习题5.2 L'Hospital法则 对于 f(x) x→a+g(x) 的情况证明 L'Hospital法则 证设Im(x)=+0,则vG>0360×x6(aa+6()>G+1 首先考虑lmf(x)=limg(x)=0的情况,补充定义f(0)=g(0)=0, 则∫(x).g(x)在[a,d连续,满足 Cauchy中值定理条件。当x∈(a,a+。)时 ∫(x)f(x)-f(a)f( 8(x)g(x)-g(a)g(5) 所以 = =+00。 再考虑img(x)=∞的情况,任取x∈(a,a+δ),再取0<a1<x-a, 使得当 x∈(a,a+ 80/J(x)5,于是由 6)时,max/5) 8(x)2 g()s(x)1/(x)-f(x)x=1-S(x1f()fx, f(x) g(x)g(x)-g(o) g(x) g(x)g5 g(x) 可得当x∈(a,a+)时 f(x) g(x) 所以 f(x)
习 题 5.2 L'Hospital 法则 ⒈ 对于 ( ) lim ( ) x a f x → + g x ′ = +∞ − ∞ ′ 或 的情况证明 L'Hospital 法则。 证 设 ( ) lim ( ) x a f x → + g x ′ = +∞ ′ ，则 '( ) 0, 0, ( , ), 1 '( ) f x G x a a g x ∀ > ∃δ > ∀ ∈ +δ > G + 。 首先考虑 lim ( ) lim ( ) = 0的情况，补充定义 ， x a x a f x g x → + → + = f g (0) = (0) = 0 则 f x( ), g(x)在[ , a d ]连续，满足 Cauchy 中值定理条件。当 x a ∈( , a +δ )时 ( ) ( ) ( ) '( ) , ( ) ( ) ( ) '( ) f x f x f a f G a x a g x g x g a g ξ ξ δ ξ − = = > < < < − + ， 所以 ( ) lim ( ) x a f x → + g x = +∞ 。 再考虑 lim ( ) 的情况，任取 x a g x → + = ∞ 0 x a ∈( , a +δ )，再取 1 0 0 < < δ x − a， 使得当 1 x a ∈( ,a +δ )时， 0 0 ( ) ( ) 1 max{| |,| |} ( ) ( ) 2 g x f x g x g x ≤ ，于是由 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) [1 ] [1 ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) f x g x f x f x f x g x f f x g x g x g x g x g x g x g g x ξ 0 ξ − = − + = − + − ， 可得当 1 x a ∈( ,a +δ )时 ( ) 1 1 | | ( 1) ( ) 2 2 2 f x G G g x ≥ + − = ， 所以 ( ) lim ( ) x a f x → + g x = +∞ 。 109
imx)=-的情况即为m-(x)=+,所以 L'Hospital法则也 g(x g(x 成立 2.求下列极限: sin 3x In(sin x) (4) (5)lim In( tan7x) →0+ln(tan2x) 6 tan x (8 lim →0secx x→+ arccot x (9)l (Dlim x tanx-sin x (13) Iim cot 2x (14)limx2 er2 (15)lim(T-x)tan arc tan x 解(1)lim°-° COS x (2)lim sIn ox = lim (3) lim In( sinx) cot x CSc x =lim 110
( ) lim ( ) x a f x → + g x ′ = −∞ ′ 的情况即为 ( ) lim ( ) x a f x → + g x − ′ = +∞ ′ ，所以 L'Hospital 法则也 成立。 ⒉ 求下列极限： ⑴ lim e e x sin x x → x − − 0 ; ⑵ x x x tan 5 sin 3 lim →π ; ⑶ lim ln(sin ) ( ) x x →π π − x 2 2 2 ; ⑷ lim x a m m n n x a → x a − − ; ⑸ ln(tan 2 ) ln(tan 7 ) lim 0 x x x→ + ; ⑹ x x x tan tan 3 lim 2 π → ; ⑺ x x x arccot ln(1 ) lim 1 + →+∞ ; ⑻ lim ln( ) x sec cos x → x x + 0 − 2 1 ; ⑼ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − → 1 1 ln 1 limx 1 x x ; ⑽ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x→ x x 1 sin 1 lim 0 ; ⑾ lim x ln x → x − 1 1 ; ⑿ 2 4 0 tan sin limx x x x → x − ; ⒀ x x x lim cot 2 →0 ; ⒁ lim e x x x →0 2 1 2 ; ⒂ 2 lim( )tan x x x − → π π ; ⒃ x x x⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →+∞ arc tan 2 lim π ; ⒄ x x x tan 0 1 lim ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → + ; ⒅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − → e 1 1 1 lim 0 x x x ; ⒆ x x x sin 0 1 lim ln ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → + ; ⒇ lim x x x → − 1 1 1 . 解 （1） 0 0 e e e ( e ) 2 lim lim 2 sin cos 1 x x x x x x x x − − → → − − − = = = 。 （2） 2 sin 3 3cos3 3 3 lim lim x x tan 5 5sec 5 5 5 x x → → π π x x − = = = − 。 （3） 2 2 2 2 2 ln(sin ) cot csc 1 lim lim lim x x ( 2 ) 2( 2 )( 2) x 4( 2) 8 x x x x π π π π π → → → − = = − − − − − x = − 。 110
(4)im li =lim -x=-a (5)lim In(tan7x) lim cot 7xsec"7x. 7 =lim x-0+In( tan 2x) x-0+ cot 2xsec 2x2 x-0+ 2sin 7x cos7x INax =lim lim →0+2sin14xx→0+28cos14x (6)lim tan 3x sin 3x cos. r Sin oz -sinx 1 lim sinx cos 3x SIn 5x sin ()lim n(1+1) x→+ arc cotxr+ im(-1-x2) x(1+ (8) Im x-0 secx-coS xx+0 sec x tan x+sin x 2 x 1+x 1+cos (9)lim lim-1-1nxⅧ、1 In (x-1)In lim =lim xInx+x-1 (10)lmn11 x-sin x li x→0snxx sin x cOs x sInx 1=lim (11)lm Inx m x→1 (12) limxtanx-sin x=lim x-sInxcosx lim tan x
（4） 1 1 lim lim lim m m m m n n n n x a x a x a x a mx m x x a nx n − − → → − → − = = − = m n a n m − 。 （5） 2 2 0 0 ln(tan 7 ) cot 7 sec 7 7 lim lim x x ln(tan 2 ) cot 2 sec 2 2 x x x → + x → + x x ⋅ = ⋅ 0 7sin 2 cos 2 limx 2sin 7 cos 7 x x → + x x = 0 0 7sin 4 28cos 4 lim lim 1 x x 2sin14 28cos14 x x → + x → + x = = = 。 （6） 2 2 2 3 sin tan 3 sin 3 cos sin 1 2 lim lim lim tan sin cos3 3sin 3 3 sin 2 x x x x x x x x x x x π π π π → → π → − = ⋅ = ⋅ = − 。 （7） 1 2 ln(1 ) [ln(1 )]' (ln )' lim lim arc cot 1 1 x x x x x x x →+∞ →+∞ + + − = − + 2 2 1 1 1 lim ( 1 )[ ] lim 1 x x 1 (1 x x →+∞ x x →+∞ x x + = − − − = = + + ) 。 （8） 2 2 0 0 2 ln(1 ) 1 lim lim x x sec cos sec tan sin x x x → → x x x x + + = − + x 2 2 2 0 2 cos 1 lim 1 2 1 x sin 1 1 cos 2 x x → x x x = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + = 。 （9） ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − → 1 1 ln 1 lim x 1 x x 1 1 1 1 1 ln lim lim ( 1)ln 1 ln x x x x x x x x x x → → − − − = = − − + 1 1 1 1 lim lim x x ln 1 ln 1 1 2 x 1 → → x x x x − = = + − + + = 。 （10） ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x→ x x 1 sin 1 lim 0 2 0 sin limx sin x x x → x x ⎛ ⎞ − ⎛ = ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ 0 0 1 cos sin lim 1 lim 0 x x 2 2 x x → → x ⎛ ⎞ − = ⋅ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ = 。 （11）lim x ln x → x − 1 1 1 1 lim 1 x 1 x → = = 。 （12） 2 4 0 tan sin limx x x x → x − 3 0 0 sin cos tan lim lim x x x x x x → → x x − = ⋅ 111
an x lim coS x+sin x lim =lim SIn x 3x2 (13) lim xcot 2x=lim-.lim cos 2x=lim x→0sin2xx→0 x→02cos2x2 (14) limx2erz=lim =lm-=+。 (15) lim(T-x)tan==lim cOs (16) lim In=arctan lim 所以 lim tanx (17)limn(1 X=lim 所以 (18)li lim lim =lm (19) lim In/In s n(Inx)= lim -Inx)(x) xx→0+(-cscx)(cotx)
2 2 2 2 2 0 0 0 1 cos sin tan 2sin 2 lim lim lim 1 x x 3 3 x x x x x → → x x → x − + = ⋅ = 3 ⋅ = 。 （13） x x x lim cot 2 →0 0 0 0 1 1 lim limcos 2 lim 1 x x sin 2 x 2cos 2 2 x x → → x → x = ⋅ = ⋅ = 。 （14）lim e x x x →0 2 1 2 e e lim lim 1 y y y y →+∞ y →+∞ = = = +∞。 （15） 2 lim( )tan x x x − → π π ( ) 1 lim limsin lim 1 2 2 1 cos sin 2 2 x x x x x π π x x π 2 π → → → − − = ⋅ = ⋅ − = 。 （16） 2 ln arctan 2 lim ln arctan lim 1 x x x x x x π →+∞ π →+∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 2 2 2 2 1 1 arctan 1 2 2 lim lim x x 1 1 x x x x x →+∞ π →+∞ π ⋅ + − = = + − = − ， 所以 x x x⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →+∞ arc tan 2 lim π = π 2 − e 。 （17） tan 0 0 1 ln lim ln lim cot x x x x → + x → + x ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 2 2 0 0 1 ( ) sin lim lim 0 ( csc ) x x x x → + x → + x − = = = − ， 所以 x x x tan 0 1 lim ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → + =1。 （18） 0 0 1 1 e 1 lim lim e 1 (e 1) x x x x x x → → x x ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠ − − 0 e 1 lim e 1 e x x x x→ x − = − + ， 0 0 e 1 lim lim 2e e 2 2 x x x x x → → x x = = + + 1 = 。 （19） sin 0 0 1 ln( ln ) lim ln ln lim csc x x x x → + x → + x ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 112 0 1 ( ln )( ) lim ( csc )(cot ) x x x → + x x − − = −
lim(-sInkytanx an x (tan x) x0+lnxx→0+(ln h)1m- OS x 所以 lim|In (20)lim In(x-x) =lim-x=-1 x11-xx1(-1) 所以 m x 3.说明不能用 L'Hospital法则求下列极限 sin x (1)lim x-sIn (2 →+∞X-Sinx (x2+lsin x (4)lim sin 2x+e2x R-l In(1 +sin 2 x) 解(1)因为当x→0时,如 极限不存在,所以 d x lm不能用 L'Hospital法则求极限 SInx L 事实上,lim im(x)lim(xsin1)=10=0,极限存在 x→+0Snx (2)因为当x→+时,(x+sinx)1+0极限不存在,所 Ii x-sin x x+sin x COS x 不能用 L'Hospital法则求极限 sInx 1+ 事实上,im x+sin x =limx-=1,极限存在 →+x- sin x x→+;Slnx
2 0 0 0 0 sin tan tan (tan )' lim( )( ) 0, (lim lim lim 0) ln ln (ln )' cos x x x x x x x x x → + x x → + x → + x → + x = − = = = = 所以 sin 0 0 1 lim ln 1 x x e → + x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ 。 （20） 1 1 1 1 ln limln( ) lim 1 x x x x x x − → → = − 1 1 lim 1 ( 1) x x → = = − − ， 所以 1 1 1 lim x x x − → = −1 e 。 ⒊ 说明不能用 L'Hospital 法则求下列极限： ⑴ lim sin x sin x x →0 x 2 1 ; ⑵ lim sin x sin x x →+∞ x x + − ; ⑶ lim ( )sin x ln( sin ) x x → x + 1 + 2 2 1 1 π ; ⑷ lim sin e x x x → x + 1 2 π 2 . 解（1）因为当 x → 0时， 2 1 1 1 sin 2 sin cos cos sin d x x dx x x d x x dx ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = x 极限不存在，所以 lim sin x sin x x →0 x 2 1 不能用 L'Hospital 法则求极限。 事实上， 2 1 1 0 0 0 sin lim lim( ) lim( sin ) 1 0 0 sin sin x x x x x x x x → → x x → = ⋅ = ⋅ = ，极限存在。 （2）因为当 x → +∞时，( ) sin ' 1 cos ( sin )' 1 cos x x x x x + + = − − x 极限不存在，所以 lim sin x sin x x →+∞ x x + − 不能用 L'Hospital 法则求极限。 事实上， sin 1 sin lim lim 1 sin sin 1 x x x x x x x x x x →+∞ →+∞ + + = − − = ，极限存在。 113
(3)lm(x+mx不是型或二型的待定型,所以不能用 L'Hospital I+ In(1+sin2 x) 法则求极限。事实上,lmn(x2+1)sinx,Im(x+)sinx2smnl xh(+sin号x)Imm(1+mx)h2° (4)lim sin ax+ 不是型或型的待定型,所以不能用LHos 法则求极限。事实上,1imxe im(sin受x+e) 1+e 1+e x lim g(x) 0, 0 0 其中g(0)=0,g1(0) 求f(0 解f(o)=imx)-0)=lims3=lm(x)=lm3-8(o)g0=。。 2 5.讨论函数 1 >0, ≤0 在x=0处的连续性。 解显然函数f(x)在x=0处左连续。下面考虑f(x)在x=0处的右连续 性。当x>0时 Inf(x)=n(1+x)*_1[In(1+x)-Ine=In(1+x)-x 于是
（3）lim ( )sin x ln( sin ) x x → x + 1 + 2 2 1 1 π 不是 0 0 型或 ∗ ∞ 型的待定型，所以不能用 L'Hospital 法则求极限。事实上， 2 2 1 1 2 2 1 lim( 1)sin ( 1)sin 2sin1 lim ln(1 sin ) limln(1 sin ) ln 2 x x x x x x x x x π π → → → + + = = + + 。 （4）lim sin e x x x → x + 1 2 π 2 不是 0 0 型或 ∗ ∞ 型的待定型，所以不能用 L'Hospital 法则求极限。事实上， 2 2 2 2 2 1 2 1 1 lim(sin e ) sin e 1 e lim 1 e lim 1 x x x x x x x x x π π → → → + + + = = = + 。 ⒋ 设 f x g x x x x ( ) ( ) , , , = ≠ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 0 0 0 其中 g( ) 0 = 0 ， g′( ) 0 = 0， g′′( ) 0 = 10。求 f ′(0)。 解 2 0 0 0 0 ( ) (0) ( ) '( ) '( ) '(0) 1 '(0) lim lim lim lim ''(0) 5 x x 0 x 2 x 2( 0) 2 f x f g x g x g x g f g → → x x → x → x − − = = = = = − − = 。 ⒌ 讨论函数 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = − e , 0, , 0, e (1 ) ( ) 2 1 1 1 x x x f x x x 在 x = 0处的连续性。 解 显然函数 f x( ) 在 x = 0处左连续。下面考虑 f x( ) 在 x = 0处的右连续 性。当 x > 0时， 1 2 1 (1 ) 1 ln(1 ) ln(1 ) ln ( ) ln ln x x x x f x e xex x x + + ⎡ ⎤ + = = − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − x ， 于是 114
lim In f(x)=lir In(1+x) Im lim 由对数函数的连续性,imf(x)=e=f(0),即f(x)在x=0处右连续 所以∫(x)在x=0处连续。 6.设函数f(x)满足f(0)=0,且f(0)存在,证明limx()=1。 WE lim In x/()=lim[(x)Inx]=lim /(x)-f(O). (xInx)=f(0).0=0 所以 lim 7.设函数f(x)在(a,+∞)上可导,且im[f(x)+f(x)=k,证明 limf(x)=k。 证 I-i/(r)=lim ef(x)- lim erf(x)+ef()-lim [f(x)+/'(x)]=k
2 0 0 0 0 1 1 ln(1 ) 1 1 1 lim ln ( ) lim lim lim 2 2(1 ) x x x x x x x f x → + → + xxx → + → + − + − + = = = − = − + 2 ， 由对数函数的连续性， 1 2 0 lim ( ) (0) x f x e f − → + = = ，即 f x( )在 x = 0处右连续。 所以 f (x)在 x = 0处连续。 6．设函数 f (x)满足 f (0) = 0，且 f ′(0)存在, 证明x lim →0+ x f ( x) = 1。 证 ( ) 0 0 0 ( ) (0) lim ln lim[ ( )ln ] lim ( ln ) '(0) 0 0 0 f x x x x f x f x f x x x x f → + → + → + x ⎡ ⎤ − = = ⋅ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − ⋅ = ， 所以 ( ) 0 0 lim 1 f x x x e → + = = 。 7．设函数 f (x)在(a,+∞)上可导，且 f x f x k x + ′ = →+∞ lim[ ( ) ( )] ，证明 f x k x = →+∞ lim ( ) 。 证 = →+∞ lim f (x) x ( ) ( ) '( ) lim lim x x x x x x x e f x e f x e f x →+∞ e e →+∞ + = = f x f x k x + ′ = →+∞ lim[ ( ) ( )] 。 115