习题2. 1.(1)证明√6不是有理数 (2)√3+√2是不是有理数? 2.求下列数集的最大数、最小数,或证明它们不存在: A={x|x≥0}; 2丌 B=sin x0<x< C={"mn∈N并且n<m 3.A,B是两个有界集,证明 (1)AUB是有界集 (2)S={x+ylx∈A,y∈B}也是有界集 4.设数集S有上界,则数集T={x|-x∈S}有下界,且supS=-infr 5.证明有界数集的上、下确界唯 6.对任何非空数集S,必有supS≥infS。当supS=infS时,数集S有什么特点? 7.证明有下界的数集必有下确界。 8.设S={xx∈Q并且x2<3},证明 (1)S没有最大数与最小数 (2)S在Q内没有上确界与下确界。 习题2.2 1.按定义证明下列数列是无穷小量: 0)m2+1 (2){(-1)”(0.99)”}; 1+2+3+…+n n
习 题 2.1 1. (1) 证明 6 不是有理数； (2) 3 + 2 是不是有理数? 2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： A x = { | x ≥ 0}； ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = < < 3 2 sin | 0 π B x x ； ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ∈ < + m n n m m n C , N 并且 。 3. A, B 是两个有界集，证明： (1) A∪ B 是有界集； (2) S x = + { | y x ∈ A, y ∈ B}也是有界集。 4. 设数集 S 有上界，则数集T x = { | − x ∈S}有下界，且supS = -inf T 。 5. 证明有界数集的上、下确界唯一。 6. 对任何非空数集 S ，必有sup S ≥ inf S 。当sup S = inf S 时，数集 S 有什么特点? 7. 证明有下界的数集必有下确界。 8. 设 S { | 3} 2 = x x ∈Q并且x < ，证明： (1) S 没有最大数与最小数； (2) S 在Q 内没有上确界与下确界。 习 题 2.2 1. 按定义证明下列数列是无穷小量： ⑴ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + 1 1 2 n n ； ⑵ { ( ) −1 0( .99) }； n n ⑶ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + −n n 5 1 ； ⑷ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + 3 1 2 3 n " n ； ⑸ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n 3 2 ； ⑹ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ! 3 n n ； 1
2.按定义证明下述极限: (1)im3n2+2 (2)1im n+n (3)lim(n2+n-n)=7 ()lim33n+2=1 n (5) lim x=1,其中 ,n是偶数 1-10-,n是奇数, 3.举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的 (1)对任意给定的E>0,存在N,使当n>N时成立xn0,存在无穷多个xn,使|xn11 (4)lim 1.3:5…(2n-1).提示应用不等式2k>√2k-12k+1)) 2.4·6……(2n) 9.求下列数列的极限 n3+2n2-3n+1 (1 lim (2)lim H3-n+3
⑺ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n n! ； ⑻ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + − + + + − n n n n n 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 " 。 2. 按定义证明下述极限： ⑴ lim n→∞ 2 1 3 2 2 3 2 2 n n − + = ； ⑵ lim n→∞ n n n 2 1 + = ； ⑶ lim n→∞ ( ) n n n 2 1 2 + − = ； ⑷ lim n→∞ 3 2 n n + = 1； ⑸ lim n→∞ xn =1,其中 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = − ， ， 是奇数 是偶数 n n n n n x n n 1 10 , , 。 3. 举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的： (1) 对任意给定的ε > 0 ，存在 N ，使当n > N 时成立 xn 0 ，存在无穷多个 xn ,使｜ xn ｜＜ε。 4. 设 k 是一正整数，证明： lim n→∞ xn = a 的充分必要条件是 lim n→∞ xn k + = a 。 5. 设 lim = ，证明： n→∞ x2n lim n→∞ x2 1 n+ = a lim n→∞ xn = a 。 6. 设 xn ≥ 0，且 lim ,证明： n→∞ xn = a ≥ 0 lim n→∞ xn = a 。 7. { xn }是无穷小量，{ yn }是有界数列，证明{ xn yn }也是无穷小量。 8. 利用夹逼法计算极限： (1) lim n→∞ n n 1 1 3 1 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + +"+ ； (2) lim n→∞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 n + 1 n + 2 + … + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ n + n 1 ； (3) lim n→∞ ∑ + = 2 2 ( 1) 1 n k n k ； (4) lim n→∞ 135 2 1 246 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ " " ( ) ( ) n n 。 (提示：应用不等式2 2 k k > − ( )1 ( ) 2k + 1 )。 9. 求下列数列的极限： ⑴ lim n→∞ 3 4 1 2 2 n n n + − + 1 ; ⑵ lim n→∞ n n n n n 3 2 3 2 3 2 3 + − + − + 1 ; 2
3n+n3 (3)lim onl (4) im(√n2+1-1)s 3”+(n+1) (5)lim√n(n+1-√n); (7)lim ( 8)lim -=2)()-2n (9)lim VnInn 3 0lim+-,+…+ 22 10.证明:若an>0(n=1,2,…),且lim=n=1>1,则 lim a=0 11.证明:若an>0(n=12.…),且 lim an+=a,则 lime/a=a 设lim(a1+a2+…+an)存在,证明: (1)lim=(a1+2a2+…+an)=0 (2)lim(na1a2…an)”=0(a1>0,i=1,2,…n) 提示:设a1+a2+…+an=Sn,则∑k4=nSn-∑S4) 13.已知 lim a=a, lim b=b,证明: b+a,b a b 14.设数列{an}满足lm1+a2+…+an a(-∞<a<+∞)。证明: lim 习题2. 1.按定义证明下述数列为无穷大量 (2)log
⑶ lim n→∞ 3 3 1 3 1 3 n n n n + + + + ( ) ; ⑷ lim n→∞ ( ) n si n n 2 1 1 2 + − π n ; ⑸ lim n→∞ n n ( + − 1 n) ; ⑹ lim n→∞ n n ( ) n 4 2 + −1 1 + ; ⑺ lim n→∞ 1 n n ! ; ⑻ lim n→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 3 1 1 … ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 1 n ； ⑼ lim n→∞ n n ln n ; ⑽ lim n→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + n n 2 2 1 2 3 2 1 2 " 。 10. 证明：若an > 0（ n = 1,2,"），且 lim 1 1 = > + →∞ l a a n n n ，则 lim = 0 →∞ n n a 。 11．证明：若 an > 0（ n = 1,2,"），且 a a a n n n = + →∞ 1 lim ，则 n a a n n = →∞ lim 。 12. 设 lim ( n→∞ a a 1 2 + +"+an )存在，证明： (1) lim n→∞ 1 2 1 2 n a a nan ( ) + +"+ = 0； (2) lim n→∞ ( ! n a a a ) n n ⋅ 1 2 1 " = 0 ( ai > 0 , i = 1,2,…,n)。 (提示：设a a 1 2 + +"+an = Sn ，则 )。 b kak nS S k n n k k n = = − ∑ ∑ = − 1 1 1 13. 已知 lim ， ，证明： n→∞ an = a lim n→∞ bn = lim n→∞ a b a b a b n ab 1 2 n n + 1+ + n 1 = − " 。 14. 设数列{ an }满足 lim n→∞ a a a n 1 2 + +"+ n = a (−∞ ＜a ＜ + ∞) 。证明： lim n→∞ a n n = 0。 习 题 2.3 1. 按定义证明下述数列为无穷大量： (1) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + 2 1 1 2 n n ； (2) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n a 1 log ； 3
(3)(n-arc tan n j 2.(1)设 lim a=+∞(或-∞)按定义证明 a, ta +o(或-∞) (2)设an>0, lim a=0,利用(1)证明: 3.证明 (1)设{xn}是无穷大量,|y,|≥δ>0,则{xny}是无穷大量 (2)设{x}是无穷大量,1myn=b≠0,则{xnyn}与{一}都是无穷大量。 4(1)利用 Stolz定理,证明: lim 12+32+52+…+(2n+1)24 12+32+52+…+(2n+1)24 (2)求极限lm 利用Stoz定理,证明: (1)lim =0(a>1); (2)man=0(a>1,k是正整数)。 6.(1)在 Stolz定理中,若lm 能否得出Iim 的结论?(考虑例子 n→yn-yn-1 xn=(-1)”n,yn=n); (2)在Sol定理中,若1nxn一X不存在,能否得出lim二不存在的结论? (考虑例子:xn=1-2+3-4+…+(-1)n,yn=n2) 7.设0<λ<1,lima,=a,证明
(3) { n − arc tan n }； (4) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + n + n 2n 1 2 1 1 1 " 。 2. (1) 设 lim n→∞ an = +∞ (或 − ∞ ),按定义证明： lim n→∞ a a a n 1 2 + +"+ n = +∞ (或 − ∞ ); (2) 设a ＞0， = 0 ，利用（1）证明： n lim n→∞ an lim n→∞ ( ) a a an n 1 2 1 " = 0。 3. 证明： (1) 设{ xn }是无穷大量，｜ yn ｜≥ > δ 0 ，则{ xn yn }是无穷大量； (2) 设{ xn }是无穷大量， lim n→∞ yn = b≠0，则{ xn yn }与 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n y x 都是无穷大量。 4. (1) 利用 Stolz 定理，证明： lim n→∞ 1 3 5 2 1 4 3 2 2 2 2 3 + + + + + = " ( ) n n ； (2) 求极限 lim n→∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + + 3 1 3 5 (2 1) 4 3 2 2 2 2 n n n " 。 5. 利用 Stolz 定理，证明： (1) lim n→∞ loga n n = 0 ( a > 1)； (2) lim n→∞ n a k n = 0 ( a > 1， k 是正整数)。 6. (1) 在 Stolz 定理中，若 lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 = ∞ ，能否得出 lim n→∞ x y n n = ∞ 的结论?(考虑例子： xn n , )； n = −( )1 yn = n (2) 在 Stolz 定理中，若 lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 不存在，能否得出 lim n→∞ x y n n 不存在的结论? (考虑例子： x n n , )。 n = − + − + + − − 1 2 3 4 1 " 1 ( ) yn = n 2 7. 设 0＜λ ＜1， lim ，证明 n→∞ an = a 4
入 8设An=∑a,当n→∞时有极限。{Pn}为单调递增的正数数列,且pn→+ (n→∞)。证明 lim P1 a,+ P2zfPmum=0 Pn (提示:先作代换ak=Ak-A-1,再应用Solz定理。) 习题2. 利用lim|1+ e求下列数列的极限 (2)lim1+ n (3)lim 1 (4)lim 1 (5)Iim1+ 2.利用单调有界数列必定收敛的性质,证明下述数列收敛,并求出极限: 1,2,3, n=1,2,3, (4)x1=1,x 1,2,3, (6)0<x1<1,xn+1=xn(2-xn)n=1,23 3.利用递推公式与单调有界数列的性质,证明:
lim n→∞ ( a a a a ) n n n n + + λ λ − − 1 + +λ 2 2 0 " = − a 1 λ 。 8. 设 ,当 时有极限。{ }为单调递增的正数数列，且 ( n ）。证明： A a n k k n = = ∑ 1 n → ∞ pn pn → +∞ → ∞ lim n→∞ p a p a p a p n n n 1 1 2 2 0 + + + = " 。 (提示：先作代换a ，再应用 Stolz 定理。) k = − Ak Ak −1 习 题 2.4 1． 利用 lim n→∞ e n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 求下列数列的极限： ⑴ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 ; ⑵ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 1 1 ; ⑶ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; ⑷ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; (5) lim n→∞ n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 1 1 1 。 2. 利用单调有界数列必定收敛的性质，证明下述数列收敛，并求出极限： (1) x = 1 2 , x = n+1 2 + xn , n = 1 2, ,3,"； (2) x = 1 2 , x = n+1 2xn , n = 1 2, ,3,"； (3) x = 1 2 , x = n+1 − + 1 2 xn , n = 1 2, ,3,"； (4) x = 1, = 1 xn+1 4 3 + xn , n = 1 2, ,3,"； (5) 0＜ x ＜1, = 1 1 xn+1 n − 1− x , n = 1 2, ,3,"； (6) 0＜ x ＜1, = x (2 ), 1 xn+1 n n − x n = 1 2, ,3,"。 3. 利用递推公式与单调有界数列的性质，证明： (1) lim n→∞ 2 3 3 5 4 7 1 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 + + " = n n ； 5
(2)lim=,=0(a>1) (3)lim 0 4.设xn+1 n=1,2,3,…,分x1=1与x1=-2两种情况求lm 5设x1=a1,x2=b,xm2=+(m=123…,求Imxn 6.给定0<a<b,令x1=a,y1=b (1)若xm:=√xnyn,yn xn+) (n=12,3,…), 证明{xn},{yn}收敛,且 lim x= lim y。这个公共极限称为a与b的算术 几何平均 )若 2、y2xnyD(n=2,3…),证明{xn)yn收敛,且 xty xn+ yn lim x= lim y。这个公共极限称为a与b的算术调和平均 7.设x1=√2 Xu+l 2+xm (n=1,2,3…),证明数列{xn}收敛,并求极限limx 8.设{xn}是一单调数列,证明 F lim x=a的充分必要条件是:存在{xn}的子列{x} 满足 lim x=a 9.若有界数列{xn}不收敛,则必存在两个子列{xm}与{x3}收敛于不同的极限,即 lim x u=a,limx=b,a≠b。 若数列{xn}无界,但非无穷大量,则必存在两个子列{x}与{x},其中{x}是 无穷大量,(xa3}是收敛子列 1l.设S是非空有上界的数集,SupS=a百S。证明在数集S中可取出严格单调增加的 数列{xn},使得 lim x=a 12.设{(an,bn)是一列开区间,满足条件: (1)a1<a2<…<an<…<bn<…<b2<b1
(2) lim n→∞ a n n ! = 0 ( a ＞1)； (3) lim n→∞ n nn ! = 0。 4. 设 x = n+1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + n n x x 2 2 1 , n = 1 2, ,3,"，分 x1 = 1 与 2 x1 = − 两种情况求 lim 。 n→∞ xn 5. 设 x = , = , 1 a x2 b x x x n n n + + = + 2 1 2 （n = 1 2, ,3,"），求 lim 。 n→∞ xn 6. 给定 0＜a ＜b ，令 x1 = a , y1 = b 。 (1) 若 x = n+1 x yn n ， y = n+1 x y n n + 2 （n = 1 2, ,3,"）， 证明｛ ｝，｛ ｝收敛，且 = 。这个公共极限称为 与 的算术 几何平均； xn yn lim n→∞ xn lim n→∞ yn a b (2) 若 x = n+1 x y n n + 2 , y = n+1 2x y x y n n n n + （n = 1 2, ,3,"），证明｛ ｝,{ }收敛，且 = 。这个公共极限称为a 与b 的算术调和平均。 xn yn lim n→∞ xn lim n→∞ yn 7. 设 x = 1 2 , x = n+1 1 2 + xn （n = 1 2, ,3,"），证明数列｛ xn ｝收敛，并求极限 lim 。 n→∞ xn 8. 设｛ ｝是一单调数列，证明 = a 的充分必要条件是：存在｛ ｝的子列{ } 满足 。 xn lim n→∞ xn xn xnk lim k→∞ xnk = a 9. 若有界数列｛ ｝不收敛，则必存在两个子列{ }与{ }收敛于不同的极限，即 = ， = b ， ≠ 。 xn (1) k n x ( 2) k n x lim k→∞ (1) k n x a lim k→∞ ( 2) k n x a b 10. 若数列{ }无界，但非无穷大量，则必存在两个子列{ }与{ }，其中｛ ｝是 无穷大量，｛ ｝是收敛子列。 xn (1) k n x ( 2) k n x (1) k n x ( 2) k n x 11. 设 S 是非空有上界的数集，sup S = a ∈ S 。证明在数集 S 中可取出严格单调增加的 数列{ xn }，使得 lim 。 n→∞ xn = a 12. 设{( an ,bn )}是一列开区间，满足条件： (1) a1 ＜a2 ＜…＜an ＜…＜bn ＜…＜b2 ＜b1 ， 6
(2)lim(bn-an)=0。 证明存在唯一的实数ξ属于所有的开区间(an,bn),且ξ=lim b n→① 13.利用 Cauchy收敛原理证明下述数列收敛: (1)xn=a0+a1(+a2q2+…+anq"(lql<1,lakl≤M) 14.(1)设数列{xn}满足条件lm|xn+1-xn|=0,问{xn}是否一定是基本数列。 (2)设数列{xn}满足条件|xn+1-xn1<on(n=1,2,3,…)。证明{xn}是基本数列。 5.对于数列{xn}构造数集A4: 记 diam a=Sup{lxn-xnl,xn∈Ak,xm∈Ak},证明数列{xn}收敛的充分必要 条件是 lim diam Ak 16.利用 Cauchy收敛原理证明:单调有界数列必定收敛。(提示:采用反证法
(2) lim ( n→∞ bn − an )=0。 证明存在唯一的实数ξ 属于所有的开区间( an ,bn )，且ξ = lim = 。 n→∞ an lim n→∞ bn 13. 利用 Cauchy 收敛原理证明下述数列收敛： (1) xn = a a q a q an q (｜ ｜＜1，｜ ｜≤ n 0 1 2 2 + + +"+ q ak M )； (2) x = n 1 1 2 1 3 1 11 − + − + − " + ( ) n n 。 14. (1) 设数列{ x }满足条件 | n lim n→∞ xn+1 n − x | = 0，问{ xn }是否一定是基本数列。 (2) 设数列{ xn }满足条件｜ xn+1 n − x ｜＜ 1 2n （n = 1 2, ,3,"）。证明{ xn }是基本数列。 15. 对于数列｛ xn ｝构造数集 Ak ： Ak = { xn ｜n ≥ k }={ xk , xk +1 ,…}。 记 diam Ak = sup {｜ xn − xm ｜， xn ∈ Ak , xm ∈ Ak }，证明数列{ }收敛的充分必要 条件是 xn lim k→∞ diam Ak = 0。 16. 利用 Cauchy 收敛原理证明：单调有界数列必定收敛。(提示：采用反证法)。 7
第二章 第1节 1.(1)反证法。若√6是有理数,则可写成既约分数√6=m。由m2=6n2,可知m是偶 数,设m=2k,于是有3n2=2k2,从而得到n是偶数,这与”是既约分数矛盾 (2)提示:利用(1)的结论 第2节 1.(5)提示: 3”(1+2)”23C (6)提示:当n>5,有 (7)提示:记一的整数部分为m,则有一√(2k-1)(2k+1) 9.(1)3:(2):(3) (4)0:(5) (7)0:(8)-:(9) (10)3,提示:设xn 两式相减,得到xn=1+2(++…+1)_2n-1 1l.提示:{an=a1 a 12.(1)提示:设a+a2+…+an=Sn,则∑kak=nSn-∑Sk,再利用例226的结论 (2)提示:利用定理1.22与(1) 13.提示:令an=a+∝n,bn=b+B
第二章 第 1 节 1．（1）反证法。若 6 是有理数，则可写成既约分数 n m 6 = 。由 ，可知 是偶 数，设 ，于是有 ，从而得到 是偶数，这与 2 2 m = 6n m m = 2k 2 2 3n = 2k n n m 是既约分数矛盾. （2）提示：利用（1）的结论. 第 2 节 1．（5）提示： 3 3 2 2 2 3 (1 2) 2 n n n C n n n 5，有 5 5 2 1 5! 3 ! 3 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⋅ n n n ； （7）提示：记 2 n 的整数部分为 m ，则有 m n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (2k −1)(2k +1) . 9．（1）3；（2） 2 1 ；（3） 3 1 ；（4）0 ；（5） 2 1 ；（6） 2 1 − ；（7）0 ；（8） 2 1 ；（9）1； （10）3，提示：设 n n n x 2 2 1 2 5 2 3 2 1 2 3 − = + + +"+ ，则 2 1 2 2 1 2 5 2 3 2 1 − − = + + + n n n x " ， 两式相减，得到 n n n n x 2 2 1 ) 2 1 2 1 2 1 1 2( 2 1 − = + + + + − " − . 11．提示： n n n n n a a a a a a a a 2 1 3 1 2 1 − = ⋅ ⋅ ⋅"⋅ . 12．（1）提示：设 a1 + a2 +"+ an = Sn ，则 ∑ ，再利用例 2.2.6 的结论； = − = = − n k n k k nSn Sk ka 1 1 1 ∑ （2）提示：利用定理 1.2.2 与（1）. 13．提示：令 an = a +α n bn = b + β n , . 1
14.提示:注意有 lim 1ta2+…+a 第3节 2.(1)提示:设 lim a=+∞,则vG>0,3N1>0,Wn>N1:an>3G。对固定的N1, 彐N>2N1,Vn>N a1+a2+…+aN∠ G于是 a+a2+…+0≥M+1aM+2+…+a +a2+…+aM、3GG G 7.提示:记k=,则an+lan1+…+x"a k"a,+kan-I a0,再利用Solz 8.提示:作代换ak=Ak-Ak-1,得到 Pla+ P2a2++P,an- A-A(P2-P1)+ A2(P3-P2)+.+ An-1(Pn-Pm-1) P P 再对后一分式应用 Stolz定理 第4节 (1)-:(2)e:(3) (4)1:(5)e:提示:当n≥2时,有 -1, 单调减少,imxn=-1 →0 (4)依次证明xn0,当n≥2时xn≥√2及
14．提示：注意有 a n a a an n = + + + − →∞ 1 2 1 lim " . 第 3 节 2．（1）提示：设 = +∞ ，则 →∞ n n lim a ∀G > 0,∃N1 > 0,∀n > N1 : an > 3G 。对固定的 N1 ， 2 , : ∃N > N1 ∀n > N 2 1 1 2 G n a a aN − = + + + − 2 2 1 2 " 1 3 。 7．提示：记 ，则 −1 k = λ n n n n n n n n k k a k a a a a a 1 0 1 1 0 + + + + + + = − − − " λ " λ ，再利用 Stolz 定理. 8．提示：作代换 ak = Ak − Ak−1，得到 = + + + n n n p p a p a " p a 1 1 2 2 n n n n n p A p p A p p A p p A ( ) ( ) ( ) 1 2 − 1 + 2 3 − 2 + + −1 − −1 − " ， 再对后一分式应用 Stolz 定理. 第 4 节 1．（1） e 1 ；（2）e ；（3） e ；（4）1；（5）e ；提示：当 n ≥ 2时，有 n n n n n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ −1，{xn }单调减少， lim = −1 →∞ n n x ； （4）依次证明 xn 0 ，当 n ≥ 2 时 xn ≥ 2 及 2
≤0,即{n}单调减少有下界:对x 依次证明对任意n有 xn≤-2及xm1-xn=-m+-20,即{xn}单调增加有上界 3,提示:先求数列n-xn的通项公式m3 a+26 (b-a),再利用 6.(1)提示:a≤x Vn+I n,利用不等式xnx| slrm-x1+1xm1-xm21+…+ 15.提示:利用 Cauchy收敛原理 6.提示:采用反证法。不妨设{xn}是单调增加的有界数列。假设它不收敛,则 36>0,VN>0,3m,n>N:m-x|>6 HXM=1,m,>n,>N:m, -xm>E0, 取N2=m1,m2>n2>N2 N 于是xm-xm>k→+(k→∞),与数列{n}有界矛盾
0 1 2 +1 − = − + ≤ n n n n x x x x ，即 {xn }单调减少有下界；对 2 x1 = − ，依次证明对任意 n 有 xn ≤ − 2 及 0 1 2 +1 − = − + ≥ n n n n x x x x ，即{xn }单调增加有上界. 5． 3 a + 2b ; 提示：先求数列{xn+1 − xn }的通项公式 ( ) 2 1 1 1 x x b a n n n ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − + ，再利用 ( ) ( ) ( ) n = 1 + 2 − 1 + 3 − 2 + + n − n−1 x x x x x x " x x . 6．（1）提示： a ≤ xn n ，利用不等式 m n m m m m n n x − x ≤ x − x + x − x + + x − x −1 −1 −2 " +1 . 15．提示：利用 Cauchy 收敛原理. 16．提示：采用反证法。不妨设{xn }是单调增加的有界数列。假设它不收敛，则 ∃ε 0 > 0，∀N > 0 ，∃m,n > N ： 0 − > ε m n x x . 取 1, : ; 1 1 1 1 0 1 1 = ∃ > > − > ε m n N m n N x x "" , : ; 2 1 2 2 2 2 2 0 = ∃ > > − > ε m n 取N m m n N x x . , : ; 1 0 "" = ∃ > > − > ε − k k k k k k k m n 取N m m n N x x 于是 ( ) 0 1 xm − xn > k → +∞ k → ∞ k ε ，与数列{xn }有界矛盾. 3
