习题5 1.设∫(x0)>0,∫(x0) ∫(b)-f(a) 并说明它的几何意义 7.求极限limn2 arctan=- arctan 其中a≠0为常数 8.用 Lagrange公式证明不等式: (1)sin x-sin y1,x>y>0) In (b>a>0) b (4) 1+x(x>0) 9.设f(x)在[a,b]上定义,且对任何实数x1和x2,满足 f(x1)-f(x2)|(x1-x2)2, 证明f(x)在[a,b]上恒为常数。 10.证明恒等式 (1) arcsin x+ arccosx= 2’x∈0,1 (2)3 arccos x- arccos(3x-4x3)=兀,x∈ (3) 2 arc tan x+arcsin =丌,x∈l,+o 1l.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导。证明:若(a,b)中除至多有限个点 有∫(x)=0之外,都有∫(x)>0,则f(x)在[a,b]上严格单调增加;同时举例说 明,其逆命题不成立 12.证明不等式
习 题 5.1 ⒈ 设 f x + ′( ) 0 > 0， f x − ′( ) 0 | − − f f b f a b a η ， 并说明它的几何意义。 7．求极限 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − →∞ 1 lim arctan arctan 2 n a n a n n ，其中 a ≠ 0 为常数。 8． 用 Lagrange 公式证明不等式： ⑴ |sin x y − ≤ sin | | x − y | ; ⑵ ( ) ( ) ( 1, 0); 1 1 − > > − − ny x y x y nx x y n x y n n n n ⑶ ln ( > > 0) − 1+ x (x > 0). x 9． 设 f x( )在[ , a b ]上定义，且对任何实数 x1和 x2 ，满足 | ( f x ) f x( ) | (x x ) 1 2 1 2 − ≤ − 2 ， 证明 f x( )在[ , a b ]上恒为常数。 10． 证明恒等式 ⑴ arcsin x x + = arccos π 2 ， x ∈[ , 0 1]； ⑵ 3 3 4 3 arccos x x − arccos( − x ) = π ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈ − 2 1 , 2 1 x ； ⑶ = π + + 2 1 2 2arc tan arcsin x x x ， x ∈[ , 1 +∞). 11．设函数 在[ , 上连续，在( , 上可导。证明：若( , 中除至多有限个点 有 之外，都有 ，则 在[ , 上严格单调增加；同时举例说 明，其逆命题不成立。 f (x) a b ] a b) a b) f x ′( ) = 0 f x ′( ) > 0 f (x) a b ] 12． 证明不等式： 1
2 (1)-x0 ()tanx+2sinx>3x,x∈0 62^≤xP+(1-x)≤1,x∈[0.1l(p>1) tanx x 13.证明:在(O,1)上成立 1)(1+x)ln2(1+x) 14.对于每个正整数n(n≥2),证明方程 xn+x-1+…+x2+x=1 在(0,1)内必有唯一的实根x,并求极限lmxn。 15.设函数f(x)在[0,1上连续,在(O,1)上可导,且f(0)=f(1)=0, 1。证明: 1)存在5∈,1,使得f(5)=5; 2)对于任意实数,必存在∈(0,5),使得 f(m)-f(7)-7]=1。 (提示:考虑函数e[f(x)-x]。) 16.设函数∫(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且g(x)≠0(x∈(a,b)。 分别利用辅助函数 q(x)=(x)-r(a)-b)-/a g(b)-g(a) (x)-g(a) 和 g(x)f(x) v(x)=g(a) f(a) g(b)f(b) 证明 Cauchy中值定理,并说明o(x)和v(x)的几何意义 17.设∫(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,证明存在5∈(a,b),使得 2f(b)-f(a)]=(b2-a2)f(5) 18.设a,b>0,证明存在5∈(a,b),使得 19.设∫(x)在[a,b]上连续(ab>0),在(a,b)上可导,证明存在5∈(a,b),使得 b b-af(a) f(b) =f()-f(2) 20.设∫(x)在[+∞)上连续,在(1,+∞)上可导,已知函数ef(x)在(1,+∞)上有界, 证明函数ef(x)在(1+∞)上也有界 21.设∫(x)在(0,上连续,且存在有限极限lim√xf(x),证明f(x)在(0,a]上
⑴ 2 0 π 2 π x x x x , x ; ⑶ ln(1 ) , 0; 2 2 − x x ⑷ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + > ∈ 2 tan 2sin 3 , 0, π x x x x ; ⑸ 1 2 1 1 1 p 1 p p x x x p − ≤ + ( ) − ≤ , ∈[0, ], ( > 1)； ⑹ x x x x sin tan > ， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ 2 0, π x . 13．证明：在(0,1) 上成立 1） ； 2 2 (1+ x)ln (1+ x) 0 ，证明存在ξ ∈ (a,b) ，使得 ae be (1 )e (a b) b a − = − − ξ ξ 。 19． 设 f (x) 在[a,b]上连续（ ab > 0），在(a,b)上可导，证明存在ξ ∈ (a,b) ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ξf ξ f ξ f a f b a b b a = ′ − − 。 20．设 f (x) 在[1,+∞) 上连续，在(1,+∞) 上可导，已知函数 在 上有界， 证明函数 在 上也有界。 e f (x) x ′ − (1,+∞) e f (x) −x (1,+∞) 21． 设 f '(x) 在(0, a]上连续，且存在有限极限 lim ( ) 0 x f x x ′ → + ，证明 f (x) 在(0, a]上一 2
致连续。 (提示:考虑 f(x1)-f(x2) x1-√x2 2.设f(x)在x=0的某邻域内有n阶导数,且f(0)=f(0)=…=fm(0)=0,用 Cauchy中值定理证明 (00n>1; x≠ 24.( Jensen不等式)设∫(x)为[a,b上的连续下凸函数,证明对于任意x2∈[a,b]和 ∑λ=1,成立 x|≤∑4f(x 25.利用上题结论证明:对于正数a,b,c成立 (abc)3≤a°b°c 26.设f(x)在(a+)上可导,并且limf(x)=0,证明m2(x) x→+X 27.设∫(x)在[a,b]连续,在(a,b)二阶可导,证明存在n∈(a,b),成立 f(b)+/(a)-2+b 2)(7) (提示:在区间/a+b b b|上考虑函数g(x)=f(x)-f(x-=n2)。) 习题5.2 1.对于 lim f∫'(x) =+∞或 x→a+ 的情况证明 L'Hospital法则 2.求下列极限 (1)lim m sIn x In(sin x) n二m (4 lim (5)lim In(tan 7x) (6)lim tan 3x I-0+ In(tan 2x
致连续。 （提示： 考虑 1 2 1 2 ( ) ( ) x x f x f x − − 。） 22． 设 f (x)在 x = 0 的某邻域内有 阶导数，且 ，用 Cauchy 中值定理证明 n f f f n ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 = ′ = = = " − 0 (0 1) ! ( ) ( ) ( ) = > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≥ + x y n x y x y n n n ; ⑵ e e e , x y x y x y + > ≠ + 2 2 . 24． （Jensen 不等式）设 f (x) 为[a,b]上的连续下凸函数，证明对于任意 xi ∈[a,b]和 λi > 0 （i = 1,2,", n ）， 1，成立 1 ∑ = = n i λi ∑ ∑ = = ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n i i i n i i i f x f x 1 1 λ λ ( ) 。 25． 利用上题结论证明：对于正数 a,b, c 成立 a b c a b c abc ≤ a b c + + 3 ( ) 。 26． 设 f (x)在( , a + ∞) 上可导，并且 lim ( ) x f x →+∞ ′ = 0 ，证明 lim ( ) x f x →+∞ x = 0。 27．设 f (x) 在[a,b]连续，在(a,b)二阶可导，证明存在η ∈ (a,b) ，成立 "( ) 2 ) 2 ( ) ( ) 2 ( 2 f η a b b a f b f a f ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + + − 。 （提示：在区间 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + b a b , 2 上考虑函数 ) 2 ( ) ( ) ( b a g x f x f x − = − − 。） 习 题 5.2 ⒈ 对于 lim ( ) x a ( ) f x → + g x ′ ′ = +∞ 或 − ∞ 的情况证明 L'Hospital 法则。 ⒉ 求下列极限： ⑴ lim e e x sin x x → x − − 0 ; ⑵ x x x tan 5 sin 3 lim →π ; ⑶ lim ln(sin ) ( ) x x →π π − x 2 2 2 ; ⑷ lim x a m m n n x a → x a − − ; ⑸ ln(tan 2 ) ln(tan7 ) lim 0 x x x→ + ; ⑹ x x x tan tan 3 lim 2 π → ; 3
ln(1+x2) 外In x tanx-sin-x lim x cot 2x (4 lim x2 05lim(丌-x)tan x 3.说明不能用 L'Hospital法则求下列极限 x+ sinx (1)lim (2)x→#x-Slnx x→0Slnx Sln亏x 其中g(0)=0,g(0)=0,g"(0)=10。求∫(0) 5.讨论函数 (1+x)x < 在x=0处的连续性。 6.设函数f(x)满足f(0)=0,且f(0)存在,证明limx1(x)=1
⑺ x x x arccot ln(1 ) lim 1 + →+∞ ; ⑻ lim ln( ) x sec cos x → x x + 0 − 2 1 ; ⑼ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − → 1 1 ln 1 limx 1 x x ; ⑽ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x→ x x 1 sin 1 lim 0 ; ⑾ lim x ln x → x − 1 1 ; ⑿ 2 4 0 tan sin limx x x x → x − ; ⒀ x x x lim cot 2 →0 ; ⒁ lim e x x x →0 2 1 2 ; ⒂ 2 lim( )tan x x x − → π π ; ⒃ x x x⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →+∞ arc tan 2 lim π ; ⒄ x x x tan 0 1 lim ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → + ; ⒅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − → e 1 1 1 lim 0 x x x ; ⒆ x x x sin 0 1 lim ln ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → + ; ⒇ limx x x → − 1 1 1 . ⒊ 说明不能用 L'Hospital 法则求下列极限： ⑴ lim sin x sin x x →0 x 2 1 ; ⑵ lim sin x sin x x →+∞ x x + − ; ⑶ lim ( )sin x ln( sin ) x x → x + 1 + 2 2 1 1 π ; ⑷ lim sin e x x x → x + 1 2 π 2 . ⒋ 设 f x g x x x x ( ) ( ) , , , = ≠ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 0 0 0 其中 g( ) 0 0 = ， g′( ) 0 0 = ， g′′( ) 0 = 10。求 f ′(0)。 ⒌ 讨论函数 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = − e , 0, , 0, e (1 ) ( ) 2 1 1 1 x x x f x x x 在 x = 0 处的连续性。 6．设函数 f (x) 满足 f (0) = 0 ，且 f ′(0) 存在, 证明 lim 1。 ( ) 0 = → + f x x x 4
7.设函数f(x)在(a,+∞)上可导,且lm[f(x)+∫(x)=k,证明limf(x)=k。 习题5.3 1.由 Lagrange中值定理知 +x)=一 0<6(x)<1 证明:im6(x)=1/2 2.设f(x+h)=f(x)+f(x)h+∫"(xh2+…+m(x+h),(0<0<1), 且f((x)≠0,证明:lim6 3.设f(x)=Vx,取结点为x=1、1728、2744,求f(x)的二次插值多项式P2(x)及 其余项的表达式,并计算P2(2)(V2=12599210- 4.设f(x)=2x,取结点为x=-1、0、1,求f(x)的二次插值多项式P2(x)及其余项 的表达式,并计算P2|。请与上题的计算结果相比较并分析产生差异的原因。 5.设∫(x)在若干个测量点处的函数值如下: 14|17 f(x)65584436 试求f(28)的近似值。 6.若h是小量,问如何选取常数a、b、c,才能使得qf(x+h)+bf(x)+cf(x-h)与 f"(x)近似的阶最高? 7.将n+1个插值条件取为所有结点上的函数值和一阶导数值,即pn(x)满足 i=0,1,2,…, 的插值多项式称为 Hermite插值多项式,在微分方程数值求解等研究领域中具有重 要作用。它可以取为
7．设函数 f (x) 在(a,+∞) 上可导，且 f x f x k x + ′ = →+∞ lim[ ( ) ( )] ，证明 f x k 。 x = →+∞ lim ( ) 习 题 5.3 1．由 Lagrange 中值定理知 x x x x 1 ( ) ln(1 ) +θ + = ，0 < θ (x) < 1， 证明：lim ( ) 1/ 2 0 = → x x θ 。 2 ． 设 ( ) ! 1 "( ) 2! 1 ( ) ( ) '( ) 2 ( ) f x h n f x h f x f x h f x h n + = + + +"+ +θ ， (0 < θ < 1) ， 且 ( ) 0 ，证明： ( 1) ≠ + f x n 1 1 lim 0 + = h→ n θ 。 3．设 f x( ) = x 3 ，取结点为 ，求 的二次插值多项式 及 其余项的表达式，并计算 （ x = 1、 、 1.728 2.744 f x( ) p x 2 ( ) p2 (2) 2 12599210 3 = . "）。 4． 设 ，取结点为 ，求 的二次插值多项式 及其余项 的表达式，并计算 f x x ( ) = 2 x = −1 0 、 、1 f (x) p x 2 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 1 p2 。请与上题的计算结果相比较并分析产生差异的原因。 5． 设 f x( )在若干个测量点处的函数值如下： x 1.4 1.7 2.3 3.1 f x( ) 65 58 44 36 试求 f ( . 2 8)的近似值。 6． 若h 是小量，问如何选取常数a、 、b c ，才能使得af ( ) x + h + bf (x) + cf (x − h)与 f ′′(x)近似的阶最高？ 7． 将 n + 1个插值条件取为所有结点上的函数值和一阶导数值，即 pn (x) 满足 ， p x f x p x f x n i i n i i ( ) ( ) ( ) ( ) = ′ = ′ ⎧ ⎨ ⎩ i n = − 012 1 2 , , ,", 的插值多项式称为 Hermite 插值多项式，在微分方程数值求解等研究领域中具有重 要作用。它可以取为 5
p,(x)=∑/(x(x)+f(x)(x] 这里,{qAO(x),q(x)是满足条件 q0(x1)=6,A,q(x)=0,1,k=0,1,2,…,母 =0,q(x,)=δ k=0.1.2. 的基函数。试仿照 Lagrange插值多项式的情况构造{q(x),q(x)}x=。 习题5.4 1.求下列函数在x=0处的 Taylor公式(展开到指定的n次) (1)f(x)= 1-x 2)f(x)=cos(x+α),n=4 (3)f(x)=√2+sinx,n=3; (4)f(x)=sinr, n=4 (5)f(x)=tan x, n=5 (6)f(x)=In(cos x), n=6 sInx 0 x≠0 (7)f(x)=ex-1 n (8)f(x)= 0 )= 2.求下列函数在指定点处的 Taylor公式: (1)f(x)=-2x3+3x2-2,x0=1;(2)f(x)=lnx,xo=e (3)f(x)=lnx;x0= (4)f(x)=sinx,xn=丌 3.通过对展开式及其余项的分析,说明用 In 2=In ≈2x+—+—+… 比用 n2=m(1+x) 234
∑[ ] − = = + ′ 2 1 0 (0) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n k n k k k k p x f x q x f x q x , 这里，{ ( ), ( )} ( ) (1) q x q x k k n 0 0 1 2 = − k 是满足条件 q x q x k i i k k i ( ) ( ) ( ) , [ ( )] , 0 0 = δ ′ = 0 i k n , , = , , , − 0 1 2 1 " 2 和 q x q x k i k i i k (1) (1) ( ) = 0, [ ( )]′ = δ , i k n , , = , , , − 0 1 2 1 " 2 的基函数。试仿照 Lagrange 插值多项式的情况构造{ ( ), ( )} ( ) (1) q x q x k k n 0 0 1 2 = − k 。 习 题 5.4 ⒈ 求下列函数在 x = 0 处的 Taylor 公式（展开到指定的 n 次）： ⑴ f x x ( ) = − 1 13 , n = 4 ; ⑵ f x( ) = cos(x + α) , n = 4 ; ⑶ f x( ) = + 2 sin x , n = 3; ⑷ f x x ( ) esin = , n = 4 ; ⑸ f (x) = tan x , n = 5; ⑹ f x( ) = ln(cos x), n = 6 ; ⑺ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = − 1, 0 , 0 ( ) e 1 x x x f x x , n = 4 ; ⑻ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0 , 0 sin ln ( ) x x x x f x , n = 4 ⑼ f x( ) = −1 2x + x − 1 − 3x + x 3 2 3 , n = 3. ⒉ 求下列函数在指定点处的 Taylor 公式： ⑴ f x( ) = −2 3 x + − x 2 3 2 x , 0 = 1; ⑵ f x( ) = ln x , x ; 0 = e ⑶ f x( ) = ln x ; x0 = 1 ⑷ f x( ) = sin x , x0 6 = π ; ⑸ f x( ) = x , x . 0 = 2 ⒊ 通过对展开式及其余项的分析，说明用 3 1 3 5 2 1 3 1 3 5 2 1 2 1 1 ln 2 ln = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ≈ + + + + − + = x n x n x x x x x x " 比用 1 1 2 3 4 1 ( 1) 2 3 4 ln 2 ln(1 ) = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ≈ − + − + + − x n n x n x x x x x x " 6
效果好得多的两个原因。 4.利用上题的讨论结果,不加计算,判别用哪个公式计算π的近似值效果更好,为什么? (1)z = arc tanl≈x--+ 兀=4 arc tan arc tan- ( Machin公式) 239 2n+1 4 2n+1 +(-1) 5.利用 Taylor公式求近似值(精确到10-): (1)Igl 3)sin31°; cOS /250 (6)(11) 6.利用函数的 Taylor公式求极限: (1)lim e- sin x -x(1+x) (a>0) x→0 (3)lim --cScx (4) lim(x5+x++) (5 x tan 7.利用 Taylor公式证明不等式 ≤ln(+x)≤x 0 23 1+ax+ (a-1) 1<a<2 8.判断下列函数所表示的曲线是否存在渐近线,若存在的话求出渐近线方程: 6x2-8x+3 In
效果好得多的两个原因。 ⒋ 利用上题的讨论结果，不加计算，判别用哪个公式计算 π 的近似值效果更好，为什么？ ⑴ 1 3 5 2 1 2 1 ( 1) 3 5 arc tan1 4 = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = ≈ − + − + − x n n n x x x x " π ⑵ 239 1 arc tan 5 1 4arc tan 4 = − π （Machin 公式） 239 1 3 2 1 5 1 3 2 1 2 1 ( 1) 2 1 3 ( 1) 3 4 = + = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ − − + + − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ≈ − + + − x n n x n n n x x x n x x x " " ⒌ 利用 Taylor 公式求近似值（精确到 ）：4 10− ⑴ lg11; ⑵ e 3 ; ⑶ sin o 31 ; ⑷ cos o 89 ; ⑸ 250 5 ; ⑹ ( . ) . 11 1 2 . ⒍ 利用函数的 Taylor 公式求极限： ⑴ lim e sin ( ) x x x x x → x − + 0 3 1 ; ⑵ ( 0) 2 lim 2 0 > + − − → + a x a a x x x ; ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → x x x csc 1 lim 0 ; ⑷ lim ( ) x x x x x →+∞ + − − 5 5 4 5 5 4 ; ⑸ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ x x x x 1 lim ln 1 2 ; ⑹ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x→ x x tan x 1 1 1 lim 0 ; ⑺ lim ( ) x x x x x →+∞ + + − − 3 2 1 1 2 ; ⑻ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + →+∞ e 1 2 lim 6 1 3 2 x x x x x x . 7． 利用 Taylor 公式证明不等式： （1） 2 3 ln(1 ) 2 2 2 3 x x x x x x − ≤ + ≤ − + ， x > 0； （2） 2 2 ( 1) (1 x) 1 x x − + 0 。 8． 判断下列函数所表示的曲线是否存在渐近线，若存在的话求出渐近线方程： ⑴ y x x = + 2 1 ; ⑵ y x x = + 2 1 2 ; ⑶ 6 8 3 2 y = x − x + ; ⑷ y x = + ( ) 2 e x 1 ; ⑸ y x x = + − e e 2 ; ⑹ y x x = + − ln 1 1 ; 7
x (9) y= arc cos 1+x2 y=x cos--e 1 1 (11)y=x2 xe3r-vx'+x (12)y=x|xe 9.(1)设00,ynt=ln(1+yn)(n=1,2,…),证明 () lim, =0 (i)yn~-(n→>∞)。 (提示:分别对极限m1和m1应用So定理) 10.设函数f(x)在[0,1上二阶可导,且满足|∫"(x)1,f(x)在区间(01)内取到最大 值。证明:|f(0)+|f(1)≤1。 1l.设∫(x)在[0,1上二阶可导,且在[0,1上成立 f(x)1,|∫"(x)2。 证明在[0,上成立f(x)|≤3。 12.设函数f(x)在[O,1上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,minf(x)=-1。证明 maxf"(x)≥8 13.设∫(x)在[a,b]上二阶可导,f(a)=f(b)=0,证明 max f(x)s-(b-a)max If"(x) 习题5.5 1.求下列函数的极值点,并确定它们的单调区间: (1)y=2x3-3x2-12x+1 (2)y=x+sin x; /x In (4)y=x (n∈N+)
⑺ y = x + arccot x ; ⑻ y x = − ( ) 2 1 (x + ) 3 2 ; ⑼ y x x = − + arc cos 1 1 2 2 ; ⑽ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − 2 2 1 5 1 cos x e x y x ; (11) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + 3 3 2 3 1 2 y x xe x x x ; (12) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ y = x xe − x + x 2x 2 1 2 . 9． ⑴ 设0 2 0 ， y y n n +1 = ln(1+ ) （n = 1 2, ,"），证明： (i) lim ； (ii) n n y →∞ = 0 y n n n ~ ( 2 → ∞) 。 （提示：分别对极限 lim n n n x →∞ 1 2 和 limn n n y →∞ 1 应用 Stolz 定理） 10．设函数 f (x) 在[0,1]上二阶可导，且满足| f ′′(x) |≤ 1， 在区间 内取到最大 值 f (x) (0,1) 4 1 。证明：| f (0) | + | f (1) |≤ 1。 11．设 f (x) 在[0,1]上二阶可导，且在[0,1]上成立 | f (x) |≤ 1，| f ′′(x) |≤ 2 。 证明在[0,1]上成立| f ′(x) |≤ 3。 12．设函数 f (x) 在[0,1]上二阶可导，且 f (0) = f (1) = 0， min ( ) 1。证明： 0 1 = − ≤ ≤ f x x max ( ) 8 0 1 ′′ ≥ ≤ ≤ f x x 。 13．设 f (x) 在[a,b]上二阶可导， f (a) = f (b) = 0 ，证明 ( ) max | ( ) | 8 1 max | ( ) | 2 f x b a f x a x b a x b ≤ − ′′ ≤ ≤ ≤ ≤ 。 习 题 5.5 ⒈ 求下列函数的极值点，并确定它们的单调区间： ⑴ y x = − 2 3x −12x + 3 2 1; ⑵ y x = + sin x ; ⑶ y x = ln x ; ⑷ y x n x = − e （ ）; + n∈ N 8
(x+1)2 1+ 3 2er+ (x-12 +3 ⊥ 2.求下列曲线的拐点,并确定函数的保凸区间 (1)y=-x3+3x2 (2)y=x+sin x y=arc tan x-x (9)y=(x+1) arc tan r y=x+√x- 3.设∫(x)在x处二阶可导,证明:∫(x)在x0处取到极大值(极小值)的必要条件是 f(x)=0且f"(x0)≤0(f"(x0)≥0) 4.设f(x)=(x-a)"o(x),(x)在x=a连续且q(a)≠0,讨论f(x)在x=a处的 极值情况 5.设∫(x)在x=a处有n阶连续导数,且∫'(a)=f"(a)=…=f(ml(a)=0, ∫(n)(a)≠0,讨论∫(x)在x=a处的极值情况。 6.如何选择参数h>0,使得 h 在x=±σ(σ>0为给定的常数)处有拐点? 7.求y=-2,在拐点处的切线方程
⑸ 3 2 2 ( 1) − + = x x y ; ⑹ y x x = − + 1 1 2 ; ⑺ y x x = 3 + 4 ; ⑻ y x = − ln(1 + x) ; ⑼ y x = cos + sin 3 3 x ; ⑽ y = arc tan x − x ; ⑾ y x x = + − 2 e e ; ⑿ y x = − 2 1 − 3 2 ( ) ; ⒀ y x x = + + 1 3 4 5 2 ; ⒁ y = x x 1 . ⒉ 求下列曲线的拐点，并确定函数的保凸区间： ⑴ y x = − + x 3 2 3 ; ⑵ y x = + sin x ; ⑶ y x = +1 2 ; ⑷ y x x = − e ; ⑸ 3 2 2 ( 1) − + = x x y ; ⑹ 2 1 1 x x y + − = ; ⑺ y x = − ln(1 + x) ; ⑻ y = arc tan x − x ; ⑼ y x x = ( ) +1 + e 4 ; ⑽ y x = ln(1+ ) 2 ; ⑾ x y arc tan = e ; ⑿ y x = + x −1 . ⒊ 设 在 处二阶可导，证明： 在 处取到极大值（极小值）的必要条件是 且 f x( ) x0 f x( ) x0 f ′(x0 ) = 0 f ′′(x0 ) ≤ 0 （ f ′′(x0 ) ≥ 0 ）。 ⒋ 设 f x x a x n ( ) = ( − ) ϕ( ) ,ϕ(x)在 x = a 连续且ϕ( ) a ≠ 0 ，讨论 f x( ) 在 x = a 处的 极值情况。 ⒌ 设 f x( ) 在 x = a 处 有 n 阶连续导 数，且 ′ = ′′ = = = − f a f a f a n ( ) ( ) ( ) " ( ) 1 0 ， f a ( ) n ( ) ≠ 0 ，讨论 f x( ) 在 x = a 处的极值情况。 6．如何选择参数 h > 0 ，使得 y h e h x = − π 2 2 在 x = ±σ （σ > 0 为给定的常数）处有拐点？ 7．求 1 2 2 + = x x y 在拐点处的切线方程。 9
8.作出下列函数的图象(渐近线方程可利用上一节习题8的结果): (1) 1+ 6x2-8x+3 y=(2+xer 1+x (5 In (x-2)(x+1)2 (9)y= arc cos 1+x 9.求下列数列的最大项 10.设a,b为实数,证明 l a+b 1+|a+bl1+|a|1+|b 11.设a>ln2-1为常数,证明当x>0时 ax+10,试问当k为何值时,方程 arctan-kx=0有正实根? 13.对a作了n次测量后获得了n个近似值{ak}=1,现在要取使得 达到最小的ξ作为a的近似值,ξ应如何取? 14.证明:对于给定了体积的圆柱形,当它的高与底面的直径相等的时候表面积最小。 15.在底为a高为h的三角形中作内接矩形,矩形的一条边与三角形的底边重合,求此 矩形的最大面积? 16.求内接于椭圆—+♂=1,边与椭圆的轴平行的最大矩形。 a2 b2 17.将一块半径为r的圆铁片剪去一个圆心角为的扇形后做成一个漏斗,问θ为何值时 漏斗的容积最大?
8．作出下列函数的图象（渐近线方程可利用上一节习题 8 的结果）： ⑴ y x x = + 2 1 ; ⑵ y x x = + 2 1 2 ; ⑶ 6 8 3 2 y = x − x + ; ⑷ y x = + ( ) 2 e x 1 ; ⑸ y x x = + − e e 2 ; ⑹ y x x = + − ln 1 1 ; ⑺ y = x + arccot x ; ⑻ y x = − ( ) 2 1 (x + ) 3 2 ; ⑼ y x x = − + arc cos 1 1 2 2 . 9．求下列数列的最大项： ⑴ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n 2 10 ; ⑵ { }n n . 10．设 a,b 为实数，证明 1 | | | | 1 | | | | 1 | | | | b b a a a b a b + + + ≤ + + + 。 11．设a > ln 2 −1为常数，证明当 x > 0时， x x − 2ax +1 0 ，试问当 k 为何值时，方程arctan x − kx = 0 有正实根？ 13．对a 作了 n 次测量后获得了 n 个近似值{ } ak kn =1，现在要取使得 s ak k n = − = ∑( ) ξ 2 1 达到最小的ξ 作为a 的近似值，ξ 应如何取？ 14．证明：对于给定了体积的圆柱形，当它的高与底面的直径相等的时候表面积最小。 15． 在底为 高为 的三角形中作内接矩形，矩形的一条边与三角形的底边重合，求此 矩形的最大面积？ a h 16．求内接于椭圆 x a y b 2 2 2 2 + = 1，边与椭圆的轴平行的最大矩形。 17．将一块半径为r 的圆铁片剪去一个圆心角为θ 的扇形后做成一个漏斗，问θ 为何值时 漏斗的容积最大？ 10