第七讲解析函数的局域性展开(续) §71解析函数的 Laurent展开 个函数除了可在解析点作 Taylor展开外,有时还需要将它在奇点附近展开成幂级数.这 时就得到 Laurent展开 定理7.1( Laurent)设函数f(2)在以b为圆心的环 形区域R1≤|z-b≤R上单值解析,则对于环域内的任何z R. 点,f(z)可以用幂级数展开为 f(a) an(2-b), R1RI 其中 f() πiC1(-b)n+
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ (✌) ✍ 1 ✎ ✏✑✒ ✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜ (✢) §7.1 ✣✤✥✦✧ Laurent ★✩ ✪✫✬✭✮✯✰✱✲✳✴✵ Taylor ✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀✱❁✴❂❃✶✷❄❅❆✭❇❈ ✻❉❊❋ Laurent ✶✷❇ ●❍ 7.1 (Laurent) ■✬✭ f(z) ✱❏ b ❑ ▲▼◆❖ P◗❘ R1 ≤ |z − b| ≤ R2 ❙❚❯✲✳✹ ❱❲❳❖ ❘ ❨◆❩❬ z ✴✹ f(z) ✰❏❭❅❆✭✶✷❑ f(z) = X∞ n=−∞ an(z − b) n , R1 R1, ❪ ❫ an = 1 2π i I C1 f(ζ) (ζ − b) n+1 dζ
把两部分合并起来,就有 f(2)=∑an(2-b),R1R1)绝对收敛,在C1外的任意一个闭区域中一致收敛,称 为 Laurent级数的主要部分 两部分合起来,就构成 Laurent级数,在环域 R1<|z-b<R2 内绝对收敛,在环域内的任意一个闭区域中一致收敛 当R1=0时, Laurent级数的主要部分就完全反映了f(x)在z=b点的奇异性
Wu Chong-shi §7.1 ✄☎✆✝✞ Laurent ☛☞ ✍ 2 ✎ ❷❸❹♣❡❺❻❼✹ ❉✺ f(z) = X∞ n=−∞ an(z − b) n , R1 R1) ➮ ❲➸➺✹✱ C1 ✸◆❩❜✪✫❞◗❘ ❫✪➱➸➺✹❽ ❑ Laurent ❆✭◆❐✾❹♣❇ • ❸❹♣❡❻❼✹ ❉❒❄ Laurent ❆✭✹✱❖ ❘ R1 < |z − b| < R2 ❨ ➮ ❲➸➺✹✱❖ ❘ ❨◆❩❜✪✫❞◗❘ ❫✪➱➸➺❇ • ❮ R1 = 0 ✻ ✹ Laurent ❆✭◆❐✾❹♣ ❉❰ÏÐÑ✯ f(z) ✱ z = b ✴◆❁ÒÓ❇
Laurent展开的唯一性设f(2)在环域R1<|z-b<R2内有两个 Laurent级数 f(2)=∑an(2-b)=∑a1(2-b) 两端同乘以(2-b)-k-1,沿环域内绕内圆一周的任一围道C积分(这两个级数在围道上显 然一致收敛,因而可以逐项积分),则由于 故有ak=ak.因为k任意,故有 k=0.±1.±2 即证得 Laurent展开的唯一性 如果两个 Laurent级数在同一环域内处处相等,则对应项系数相等(即可以比较系数)
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ (✌) ✍ 3 ✎ F Laurent ÔÕÖ×ØÙ ■ f(z) ✱❖ ❘ R1 < |z − b| < R2 ❨✺❸✫ Laurent ❆✭✹ f(z) = X∞ n=−∞ an(z − b) n = X∞ n=−∞ a 0 n (z − b) n . ❸ÚÛÜ❏ (z − b) −k−1 ✹Ý❖❘ ❨❵ ❨ ▲✪❛◆❩✪ ➼Þ C ②♣ (❈❸✫❆✭✱ ➼Þ❙ß à✪➱➸➺✹áâ✰❏ã➥②♣) ✹ ❱ ä❳ I C (z − b) n−k−1dz = 2π i δnk, å✺ ak = a 0 k ❇á❑ k ❩❜✹å✺ ak = a 0 k , k = 0, ±1, ±2, · · ·. ➡æ❊ Laurent ✶✷◆➭✪Ó❇ çèéê Laurent ëì íîØïðñ òòóô✹ õö÷øùìóô (úûüýþùì) ❇
572 Laurent级数求法举 872 Laurent级数求法举例 求 Laurent展开,可以直接利用公式求亲数(这时要计算围道积分,一般是比较麻烦 的).除此之外,没有求 Laurent展开的特殊方法 由于函数在给定环域內的 Laurent展开是唯一的,因此,不论用什么方法,只要得到了 在这个环域内收敛到∫(z)的幂级数,那它就一定是∫(z)的 Laurent展开 Taylor展开中讲过的方法,以及有关的结果,都可以应用来求 Laurent展开 例71求 在01内的展开式 2(2-1在01内的 Laurent晨开形式也是 ∑2”,|2|>1 这里我们看到,同一个函数在不同的区域内的 Laurent展开是很不相同的.1/z(z-1) 在01内的 Laurent展开有无穷 多个负幂项,但却没有正幂项 例72用待定系数法求cotz在z=0邻域内的 Laurent晨开 解待定系数法只能用于有限个负幂项(正幂项的情形 (为什么只有一个负冪项,这个道理在5.6节讨论.) (-)n
Wu Chong-shi §7.2 Laurent ÿ ✝✁✂✄ ✍ 4 ✎ §7.2 Laurent ☎✦✆✝✞✟ ✠ Laurent ✡☛✹☞ ✌✍✎✏✑➃➄ ✠ ➁➂ (❾✒✓✔✕ ➉➊➇➈✹➌✖✗✘✙✚✛ ➆) ❇✜✢✣✤✹✥✦✠ Laurent ✡☛➆✧★✩✪❇ ✫✬✭➂✮✯✰✱✲ ✳➆ Laurent ✡☛✗✴➌➆✹✵✢✹✶✷✑➑ ➒✩✪✹✸ ✓✹✺ ➏ ✮❾✻✱✲ ✳✼✽✺ f(z) ➆✾✿➂ ✹❀❁❂➌ ✰ ✗ f(z) ➆ Laurent ✡☛❇ Taylor ✡☛ ➅❃❄➆✩✪✹✌❅✦ ❆➆❇❈✹❉☞ ✌❊✑❋✠ Laurent ✡☛❇ ● 7.1 ❍ 1 z(z − 1) ✱ 0 1 ❨ ◆✶✷④❇ ■ 1 z(z − 1) ✱ 0 1 ❨ ◆ Laurent ✶✷P ④➜❴ P∞ n=−∞ anz n ✹ 1 z(z − 1) = 1 z 2 1 1 − 1 z = 1 z 2 X∞ n=0 1 z n = X−∞ n=−2 z n , |z| > 1. ❾❿◆❖P✺✹◗➌ ✻✭➂✮✶ ◗➆ ❘ ✲ ✳ ➆ Laurent ✡☛✗❙✶❚ ◗➆❇ 1/z(z − 1) ✮ 0 1 ✳ ➆ Laurent ✡☛✦❳❨ ❩✻ ❯✾❱✹❬❭✥✦❪✾❱❇ ● 7.2 ❭❫❏➠✭▼❍ cot z ✱ z = 0 ➪ ❘ ❨◆ Laurent ✶✷❇ ■ ❫❏➠✭▼❴➩❭❳✺➲✫➬ ❅➥ (➤❅➥) ◆❵ P❇ cot z = X∞ n=−1 b2n+1z 2n+1 . (➐➑ ➒✸✦➌ ✻ ❯✾❱ ✹ ❾✻ ➊❛ ✮ 5.6 ❜❝✷❇) cos z = sin z X∞ n=−1 b2n+1z 2n+1 , X∞ n=0 (−) n (2n)! z 2n = X∞ k=0 (−) k (2k + 1)! z 2k+1 X∞ l=0 b2l−1z 2l−1 = X∞ k=0 X∞ l=0 (−) k (2k + 1)! b2l−1z 2(k+l) = X∞ n=0 "Xn l=0 (−) n−l (2n − 2l + 1)!b2l−1 # z 2n
由此得到递推关系 逐次求解,即得 0123 3!-1-1!1-2 b1+b3 所以 根据cotz的奇点分布,可判断此级数的收敛范围为0<|2|< 本题还可以采用级数除法 t 2 315 32+152+315 (-3+)+( 3×i5-27 452-945
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ (✌) ✍ 5 ✎ ä❞❊❋❡❢❣➠ Xn l=0 (−) l (2n − 2l + 1)!b2l−1 = 1 (2n)!. ã❤❍✲✹➡❊ n = 0 : b−1 = 1; n = 1 : 1 3! b−1 − 1 1! b1 = 1 2!, b1 = − 1 3 ; n = 2 : 1 5! b−1 − 1 3! b1 + 1 1! b3 = 1 4!, b3 = − 1 45 ; n = 3 : 1 7! b−1 − 1 5! b1 + 1 3! b3 − 1 1! b5 = 1 6!, b5 = − 2 945 ; . . . ❑❏ cot z = 1 z − 1 3 z − 1 45 z 3 − 2 945 z 5 − · · · . t✉ cot z ◆❁✴♣✐✹✰❥❦❞ ❆✭◆ ➸➺➻ ➼❑ 0 < |z| < π ❇ ❧♠✼✰❏♥❭❆✭✮▼❇ cot z = 1 tan z = 1 z + 1 3 z 3 + 2 15 z 5 + 17 315 z 7 + · · · = 1 z 1 1 + 1 3 z 2 + 2 15 z 4 + 17 315 z 6 + · · · = 1 z h 1 − 1 3 z 2 + 2 15 z 4 + 17 315 z 6 + · · · + 1 3 z 2 + 2 15 z 4 + 17 315 z 6 + · · ·2 − 1 3 z 2 + 2 15 z 4 + 17 315 z 6 + · · ·3 + 1 3 z 2 + 2 15 z 4 + 17 315 z 6 + · · ·4 − + · · · i = 1 z h 1 − 1 3 z 2 + − 2 15 + 1 9 z 4 + − 17 315 + 2 × 1 3 × 2 15 − 1 27 z 6 + · · · i = 1 z 1 − 1 3 z 2 − 1 45 z 4 − 2 945 z 6 − · · · = 1 z − 1 3 z − 1 45 z 3 − 2 945 z 5 + · · ·
72 Laurent级数求法举 第6页 多值函数的 Laurent展开 例73求函数1在10 所以 M(2)”-1 cpGE(-)}-()>()=()=∑∑ +n)!(2 (+
Wu Chong-shi §7.2 Laurent ÿ ✝✁✂✄ ✍ 6 ✎ ♦♣qìÖ Laurent ÔÕ ● 7.3 ❍✬✭ ln z − 2 z − 1 ✱ 1 0, ❑❏ exp z 2 t − 1 t = X∞ k=0 z 2 k t k k! X∞ l=0 z 2 l (−) l l! 1 t l = X∞ k=0 X∞ l=0 (−) l k!l! z 2 k+l t k−l = X∞ n=0 hX∞ l=0 (−) l l!(l + n)! z 2 2l+n i t n + X−∞ n=−1 h X∞ l=−n (−) l l!(l + n)! z 2 2l+n i t n = X∞ n=−∞ Jn(z)t n
七讲解析函数的局域性展开 其中 J()=0(+m(2 n=0,1,2, 1,-2,-3 称为n阶 Bessel函数 如果无穷远点是函数f(x)的奇点,而在无穷远点的邻域内单值解析的话,则可将f(z)在∞ 点的邻域内作 Laurent展开(有时就简单地说成在∞点作 Laurent展开 ★所谓∫f(z)在∞点的邻域内(∞点除外)单值解析,就意味着作变换t=1/z,函数∫(1/()在 t=0点的邻域内(t=0除外)单值解析,因而 t,0<团< f( 这里的收敛范围可以看成是以∞点为圆心的一个环域 ★∫(1/t)的 Laurent级数中正幂项(包括常数项)部分是正则部分,负幂项是主要部分.因此, 完全对应地,我们把f()在2=∞点邻城内的 Laurent数中,2的负幂项称为正则部分, 而正幂项称为主要部分,正幂项完全反映了函数f()在∞点的奇异性 上面的例4和例6的第二种情形以及例7,也都可以看成是在∞点邻域内 Laurent展开
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ (✌) ✍ 7 ✎ ❪ ❫ Jn(z) = X∞ l=0 (−) l l!(l + n)! z 2 2l+n , n = 0, 1, 2, · · · ; X∞ l=−n (−) l l!(l + n)! z 2 2l+n , n = −1, −2, −3, · · · ❽❑ n ❶ Bessel ✬✭❇ ➫⑩➯❷❸✴❴✬✭ f(z) ◆❁✴✹â✱➯❷❸✴◆➪❘ ❨ ❚❯✲✳◆t✹ ❱✰✿ f(z) ✱ ∞ ✴◆➪❘ ❨✵ Laurent ✶✷ (✺✻❉❹ ❚❺➟❄✱ ∞ ✴✵ Laurent ✶✷) ❇ F ❻❼ f(z) ✮ ∞ ❽➆❾ ✲ ✳ (∞ ❽✜✤) ❿➀➁➂✹❂➃➄➅➆➇➈ t = 1/z ✹✭➂ f(1/t) ✮ t = 0 ❽➆❾ ✲ ✳ (t = 0 ✜✤) ❿➀➁➂✹✵❲ f 1 t = X∞ n=−∞ ant n , 0 < |t| < r, f(z) = X∞ n=−∞ anz −n , 1 r < |z| < ∞. ❾❿➆ ✼✽ ➉➉☞ ✌P ➎✗ ✌ ∞ ❽➐ ➊➋➆➌✻✱✲❇ F f(1/t) ➆ Laurent ✿ ➂ ➅❪✾❱ (➌➍➎➂ ❱) ➏➈✗❪➐➏➈✹ ❯ ✾❱✗➑✓ ➏➈❇✵✢✹ ➒➓➔❊→✹ ◆❖➀ f(z) ✮ z = ∞ ❽❾ ✲ ✳➆ Laurent ✿ ➂ ➅✹z ➆ ❯ ✾❱➣➐❪➐➏➈✹ ❲ ❪✾❱➣➐➑ ✓ ➏➈❇❪✾❱ ➒➓↔↕ ➏ ✭➂ f(z) ✮ ∞ ❽➆➙➛➜❇ ❙➝◆⑦ 4 s⑦ 6 ◆➞➟➠❵P❏r⑦ 7 ✹➜➡✰❏➢❄❴✱ ∞ ✴➪ ❘ ❨ Laurent ✶✷❇
73单值函数的孤立奇 第8页 373单值函数的孤立奇点 定义设f(2)为单函函(或多。函函一个单分枝),b点是它奇点如果环b点存 环一个邻域,环该邻域内(在b点外),f(2)处处可导,点b为f(2)狐立奇点 非孤立奇点,例子 项 而于函函1/si(1/2),显然,1=nx,都2=1/m7,n=0,+1,士2,…是它我奇点,=0 是这些奇点我聚点(极限点)环2=0我任意一个邻域中,总存环无穷多个奇点,“故:=0是非孤 立奇点 项 如果z=b是单,函函f(z)4孤立奇点 定存环一个们域0<12-<R,环该们城内, f(z)可以展开成 Laurent级 f(2)=∑an(2-b) 奇 这个可能出现三种情况 ★级函展开式不含负幂项b点点为f(2)4可去奇点 就是函 n=0 2n+1)! 2< 可去奇点 奇 ★级函展开式只含有限个负幂项b点点为f(2)极点 ★级函展开式含有无穷多个负幂项b点点为f(2)本性奇点 下面分别反映函函环三种奇点处行为 可去奇点由于环可去奇点处,级函展开式中不含负幂项,故级函不只是环们域内收敛 且环们域前中心,都可去奇点2=b处是收敛 这个收敛区域是一个圆,圆心环可去奇点z=b,级函环收敛圆内任一闭区域中一致收敛 和函函连续 imf()=lm∑an(2-b)=a
Wu Chong-shi §7.3 ➤➥✆✝✞➦➧➨➩ ✍ 8 ✎ §7.3 ➫➭✥✦✧➯➲➳➵ ●➸ ■ f(z) ❑❚❯✬✭ (➺➻❯✬✭◆✪✫❚❯♣✉) ✹ b ✴❴ ❀ ◆❁✴❇➫⑩✱ b ✴➼ ✱✪✫➪ ❘ ✹✱➽➪ ❘ ❨ (✮ b ✴✸) ✹ f(z) ➾➾✰➚✹ ❱ ❽ b ❑ f(z) ◆➾➚❁✴❇ ➪➾➚❁✴◆⑦➶❇ ❲❳✬✭ 1/ sin(1/z) ✹ß à ✹1/z = nπ ✹➡ z = 1/nπ ✹n = 0, ±1, ±2, · · · ❴ ❀ ◆❁✴❇❱ z = 0 ❴ ❈➹❁✴◆➘✴ (➴➲✴) ➙✱ z = 0 ◆❩❜✪✫➪ ❘ ❫ ✹ ➷➼✱➯❷➻✫❁✴✹ å z = 0 ❴ ➪➾ ➚❁✴❇ ➫⑩ z = b ❴❚❯✬✭ f(z) ◆➾➚❁✴✹ ❱✪❏➼✱✪✫❖ ❘ 0 < |z − b| < R ✹✱➽❖ ❘ ❨✹ f(z) ✰❏✶✷❄ Laurent ❆✭✹ f(z) = X∞ n=−∞ an(z − b) n . ❈✻✰➩➬➮➱➠❵✃➙ F ❆✭✶✷④➦❐➬ ❅➥➙ b ✴❽❑ f(z) ◆✰❒❁✴❇ z = 0 ❉ ❴✬✭ sin z z = X∞ n=0 (−) n (2n + 1)! z 2n , |z| < ∞ s 1 z − cot z = 1 3 z + 1 45 z 3 + 2 945 z 5 + · · · , |z| < π ◆✰❒❁✴❇ F ❆✭✶✷④❴ ❐✺➲✫➬ ❅➥➙ b ✴❽❑ f(z) ◆➴✴❇ F ❆✭✶✷④❐✺➯❷➻✫➬ ❅➥➙ b ✴❽❑ f(z) ◆ ❧Ó❁✴❇ ❮ ➝♣q↔↕✬✭✱➱➠❁✴➾◆❰❑❇ ûÏÐÑ ä❳✱✰❒❁✴➾✹❆✭✶✷④ ❫➦❐➬ ❅➥✹å ❆✭➦ ❴❴✱❖ ❘ ❨➸➺✹â Ò✱❖ ❘ ◆ ❫ ▼✹➡✰❒❁✴ z = b ➾➜❴ ➸➺◆❇ w w ❈✻◆ ➸➺◗❘❴✪✫ ▲✹▲▼✱✰❒❁✴ z = b ✹❆✭✱➸➺ ▲ ❨ ◆❩✪❞◗❘ ❫✪➱➸➺✹ w w s✬✭✇Ó ✹ lim z→b f(z) = lim z→b X∞ n=0 an(z − b) n = a0
函数在可去奇点处的极限值是有限的 用此极限值作为f(z)的定义 f(2), ≠b f(z) if(2) 这样得到的f(2)在b点也就是解析的了 这正是可去奇点这一称谓的由来 反之,如果z=b是函数f(x2)的孤立奇点,而且f(x)在z=b的邻域内有界,则z=b是f(z) 的可去奇点 证将f(2)在z=b的邻域内作 Laurent展开 f(2)=∑an(2-b),0M,|f(2)|-1<
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ (✌) ✍ 9 ✎ ✬✭✱✰❒❁✴➾◆➴➲ ❯❴ ✺➲◆❇ w w ❭❞ ➴➲ ❯✵❑ f(z) ◆❏Ô✹ f(z) = f(z), z 6= b; lim z→b f(z), z = b, ❈Õ❊❋◆ f(z) ✱ b ✴➜❉ ❴✲✳◆✯❇ ❈ ➤❴✰❒❁✴❈✪❽Ö◆ ä❼❇ Ð× ✹➫⑩ z = b ❴✬✭ f(z) ◆➾➚❁✴✹â Ò f(z) ✱ z = b ◆➪❘ ❨✺ ♦✹❱ z = b ❴ f(z) ◆✰❒❁✴❇ ♠ ✿ f(z) ✱ z = b ◆➪❘ ❨✵ Laurent ✶✷✹ f(z) = X∞ n=−∞ an(z − b) n , 0 M, |f(z)| −1 < 1 M = ε,
73单值函数的孤立奇 第10页 0. 2→bf(2) 于是可令 7(2)=(2-b)mg(2) 其中ig()≠0,且9(2)在z=b及其邻域内解析.所以 f(2)=(2-09)=(2-b)-m(2)口 如果z=b是∫(以)的π阶极点,则必定是1/f(2)的π阶零点,反之亦然 利用这个关系,可以帮助我们寻找极点 ·z=nπ是1/sinz的一阶极点; z=2ki,k=0,±1,±2…是1/(e2-1)的一阶极点; ·z=1是1/(2-1)2的二阶极点 本性奇点函数在本性奇点邻域内的 Laurent展开具有无穷多个负幂项 如果z=b是函数∫(z)的本性奇点,则当z→b时,f(2)的极限不存在 ·更准确地说,z→b的方式不同,∫(z)可以過近不同的数值 例如,z=0是函数 /2 0<|2|<∞ 的本性奇点.当z以不同方式趋于0时,就有不同的结 当z沿正实轴趋于0时,el/→∝ 当z沿负实轴趋于0时,e/2→0; ·当z沿虛轴趋于0时,e1/不趋于一个确定的数 特别是 ·当2以序列±i/2nπ,n=1,2,3,…趋于0时,e/恒为1(因而以1为其聚点) ·当z以序列±i/(2n+1)兀,n=0,1,2,3,…趋于0时,e/恒为-1(因而以-1为其聚点); 当z以序列土i/(2n+1/2)r,n=0,1,2,…趋于0时,e1/恒为五(因而以干i为其聚点) 可以证明,对于本性奇点z=b来说,任意给定一个数A(有限或∞),总可以找到 序列zn→b,使得f(zn)→A(不证) 更准确地说,在本性奇点的任意一个小邻域内,函数f(2)可以取(并且取无穷多次) 任意的有限数值,顶多可能有一个例外
Wu Chong-shi §7.3 ➤➥✆✝✞➦➧➨➩ ✍ 10 ✎ ➡ lim z→b 1 f(z) = 0. ❳ ❴✰❶ 1 f(z) = (z − b) mg(z), ❪ ❫ lim z→b g(z) 6= 0 ✹ Ò g(z) ✱ z = b r ❪ ➪ ❘ ❨✲✳❇❑❏ f(z) = (z − b) −m · 1 g(z) = (z − b) −mφ(z). å ❈ z = b ✗ f(z) ➆ m æç❽✹➐è✰ ✗ 1/f(z) ➆ m æé❽❇↔✣êë❇ ⑦❭❈✫❣ ➠✹✰❏ìíîïðñ➴✴❇ • z = nπ ❴ 1/ sin z ◆✪❶➴✴✃ • z = 2kπ i, k = 0, ±1, ±2, · · · ❴ 1/ e z − 1 ◆✪❶➴✴✃ • z = 1 ❴ 1/(z − 1)2 ◆➟❶➴✴❇ ò ÙÐÑ ✬✭✱❧Ó❁✴➪ ❘ ❨◆ Laurent ✶✷ó ✺➯❷➻✫➬ ❅➥❇ • å ❈ z = b ✗ ✭➂ f(z) ➆ô➜➙❽✹➐ õ z → b ✒ ✹ f(z) ➆çö✶÷✮❇ • øùú→û✹ z → b ➆✩➄ ✶ ◗✹ f(z) ☞ ✌üý✶ ◗➆ ➂ ➀❇ ⑦➫✹ z = 0 ❴✬✭ e 1/z = X∞ n=0 1 n! 1 z n , 0 < |z| < ∞ ◆ ❧Ó❁✴❇❮ z ❏➦Û▲④þ ❳ 0 ✻ ✹ ❉✺➦Û◆⑨⑩➙ • õ z ÿ❪ ✁✂✬ 0 ✒ ✹ e 1/z → ∞ ✃ • õ z ÿ ❯ ✁✂✬ 0 ✒ ✹ e 1/z → 0 ✃ • õ z ÿ✄✁✂✬ 0 ✒ ✹ e 1/z ✶ ✂✬ ➌ ✻ ú ✰ ➆ ➂❇ ☎ q❴✹ • õ z ✌✆✝ ±i/2nπ, n = 1, 2, 3, · · · ✂✬ 0 ✒ ✹ e 1/z ✞➐ 1 (✵❲ ✌ 1 ➐✟✠❽) ✃ • õ z ✌✆✝ ±i/(2n + 1)π, n = 0, 1, 2, 3, · · · ✂✬ 0 ✒ ✹ e 1/z ✞➐ −1 (✵❲ ✌ −1 ➐✟✠❽) ✃ • õ z ✌✆✝ ±i/(2n + 1/2)π, n = 0, 1, 2, · · · ✂✬ 0 ✒ ✹ e 1/z ✞➐ ∓i (✵❲ ✌ ∓i ➐✟✠❽) ❇ ✰❏æ ③ ✹ ❲❳❧Ó❁✴ z = b ❼➟✹❩❜✡❏✪✫✭ A(✺➲➺ ∞) ✹ ➷✰❏ñ❋✪✫ ☛☞ zn → b ✹➢❊ f(zn) → A(➦ æ) ❇ ✌✍④ ❺✎✏✑✒✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜✢ ✣✏✤✥ f(z) ✦✧★ (✩✪★✫✬✭✮) ✗✘✖✯✰✥✱✏✲✭✦✳✯✙✚✴✵✶
