln lim →+∞ 0 ( ) = lim = →+∞ y k y e y α ( y = ln x)。 （2）当 x→0+时，从高阶无穷小量到低阶无穷小量的排列为 x x 1 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , ! 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x , a x − 1 (a＞1)， xα (α＞0)， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ x k 1 ln (k＞0)。 证明：令 x y 1 = ，则当 x→0+时，有 y → +∞。参考（1）的排列即可得 到（2）的排列。 3. 计算下列极限： 48
+2 (1)lim (2)1im ln(1+3x) →01-co 3)lim(√x+Vx+√x-√x) (4)lim(√1+x+x2- x+x ); (5)lim >0) x-C (7) lim x(In(1+x)-Inx) Inx-In (8)lim (a>0) lim(x+e) lim cosx (D limn(vx-1)(x>0) ④Dimn2(%x-"vx)(x>0) n→) 解 (1)li 1+x +2 li n(1+3x) n(1+3x) (2)lim Cos x Cosx lim )(1+ (1 (3)limn(Vx+√x+√x-√x)=li x+√=1m√ X→+ Vx+Vx+√x+ (4)Iim(√1+x+x2-√1-x+x2)=lim +x+x+vi-x+x (5)lim lim a(ara-1) a t-aina x→ax-a x→a x-a 374 x-a lim e gina a aIn(1 (6)lim 1) lim (7) lim x(In(1+x)-In x)=lim x→+
⑴ lim x→0 1 1 2 1 3 3 2 + − + + x x ln( x) ； ⑵ lim x→0 1 1 − − cos cos x x ； ⑶ lim x→+∞ ( xxx + + - x )； ⑷ lim x→+∞ ( 1 2 + + x x - 1 2 − + x x )； ⑸ limx→ α a a x x − − α α (a＞0)； ⑹ limx a → x a x a α α − − (a＞0)； ⑺ lim x→+∞ x ( ln (1+x) - ln x )； ⑻ limx a → ln x ln x a − a − (a＞0)； ⑼ lim x→0 ( e x ) x x + 1 ； ⑽ lim x→0 2 1 2 2 cos x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ； ⑾ lim n→∞ n ( x n - 1) (x＞0)； ⑿ lim n→∞ n 2 ( x n - x n+1 ) (x＞0)。 解（1）lim x→0 = + + − + ln(1 3 ) 1 1 2 3 2 x x x lim x→0 ln(1 3 ) ( 1 1) ( 1 2 1) 3 2 x x x + + − − + − 0 lim → = x = − x x x 3 3 2 2 1 2 6 1 。 （2）lim x→0 = − − x x 1 cos 1 cos lim x→0 = − + − (1 cos )(1 cos ) 1 cos x x x lim x→0 = (1+ cos ) 2 1 2 1 2 x x x 0。 （3） lim ( x→+∞ xxx + + - x ) →+∞ = x lim = + + + + x x x x x x lim x→+∞ = x x 2 2 1 。 （4） lim ( x→+∞ 1 2 + + x x - 2 1− x + x ) →+∞ = x lim = + + + − + 2 2 1 1 2 x x x x x 1。 （5）x→α lim = − − α α x a a x x→α lim = − − − α α α x a a x ( 1) x→α lim a x( )ln a x α α α − = − a lna α 。 （6）limx a → = − − x a x a α α limx a → = − − x a a e a x ( 1) α ln α limx a → x a a x a a − − α ln(1+ ) α x→a = lim = − − ⋅ x a a x a a αα α−1 αa 。 （7） lim x ( ln (1+x) - ln x ) x→+∞ = + = →+∞ x x x 1 ) 1 ln(1 lim 1。 49
nx-Ina ln(1+--) (8)lim (9)lim(x+e)=lim(1+x+e-I)x=lim(1+2x)=e2 (10)lim cosx 2/=1m|1-(-c0s-+2lm-x)F=e-。 (11) limn(vx-1)=lim n(en-1)=lim(n. In x)=Inx (12)limn2(3x-"vx)=limn2|(e-1)-(e1-1) llm n Inx
（8）limx a → ln x a ln x a − − limx a → = − − + x a a x a ln(1 ) a 1 。 （9）limx→0 + = x x x 1 ( e ) limx→0 + + − = x x x 1 (1 e 1) limx→0 + = x x 1 (1 2 ) 2 e 。 （10）limx→0 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 2 2 cos x x x limx→0 2 1 2 2 1 (1 cos ) x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 0 lim → = x ( ) − = 2 1 2 1 x x −1 e 。 （11）lim n ( n→∞ x n - 1) lim ( 1) ln 1 = − →∞ x n n n e = ⋅ = →∞ ln ) 1 lim( x n n n ln x 。 （12）lim ( n→∞ n 2 x n - x n+1 ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − + →∞ lim ( 1) ( 1) ln 1 1 ln 1 2 x n x n n n e e =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − →∞ 1 1 1 lim ln 2 n n n x n ln x 。 50
习题3.4闭区间上的连续函数 1.证明:设函数f(x)在[a,+∞)上连续,且limf(x)=A(有限数),则 f(x)在[a+∞)有界。 证由limf(x)=A(有限数),可知丑x>a,wx>x:(x)-4<1,即 A-1<f(x)<A+1。再由f(x)在闭区间[a,]上的连续性,可知f(x)在 aX上有界,即x∈[a,灯:(x)<B。令M=max{B,+1}, m=min{-B,A-1},则wx∈[a+∞),成立m<f(x)<M。 2.证明:若函数f(x)在开区间(ab)上连续,且fa+)和f(b)存在,则 它可取到介于f(a+)和(b)之间的一切中间值 证令 f(x)x∈(a,b) f(x)=f(a+) x=a f(b-) x=b 则f(x)在闭区间[ab连续,不妨设f(a+)<f(b-),由闭区间上连续函 数的中间值定理,可知f(x)在闭区间[a,b上可取到[f(a+),f(b-)上的 切值,于是f(x)在开区间(ab)上可取到介于fa+)和(b-)之间的 切中间值。 3.证明:若闭区间[a,b上的单调有界函数f(x)能取到(a)和fb)之间 的一切值,则f(x)是[ab上的连续函数 证采用反证法。不妨设f(x)单调增加。若ξ∈(a,b)是f(x)的不连续点, 则f(5-)与∫(5+)都存在,且f(a)≤f(2-)<f(2+)≤f(b),于是f(x)取不 到开区间(f(-),f(2+)中异于f()的值,与条件矛盾:若x=a是f(x)的
习 题 3.4 闭区间上的连续函数 1. 证明：设函数 f x( ) 在[a,+∞)上连续，且 = A（有限数），则 在 有界。 limx→+∞ f x( ) f x( ) [a,+∞) 证 由 lim = A（有限数），可知 x→+∞ f x( ) ∃X > a ，∀x > X ： f (x) − A < 1，即 A −1 < f (x) < A +1。再由 在闭区间 上的连续性，可知 在 上有界，即 ： f (x) [a, X ] f (x) [a, X ] ∀x ∈[a, X ] f (x) < B 。 令 M = max{B, A +1} ， m = min{−B, A −1}，则∀x ∈[a,+∞)，成立m < f (x) < M 。 2. 证明：若函数 在开区间 上连续，且 f(a+)和 f(b-)存在，则 它可取到介于 f(a+)和 f(b-)之间的一切中间值。 f x( ) (a,b) 证 令 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = ∈ = f b x b f a x a f x x a b f x ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ~ ， 则 ( ) ~ f x 在闭区间[a,b]连续，不妨设 f (a+) < f (b−)，由闭区间上连续函 数的中间值定理，可知 ( ) ~ f x 在闭区间 上可取到 上的 一切值，于是 在开区间 上可取到介于 f(a+)和 f(b-)之间的一 切中间值。 [a,b] [ f (a+), f (b−)] f x( ) (a,b) 3. 证明：若闭区间 上的单调有界函数 能取到 f(a)和 f(b)之间 的一切值，则 是 上的连续函数。 [a,b] f x( ) f x( ) [a,b] 证 采用反证法。不妨设 f (x)单调增加。若ξ ∈ (a,b)是 的不连续点， 则 f (x) f (ξ −)与 f (ξ +)都存在，且 f (a) ≤ f (ξ −) < f (ξ +) ≤ f (b)，于是 取不 到开区间 f (x) ( f (ξ −), f (ξ +))中异于 f (ξ )的值，与条件矛盾；若 x = a是 f (x)的 51
不连续点,则f(a+)存在,且f(a)n,即limf(xn)=m。由 bolzano- -Weierstrass 定理,存在子列{n},lmxn=5,且5∈[ab。因为f(x)在点5连续, 所以有imnf(xn)=f(5),与limf(xn)=∞产生矛盾 5.应用闭区间套定理证明零点存在定理 证设f(x)在闭区间[ab上连续,且f(a)(b)0。 如果/(2-)=0,则定理得证。如果f9+b0,则令a2=9+b, b2=b1;如果/④+2)>0,则令a2=a1,b2=④ 如果(+b)=0,则定理得证。如果/+)0,则令a3=a2,b3 这样的过程可以一直进行下去。如果存在某个k,使得∫(“)=0, 则定理得证;如果不存在某个k,使得/(4+b)=0,则得到一个闭 区间套缸an,bn]},满足f(an)0。由闭区间套定理,可知存
不连续点，则 f (a+)存在，且 f (a) n，即 = ∞ →∞ lim ( ) n n f x 。由 Bolzano-Weierstrass 定理，存在子列{ } nk x ， = ξ →∞ k n k lim x ，且ξ ∈[a,b]。因为 f (x)在点ξ 连续， 所以有 lim f (x ) f (ξ ) k n k = →∞ ，与 = ∞ →∞ lim ( ) n n f x 产生矛盾。 5. 应用闭区间套定理证明零点存在定理。 证 设 f (x)在闭区间[a,b]上连续，且 f (a) f (b) 0 如果 ) 0 2 ( 1 1 = a + b f ，则定理得证。如果 ) 0 2 ( 1 1 a + b f ，则令 2 1 a = a ， 2 1 1 2 a b b + = 。 如果 ) 0 2 ( 2 2 = a + b f ，则定理得证。如果 ) 0 2 ( 2 2 a + b f ，则令a3 = a2， 2 2 2 3 a b b + = 。 "", 这样的过程可以一直进行下去。如果存在某个k ，使得 ) 0 2 ( = ak + bk f ， 则定理得证；如果不存在某个k ，使得 ) 0 2 ( = ak + bk f ，则得到一个闭 区间套{[an ,bn ]}，满足 f (an ) 0 。由闭区间套定理，可知存 52
在唯一属于所有闭区间[anbn]的点,且 lim a=imbn=5。再由f(x)在 点ξ的连续性,可知f()=limf(an)≤0与f(2)=limf(bn)≥0,从而得到 ∫(2)=0,定理得证。 6.证明方程x= asin+b(a,b>0)至少有一个正根。 证令f(x)=x- a sin x-b,则f(x)在[0,+∞)上连续。取A>a+b,则 f0)0,由零点存在定理,f(x)在(0,4上至少有一个根 7.证明方程x3+px+q=0(p>0)有且仅有一个实根 证令f(x)=x3+px+q,则f(x)在(-∞,+∞)上是严格单调增加的。由 imf(x)=-∞,limf(x)=+∞,易知f(x)在(-∞,+)上有且仅有一个 x→+ 实根 证明 (1)sin在(0,1)上不一致连续,但在(a,1)(a>0)上一致连续; (2)sinx2在(-+a)上不一致连续,但在[0,4上一致连续 (3)√x在[0+∞)上一致连续; (4)Inx在[+∞)上一致连续 (5)cos√x在[0+∞)上一致连续 证(1)在(0,1)上,令xn= xn-xn→>0, ni+ sin+-sin|=1,所以sin在(0,1)上不一致连续。 在(a)(a>0)上,vE>0,取δ=a26>0,Vx,x2∈(a1),x-x2<d, 成立 sin----sIn
在唯一属于所有闭区间[an ,bn ]的点ξ ，且 = →∞ n n lim a = ξ →∞ n n lim b 。再由 在 点 f (x) ξ 的连续性，可知 f (ξ ) = lim ( ) ≤ 0 →∞ n n f a 与 f (ξ ) = lim ( ) ≥ 0 →∞ n n f b ，从而得到 f (ξ ) = 0，定理得证。 6. 证明方程x = asin x + b（a,b > 0）至少有一个正根。 证 令 f (x) = x − a sin x − b ，则 f (x) 在[0,+∞) 上连续。取 ，则 ， ，由零点存在定理， 在 上至少有一个根。 A > a + b f (0) 0 f (x) (0, A) 7．证明方程 x 3 + px + q = 0（ p > 0）有且仅有一个实根。 证 令 f (x) = x 3 + px + q ，则 f (x) 在(−∞,+∞) 上是严格单调增加的。由 = −∞， →−∞ lim f (x) x = +∞ →+∞ lim f (x) x ，易知 f (x)在(−∞,+∞) 上有且仅有一个 实根。 8．证明： （1）sin 1 x 在（0,1）上不一致连续，但在(a,1)(a＞0)上一致连续； （2）sin x 2 在(−∞,+∞) 上不一致连续，但在[0,A]上一致连续； （3） x 在[0,+∞) 上一致连续； （4）ln x 在[1,+∞)上一致连续； (5) cos x 在[0,+∞) 上一致连续。 证（1）在(0,1) 上，令 nπ xn ' 1 = ， 2 " 1 π π + = n xn ， xn ' − xn " → 0，但 1 1 sin 1 sin ' " − = n n x x ，所以 sin 1 x 在（0,1）上不一致连续。 在(a,1) (a＞0)上，∀ε > 0，取δ = a 2 ε > 0， , ( ,1) 1 2 ∀x x ∈ a ，x1 − x2 < δ ， 成立 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 sin 1 sin a x x x x x x − − ≤ − ≤ < ε ， 53
所以sin在(a,1)(a>0)上一致连续。 (2)在-+)上,令x=1m+,x=m,则x-x→0,但 m()-s=, 所以sinx2在(-∞,+)上不一致连续 在0,4上,V6>0,取=>0,Yx,x2∈[0,4,-x10,取δ=c2>0,Wx,x∈+∞),x1-x2|0,取δ=E>0,x1,x2∈[+∞),0≤x1-x20,取=62>0,Wx1,x2∈D+∞),k-x2|<6,成立 COS < x1-x2<E, 所以cos√x在[0+∞)上一致连续。 9.证明:对椭圆内的任意一点P,存在椭圆过P的一条弦,使得P 是该弦的中点。 证过P点作弦,设弦与x轴的夹角为6,P点将弦分成长度为l(0)和 l2(O)的两线段,则f()=4()-12(0)在D]连续,满足f(O)=-f(x),于
所以 sin 1 x 在(a,1) (a＞0)上一致连续。 （2）在− ∞,+∞)上，令 2 ' π xn = nπ + ， xn = nπ " ，则 xn ' − xn " → 0，但 sin( ) sin( ) 1 2 " 2 ' xn − xn = ， 所以 sin x 2 在(−∞,+∞) 上不一致连续。 在[0, A]上，∀ε > 0，取 0 2 = > A ε δ ， , [0, ] ∀x1 x2 ∈ A ， x1 − x2 0，取δ = ε2 > 0，∀ , ∈[0,+∞) 1 2 x x ， x1 − x2 0，取δ = ε > 0，∀ , ∈[1,+∞) 1 2 x x ，0 ≤ x1 − x2 0，取δ = ε2 > 0，∀ , ∈[0,+∞) 1 2 x x ， x1 − x2 < δ ，成立 1 2 1 2 1 2 cos x − cos x ≤ x − x ≤ x − x < ε ， 所以cos x 在[0,+∞) 上一致连续。 9．证明：对椭圆内的任意一点 P，存在椭圆过 P 的一条弦，使得 P 是该弦的中点。 证 过P 点作弦，设弦与 x轴的夹角为θ ，P 点将弦分成长度为 ( ) l 1 θ 和 ( ) l2 θ 的两线段，则 ( ) ( ) ( ) f θ = l 1 θ −l2 θ 在[0,π ]连续，满足 f (0) = − f (π ) ，于 54
是必有6∈[0,z],满足f(60)=0,也就是4(O)=1(0)。 10.设函数f(x)在[0,2]上连续,且八(0)=f(2),证明:存在x,y∈[0,2], y-x=1,使得∫(x)=f(y)。 证令F(x)=f(x+1)-f(x),则F(x)在]上连续,F(1)=-F(0),于是必 有xo∈,满足F(x0)=0。令y0=x0+1,则xn,yo∈[0,2],y0-x0=1, 使得f(x)=f(o) 11.若函数f(x)在有限开区间(a,b)上一致连续,则f(x)在(a,b)上有界 证由f(x)在(a,b)上一致连续,可知f(a+),f(b-)存在且有限。令 (x)x∈(a,b) f(x)=f(a+) x=a, =6 则f(x)在闭区间[ab连续,所以f(x)在[a,b有界,因此f(x)在(a,b)上 有界。 12.证明 (1)某区间上两个一致连续函数之和必定一致连续; (2)某区间上两个一致连续函数之积不一定一致连续。 证(1)设函数f(x),g(x)在区间上一致连续,则v>0,36>0, x,x∈1,kx-x1<6,成立(x)-f(x)<5,g(x)-g(x)<5,于是 [f(x)+g(x)-[f(x")+g(x")<E, 所以f(x)+g(x)在区间上一致连续 (2)设f(x)=g(x)=x,区间1=0+∞),则f(x),g(x)在区间l上一致 连续,但f(x)g(x)=x2在区间/上不一致连续。 13.设函数f(x)在[anb]上连续,且f(x)≠0,x∈ab,证明f(x)在[a,b上
是必有θ 0 ∈ [0,π ]，满足 f (θ 0 ) = 0，也就是 ( ) 1 θ 0 l ( ) 2 θ 0 = l 。 10．设函数 在[0,2]上连续，且 f(0) = f(2)，证明：存在 ， ，使得 。 f x( ) x, y ∈[0,2] y − x = 1 f (x) = f ( y) 证 令F(x) = f (x +1) − f (x)，则F(x)在[0,1]上连续，F(1) = −F(0)，于是必 有 x0 ∈[0,1]，满足F(x0 ) = 0。令 y0 = x0 +1，则 , [0,2] x0 y0 ∈ ， ， 使得 。 y0 − x0 = 1 ( ) ( ) 0 0 f x = f y 11．若函数 f x( ) 在有限开区间(a,b)上一致连续，则 f x( ) 在(a,b)上有界。 证 由 f x( ) 在(a,b)上一致连续，可知 f (a+)， f (b−)存在且有限。令 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = ∈ = f b x b f a x a f x x a b f x ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ~ ， 则 ( ) ~ f x 在闭区间[a,b]连续，所以 ( ) ~ f x 在 有界，因此 在 上 有界。 [a,b] f x( ) (a,b) 12．证明： （1）某区间上两个一致连续函数之和必定一致连续； （2）某区间上两个一致连续函数之积不一定一致连续。 证（1）设函数 f (x)， g(x)在区间I 上一致连续，则∀ε > 0，∃δ > 0， ∀x', x"∈ I ， x'−x" < δ ，成立 2 ( ') ( ") ε f x − f x < ， 2 ( ') ( ") ε g x − g x < ，于是 [ f (x') + g(x')]−[ f (x") + g(x")] < ε ， 所以 f (x) + g(x)在区间I 上一致连续。 （2）设 f (x) = g(x) = x ，区间 I = [0,+∞)，则 f (x) ， g(x) 在区间I 上一致 连续，但 f (x)g(x) = x 2在区间I 上不一致连续。 13. 设函数 f x( ) 在[a,b]上连续，且 f (x) ≠ 0, x ∈[a,b]，证明 f x( ) 在[a,b]上 55
恒正或恒负 证设f(x)在[a,b上不保持定号,则存在x,x"∈[ab(不妨设x0,3X>a,x,x>x1f(x)-f(x)<6。由于f(x) 在[a,￥+1]连续,所以一致连续,也就是 30<6<1,Wx,x∈[,x+1](x-x-<):|f(x)-f(x")<6。于是 Wx,x∈[+∞)(x-x<):|f(x)-f(x2)<E
恒正或恒负。 证 设 f x( ) 在[a,b]上不保持定号，则存在 x', x"∈[a,b]（不妨设 x' 0, ∃X > a, ∀x', x"> X : f (x') − f (x") < ε 。由于 f (x) 在[a, X +1]连续，所以一致连续，也就是 ∃0 < δ <1, ∀x', x"∈[a, X +1]( x'−x" < δ ): f (x') − f (x") < ε 。于是 ∀x', x"∈[a,+∞)( x'−x" < δ ): f (x') − f (x") < ε 。 56