习题13.3重积分的变量代换 1.利用极坐标计算下列二重积分 (1)∫e-ddy,其中D是由圆周x2+y2=R2(R>0)所围区域; (2)∫ Vxdxdy,其中D是由圆周x2+y2=x所围区域 (3)∫(x+y),其中D是由圆周x2+y2=x+y所围区域 解(1)×争,其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成 (4) 的在第一象限上的区域 dxdy= dele rdr=r(I-e D (2)j√h=CD0== (3)(x+y)d=∫(sm+csOd in 6+cost (sin 0+ cos0)de (0+dB n tdt 注:本题也可通过作变换 x=-+rcos8,y 2sine(0≤6≤2x,0srs、1 来求解 (4) rdr dt dt 2.求下列图形的面积: (1)(a1x+by+c1)2+(a2x+b2y+c2)2=1(=ab2-a2b1≠0)所围的 区域; (2)由抛物线y2=mx,y2=mx(00)所围的图形; (4)曲线x+2 (h,k>0,a,b>0)所围图形在x>0,y>0的 h k 部分
习 题 13.3 重积分的变量代换 1. 利用极坐标计算下列二重积分： （1）∫∫ − + ，其中 是由圆周 所围区域； D e dxdy ( x y ) 2 2 D x y R R 2 2 2 + = ( > 0) （2）∫∫ D xdxdy ，其中D是由圆周 x 2 + y 2 = x所围区域； （3）∫∫ + ，其中 是由圆周 所围区域； D (x y)dxdy D x y x 2 2 + = + y （4）∫∫ + + − − D dxdy x y x y 2 2 2 2 1 1 ，其中 是由圆周 及坐标轴所围成 的在第一象限上的区域。 D x y 2 2 + = 1 解（1）∫∫ − + 。 D e dxdy ( x y ) 2 2 (1 ) 2 2 0 2 0 R R r d e rdr e − − = = − ∫ ∫ θ π π （2）∫∫ D xdxdy 15 8 cos 5 4 cos 2 0 3 cos 0 2 2 = = = ∫ ∫ ∫ − π θ π π θ dθ rrdr θdθ 。 （3）∫∫ + D (x y)dxdy ∫ ∫ + − = + π θ θ π θ θ θ sin cos 0 2 4 3 4 (sin cos )d r dr 3 1 = 2 sin 3 4 ) 4 sin ( 3 4 (sin cos ) 0 4 4 3 4 4 4 3 4 4 π θ π θ θ θ θ π π π π π + = + = = ∫ ∫ ∫ − − d d tdt 。 注：本题也可通过作变换 ) 2 1 sin (0 2 , 0 2 1 cos , 2 1 x = + r θ y = + r θ ≤ θ ≤ π ≤ r ≤ 来求解。 （4）∫∫ + + − − D dxdy x y x y 2 2 2 2 1 1 ∫ ∫ ∫ + − = + − = 1 0 1 0 2 2 2 0 1 1 1 4 1 dt t t rdr r r d π θ π = − − = ∫ 1 0 2 1 1 4 dt t π t 8 4 2 π π − 。 2. 求下列图形的面积： （1）( ) a x1 1 + + b y c1 2 + (a2 2 x + b y + c2 ) 2 = 1 （δ = a b1 2 − a2b1 ≠ 0）所围的 区域； （2）由抛物线 y m 2 2 = = x, ( y nx 0 所围的图形； （4）曲线 x h y k x a y b + h k a b ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = + > > 4 2 2 2 2 ( , 0; , 0)所围图形在 x > 0 0 , y > 的 部分。 1
解(1)作变换n=a1x+hy+c,=a2x+b2y+c2,则9")=ab2-a2b, 于是面积 S=fro(, y dud duc Jo(u,v la, b2-a2b13) la, b2-a2 b l (2)作变换u=y,y=2,则x=2,y=2,xy=互,于是面积 d(u,v) Bdv 1 a(,y) (3)令x=rcos,y=rsin,则曲线方程可化为极坐标形式r=acos3, 于是面积 66 de o rdr=3a26cos23040=a2 (4)作变换{x=m hkrsin26,而曲线方程化为 r2="cos 40+sin 40 b 于是面积 S=hk 20d0 va sin 0 cos'0d0+[2/sin 0de hk(a2k2+bh2) 3.求极限 f(x, y)dxdy p→0丌Px2+y2≤p2 其中f(x,y)在原点附近连续 解由积分中值定理, f(x, y)dxdy=f(s, n) 其中22+n2≤p2。 因为∫连续,且当p→0时,(2,n)→(00),所以 limbs(x, y)drdy=/(0,0) 4.选取适当的坐标变换计算下列二重积分 (1)∫/+√kab,其中D是由坐标轴及抛物线√x+y=1所围 D
解（1）作变换 1 1 1 2 2 2 u = a x + b y + c , v = a x + b y + c ，则 1 2 2 1 ( , ) ( , ) a b a b x y u v = − ∂ ∂ ， 于是面积 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ( , ) ( , ) a b a b dudv a b a b dudv u v x y S D D − = − = ∂ ∂ = ∫∫ ∫∫ ′ ′ π 。 （2）作变换 x y v x y u = , = 2 ，则 v u y v u x = , = 2 ， 4 ( , ) ( , ) v u u v x y = ∂ ∂ ，于是面积 = = ∂ ∂ = ∫∫ ∫ ∫ ′ β α 4 ( , ) ( , ) v dv dudv udu u v x y S n m D ) 1 1 ( )( 6 1 3 3 2 2 α β n − m − 。 （3）令 x = r cosθ , y = rsinθ ，则曲线方程可化为极坐标形式r = a cos3θ ， 于是面积 = = = ∫ ∫ ∫ − 6 0 2 2 cos3 0 6 6 3 3 cos 3 π θ π π S dθ rdr a θdθ a 2 4 a π 。 （4）作变换 ，则 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = θ θ 2 2 sin cos y kr x hr θ θ sin 2 ( , ) ( , ) hkr r x y = ∂ ∂ ，而曲线方程化为 θ θ 4 2 2 4 2 2 2 cos sin b k a h r = + ， 于是面积 ∫ ∫ + = θ θ π θ θ 4 2 2 4 2 2 cos sin 0 2 0 sin 2 b k a h S hk d rdr ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ∫ ∫ 2 0 2 0 5 2 2 5 2 2 sin cos sin cos π π θ θ θ θ θdθ b k d a h hk = 2 2 2 2 2 2 6 ( ) a b hk a k + b h 。 3. 求极限 lim ( , ) ρ ρ → π ρ + ≤ ∫∫ 0 2 1 2 2 2 f x y dxdy x y ， 其中 f x( , y) 在原点附近连续。 解 由积分中值定理， 2 ( , ) ( , ) 2 2 2 ξ η πρ ρ f x y dxdy f x y = ∫∫ + ≤ ， 其中ξ2 +η2 ≤ ρ2。 因为 f 连续，且当ρ → 0时，(ξ ,η) → (0,0)，所以 lim ( , ) ρ ρ → π ρ + ≤ ∫∫ 0 2 1 2 2 2 f x y dxdy x y = f (0,0)。 4. 选取适当的坐标变换计算下列二重积分： （1） ( ) ∫∫ + D x y dxdy，其中D是由坐标轴及抛物线 x y + = 1所围 2
的区域 2)1),其中D是由D)椭圆合+=1所围区城 )圆 R2所围的区域: (3)∫ytod,其中D是由直线x=-2,y=0,y=2以及曲线 y2所围的区域 (4)Jedb,其中D是由直线x+y=2,x=0及y=0所围的区域; (5)』,+》)d,其中闭区域D=(x,)x+1y (6) ddy,其中闭区域D是由曲线y=a2-x2-a √4a2-x2-y2 (a>0)和直线y=-x所围成 解(1)作变换{=yx,则{x=",20x)=4m,于是 y=v2 a(u, v) +√kob=j(a+)4oh8wnh D 8[(1-v)3-(1-v) 注:本题也可通过作变换x=rcos4,y=rsin4θ来求解。 (2)i)作广义极坐标变换{x=0,则x=a,于是 y= brsin 8 a(r,6) dxdy ab dosed=2 ⅱ)利用极坐标变换,得到 dxd b del rdr 3=的 vara ∫上mb=43m 3J3sim2ab=4、下 (4)作变换n=x+y=x,则x=20+n)y=-y,直接计算得 d(x, y) d(u,v
的区域； （2）∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + D dxdy b y a x 2 2 2 2 ，其中D是由 i）椭圆 x a y b 2 2 2 + 2 = 1所围区域； ii）圆 x 2 + y 2 = R2所围的区域； （3） ∫∫ ，其中 是由直线 D ydxdy D x = −2, y = 0 ， y = 2 以及曲线 2 x = − 2y − y 所围的区域； （4）∫∫ + − D e dxdy x y x y ，其中D是由直线 x + y = 2 0 , x = 及 y = 0所围的区域； （5）∫∫ + − + D dxdy x y x y 2 2 1 ( ) ( ) ，其中闭区域D = {(x, y) | | x | + | y |≤ 1}； （6） ∫∫ − − + D dxdy a x y x y 2 2 2 2 2 4 ，其中闭区域D是由曲线 y = a − x − a 2 2 （a > 0）和直线 y = −x 所围成。 解（1）作变换⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = v y u x ，则 ， ⎩ ⎨ ⎧ = = 2 2 y v x u uv u v x y 4 ( , ) ( , ) = ∂ ∂ ，于是 ( ) ∫∫ + D x y dxdy ∫∫ ∫ ∫ − ′ = + = v D u v uvdudv vdv u du 1 0 2 1 0 ( )4 8 15 2 8 [(1 ) (1 ) ] 1 0 3 4 = − − − = ∫ v v dv 。 注：本题也可通过作变换 x = r cos 4 θ , y = rsin 4 θ 来求解。 （2）i）作广义极坐标变换 ，则 ⎩ ⎨ ⎧ = = θ θ sin cos y br x ar abr r x y = ∂ ∂ ( , ) ( , ) θ ，于是 ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + D dxdy b y a x 2 2 2 2 = = ∫ ∫ 1 0 3 2 0 ab d r dr π θ ab 2 π ； ii）利用极坐标变换，得到 ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + D dxdy b y a x 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 3 2 0 2 2 2 2 4 cos sin ( ) a b a b R d r dr a b R + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ∫ ∫ π θ π θ θ 。 （3）∫∫ D ydxdy 2 0 2 2 0 2 x y y x y ydxdy ydxdy − ≤ ≤ − ≥− ≤ ≤ = − ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = − = − − π π π θ π θ θ θ θ 2 4 2sin 0 2 2 2 0 0 2 sin 3 8 dx ydy sin d r dr 4 d 2 sin 4 3 8 4 2 0 4 π θ θ π = − = − ∫ d 。 （4）作变换 x y x y u x y v + − = + , = ，则 (1 ) 2 1 (1 ), 2 1 x = u + v y = u − v ，直接计算得 ( , ) 2 ( , ) u u v x y = − ∂ ∂ 。 3
由x≥0,y≥0,x+y≤2,可得0≤u≤2,-1≤v≤1,于是 udul e du (5)作变换n=x+yy=x-y,则2a.=2,xy=-1,于是 a(x, y) a(,v)2 dv I+(x-y) ∫pral (6)利用极坐标,得到 2asin e dxdy=r d6 4 由 dr d√4 4a2-r2dr 以及 可像h=(4a2-=42a arcsin dr d r= 2a arcsin 4 所以 dxdy (sin 8-0)de-I--8 16 5.选取适当的坐标变换计算下列三重积分 (1)(x2+y2+=)dbd,其中9为球{xy:)x2+y2+=2s1l; (2) dxdNd,其中Ω为椭球 (3)x2+y5aoh,其中Ω为柱面y=√2x-x2及平面 z=0,x=a(a>0)和y=0所围的区域; (4) ln(1+x2+y2+2) dhd,其中g为半球 (x,y,z)x2+y2+z2≤1,z≥0}; (5)(x+y+-)dht,其中9为抛物面x2+y2=2与球面
由 x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2，可得0 ≤ u ≤ 2,−1 ≤ v ≤ 1，于是 ∫∫ + − D e dxdy x y x y e udu e dv e v 1 2 1 1 1 2 0 = = − ∫ ∫− 。 （5）作变换u = x + y,v = x − y，则 2 1 ( , ) ( , ) 2, ( , ) ( , ) = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ u v x y x y u v ，于是 ∫∫ + − + D dxdy x y x y 2 2 1 ( ) ( ) 2 1 6 1 1 1 2 1 1 2 π = + = ∫ ∫ − − v dv u du 。 （6）利用极坐标，得到 ∫∫ − − + D dxdy a x y x y 2 2 2 2 2 4 ∫ ∫ − − − = θ π θ 2 sin 0 2 2 2 0 4 4 a dr a r r d ， 由 ∫ ∫ ∫ = − − = − − + − − dr rd a r r a r a r dr a r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 以及 ∫ ∫ ∫ = − − − − − = − a r dr r r dr a a r a a r dr a r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 arcsin 4 4 (4 ) 4 ， 可得 a r C r a r dr a a r r = − − + − ∫ 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 arcsin 4 ， 所以 ∫∫ − − + D dxdy a x y x y 2 2 2 2 2 4 2 2 0 4 2 16 8 2a (sin cos )d a − = − = ∫− π π θ θ θ θ 。 5. 选取适当的坐标变换计算下列三重积分： （1）∫∫∫( x 2 2 + + y z 2 )dxdydz ，其中 Ω 为球{( ； Ω x y, ,z)| x y z } 2 2 2 + + ≤ 1 （2） 1 2 2 2 2 2 ∫∫∫ − − − 2 x a y b z c dxdydz Ω ，其中 Ω 为椭球 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ( , , ) + + ≤ 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x x y z ； （3） z x y dxdydz 2 2 ∫∫∫ + Ω ，其中 Ω 为柱面 y x = 2 − x 2 及平面 z z = = 0, a (a > 0)和 y = 0所围的区域； （4） z x ( y z ) x y z dxdydz ln 1 1 2 2 2 2 2 2 + + + + + + ∫∫∫ Ω ，其中 Ω 为半球 {( , , ) | 1, 0} 2 2 2 x y z x + y + z ≤ z ≥ ； （5） ∫∫∫ ( ) x + +y z 2 dxdydz ，其中 Ω 为抛物面 与球面 Ω x y a 2 2 + = 2 z 4
x2+y2+2=3n2(a>0)所围的区域。 (6)』1+y2kxoh,其中9为平面曲线 y2=2.绕:轴旋转 周形成的曲面与平面z=8所围的区域 (7) 1 ddhv,其中闭区域 {(x,y,=) (z-1)2≤1 0,y≥ (8)j(x+y-)Xx-y+)y+2-x)dot,其中闭区域9=(xy,) 0≤x ≤X 1,0≤y ≤1} 解(1)应用球坐标,则 x2+y2+2)hh=205 Singdol'ridr=47 5 (2)应用广义球坐标,则 dxdydz=abc de sin do =4 令 则 dxdyd==abc[ 2 cos tsin to zabc2 sin22tdt=zabel 2(1-costlas/ (3)应用柱坐标,则 dz=2de (4)应用柱坐标,则 de rdr I-r:In(1 n22-ln2(1+ r-+二 In- 2 (n 2 ln22) (5)由于g关于y平面和x平面都对称,则 jxydrdyd==ydh=∫ 于是
x y z a 2 2 2 2 + + = 3 (a > 0)所围的区域。 （6） ，其中 Ω 为平面曲线 绕 轴旋转一 周形成的曲面与平面 ( ) ∫∫∫ Ω x + y dxdydz 2 2 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 2 , 2 x y z z z = 8所围的区域； （7）∫∫∫ Ω + + dxdydz x y z 2 2 2 1 ，其中闭区域 Ω={(x, y,z) | x 2 + y 2 + (z −1) 2 ≤ 1 ， z ≥ 0, y ≥ 0}； （8）∫∫∫ ，其中闭区域 Ω = Ω (x + y − z)(x − y + z)( y + z − x)dxdydz {(x, y,z) | 0 ≤ x + y − z ≤ 1, 0 ≤ x − y + z ≤ 1, 0 ≤ y + z − x ≤ 1}。 解（1）应用球坐标，则 ( x y z )dxdydz 2 2 2 ∫∫∫ + + Ω 5 4 sin 1 0 4 0 2 0 π θ ϕ ϕ π π = = ∫ ∫ ∫ d d r dr 。 （2）应用广义球坐标，则 1 2 2 2 2 2 ∫∫∫ − − − 2 x a y b z c dxdydz Ω ∫ ∫ ∫ = − 1 0 2 2 0 2 0 abc d sin d 1 r r dr π π θ ϕ ϕ ∫ = − 1 0 2 2 4πabc 1 r r dr ， 令r = sin t，则 1 2 2 2 2 2 ∫∫∫ − − − 2 x a y b z c dxdydz Ω ∫ = 2 0 2 2 4 cos sin π πabc t tdt = = − = ∫ ∫ 2 0 2 0 2 (1 cos4 ) 2 1 sin 2 π π πabc tdt πabc t dt abc 2 4 1 π 。 （3）应用柱坐标，则 z x y dxdydz 2 2 ∫∫∫ + Ω ∫ ∫ ∫ ∫ = = 2 0 2 3 0 2cos 0 2 2 0 cos 3 4 π θ π dθ r dr zdz a θdθ a = 2 9 8 a 。 （4）应用柱坐标，则 z x ( y z ) x y z dxdydz ln 1 1 2 2 2 2 2 2 + + + + + + ∫∫∫ Ω ∫ ∫ ∫ ∫ = − + + + + + = − 1 0 2 2 2 1 0 2 2 2 2 1 0 2 0 [ln 2 ln (1 )] 1 2 ln(1 ) 2 dz r r dr r z z r z d rdr r π θ π = − = ∫ 2 1 2 2 ln 4 ln 2 4 tdt π π ln 2)π 4 1 2 1 (ln 2 2 − − 。 （5）由于 Ω 关于 yz平面和 zx 平面都对称，则 ∫∫∫ = ∫∫∫ = ∫∫∫ = 0， Ω Ω Ω xydxdydz yzdxdydz zxdxdydz 于是 5
Jex+y+=)2dxdyd:=f(x2+y2+2)drdyd: 应用柱坐标,就有 2a (x +y+: dxdydz =27|+3-x2-+(2-132-25/2 3a2√3a2 d 24a 2( 97 30 (6)可得Ω由曲面x2+y2=2与平面z=8所围,应用柱坐标,则 502+y2krdyd:=Jo dedordrl d==270/(8-)dr=/ (7)应用球坐标,则 od== do sin odo arlo sin g cos2 ado 4 (8)作变换n=x+y-:,=x-y+:=y+:-x,则2.m d(x,y,=) 于是 所以 d(u,v, w) 4 er+y-x)x-y+=0+2-x)drdyd 6.求球面x2+y2+2=R2和圆柱面x2+y2=R(R>0)所围立体的体 积 解 rose J=2 x2-y2dy=42 dr R[2(1-sin 0)de 6丌-8 7.求抛物面z=6-x2-y2与锥面=√x2+y2所围立体的体积。 解联立两个曲面方程,解得交线所在的平面为z=2,所围空间区域
( ) x + +y z dxdydz ∫∫∫ 2 Ω ∫∫∫ Ω = (x + y + z )dxdydz 2 2 2 ， 应用柱坐标，就有 ( ) x + +y z dxdydz ∫∫∫ 2 Ω ∫ ∫ ∫ − = + 2 2 2 3 2 2 2 2 0 2 0 ( ) a r a r a d rdr r z dz π θ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − + − − a rdr a r a r a r r a r 2 0 3 6 2 3 2 2 4 2 2 2 24 (3 ) 3 1 2 2π 3 ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − − − a rdr a r a r a a r a r 2 0 3 4 6 2 3 2 2 2 2 2 2 24 (3 ) 3 2 2π 3 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − − − 3 6 8 5 5 96 16 6 8 (9 3 1) 15 4 2(3 3 1) a a a a π a a = 5 30 108 3 97 πa − 。 （6）可得 Ω 由曲面 x 2 + y 2 = 2z 与平面 z = 8所围，应用柱坐标，则 ( ) ∫∫∫ Ω x + y dxdydz 2 2 = ∫ ∫ ∫ ∫ = − 4 0 2 3 8 2 4 0 3 2 0 ) 2 2 2 (8 dr r d r dr dz r r θ π π = π 3 1024 。 （7）应用球坐标，则 ∫∫∫ Ω + + dxdydz x y z 2 2 2 1 ∫ ∫ ∫ = π π ϕ θ ϕ ϕ 2cos 0 0 0 d sin d rdr = = ∫ π π ϕ ϕ ϕ 0 2 2 sin cos d π 3 4 。 （8）作变换u = x + y − z, v = x − y + z, w = y + z − x，则 4 ( , , ) ( , , ) = − ∂ ∂ x y z u v w ， 于是 4 1 ( , , ) ( , , ) = − ∂ ∂ u v w x y z ，所以 ∫∫∫ Ω (x + y − z)(x − y + z)( y + z − x)dxdydz 32 1 4 1 ( , , ) ( , , ) 1 0 1 0 1 0 = = ∂ ∂ = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ Ω′ dudvdw udu vdv wdw u v w x y z uvw 。 6．求球面 和圆柱面 所围立体的体 积。 x y z R 2 2 2 + + = 2 x y Rx R ) 2 2 + = ( > 0 解 ∫∫ ∫ ∫ = − − = − + ≤ θ π θ cos 0 2 2 2 0 2 2 2 2 4 2 2 R x y Rx V R x y dxdy d R r rdr = − = ∫ 2 0 3 3 (1 sin ) 3 4 π R θ dθ 3 9 6 8 R π − 。 7．求抛物面z x = −6 2 − y 2 与锥面z x = + y 2 2 所围立体的体积。 解 联立两个曲面方程，解得交线所在的平面为 z = 2，所围空间区域 6
在xy平面的投影区域为 D:x2+y2≤4, 于是 V=(6-x2-y2-Vx2+)dxdy=h def(6-r2-r)rdr 8.求下列曲面所围空间区域的体积 (a,b,c>0) (2)(x+2)+(3=1(ab.c>0)与三张平面x=0,y=0.=0所 围的在第一卦限的立体。 x=arsin cos B 解(1)作变量代换{y= brsin sin,则(x到=ar3smp。 (r,9,6) 二= cr cOs 由于x≥0,所以-≤0≤,0≤9≤x,0≤r≤(a2 sin g cos()3。于是 3a'bc2 cos de sin pdo=tabc x=arsin cos 8 (2)作变量代换{y= brsin o e,则c(xy) abcr2 sin sin20,于是 a(r,Q,0) cros p V=abc2 sin 200 2 sin adp[rdr3 9.设一物体在空间的表示为由曲面42=25(x2+y2)与平面z=5所围成 的一立体。其密度为p(x,y,)=x2+y2,求此物体的质量。 解设物体的质量为M,则 MJx男0=25-)=8x 10.在一个形状为旋转抛物面x=x2+y2的容器内,已经盛有8m立方厘 米的水,现又倒入120z立方厘米的水,问水面比原来升高多少厘 米 解设容器盛有8x立方厘米水时水面的高为h,则 dO|r(h-r2)d=8丌
在 xy平面的投影区域为 : 4 2 2 D x + y ≤ ， 于是 = − − − + = − − = ∫∫ ∫ ∫ 2 0 2 2 0 2 2 2 2 V (6 x y x y )dxdy d (6 r r)rdr D π θ π 3 32 。 8．求下列曲面所围空间区域的体积： （1） x a y b z c ax abc 2 2 2 2 2 2 2 + + 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = > ( , , )； （2） 1 ( , , 0) 2 2 ⎟ = > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + a b c c z b y a x 与三张平面 x = 0, y = 0,z = 0 所 围的在第一卦限的立体。 解（1）作变量代换 ，则 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ θ ϕ θ cos sin sin sin cos z cr y br x ar ϕ ϕ θ sin ( , , ) ( , , ) 2 abcr r x y z = ∂ ∂ 。 由于 x ≥ 0，所以 3 1 2 , 0 , 0 ( sin cos ) 2 2 ϕ π ϕ θ π θ π − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ r ≤ a 。于是 ∫ ∫ ∫ − = 3 1 2 ( sin cos ) 0 2 0 2 2 sin π ϕ θ π π θ ϕ ϕ a V abc d d r dr ∫ ∫ − = π π π θ θ ϕ ϕ 0 2 2 2 3 cos sin 3 1 a bc d d = a bc 3 3 π 。 （2）作变量代换 ，则 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ θ ϕ θ cos sin sin sin cos 2 2 z cr y br x ar ϕ θ ϕ θ sin sin 2 ( , , ) ( , , ) 2 abcr r x y z = ∂ ∂ ，于是 3 sin 2 sin 1 0 2 2 0 2 0 abc V = abc d d r dr = ∫ ∫ ∫ π π θ θ ϕ ϕ 。 9．设一物体在空间的表示为由曲面 与平面 所围成 的一立体。其密度为 ，求此物体的质量。 4 25( ) 2 2 2 z = x + y z = 5 2 2 ρ(x, y,z) = x + y 解 设物体的质量为M ，则 ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = = = − Ω 2 0 3 5 2 5 2 0 3 2 0 ) 2 5 M (x, y,z)dxdydz d r dr dz 2 r (5 r dr r ρ θ π π = 8π 。 10. 在一个形状为旋转抛物面z x = 2 + y 2的容器内，已经盛有8π 立方厘 米的水，现又倒入120π 立方厘米的水，问水面比原来升高多少厘 米。 解 设容器盛有8π 立方厘米水时水面的高为h，则 θ π π ( ) 8 0 2 2 0 − = ∫ ∫ h d r h r dr ， 7
即h2-h2=4,从而解得 h=4(cm)。 又设容器盛有128立方厘米水时水面的高为H,则 de r(H-r) 即 从而解得 H=16(cm) 所以水面比原来升高12(cm) 1l.求质量为M的均匀薄片{x+y对:轴上0.c)(>0)点处的 =0 单位质量的质点的引力。 解设薄片对单位质点的引力为F=(F2,F,F),由对称性,F=F,=0 在均匀薄片上点(x,y0)的附近取一小块,其面积设为do=dzh,根 据万有引力定律,这小块微元对质点的引力为 G G didi (x2+y2+c2)2 c2)2 于是 x ty tc G rdr F:=- 2MG 其中G是万有引力常数,M是均匀薄片的质量,ρ是均匀薄片的密 度 12.已知球体x2+y2+z2≤2R,在其上任一点的密度在数量上等于该 点到原点距离的平方,求球体的质量与重心。 解设球体的质量为M,则 ∫cey2+2)dh= de 2 sin adobo ordr 设重心的坐标为(x,,),由对称性,x=y=0。由 订(2+y2+)2h=5
即 4 4 1 2 1 2 2 h − h = ，从而解得 h = 4（cm）。 又设容器盛有128π 立方厘米水时水面的高为H ，则 θ π π ( ) 128 0 2 2 0 − = ∫ ∫ H d r H r dr ， 即 64 4 1 2 1 2 2 H − H = ，从而解得 H = 16（cm）， 所以水面比原来升高12（cm）。 11．求质量为M 的均匀薄片 对 轴上 点处的 单位质量的质点的引力。 ⎩ ⎨ ⎧ = + ≤ 0 2 2 2 z x y a z ( , 0 0,c c ) ( > 0) 解 设薄片对单位质点的引力为 ( , , ) F = F x y F Fz ，由对称性，Fx = Fy = 0。 在均匀薄片上点(x, y,0)的附近取一小块，其面积设为dσ = dxdy ，根 据万有引力定律，这小块微元对质点的引力为 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , ( ) ( ) ( ) G x G y G c d dxdy dxdy dxdy x y c x y c x y c ρ ρ ρ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ + + + + + + F 3 2 ， 于是 dFz = dxdy x y c G c 2 3 2 2 2 ( + + ) − ρ ， ∫∫ ∫ ∫ + = − + + = − a D z r c rdr dxdy G c d x y c G c F 0 2 3 2 2 2 0 2 3 2 2 2 ( ) ( ) π ρ θ ρ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = − − 2 2 1 1 2 a c c πGρc ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 2 2 1 2 a c c a MG ， 其中 G 是万有引力常数，M 是均匀薄片的质量，ρ 是均匀薄片的密 度。 12．已知球体 ，在其上任一点的密度在数量上等于该 点到原点距离的平方，求球体的质量与重心。 x y z R 2 2 2 + + ≤ 2 z 解 设球体的质量为M ，则 = + + = = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ Ω ϕ π π θ ϕ ϕ 2 cos 0 4 2 0 2 0 2 2 2 ( ) sin R M x y z dxdydz d d r dr 5 15 32 πR 。 设重心的坐标为( , x y z, )，由对称性， x = y = 0。由 + + = ∫∫∫ Ω z(x y z )dxdydz 2 2 2 6 2 cos 0 5 2 0 2 0 3 8 d sin cos d r dr R R θ ϕ ϕ ϕ π ϕ π π = ∫ ∫ ∫ ， 8
得到 )dxdydz 所以重心坐标为(00.5R) 13.证明不等式 2x(√17-4)≤∫ dxdy 16+sin2xtsin 证首先有 dadu ddv +y2≤1 另一方面,由sin2u≤u2,得到 dxd 16+ 2x(√17-4)。 所以 dodi 2r(√17-4)≤ 4√6+sn2x+smn个 14.设一元函数f(au)在[-1上连续,证明 f(x+y)dxdy= f(udu 证作变换u=x+y,y=x-y,则-1≤u≤1,-1≤v≤1,变换的 Jacobi行 列式为 (u,v) a(x, y) a(x, y) 于是 f(x+y)drdy=/(uo(x, y duce a(u2) f(udul dv=f(u)du 15.设一元函数f(u)在[-1上连续。证明 Jr)drdyd=f(u1-u2)du 其中g为单位球x2+y2+z2≤1 证 其中 于是
得到 = + + = ∫∫∫ Ω M z x y z dxdydz z ( ) 2 2 2 R 4 5 ， 所以重心坐标为 ) 4 5 (0,0, R 。 13．证明不等式 16 sin sin 4 2 ( 17 4) 1 2 2 2 2 π π ≤ + + − ≤ ∫∫ x + y ≤ x y dxdy 。 证 首先有 4 4 1 1 16 sin sin 1 2 2 2 2 2 2 π ≤ = + + ∫∫ ∫∫ x + y ≤ x + y ≤ dxdy x y dxdy 。 另一方面，由 sin2 u ≤ u 2，得到 2 2 2 2 2 2 2 x y 1 1 16 sin sin x y 16 dxdy dxdy 2 + ≤ x y x + ≤ ≥ + + + + ∫∫ ∫∫ y 2 1 0 0 2 16 rdr d r π = θ + ∫ ∫ = 2π ( 17 − 4)。 所以 16 sin sin 4 2 ( 17 4) 1 2 2 2 2 π π ≤ + + − ≤ ∫∫ x + y ≤ x y dxdy 。 14．设一元函数 f (u)在[−1,1]上连续，证明 ∫∫ ∫− + ≤ + = 1 1 | | | | 1 f (x y)dxdy f (u)du x y 。 证 作变换 u = x + y,v = x − y，则−1 ≤ u ≤ 1, −1 ≤ v ≤ 1，变换的 Jacobi 行 列式为 2 1 ( , ) ( , ) 2, ( , ) ( , ) = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ u v x y x y u v 。 于是 | ||| 1 ( , ) ( ) ( ) ( , ) x y D x y f x y dxdy f u dudv u v + ≤ ′ ∂ + = ∂ ∫∫ ∫∫ 1 1 1 1 1 ( ) 2 f u du dv − − = ∫ ∫ ∫− = 1 1 f (u)du 。 15．设一元函数 f (u)在[−1,1]上连续。证明 ∫∫∫ ∫− Ω = − 1 1 2 f (z)dxdydz π f (u)(1 u )du ， 其中Ω为单位球 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1。 证 1 1 ( ) ( ) z f z dxdydz f z dz dxdy − Ω Ω = ∫∫∫ ∫ ∫∫ ， 其中Ω =z 2 2 1 2 x + ≤ y − z ，于是 9
f()dxdyd:=, f(=)d= dxdy 2) 16.计算下列n重积分: (1)∫√x1+x2+…+x2…d,其中 9={(x1 xn)x,+x ≤1,x1≥0,i (2)∫(x2+x2+…+x2)d2…d,其中 2为n维球体{(x1,x2,…,xn)|x12+x2+…+xn2≤l}。 解(1)作变量代换y=x+3+“+xn,则ny2,ym)=1,从而 =1,于是 a(y1,y2,…,y x2+…+x,山山d=√… ∫Vdd2J… JoRdy o dy 2o dy- (n-1)!(2n+1) x2=rsinp, cos p2 (2)作球面坐标变换{3=90 I sin x xn=rsin gi sin p2 它把Ω变为 ,9n-2,On-)0≤r≤1,0≤ 1,2,…,n-2),0≤qn≤2r} 它的 Jacob行列式为
1 1 ( ) ( ) z f z dxdydz f z dz dxdy − Ω Ω = ∫∫∫ ∫ ∫∫ 1 2 1 f ( )z z (1 )dz ∫− = − 1 1 2 π π f (u)(1 u )du − = − ∫ 。 16．计算下列n重积分： （1） x x x dx dx dx ∫ 1 2 + +"+ n n 1 2" Ω ，其中 Ω {( , , , ) | 1, 0, 1,2, , } = x1 x2 " xn x1 + x2 +"+ xn ≤ xi ≥ i = " n ； （2）∫ (x x 1 2 + + 2 2 2 "+xn n )dx1 2 dx dx ，其中 Ω " Ω 为n维球体{(x1 , x2 ,", xn ) | x1 2 + x2 2 +"+ xn 2 ≤ 1}。 解（1）作变量代换 , 则 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = + + + = + + + + n n n n y x y x x x y x x x x " " " 2 2 3 1 1 2 3 1 ( , , ) ( , , ) 1, 2 1, 2 = ∂ ∂ n n x x x y y y " " ，从而 1 ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 = ∂ ∂ n n y y y x x x " " ，于是 ∫Ω + + + n n x x " x dx dx "dx 1 2 1 2 ∫Ω′ = n y dy dy "dy 1 1 2 ∫ ∫ ∫ ∫ − = 1 0 0 0 0 1 1 2 3 1 2 1 y y y n n y dy dy dy " dy ∫ ∫ ∫ ∫ − − − = 1 0 0 0 0 1 1 2 3 1 2 1 ( )! 1 y y y i n i i i y dy dy dy y dy n i " = − = ∫ + − 1 0 1 1 2 1 1 ( 1)! 1 y dy n n ( 1)!(2 1) 2 n − n + 。 （2）作球面坐标变换 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = = − − − − − 1 2 2 1 1 1 2 2 1 3 1 2 3 2 1 2 1 1 sin sin sin sin sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos n n n n n n x r x r x r x r x r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ " " "" 它把 Ω 变为 Ω =' ({ r r ,ϕ1 2 ," " ,ϕ ϕ n n − − , 1)| 0 ≤ ≤1,0 ≤ϕi ≤ π (i =1,2, ,n − 2),0 ≤ϕn−1 ≤ 2π}。 它的 Jacobi 行列式为 10