第三十讲 Green函数(三) 830.1含时 Green函数 以波动方程为例 为了确定起见,讨论有界弦的波动问题 最一般的定解问题就是 02(x,t)202u(x,t) f(e, t) 00 u(x,t)=0=1(t,u(x,t)=1=v(t), o(a) =v(x) 可以预料,相应的Gren函数G(xtx’,t)应该是瞬时(仅存在于某时刻)点(仅存在于空间某点) 源问题 atz-a a-G(r, t; t, t)=8(2-236(t 00 在齐次定解条件 G(x,t;x,t)=0=0. G(x,t;x,t)==0 t,t>0, G(r,t;T 0<aa' < l 下的解.这里初始条件的物理意义是很清楚的:因为驱动力是在t=t时刻出现的,所以,在此以 前,弦当然一定保持静止 和一般的问题一样,现在需要讨论三个问题 Green函数G(x,t;x,t)的对称性 二如何用Gren函数及已知条件f(x,t),p(t),v(t)和o(x),v(x)将定解问题的解u(x,t)表示出来 三如何求出Gren函数
Wu Chong-shi ✁✂✄ Green ☎✆ (✁ ) §30.1 ✝✞ Green ✟✠ ✡☛☞✌✍✎✏✑ ✎✒✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜✢☛☞✣✤✑ ✥✦✧✢✔★✣✤✩✪ ∂ 2u(x, t) ∂t2 − a 2 ∂ 2u(x, t) ∂x2 = f(x, t), 0 0, u(x, t) x=0 = µ(t), u(x, t) x=l = ν(t), t > 0, u(x, t) t=0 = φ(x), ∂u(x, t) ∂t t=0 = ψ(x), 0 0 ✷✿❀✔★❁❂ G(x, t; x 0 , t0 ) x=0 = 0, G(x, t; x 0 , t0 ) x=l = 0, t, t0 > 0, G(x, t; x 0 , t0 ) t<t0 = 0, ∂G(x, t; x 0 , t0 ) ∂t t<t0 = 0, 0 < x, x0 < l ❃✢★✑❄❅❆❇❁❂✢❈❉❊❋✪●❍■✢❏❑✎▲☞▼✪✷ t = t 0 ✴✺◆❖✢✗P✡✗✷◗✡ ❘✗✜❙❚✦✔❯❱❲❳✑ ❨✦✧✢✣✤✦❩✗❖✷❬❭✘✙❪❫✣✤❏ ✦ Green ✰✱ G(x, t; x 0 , t0 ) ✢❴❵❛ ❜ ❝❞❡ Green ✰✱❢ ❣❤❁❂ f(x, t), µ(t), ν(t) ❨ φ(x), ψ(x) ✐ ✔★✣✤✢★ u(x, t) ❥❦◆❧ ❪ ❝❞♠◆ Green ✰✱
Gre函数的对称性 ( Green函数在空间上的对称性与时间上的倒易性) 为此,再列出关于 Green函数G(x,-t;x",-t'")的定解问题 84D2G(x,-tx",-)=6(x-x2)6(t-") G(x,-tx",-t")l=0=0 G(,-t; t,t">0 ) 0. 0,0<x,x"<l 将两个方程分别乘以Gren函数G(x,-t;x",-)和G(x,tx,t),相减,再在区间[,和0,∞) 上对x和t积分,即得 G(x,-t';x",-t")-G(x",t";x',t) a-G(r, t; a', t) G(r t a-G(a ax2 G(x,一t; aG(a, t;r,t') OG(x,-t;x",-1 G(, t;a', t') (x,t;x',t) 代入有关的边界条件和初始条件,可以看出,右端的积分为0,所以就导出了Gren函数在空间 上的对称性与时间上的倒易性, G(x",t";x',t)=G(x1,-t;x",-t") 或者将x"和t"改写成x和t G(a, t; r, t)=G(r, -t';T, -t) 在这个关系式中,将t和t对换位置时出现的负号,正好保证了时间的先后次序不变,否则就会 有悖于因果律的要求
Wu Chong-shi §30.1 ♥♦ Green ♣q r 2 s Green t✉✈✇①② (Green ✰✱✷ ③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩❶④⑤⑥❷❸⑨) ✎ ◗ ✗❹❺◆❻✸ Green ✰✱ G(x, −t; x 00 , −t 00) ✢✔★✣✤ ∂ 2 ∂t2 − a 2 ∂ 2 ∂x2 G(x, −t; x 00 , −t 00) = δ(x − x 00)δ(t − t 00), 0 0, G(x, −t; x 00 , −t 00) x=0 = 0, G(x, −t; x 00 , −t 00) x=l = 0, t, t00 > 0, G(x, −t; x 00 , −t 00) −t<−t 00 = 0, ∂G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂t −t<−t 00 = 0, 0 < x, x00 < l. ✐❼❫✌✍❽❾❿✡ Green ✰✱ G(x, −t; x 00 , −t 00) ❨ G(x, t; x 0 , t0 ) ✗✮➀✗❹✷➁✽ [0, l] ❨ [0, ∞) ➂❴ x ❨ t ➃ ❽✗➄➅ G(x 0 , −t 0 ; x 00 , −t 00) − G(x 00, t00; x 0 , t0 ) = Z l 0 dx Z ∞ 0 G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂ 2G(x, t; x 0 , t0 ) ∂t2 − G(x, t; x 0 , t0 ) ∂ 2G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂t2 dt − Z ∞ 0 dt Z l 0 G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂ 2G(x, t; x 0 , t0 ) ∂x2 − G(x, t; x 0 , t0 ) ∂ 2G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂x2 dx = Z l 0 G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂G(x, t; x 0 , t0 ) ∂t − G(x, t; x 0 , t0 ) ∂G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂t ∞ 0 dx − Z ∞ 0 G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂G(x, t; x 0 , t0 ) ∂x − G(x, t; x 0 , t0 ) ∂G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂x l 0 dt, ➆➇✚❻✢➈✛❁❂❨❆❇❁❂✗✫✡➉◆✗➊➋✢➃ ❽✎ 0 ✗P✡✩➌◆✒ Green ✰✱✷✼✽ ➂✢❴❵❛➍✴✽ ➂✢➎➏❛✗ G(x 00, t00; x 0 , t0 ) = G(x 0 , −t 0 ; x 00 , −t 00), ➐➑✐ x 00 ❨ t 00 ➒➓➔ x ❨ t ✗ G(x, t; x 0 , t0 ) = G(x 0 , −t 0 ; x, −t). ✷ ❄❫❻→➣ ↔✗✐ t ❨ t 0 ❴↕➙➛✴◆❖✢➜➝✗➞➟❯➠✒✴✽ ✢➡➢❀➤➥➦✗➧➨✩➩ ✚➫✸ ❑➭➯✢ ❭♠✑
用Gren函数及已知条件f(x,t),p(1),(t)和o(x),v(x) 将定解问题的解u(x,t)表示出来 为此,将定解问题中的自变量改写成x和t 02au(x,t)202u(x,t) f(ar, t), 00. u(x,t)2=0=(t),u(x,t)=1=v(t), u(x2,t)1=0=() du(r, t) =v( 00, (x,-t;x,-t)l-=0=0, G(a t. t G(r,-t;x,-t)_t0. G(x,tx,t)=0=0,G(x,t;x,t)=0, t,t>0, G(a, t; r, t')l t≈0.aG(x,右;x,t 0<ar<I 将两个方程分别乘以G(x,t;x,t)和u(x,t),相减,再积分, dz/G(r, t;r, t")f(a, t)dt'-u(r, t) drG(, t; r, t'y 02u(r,t) u(r, t') a-G(r,t:r, t) dt G(,t; 2, t)gu(a 0x/2-u(,t)22G(,t:; r','dr ar, t) 2 代入边界条件和初始条件,就可以化简为 dr/G(r, t; I, t'f(, edt'-G(a, t; t, 2u r,2-u(ar, t"G(z, ti t',21 dr'/G(r, t; r,, t')f(r, t,)dt lL(t' aG(a, t; z,t) G(a, t;I',t)
Wu Chong-shi ➲➳➵➸ Green ♣q (➳ ) r 3 s ➺ Green t✉➻ ➼➽➾➚ f(x, t), µ(t), ν(t) ➪ φ(x), ψ(x) ➶➹➘ ➴➷✈ ➘ u(x, t) ➬➮ ➱✃ ✎ ◗ ✗ ✐ ✔★✣✤ ↔✢ ❐ ➦❒➒➓➔ x 0 ❨ t 0 ✗ ∂ 2u(x 0 , t0 ) ∂t02 − a 2 ∂ 2u(x 0 , t0 ) ∂x02 = f(x 0 , t0 ), 0 0, u(x 0 , t0 ) x0=0 = µ(t 0 ), u(x 0 , t0 ) x0=l = ν(t 0 ), t0 > 0, u(x 0 , t0 ) t 0=0 = φ(x 0 ), ∂u(x 0 , t0 ) ∂t0 t 0=0 = ψ(x 0 ), 0 0, G(x 0 , −t 0 ; x, −t) x0=0 = 0, G(x 0 , −t 0 ; x, −t) x0=l = 0, t, t0 > 0, G(x 0 , −t 0 ; x, −t) −t 0 0, G(x, t; x 0 , t0 ) x0=0 = 0, G(x, t; x 0 , t0 ) x0=l = 0, t, t0 > 0, G(x, t; x 0 , t0 ) t 0>t = 0, ∂G(x, t; x 0 , t0 ) ∂t t 0>t = 0, 0 < x, x0 < l. ✐❼❫✌✍❽❾❿✡ G(x, t; x 0 , t0 ) ❨ u(x 0 , t0 ) ✗✮➀✗❹➃ ❽✗ Z l 0 dx 0 Z ∞ 0 G(x, t; x 0 , t0 )f(x 0 , t0 )dt 0 − u(x, t) = Z l 0 dx 0 Z ∞ 0 G(x, t; x 0 , t0 ) ∂ 2u(x 0 , t0 ) ∂t02 − u(x 0 , t0 ) ∂ 2G(x, t; x 0 , t0 ) ∂t02 dt 0 − a 2 Z ∞ 0 dt 0 Z l 0 G(x, t; x 0 , t0 ) ∂ 2u(x 0 , t0 ) ∂x02 − u(x 0 , t0 ) ∂ 2G(x, t; x 0 , t0 ) ∂x02 dx 0 . ➆➇➈✛❁❂❨❆❇❁❂✗✩✫✡ÏÐ✎ u(x, t) = Z l 0 dx 0 Z ∞ 0 G(x, t; x 0 , t0 )f(x 0 , t0 )dt 0 − Z l 0 G(x, t; x 0 , t0 ) ∂u(x 0 , t0 ) ∂t0 − u(x 0 , t0 ) ∂G(x, t; x 0 , t0 ) ∂t0 ∞ 0 dx 0 + a 2 Z ∞ 0 G(x, t; x 0 , t0 ) ∂u(x 0 , t0 ) ∂x0 − u(x 0 , t0 ) ∂G(x, t; x 0 , t0 ) ∂x0 l 0 dt 0 = Z l 0 dx 0 Z t 0 G(x, t; x 0 , t0 )f(x 0 , t0 )dt 0 − Z l 0 G(x, t; x 0 , 0)ψ(x 0 ) − φ(x 0 ) ∂G(x, t; x 0 , t0 ) ∂t0 t 0=0 dx 0 − a 2 Z t 0 ν(t 0 ) ∂G(x, t; x 0 , t0 ) ∂x0 x0=l − µ(t 0 ) ∂G(x, t; x 0 , t0 ) ∂x0 x0=0 dt 0
求出Gren函数的具体形式 02202 ](x,门=0-)(-,00 =0=0,G(x,t;x,tO=1=0 t,t>0 按相应齐次问题的本征函数展开 同时,将δ函数也按该组本征函数展开 于是,Tn(t)就满足常微分方程的初值问题 T"(t +(nna Tn(t)=T 6(t-t) Tn(t<t) Tn(t<t) 解之即得 Tn(t) 所以,Gren函数G(x,t;x,t)就是
Wu Chong-shi §30.1 ♥♦ Green ♣q r 4 s Ñ ➱ Green t✉✈ÒÓÔÕ h ∂ 2 ∂t2 − a 2 ∂ 2 ∂x2 i G(x, t; x 0 , t0 ) = δ(x − x 0 )δ(t − t 0 ), 0 0, G(x, t; x 0 , t0 ) x=0 = 0, G(x, t; x 0 , t0 ) x=l = 0, t, t0 > 0, G(x, t; x 0 , t0 ) t<t0 = 0, ∂G(x, t; x 0 , t0 ) ∂t t<t0 = 0, 0 < x, x0 < l Ö✮✯✿❀✣✤✢×Ø✰✱ÙÚ✗ G(x, t; x 0 , t0 ) = X∞ n=1 Tn(t) sin nπ l x, Û✴✗✐ δ ✰✱❰Ö✲Ü×Ø✰✱ÙÚ✗ δ(x − x 0 ) = 2 l X∞ n=1 sin nπ l x 0 sin nπ l x, ✸ ✪✗ Tn(t) ✩ÝÞßà❽✌✍✢❆á✣✤ T 00(t) + nπa l 2 Tn(t) = 2 l sin nπ l x 0 δ(t − t 0 ), Tn(t < t0 ) = 0, T 0 n(t < t0 ) = 0. ★â➄➅ Tn(t) = 2 nπa sin nπ l x 0 sin nπ l a(t − t 0 ) η(t − t 0 ). P✡✗ Green ✰✱ G(x, t; x 0 , t0 ) ✩✪ G(x, t; x 0 , t0 ) = 2 πa X∞ n=1 1 n sin nπ l x 0 sin nπ l x sin nπ l a(t − t 0 ) η(t − t 0 )
再讨论一个三维空间的例子,这时的 Green函数G(r,t;r,t)满足定解问题 a2_xGr, t:T,t)=d(r-r)8(t-t,t, t'>0, G(r, t;r, t)I aG(r,t;r,t) 作 Fourier变换 g(r,w; r,t') G(r, t; r,t) 于是就将定解问题化为 9(T 根据272节的结果,可以得到 gr,w;r, 作逆变换,就有 G(r,t;r,t) 47a2T-r'l 物理意义很明确:t时刻在r处发射的信号,t时刻一定到达距r点为a(t-t)的球面上 根据这个 Green函数,当然就可以得到三维无界空间中波动方程的初值问题 u(T t)l=0=() 的解, (T,t) f(r,t-Ir'-rl/a) w(r d∑ at 其中∑是以r点为球心、at为半径的球面r-r|=at
Wu Chong-shi ➲➳➵➸ Green ♣q (➳ ) r 5 s ❹✘✙✦❫❪ã✼✽✢✏ä✑❄✴✢ Green ✰✱ G(r, t; r 0 , t0 ) ÝÞ✔★✣✤ h ∂ 2 ∂t2 − a 2∇2 i G(r, t; r 0 , t0 ) = δ(r − r 0 )δ(t − t 0 ), t, t0 > 0, G(r, t; r 0 , t0 ) t 0, u(r, t) t=0 = φ(r), ∂u(r, t) ∂t t=0 = ψ(r) ✢★✗ u(r, t) = 1 4πa 2 ZZ Z |r0−r|<at f(r 0 , t − |r 0 − r|/a) |r 0 − r| dr 0 + 1 4πa " Z Z Σ0 ψ(r 0 ) |r 0 − r| dΣ 0 + ∂ ∂t Z Z Σ0 φ(r 0 ) |r 0 − r| dΣ 0 # , ö ↔ Σ0 ✪✡ r ✻ ✎ó÷ø at ✎ùú✢óô |r 0 − r| = at ✑