第一讲微积分思想的产生与发展历史 在微积分产生之前,数学发展处于初等数学时期。人类只能研究 常量,而对于变量则束手无策。在几何上只能讨论三角形和圆,而对 于一般曲线则无能为力。到了17世纪中叶,由于科学技术发展的需 要,人们开始关注变量与一般曲线的研究。在力学上,人们关心如何 根据路程函数去确定质点的瞬时速度,或者根据瞬时速度去求质点走 过的路程。在几何上,人们希望找到求一般曲线的切线的方法,并计 算一般曲线所围图形的面积。令人惊讶的是,不同领域的问题却归结 为相同模式的数学问题:求因变量在某一时刻对自变量的变化率;因 变量在一定时间过程中所积累的变化。前者导致了微分的概念;后者 导致了积分的概念。两者都包含了极限与无穷小的思想。 1.极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之 公元前4世纪,中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论 述:“至大无外,谓之大一;至小无内,谓之小一。”其中大一和小一 就是无穷大和无穷小的概念。而“一尺之棰,日取其半,万世不竭。” 更是道出了无限分割的极限思想 公元3世纪,中国古代数学家刘徽首创的割圆术,即用无穷小分 割求面积的方法,就是古代极限思想的深刻表现。他用圆内接正多边 形的边长来逼近圆周,得到了 3.141024<丌<3.142704, 并深刻地指出:“割之弥细,所失弥少;割之又割,以至于不可割, 则与圆周合体而无所失矣
第一讲 微积分思想的产生与发展历史 在微积分产生之前，数学发展处于初等数学时期。人类只能研究 常量，而对于变量则束手无策。在几何上只能讨论三角形和圆，而对 于一般曲线则无能为力。到了 17 世纪中叶，由于科学技术发展的需 要，人们开始关注变量与一般曲线的研究。在力学上，人们关心如何 根据路程函数去确定质点的瞬时速度，或者根据瞬时速度去求质点走 过的路程。在几何上，人们希望找到求一般曲线的切线的方法，并计 算一般曲线所围图形的面积。令人惊讶的是，不同领域的问题却归结 为相同模式的数学问题：求因变量在某一时刻对自变量的变化率；因 变量在一定时间过程中所积累的变化。前者导致了微分的概念；后者 导致了积分的概念。两者都包含了极限与无穷小的思想。 1．极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之 公元前 4 世纪，中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论 述：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”其中大一和小一 就是无穷大和无穷小的概念。而“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 更是道出了无限分割的极限思想。 公元 3 世纪，中国古代数学家刘徽首创的割圆术，即用无穷小分 割求面积的方法，就是古代极限思想的深刻表现。他用圆内接正多边 形的边长来逼近圆周，得到了 141024.3 < π < 142704.3 ， 并深刻地指出：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。” 1
我国南北朝时期的数学家祖砸(中国古代数学家祖冲之之子)发 展了刘徽的思想,在求出球的体积的同时,得到了一个重要的结论(后 人称之为“祖晅原理”):“夫叠基成立积,缘幂势既同,则积不容异。” 用现在的话来讲,一个几何体(立积”)是由一系列很薄的小片(“基”) 叠成的;若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同,那它们 的体积(“积”)必然相等 利用祖原理求球体的体积:取一个几何体为上半球体 x2+y2+z2≤R2,z≥0};将圆柱体{x2+y2≤R2,0≤z≤R}减去(即挖去) 倒立的圆锥{x2+y2≤2,0≤z≤R}视为另一个几何体。则对任意的 0≤≤R,过(,0,x)点作水平截面,得到的截口面积相等,都为 z(R2-=),由此得到球体的体积为F=4R 2.十七世纪前微分学与积分学的发展历史 公元前5世纪,古希腊数学家安提丰( Antiphon)创立了“穷竭 法”,认为圆内接正多边形当边数不断增加,最后多边形就与圆相合。 公元前2世纪,古希腊数学家阿基米德( Archimedes)对“穷竭法” 作出了巧妙的应用,他在《论抛物线求积法》中用“穷竭法”求抛物 弓形的面积,他构造一系列三角形使它们的面积和不断接近抛物弓形 的面积,这就是极限理论的最初形式。在《论球和柱体》一书中,阿 基米德首先得到了球和球冠的表面积、球和球缺的体积的正确公式。 阿基米德的著作代表了古希腊数学的顶峰。 1615年,德国数学家开普勒(J. Kepler,1571-1630)用无穷小微 元来确定曲边形的面积与体积。他把圆看作边数无限多的多边形,圆
我国南北朝时期的数学家祖暅（中国古代数学家祖冲之之子）发 展了刘徽的思想，在求出球的体积的同时，得到了一个重要的结论（后 人称之为“祖暅原理”)：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异。” 用现在的话来讲，一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片(“基”) 叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同，那它们 的体积(“积”)必然相等。 利用祖暅原理求球体的体积：取一个几何体为上半球体 { }；将圆柱体 { 2 22 2 x y z Rz ++≤ ≥ , 0 2 2 2 x + y R ≤ ，0 ≤ z ≤ R }减去（即挖去） 倒立的圆锥{ 222 x + ≤ y z ， 0 ≤ z ≤ R }视为另一个几何体。则对任意的 0 ≤ ≤z R ，过 (0,0, )z 点作水平截面，得到的截口面积相等， 都为 π (R z 2 2 − ) ，由此得到球体的体积为 4 3 3 V R = π 。 2．十七世纪前微分学与积分学的发展历史 公元前 5 世纪，古希腊数学家安提丰（Antiphon）创立了“穷竭 法”，认为圆内接正多边形当边数不断增加，最后多边形就与圆相合。 公元前 2 世纪，古希腊数学家阿基米德（Archimedes）对“穷竭法” 作出了巧妙的应用，他在《论抛物线求积法》中用“穷竭法”求抛物 弓形的面积，他构造一系列三角形使它们的面积和不断接近抛物弓形 的面积，这就是极限理论的最初形式。在《论球和柱体》一书中，阿 基米德首先得到了球和球冠的表面积、球和球缺的体积的正确公式。 阿基米德的著作代表了古希腊数学的顶峰。 1615 年，德国数学家开普勒（J. Kepler, 1571-1630）用无穷小微 元来确定曲边形的面积与体积。他把圆看作边数无限多的多边形，圆 2
周上每一点看作是顶点在圆心高等于半径的极小等腰三角形的底,于 是圆面积就等于圆周长与半径乘积之半。他把球看作面数无限多的多 面体,球面上每一点看作是顶点在球心高等于半径的极小圆锥的底, 于是球体积就等于球表面积与半径乘积之三分之一。他还用无穷小方 法精确地计算出酒桶的体积,并写了《测量酒桶体积的新科学》,书 中包含了87种不同的旋转体的体积计算。 开普勒最重要的贡献是提出了行星运行三大定律:(1)行星在椭 圆轨道上绕太阳运动,太阳在此椭圆的一个焦点上。(2)从太阳到行 星的向径在相等的时间内扫过相等的面积。(3)行星绕太阳公转周期 的平方与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。可以说这是天文学上划 时代的贡献,也是数学史上重要的里程碑。牛顿就是应用开普勒的行 星运行三大定律,通过严格的数学推导,发现了万有引力定律。为了 确定第二定律, Kepler将椭圆中被扫过的那部分图形分割成许多小的 “扇形”,并近似地将它们看成一个个小的三角形,运用了一些出色 的技巧对它们的面积之和求极限,成功地计算出了所扫过的面积。在 其卓有成效的工作中,已包含了现代定积分思想的雏形。 积分学的历史可追溯至古希腊,它跨越了二千多年历史。而微分 学的历史相对要短得多,这是因为积分学研究的问题是静态的,而微 分学研究的问题是动态的,它涉及到运动。直到17世纪,微分学才 得到重大突破。微分学主要来源于两个问题的研究:曲线的切线问题 与函数的极大、极小问题。法国数学家费尔马( P Fermat,1744-1825) 在这两个问题上作出了主要贡献。费尔马在处理这两个问题时,都是
周上每一点看作是顶点在圆心高等于半径的极小等腰三角形的底，于 是圆面积就等于圆周长与半径乘积之半。他把球看作面数无限多的多 面体，球面上每一点看作是顶点在球心高等于半径的极小圆锥的底， 于是球体积就等于球表面积与半径乘积之三分之一。他还用无穷小方 法精确地计算出酒桶的体积，并写了《测量酒桶体积的新科学》，书 中包含了 87 种不同的旋转体的体积计算。 开普勒最重要的贡献是提出了行星运行三大定律：（1）行星在椭 圆轨道上绕太阳运动，太阳在此椭圆的一个焦点上。（2）从太阳到行 星的向径在相等的时间内扫过相等的面积。（3）行星绕太阳公转周期 的平方与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。可以说这是天文学上划 时代的贡献，也是数学史上重要的里程碑。牛顿就是应用开普勒的行 星运行三大定律，通过严格的数学推导，发现了万有引力定律。为了 确定第二定律，Kepler 将椭圆中被扫过的那部分图形分割成许多小的 “扇形”，并近似地将它们看成一个个小的三角形，运用了一些出色 的技巧对它们的面积之和求极限，成功地计算出了所扫过的面积。在 其卓有成效的工作中，已包含了现代定积分思想的雏形。 积分学的历史可追溯至古希腊，它跨越了二千多年历史。而微分 学的历史相对要短得多，这是因为积分学研究的问题是静态的，而微 分学研究的问题是动态的，它涉及到运动。直到 17 世纪，微分学才 得到重大突破。微分学主要来源于两个问题的研究：曲线的切线问题 与函数的极大、极小问题。法国数学家费尔马（P. Fermat, 1744-1825） 在这两个问题上作出了主要贡献。费尔马在处理这两个问题时，都是 3
先对自变量取增量,再让增量趋于零,这就是微分学的本质所在。费 尔马也在积分学方面做了许多工作,如求面积、体积、重心等问题。 但可惜的是他没有发现微分学与积分学这两类问题之间的基本联系。 另一位已经走到了微积分基本定理的门口的是英国数学家巴罗(I Barrow,1630-1677),他是牛顿的老师,是剑桥大学卢卡斯讲座教授, 后来他认为牛顿已经超过了他,就把这一讲座教授的位置让给了牛 顿。他在《光学和几何学讲义》一书中,已经把求曲线的切线与求曲 线下区域的面积问题联系了起来,也就是说,他把微分学和积分学的 两个基本问题联系了起来。但可惜的是巴罗没有从一般概念的意义下 进一步深入地研究它们 3.牛顿和莱布尼兹对微积分学科的功绩 微积分学科的建立,归功于两位伟大的科学先驱:牛顿和莱布尼 兹。关键在于他们认识到,过去一直分别研究的微分和积分这两个运 算,是彼此互逆的两个过程,它们是由牛顿一莱布尼兹公式联系起来 的。 1669年英国大数学家牛顿(I. Newton,1643-1727)提出微积分学 说存在正反两个方面的运算,例如面积计算和切线斜率计算就是互逆 的两种运算,即微分和积分互为逆运算,从而完成了微积分运算的决 定性步骤。但由于种种原因,他决定不向外界公开他的数学成果,他 的成果只是以手稿的形式在少数几个同事中传阅,而这一决定在以后 给他带来了大麻烦。直到1687年,牛顿才出版了他的著作《自然哲 学的数学原理》,在这个划时代的著作中,他陈述了他的伟大创造一
先对自变量取增量，再让增量趋于零，这就是微分学的本质所在。费 尔马也在积分学方面做了许多工作，如求面积、体积、重心等问题。 但可惜的是他没有发现微分学与积分学这两类问题之间的基本联系。 另一位已经走到了微积分基本定理的门口的是英国数学家巴罗（I. Barrow, 1630-1677），他是牛顿的老师，是剑桥大学卢卡斯讲座教授， 后来他认为牛顿已经超过了他，就把这一讲座教授的位置让给了牛 顿。他在《光学和几何学讲义》一书中，已经把求曲线的切线与求曲 线下区域的面积问题联系了起来，也就是说，他把微分学和积分学的 两个基本问题联系了起来。但可惜的是巴罗没有从一般概念的意义下 进一步深入地研究它们。 3．牛顿和莱布尼兹对微积分学科的功绩 微积分学科的建立，归功于两位伟大的科学先驱：牛顿和莱布尼 兹。关键在于他们认识到，过去一直分别研究的微分和积分这两个运 算，是彼此互逆的两个过程，它们是由牛顿—莱布尼兹公式联系起来 的。 1669 年英国大数学家牛顿（I. Newton, 1643-1727）提出微积分学 说存在正反两个方面的运算，例如面积计算和切线斜率计算就是互逆 的两种运算，即微分和积分互为逆运算，从而完成了微积分运算的决 定性步骤。但由于种种原因，他决定不向外界公开他的数学成果，他 的成果只是以手稿的形式在少数几个同事中传阅，而这一决定在以后 给他带来了大麻烦。直到 1687 年，牛顿才出版了他的著作《自然哲 学的数学原理》，在这个划时代的著作中，他陈述了他的伟大创造— 4
微积分,并应用微积分理论,从开普勒关于行星的三大定律导出了万 有引力定律。牛顿还将微积分广泛应用于声学、光学、流体运动等学 科,充分显示了微积分理论的巨大威力。 牛顿是人类历史上最伟大的数学家之一。英国著名诗人波普 (Pope)是这样描述牛顿的: 自然和自然的规律 沉浸在一片混沌之中, 上帝说,生出牛顿, 切都变得明朗。 牛顿本人却很谦虚:“我不知道世间把我看成什么人,但是对我 自己来说,就象一个海边玩耍的小孩,有时找到一块比较平滑的卵石 或格外漂亮的贝壳,感到高兴,而在我面前是未被发现的真理的大 海 德国数学家莱布尼兹(GW. Leibniz,1646-1716)也致力于研究切 线问题和面积问题,并探索两类问题之间的关系。他把有限量的运算 与无穷小量的运算进行类比,创立了无穷小量求商法和求积法,即微 分和积分运算。1684年,他发表了论文《求极大值和极小值以及切 线的新方法,对有理量和无理量都适用的,一种值得注意的演算》, 两年后他又发表了他在积分学上的早期结果。 牛顿和莱布尼兹对微积分的研究都达到了同一目标,但两人的方 法不同。牛顿发现最终结果比莱布尼兹早一些,但莱布尼兹发表自己 的结论比牛顿早一些。关于谁是微积分的创始者,英国数学家与欧洲
微积分，并应用微积分理论，从开普勒关于行星的三大定律导出了万 有引力定律。牛顿还将微积分广泛应用于声学、光学、流体运动等学 科，充分显示了微积分理论的巨大威力。 牛顿是人类历史上最伟大的数学家之一。英国著名诗人波普 （Pope）是这样描述牛顿的： 自然和自然的规律 沉浸在一片混沌之中， 上帝说，生出牛顿， 一切都变得明朗。 牛顿本人却很谦虚：“我不知道世间把我看成什么人，但是对我 自己来说，就象一个海边玩耍的小孩，有时找到一块比较平滑的卵石 或格外漂亮的贝壳，感到高兴，而在我面前是未被发现的真理的大 海。” 德国数学家莱布尼兹(G. W. Leibniz, 1646-1716) 也致力于研究切 线问题和面积问题，并探索两类问题之间的关系。他把有限量的运算 与无穷小量的运算进行类比，创立了无穷小量求商法和求积法，即微 分和积分运算。1684 年，他发表了论文《求极大值和极小值以及切 线的新方法，对有理量和无理量都适用的，一种值得注意的演算》， 两年后他又发表了他在积分学上的早期结果。 牛顿和莱布尼兹对微积分的研究都达到了同一目标，但两人的方 法不同。牛顿发现最终结果比莱布尼兹早一些，但莱布尼兹发表自己 的结论比牛顿早一些。关于谁是微积分的创始者，英国数学家与欧洲 5
大陆的数学家经历了一场旷日持久的论战,这场论战持续了100多 年。 正是由于牛顿和莱布尼兹的功绩,微积分成为了一门独立的学 科,求微分与求积分的问题,不再是孤立地进行处理了,而是有了统 一的处理方法。虽然关于谁是微积分的创始者,英国数学家与欧洲大 陆的数学家经历了100多年的论战,但公正的历史评价是不应该把发 明微积分这一伟大的成就完全归功于一两个人的偶然的和不可思议 的灵感,公正地说,微积分的产生历史,说明了这样一个真理:人类 科技发展史上的任何一个进步,都是站在巨人的肩膀上取得的。牛顿 说他就是站在巨人的肩膀上,在当时这个巨人已经形成,这个巨人包 括了一大批微积分的先驱们,如:阿基米德、开普勒、费尔马、巴罗 等数学家。 微积分的诞生具有划时代的意义,是数学史上的分水岭与转折 点,是人类探索大自然的艰苦努力的一项伟大的成功,是人类思维的 最伟大的成就之一。这个伟大发明所产生的新数学与旧数学有本质的 区别:旧数学是关于常量的数学,新数学是关于变量的数学;旧数学 是静态的,新数学是动态的;旧数学只涉及固定的和有限的量,新数 学则包含了运动、变化和无限。 关于微积分的地位,恩格斯这样评论:“在一切理论成就中,未 必再有什么象17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最 高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功 绩,那正是在这里
大陆的数学家经历了一场旷日持久的论战，这场论战持续了 100 多 年。 正是由于牛顿和莱布尼兹的功绩，微积分成为了一门独立的学 科，求微分与求积分的问题，不再是孤立地进行处理了，而是有了统 一的处理方法。虽然关于谁是微积分的创始者，英国数学家与欧洲大 陆的数学家经历了 100 多年的论战，但公正的历史评价是不应该把发 明微积分这一伟大的成就完全归功于一两个人的偶然的和不可思议 的灵感，公正地说，微积分的产生历史，说明了这样一个真理：人类 科技发展史上的任何一个进步，都是站在巨人的肩膀上取得的。牛顿 说他就是站在巨人的肩膀上，在当时这个巨人已经形成，这个巨人包 括了一大批微积分的先驱们，如：阿基米德、开普勒、费尔马、巴罗 等数学家。 微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭与转折 点，是人类探索大自然的艰苦努力的一项伟大的成功，是人类思维的 最伟大的成就之一。这个伟大发明所产生的新数学与旧数学有本质的 区别：旧数学是关于常量的数学，新数学是关于变量的数学；旧数学 是静态的，新数学是动态的；旧数学只涉及固定的和有限的量，新数 学则包含了运动、变化和无限。 关于微积分的地位，恩格斯这样评论：“在一切理论成就中，未 必再有什么象 17 世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最 高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功 绩，那正是在这里。” 6
微积分诞生后,数学引来了一次空前的繁荣时期。8世纪被称为 数学史上的英雄世纪。数学家们把微积分应用于天文学、力学、光学、 热学等各个领域,获得了丰硕的成果。在数学本身,他们把微积分作 为工具,又发展出微分方程、微分几何、无穷级数等理论分支,大大 扩展了数学研究的范围 微积分严格理论体系的完善 微积分建立之后,出现了两个极不协调的情景;一方面是微积分 广泛应用于各个领域,取得了辉煌的成就;另一方面是人们对于微积 分的基本概念的合理性提出了强烈的质疑。19世纪以前,无穷小量 概念始终缺少一个严格的数学定义,因此导致了相当严重的混乱 1734年英国哲学家红衣主教贝克菜( G. Berkeley,1685-1753)对微积 分基础的可靠性提出强烈质疑,从而引发了第二次数学危机。他认为 微积分的发展包含了偷换假设的逻辑错误。例如对y=x3求导数(当 时称为求流数),要先假设自变量有一个无穷小增量“0”,它不能为 零,但在计算后半部,又要把这增量取为零: 0 所以他说:无论怎样看,牛顿的流数计算是不合逻辑的。 为了克服微积分运算在逻辑上的矛盾,为微积分学科建立严格的 数学基础,数学家们又经历了长期而艰苦的努力。1750年法国数学 家达朗贝尔(J.R.d' Alembert,1717-1783)用极限方法取代无穷小量 方法;后来法国数学家柯西(L. Cauchy,1780-1857)在达朗贝尔通俗 的极限基础上,从变量和函数角度出发给出极限的定义,从而把微积
微积分诞生后，数学引来了一次空前的繁荣时期。18 世纪被称为 数学史上的英雄世纪。数学家们把微积分应用于天文学、力学、光学、 热学等各个领域，获得了丰硕的成果。在数学本身，他们把微积分作 为工具，又发展出微分方程、微分几何、无穷级数等理论分支，大大 扩展了数学研究的范围。 4．微积分严格理论体系的完善 微积分建立之后，出现了两个极不协调的情景；一方面是微积分 广泛应用于各个领域，取得了辉煌的成就；另一方面是人们对于微积 分的基本概念的合理性提出了强烈的质疑。19 世纪以前，无穷小量 概念始终缺少一个严格的数学定义，因此导致了相当严重的混乱。 1734 年英国哲学家红衣主教贝克莱（G. Berkeley, 1685-1753）对微积 分基础的可靠性提出强烈质疑，从而引发了第二次数学危机。他认为 微积分的发展包含了偷换假设的逻辑错误。例如对 求导数（当 时称为求流数），要先假设自变量有一个无穷小增量“ ”，它不能为 零，但在计算后半部，又要把这增量取为零： 3 = xy 0 2 22 33 30033 0 )0( xx x xx =+⋅+= −+ 。 所以他说：无论怎样看，牛顿的流数计算是不合逻辑的。 为了克服微积分运算在逻辑上的矛盾，为微积分学科建立严格的 数学基础，数学家们又经历了长期而艰苦的努力。1750 年法国数学 家达朗贝尔（J. R. d’Alembert, 1717-1783）用极限方法取代无穷小量 方法；后来法国数学家柯西（L. Cauchy, 1780-1857)在达朗贝尔通俗 的极限基础上，从变量和函数角度出发给出极限的定义，从而把微积 7
分的基础严格地奠定在极限概念之上。最后德国数学家魏尔斯特拉斯 (K. Weierstrass,1815-1897)用静态的E-δ语言来刻画动态的极限与连 续概念,使极限的定义达到了最清晰最严密的程度,直到如今人们仍 然在使用他的定义。 由于严格的极限理论的建立,而无穷小量可用极限的语言清楚地 加以描述,这才解决了有关的逻辑困难。而且由于E-δ语言的建立, 又使得微积分的发展如虎添翼。 极限概念严格化以后,接下来的事情就是要建立实数理论,因为 极限概念需要以实数理论为前提。由于实数具有连续性,所以才能以 实数系作为平台,在这个平台上展开微积分的理论。这方面的工作是 由德国数学家康托尔( G. Cantor,1845-1918)、戴特金(R. Dedekind, 1831-916)等一批数学家完成的。 从以上介绍,可以知道微积分发展的历史轨迹是 积分学—微分学一微积分学一极限理论一实数理论 但从数学分析课程来看,它的理论体系应该是: 实数理论一极限理论一微分学一积分学一微积分学
分的基础严格地奠定在极限概念之上。最后德国数学家魏尔斯特拉斯 (K. Weierstrass, 1815-1897)用静态的ε −δ 语言来刻画动态的极限与连 续概念，使极限的定义达到了最清晰最严密的程度，直到如今人们仍 然在使用他的定义。 由于严格的极限理论的建立，而无穷小量可用极限的语言清楚地 加以描述，这才解决了有关的逻辑困难。而且由于ε −δ 语言的建立， 又使得微积分的发展如虎添翼。 极限概念严格化以后，接下来的事情就是要建立实数理论，因为 极限概念需要以实数理论为前提。由于实数具有连续性，所以才能以 实数系作为平台，在这个平台上展开微积分的理论。这方面的工作是 由德国数学家康托尔(G. Cantor, 1845-1918)、戴特金(R. Dedekind, 1831-1916)等一批数学家完成的。 从以上介绍，可以知道微积分发展的历史轨迹是： 积分学—微分学—微积分学—极限理论—实数理论 但从数学分析课程来看，它的理论体系应该是： 实数理论—极限理论—微分学—积分学—微积分学 8