习题4. 半径为1厘米的铁球表面要镀一层厚度为001厘米的铜,试用求微分的方法 算出每只球需要用铜多少克?(铜的密度为89克/立方厘米。) 用定义证明,函数y=√x2在它的整个定义域中,除了x=0这一点之外都 是可微的。 习题4.2 1.设∫'(x)存在,求下列各式的值: f(x0-△x)-f(x) (2)lim f(x)-f(x0) (3)li f(x0+h)-f(x0-h) h 2.(1)用定义求抛物线y=2x2+3x-1的导函数 (2)求该抛物线上过点(-1,-2)处的切线方程 (3)求该抛物线上过点(-2,1)处的法线方程 (4)问该抛物线上是否有点(a,b),过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行? 3.设∫(x)为(-∞,+∞)上的可导函数,且在x=0的某个邻域上成立 f(+sin x)-3f(1-sin x)=&x+a(x) 其中a(x)是当x→>0时比x高阶的无穷小。求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程。 4.证明:从椭圆的一个焦点发出的任一束光线,经椭圆反射后,反射光必定经过它的另一 个焦点(图425) 5.证明:双曲线x=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积恒为2a2。 6.求函数在不可导点处的左导数和右导数。 (1)y=sin x: √1 - cOS x (4)y=|n(x+1) 7.讨论下列函数在x=0处的可导性: 0 (1)y= x|sin(a>0)x≠0, x=0. ax+b,x≤0
习 题 4.1 ⒈ 半径为 1 厘米的铁球表面要镀一层厚度为 0.01 厘米的铜，试用求微分的方法 算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为 8.9 克/立方厘米。） ⒉ 用定义证明，函数 y = x 3 2 在它的整个定义域中，除了 x = 0 这一点之外都 是可微的。 习 题 4.2 1． 设 f x ′( 0 ) 存在，求下列各式的值： ⑴ lim ( ) ( ∆ ∆ x ∆ f x x f x ) → x − − 0 0 0 ； ⑵ lim ( ) ( ) x x f x f x → x x − 0 − 0 0 ； ⑶ lim ( ) ( ) h f x h f x h → h + − − 0 0 0 。 2． ⑴ 用定义求抛物线 y x = + 2 3x − 2 1的导函数； ⑵ 求该抛物线上过点( , − −1 2) 处的切线方程； ⑶ 求该抛物线上过点(−2 1, ) 处的法线方程； ⑷ 问该抛物线上是否有点( , a b) ，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？ 3．设 f (x) 为(−∞,+∞) 上的可导函数，且在 x = 0的某个邻域上成立 f (1+ sin x) − 3 f (1− sin x) = 8x +α(x) ， 其中α(x) 是当 x → 0时比 x 高阶的无穷小。求曲线 y = f (x)在(1, f (1))处的切线方程。 4． 证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反射光必定经过它的另一 个焦点（图 4.2.5）。 5． 证明：双曲线 xy = a2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积恒为2a2 。 6． 求函数在不可导点处的左导数和右导数。 ⑴ y = |sin x |； ⑵ y x = −1 cos ； ⑶ y x = − e | | ； ⑷ y = |ln(x + 1)| . 7．讨论下列函数在 x = 0 处的可导性： ⑴ ⎩ ⎨ ⎧ = > ≠ = + 0, 0; | | sin ,( 0) 0, 1 1 x x a x y x a ⑵ y x x ax b x = > + ≤ ⎧ ⎨ ⎩ 2 0 0 , , , ; 1
0 0 0. 0,x=0 8.设∫(x)在x=0处可导,在什么情况下,|f(x)在x=0处也可导? 9.设∫(x)在[a,b]上连续,f(a)=f(b)=0,且f(a)·∫(b)>0,证明f(x)在(a,b) 至少存在一个零点。 10.设f(x)在有限区间(a,b)内可导, (1)若Iimf(x)=∞,那么能否断定也有limf'(x)=∞? (2)若limf(x)=∞,那么能否断定也有limf(x)=∞? 1l.设函数∫(x)满足f(0)=0。证明∫(x)在x=0处可导的充分必要条件是:存在在x=0 处连续的函数g(x),使得f(x)=xg(x),且此时成立∫(O)=g(0)。 用定义证明(cosx)=-sinx。 2.证明 (1)(csc x)=-cot x cscx (2)(cot x)=-cSc x: (3)(arccos x) (4)(arc cot x)= (5)(ch-1xyJx2-I, (6)(thx)=(cthx)’= 3.求下列函数的导函数: ()f(x)=3sin x+ Inx (2) f(x)=xcos x+x+3 (3)f(x)=(x2+7x-5)sinx: (4)f(x)=x(3 tan x+2sec x) sinx+x-2 (5)f(x)=e sin x-4 cos x+ 2 In (7)f(x)= (8)f(x)= x+ cOs x
⑶ y x x ax x x = > ≤ ⎧ ⎨ ⎩ e , , , ; 0 0 2 ⑷ y x x a x = ≠ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ e , , . 2 0 0 0 , 8． 设 f x( )在 x = 0 处可导，在什么情况下，| ( f x)| 在 x = 0 处也可导？ 9．设 f x( )在[ , a b]上连续， f a( ) = f b( ) = 0，且 ′( )⋅ ′( ) > 0 + − f a f b ，证明 在( , 至少存在一个零点。 f (x) a b) 10．设 f x( )在有限区间( , a b) 内可导， ⑴ 若 lim ( ) ，那么能否断定也有 x a f x → + = ∞ 0 lim ( ) x a f x → + ′ = ∞ 0 ？ ⑵ 若 lim ( ) ，那么能否断定也有 x a f x → + ′ = ∞ 0 lim ( ) x a f x → + = ∞ 0 ？ 11．设函数 f (x) 满足 f (0) = 0 。证明 f (x) 在 x = 0处可导的充分必要条件是：存在在 处连续的函数 ，使得 x = 0 g(x) f (x) = xg(x) ，且此时成立 f ′(0) = g(0) 。 习 题 4.3 ⒈ 用定义证明(cos x x )′ = − sin 。 2. 证明： ⑴ (csc x)′ = −cot x csc x ； ⑵ x x 2 (cot )′ = −csc ； ⑶ (arccos x) x ′ = − − 1 1 2 ； ⑷ 2 1 1 (arc cot ) x x + ′ = − ； ⑸ (ch ) − ′ = − 1 2 1 1 x x ； ⑹ (th ) (cth ) − − ′ = ′ = − 1 1 2 1 1 x x x 3. 求下列函数的导函数： ⑴ f x( ) = + 3sin x ln x − x ； ⑵ f x( ) = x cos x + x +2 3 ； ⑶ f x( ) = + (x x − )sin x 2 7 5 ； ⑷ ( ) (3tan 2sec ) 2 f x = x x + x ； ⑸ f x x x x x ( ) = − e sin 4 cos + 3 ； ⑹ f x x x x x ( ) sin = 2 2 + − 3 2 ； ⑺ f x x x ( ) cos = + 1 ； ⑻ f x x x x ( ) sin ln = − x + 2 1 ； 2
x+cot x 0f(x) x sin x+ cos x In x sin x aD f(x)=(e+log, x)arcsinx; ( f(x)=(csc x-3ln x)x2shx: a3)f(x)=x-cscx 04f(x)= arc tan x 4.求曲线y=nx在(e,1)处的切线方程和法线方程。 5.当a取何值时,直线y=x能与曲线y=log。x相切,切点在哪里? 6.求曲线y=xn(n∈N+)上过点(1,1)的切线与x轴的交点的横坐标xn,并求出极限 lim y(x) 7.对于抛物线y=ax2+bx+c,设集合 S1={(x,y)过(x,y)可以作该抛物线的两条切线} S2={(x,y)过(x,y)只可以作该抛物线的一条切线}: S3={(x,y)过(x,y)不能作该抛物线的切线 请分别求出这三个集合中的元素所满足的条件。 8.(1)设∫(x)在x=x处可导,g(x)在x=x0处不可导证明c1f(x)+c2g(x)在x=x0处 也不可导 (2)设f(x)与g(x)在x=x0处都不可导,能否断定c1f(x)+c28(x)在x=x0处一定 可导或一定不可导? 9.在上题的条件下,讨论∫(x)g(x)在x=x0处的可导情况。 设f2(x)(j=12…,n)为同一区间上的可导函数,证明 fm(x f1(x)f2(x)…fn(x) fn(x)fi(x df2(x)f2(x)…fn(x) ∑|/(x)f2(x)…f(x) fn(x)fn2(x fran(x) fn(x)fn2(x) 习题4.4 1.求下列函数的导数:
⑼ x x x f x ln cot ( ) 3 + = ； ⑽ f x x x x x x x ( ) sin cos sin cos = + − ； ⑾ f x x x x ( ) = + (e log3 ) arcsin ； ⑿ f x( ) = (csc x − 3ln x)x sh x 2 ； ⒀ f x x x x x ( ) sec csc = + − ； ⒁ x x x f x arc tan sin ( ) + = ； 4. 求曲线 y x = ln 在(e,1)处的切线方程和法线方程。 5. 当a 取何值时，直线 y = x 能与曲线 y a = log x 相切，切点在哪里？ 6. 求曲线 y = x n （ n ∈ N+ ）上过点( , 1 1)的切线与 x 轴的交点的横坐标 x ，并求出极限 n lim ( ) 。 n n y x →∞ 7. 对于抛物线 y a = + x 2 bx + c ，设集合 S1 = {( , x y)|过( , x y)可以作该抛物线的两条切线}； S { 2 = (x y, )|过(x y, )只可以作该抛物线的一条切线}； S3 = {( , x y)|过( , x y)不能作该抛物线的切线}， 请分别求出这三个集合中的元素所满足的条件。 8. ⑴ 设 f x( )在 x = x0 处可导，g x( ) 在 x = x0 处不可导,证明c f x c g x 1 2 ( ) + ( ) 在 处 也不可导。 x = x0 ⑵ 设 f x( ) 与 g x( ) 在 x = x0 处都不可导, 能否断定 c f x c g x 1 2 ( ) + ( ) 在 处一定 可导或一定不可导？ x = x0 9. 在上题的条件下，讨论 f x( )g(x) 在 x = x0 处的可导情况。 10．设 fij (x) （i, j = 1,2,", n ）为同一区间上的可导函数，证明 ∑= = ′ ′ ′ n k n n nn k k kn n n n nn n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x dx d 1 1 2 1 2 11 12 1 1 2 21 22 2 11 12 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) " # # # " # # # " " # # # " " 。 习 题 4.4 ⒈ 求下列函数的导数： 3
nx (3)y= (5)y=sin x3 y=cos vx: +1-ln(x+√x+1) rcsin(e-x) 0y= x-t sin x )2 1+In 1+csc x2 √3x3 y=x 2.求下列函数的导数 (1)y=Inin x: 2)y=In(csc x-cot x): (3)y=l xva'-x+a arcsin (4)y=ln(x+√x2+a2); 3.设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2) Inx (4) f(x) arc tan f(x) (5) f(f(e); in(f(sin x)) f(x) f((x)
⑴ y x = − ( ) 2 1 x + 2 2 ； ⑵ y x x = e sin 2 3 ； ⑶ y x = + 1 1 3 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x = sin 3； ⑹ y x = cos ； ⑺ y x = +1 − ln(x + x +1) ； ⑻ y x = − arcsin (e ) 2 ； ⑼ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 2 1 ln x y x ； ⑽ y x x = + 1 2 2 2 ( sin ) ； ⑾ y x x x = + − 1 1 2 2 ln ； ⑿ y x x = 1+ 2 csc ； ⒀ y x x = − + + 2 2 1 3 3 1 3 2 4 3 ； ⒁ y x = − e sin2 ； ⒂ y x a x x a x = − + − 2 2 2 2 . ⒉ 求下列函数的导数： ⑴ y x = ln sin ； ⑵ y = ln(csc x − cot x)； ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + a x y x a x a arcsin 2 1 2 2 2 ； ⑷ y x = + ln( x + a ) 2 2 ； ⑸ y = − x x a − a x + x − a 1 2 2 2 2 2 2 ( ln( ) . ⒊ 设 f x( )可导，求下列函数的导数： ⑴ f ( ) x 3 2 ； ⑵ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x f ln 1 ； ⑶ f x( ) ； ⑷ arc tan f (x) ； ⑸ f f ex ( ( )) 2 ； ⑹ sin ( f (sin x))； ⑺ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ( ) 1 f x f ； ⑻ 1 f f ( (x)) . 4
4.用对数求导法求下列函数的导数: (1)y=x 3) y=cosx: (4)y=in2(2x+1) (5)y=x (6)y=∏(x-x) 5.对下列隐函数求: (1)y=x+ arc tan y y+xe =l x-coSy=siny-x: ry-In(y+1= er+y-xy2=0 sin x+x In y=0: 6.设所给的函数可导,证明 (1)奇函数的导函数是偶函数;偶函数的导函数是奇函数 (2)周期函数的导函数仍是周期函数 7.求曲线xy+ny=1在M(1,1)点的切线和法线方程 8.对下列参数形式的函数求: y=br3 y=I (3)x=t sInt x=ae y=I cOSI y= be′ x=acos 1, X= y=asin I By=ch br t+1 (7)
⒋ 用对数求导法求下列函数的导数： ⑴ y x x = ； ⑵ y ( ) x x x 1 3 = + sin ； ⑶ y x x = cos ； ⑷ y x x = ln (2 + 1) ； ⑸ y x x x = − + 1 1 2 3 ； ⑹ y x i i n = − = ∏( ) 1 x ； ⑺ y x x = sin . ⒌ 对下列隐函数求 dy dx ： ⑴ y = x + arc tan y ； ⑵ y x y + e 1 = ； ⑶ x y − = cos sin y − x ； ⑷ xy − ln( y + 1) = 0； ⑸ e xy x y 2 2 0 + − = ； ⑹ tan(x + y) − xy = 0 ； ⑺ 2 0 y x sin + x ln y = ； ⑻ x y axy 3 3 + − 3 0 = . 6． 设所给的函数可导，证明： ⑴ 奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数； ⑵ 周期函数的导函数仍是周期函数。 7．求曲线 xy + ln y = 1在 M (1,1) 点的切线和法线方程。 8． 对下列参数形式的函数求 dy dx ： ⑴ ⎩ ⎨ ⎧ = = ; , 3 2 y bt x at ⑵ ⎩ ⎨ ⎧ = − = − ; 1 , 3 2 y t t x t ⑶ ⎩ ⎨ ⎧ = = cos ; sin , 2 2 y t t x t t ⑷ ⎩ ⎨ ⎧ = = − e ; e , t t y b x a ⑸ ⎩ ⎨ ⎧ = = sin ; cos , 3 3 y a t x a t ⑹ ⎩ ⎨ ⎧ = = ch ; sh , y bt x at ⑺ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = ; 1 , 1 t t y t t x ⑻ ⎩ ⎨ ⎧ = − = + 1 ; 1 , y t x t 5
x=e cos- I 00x=n(1+t2) =e sin t, y=t-arc tant 9.求曲线x、21+t2 上与I=1对应的点处的切线和法线方程 1+t 1+t 10.设方程 确定y为x的函数,其中t为参变量, Isin y-y 11.证明曲线 「x=a(cost+sint) ly=a(sint -t cost) 上任一点的法线到原点的距离等于a。 12.设函数=g(x)在x=x0处连续,y=f(u)在u==8(x0)处连续。请举例说明, 在以下情况中,复合函数y=f(8(x)在x=x0处并非一定不可导: (1)=g(x)在x0处可导,而y=f(u)在处不可导 (2)=g(x)在x0处不可导,而y=f(a)在处可导; (3)l=g(x)在x0处不可导,y=f(u)在处也不可导 13.设函数f(u),g(u)和h(a)可微,且h(u)>1,u=qp(x)也是可微函数,利用一阶微 分的形式不变性求下列复合函数的微分: (1)f(a)g(a)h(u); f(u)g(u) h(u) (3)h(a)(m); ()logh(ag(u): 5)arc tan h(u) f2()+h(l) 习题4.5 1.求下列函数的高阶导数:
⑼ ⎩ ⎨ ⎧ = = − − e sin ; e cos , 2 2 2 2 y t x t t t ⑽ ⎩ ⎨ ⎧ = − = + arc tan . ln(1 ), 2 y t t x t 9．求曲线 3 2 1 2 t t t x + + = ， 3 2 1 2 t t t y + − = 上与t = 1对应的点处的切线和法线方程。 10．设方程 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = = + + 0. 2 sin 3 2 1, 2 π t y y e t t x 确定 y 为 x 的函数，其中t 为参变量，求 dx t=0 dy 。 11. 证明曲线 ⎩ ⎨ ⎧ = − = + (sin cos ). (cos sin ), y a t t t x a t t t 上任一点的法线到原点的距离等于 a 。 12．设函数u g = (x)在 x = x0 处连续， y f = (u)在u u = = g x 0 ( ) 0 处连续。请举例说明， 在以下情况中，复合函数 y f = ( ( g x)) 在 x = x0 处并非一定不可导： ⑴ u g = (x)在 x0 处可导，而 y f = (u)在u0 处不可导； ⑵ u g = (x)在 x0 处不可导，而 y f = (u)在u0 处可导； ⑶ u g = (x)在 x0 处不可导， y f = (u)在u0 处也不可导。 13．设函数 f u( ) ， g u( ) 和 h u( ) 可微，且 h u( ) > 1，u = ϕ(x)也是可微函数，利用一阶微 分的形式不变性求下列复合函数的微分： ⑴ f u( )g( ) u h(u) ； ⑵ f u g u h u ( ) ( ) ( ) ； ⑶ h u g u ( ) ( )； ⑷ log ( ) h(u) g u ； ⑸ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ( ) ( ) arc tan h u f u ； ⑹ 1 2 2 f u( ) + h ( ) u . 习 题 4.5 ⒈ 求下列函数的高阶导数： 6
(1)y=x3+2x2-x+1,求y"; y=x 求y In x 求 1+x (5)y=sinx3,求y"、y (6)y=x3cos√x,求y"、y (7)y=x2ex,求y"; y= e- arcsin x,求 求y(80); 00y=(2x2+1)shx,求y 2.求下列函数的n阶导数yn (1)y=sinox (2)y=2 Inx y= 5x+6 (5)y=ecosβx (6)y=sin" x+cos+x 3.研究函数 x≥0, x< 的各阶导数。 4.设f(x)任意次可微,求 Lf(n x)": f(x)I' ff(e-r)l [f(arc tan x)] 5.利用 Leibniz公式计算yn(0): (1) y= arc tan x,(提示:y(1+x2)=1); y= arc sin x,(提示:xy’=(1-x2)y”) 6.对下列隐函数求 dy
⑴ y x = + x − x + 3 2 2 1, 求 y′′′ ； ⑵ y x = x 4 ln ，求 y′′ ； ⑶ y x x = + 2 1 ，求 y′′ ； ⑷ y x x = ln 2 ，求 y′′ ； ⑸ y x = sin 3，求 y′′ 、 y′′′ ； ⑹ y x = x 3 cos ，求 y′′ 、 y′′′ ； ⑺ y x x = 2 3 e ，求 y′′′； ⑻ y x x = − e arcsin 2 ，求 y′′ ； ⑼ y x = x 3 cos 2 ，求 y(80) ； ⑽ y x = (2 1 + )s x 2 h ，求 y . (99) ⒉ 求下列函数的 n 阶导数 y( n) ： ⑴ y x = sin2 ω ； ⑵ y x x = 2 ln ； ⑶ y x x = e ； ⑷ y x x = − + 1 5 6 2 ； ⑸ y e x x = α cosβ ； ⑹ y x = sin + cos x 4 4 . ⒊ 研究函数 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < ≥ = , 0 , 0, ( ) 2 2 x x x x f x 的各阶导数。 4．设 f x( )任意次可微，求 ⑴ [ ( f x )] 2 ′′′ ； ⑵ ″ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x f 1 ； ⑶ [ ( f ln x)]′′ ； ⑷ [ln f x( )]′′ ； ⑸ [ ( f e )] − x ′′′ ； ⑹ [ f (arc tan x)]′′ . 5．利用 Leibniz 公式计算 y( ) n (0) ： ⑴ y = arc tan x ，（提示： y x ′(1 1 + ) = 2 ）； ⑵ y = arc sin x ，（提示： xy′ = (1− x ) y′′ 2 ）. 6． 对下列隐函数求 d y dx 2 2 ： 7
tan(x+ y) (3) 2ysinx+xIn y=0 (4) x3+y3-3axy=0 7.对下列参数形式的函数求y dx (1) (2)」x= at cost y=br3, y= x=√1+1 (6)J=sin at y=√1-1 y=cos dx 8.利用反函数的求导公式 ,证明 3(y")2-yy dy (y”)3 dy (y’) 9.求下列函数的高阶微分 求d x+e-x,求d4y ec x 求d2 (5)y=xSin3x,求d3y (6)y=xx,求d2y; In x y y (8) cos2x,求dny 10.求d2(ex),其中 (1)x是自变量 x=(1)是中间变量 11.设∫(un),g(a)任意次可微,且g(a)>0 (1)当=tanx时,求d2f
⑴ e x y x y 2 2 0 + − = ; ⑵ tan(x + y) − xy = 0 ; ⑶ 2 0 y x sin + x ln y = ; ⑷ x y axy 3 3 + − 3 0 = . 7． 对下列参数形式的函数求 d y dx 2 2 ： ⑴ x at y bt = = ⎧ ⎨ ⎩ 2 3 , , ⑵ x at t y at t = = ⎧ ⎨ ⎩ cos , sin , ⑶ x t t y t t = − = ⎧ ⎨ ⎩ ( sin ) cos , 1 , ⑷ x a y b t t = = ⎧ ⎨ ⎩ − e , e , ⑸ x t y t = + = − ⎧ ⎨ ⎩ 1 1 , , ⑹ ⎩ ⎨ ⎧ = = cos . sin , y bt x at 8． 利用反函数的求导公式 dx dy y = ′ 1 ，证明 ⑴ d x dy y y 2 2 3 = − ′′ ( )′ ; ⑵ d x dy y y y y 3 3 2 5 3 = ′′ − ′ ′′′ ′ ( ) ( ) . 9． 求下列函数的高阶微分： ⑴ tan , 3 y = x − x 求 d 2 y ； ⑵ y x x = 4 − e ，求 d 4 y ； ⑶ y x x = 1+ 2 ，求 d 2 y ； ⑷ y x x = − sec 2 1 ，求 d 2 y ； ⑸ y x = sin 3x ，求 d 3 y ； ⑹ y x x = ，求 d 2 y ； ⑺ y x x = ln ，求 d n y ； ⑻ y x x n = cos 2 ，求 d y . n 10．求 d 2 (ex ) ，其中 ⑴ x 是自变量; ⑵ x = ϕ(t) 是中间变量. 11．设 f u( ) ， g u( ) 任意次可微，且 g u( ) > 0 。 ⑴ 当u = tan x 时，求 d 2 f ； 8
(2)当u=√v、v=lnx时,求d2g (3)d2Lf(u)g(); (4)dln g(uJ: (5)d2 g(u) 12利用数学归纳法证明:
⑵ 当u v = 、 v = ln x 时，求 d 2 g ； ⑶ d f u g u 2 [ ( ) ( )]； ⑷ d g u 2 [ln ( )]； ⑸ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ( ) ( ) 2 g u f u d ； 12.利用数学归纳法证明： x n n n n x e x x e 1 1 ( ) 1 1 ( 1) + − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 。 9
第四章 第1节 1.1.12克 第2节 1.(1)-f(x0);(2)f(x0);(3)2f(x) 3.提示:证明f(1)=0,f(1)=2 6.(1)不可导点:x=k(k∈Z),∫(k丌)=-1,f(kn)=1 (2)不可导点:x=2kx(k∈Z),∫(2kn)=-√2,f(2kx)=V2: (3)不可导点:x=0,厂(0)=1,f(0)=-1 (4)不可导点:x=0,广(0)=-1,f(0)=1 7.(1)可导;(2)a=b=0时可导,其他情况不可导:(3)不可导:(4)a<0时可导,a≥0 时不可导 10.(1)不一定;反例:f(x)=-+cos-,limf(x)=∞,f(x)=2(-1+sin-), limf(x)=∞不成立 (2)不一定:反例:f(x)=√x 第3节 3.(1)3cosx+ x2√ (2)coS x+2x (3)(2x+7)sin x+(x+7x-5)cosx (4) 2x(3tan x+ 2sec x)+x(3sec x+2 tan xsec x): 3 (5)e(sinx +cosx)+4sinx--x (6)(1+2cosx-2ln2)x3-(x+2sinx-2)x3;
第四章 第 1 节 1．1.12克. 第 2 节 1．（1） '( ) ；（2） ；（3） . 0 − f x '( ) 0 f x 2 '( ) 0 f x 3．提示：证明 f (1) = 0 ， f '(1) = 2 . 6．（1）不可导点： x = kπ (k ∈ Z) ， ′( ) = −1 f− kπ ， ′( ) =1 f+ kπ ； （2）不可导点： x = 2kπ (k ∈ Z) ， f− ′(2kπ ) = − 2 ， f+ ′(2kπ ) = 2 ； （3）不可导点： x = 0， ′(0) =1 −f ， ′(0) = −1 +f ； （4）不可导点： x = 0， ′(0) = −1 −f ， ′(0) =1 +f . 7．（1）可导；（2）a = b = 0时可导，其他情况不可导；（3）不可导；（4） 时可导， 时不可导. a < 0 a ≥ 0 10．（1）不一定；反例： x x f x 1 cos 1 ( ) = + ， = ∞ → + lim ( ) 0 f x x ， ) 1 ( 1 sin 1 '( ) 2 x x f x = − + ， = ∞不成立. → + lim '( ) 0 f x x （2）不一定；反例： f (x) = x . 第 3 节 3．（1） x x x 2 1 1 3cos + − ； （2）cos x − xsin x + 2x ； （3）(2x + 7)sin x + (x 2 + 7x − 5)cos x ； （4）2x(3tan x + 2sec x) + x 2 (3sec2 x + 2 tan xsec x) ； （5） 2 3 2 3 (sin cos ) 4sin − e x + x + x − x x ； （6） 3 5 3 2 ( 2sin 2 ) 3 2 (1 2cos 2 ln 2) − − + x − x − x + x − x x x ； 1