数学分析课程中的几个反例 1.处处连续处处不可导的函数 在数学分析的发展历史上,数学家们一直猜测:连续函数在其定 义区间中,至多除去可列个点外都是可导的。也就是说,连续函数的 不可导点至多是可列集。虽然这一猜测是错误的,但数学家在很长一 段时期一直没能找到反例,原因是在当时函数的表示手段有限,而仅 仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑,是找不到反 例的。但是随着级数理论的发展,函数表示的手段扩展了,数学家可 以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。 Weierstrass是一位研究级 数理论的大师,他于1872年利用函数项级数第一个构造出了一个处 处连续而处处不可导的函数,为上述猜测做了一个否定的终结 f(x)=2a"sin(bx),0l 下面叙述的反例在证明上要相对简易些,它是由荷兰数学家van Der waerden于1930年给出的。 设q(x)表示x与最邻近的整数之间的距离,例如当x=1.26,则(x) 0.26;当x=367,则φ(x)=0.33。显然o(x)是周期为1的连续函数, 且o(x)≤1/2。 注意当x,y∈[k,k+小或k+,k+1]时,成立0(x)-(y)Hx-y1。 Van der waerden给出的例子是 f(x)=∑ 由p0n,及∑,的收敛性,根据 Weierstrass判别法, 上述函数项级数关于x∈(-∞,+∞)一致收敛。所以f(x)在(-∞,+∞)连续
数学分析课程中的几个反例 1．处处连续处处不可导的函数 在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定 义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。也就是说，连续函数的 不可导点至多是可列集。虽然这一猜测是错误的，但数学家在很长一 段时期一直没能找到反例，原因是在当时函数的表示手段有限，而仅 仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑，是找不到反 例的。但是随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可 以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。Weierstrass 是一位研究级 数理论的大师，他于 1872 年利用函数项级数第一个构造出了一个处 处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结： ( 0 ( ) sin n n n f x ab ) ∞ = = ∑ x ， 1。 下面叙述的反例在证明上要相对简易些，它是由荷兰数学家 Van Der Waerden 于 1930 年给出的。 设 (x)表示x与最邻近的整数之间的距离，例如当x = 1.26，则 (x) = 0.26；当 x = 3.67，则 ϕ ϕ ϕ (x) = 0.33。显然ϕ (x)是周期为 1 的连续函数， 且 。 x ≤ϕ 2/1)( 注意 当 x, y ] 2 1 ,[ kk +∈ 或 ]1, 2 1 [ kk ++ 时，成立 ϕ −ϕ −= yxyx |||)()(| 。 Van Der Waerden 给出的例子是： xf )( = ∑ ∞ = ϕ 0 10 )10( n n n x 。 由 n n x 10 ϕ )10( ≤ n 102 1 ⋅ ，及∑ ∞ = ⋅ 0 102 1 n n 的收敛性，根据 Weierstrass 判别法， 上述函数项级数关于 x +∞−∞∈ ),( 一致收敛。所以 xf )( 在 连续。 +∞−∞ ),( 1
现考虑f(x)在任意一点x的可导性。由于f(x)的周期性,不妨设 0≤x∞)。 于是我们只要证明极限m(x+hm)(x)不存在。 h f(x+bm)-f(x)=S9(10°(x+bn)-9(0"x) h 10°hn Sq(10(x+hn)-q(00x)、(10(x+h)-(0x) 10"h 当n≥m时,p(10°(x+hn))=(10x±10m)=9(10%x),所以 f(x+h)-f(x) (10(x+hn))-(10″x) 10"h 当n=0.2,…,m-1,在10°x的表示中an的位置是第m-n位小数, 10n 10(x+hn)=a1a2…anan+1…(an±1)…, 由hn的取法,可知10(x+hn)与10″x同时属于[k,k+或[k+,k+1, 因此 (10"(x+bn)-9(10x)=±10hn, 于是我们得到 hm)-f(x)
现考虑 在任意一点 x 的可导性。由于 的周期性，不妨设 ，并将 x 表示成无限小数 xf )( xf )( x <≤ 10 x = 0.a1a2…an…。 若 x 是有限小数时，则在后面添上无穷多个 0。然后我们取 hm= ⎩ ⎨ ⎧ − = = − − ,9,4,10 ,10 ,8,7,6,5,3,2,1,0 m m m m a a 当 当 例如设x = 0.309546…，则我们取h1 = ，h 1 10− 2 = ，h 2 10 − 3 = ， h 3 10 − − 4 = ，h 4 10 − 5 = ，h 5 10 − − 6= 10 −6 ，…。显然 hm → 0 ( m → ∞ )。 于是我们只要证明极限 m m m h xfhxf )()( lim −+ ∞→ 不存在。 m m h −+ xfhxf )()( = ∑ ∞ = ϕ−+ϕ 0 10 )10())(10( n m n n m n h hx x ∑ − = ϕ−+ϕ = 1 0 10 )10())(10( m n m n n m n h hx x ∑ ∞ = ϕ−+ϕ + mn m n n m n h hx x 10 )10())(10( 。 当 时， ≥ mn ϕ (10n (x + hm)) = ϕ (10n x± ) = −mn 10 ϕ (10n x)，所以 m m h −+ xfhxf )()( ∑ − = ϕ−+ϕ = 1 0 10 )10())(10( m n m n n m n h hx x . 当n = " m −1,,2,1,0 ，在 的表示中 的位置是第 x n 10 am − nm 位小数， 10 . , n = 21 " nn +1 aaaaax m "" )(10 ,)1(. n m =+ 21 " nn +1" aaaaahx m ± " 由hm的取法，可知 10n (x + hm)与10n x同时属于 ] 2 1 ,[ kk + 或 ]1, 2 1 [ kk ++ ， 因此 ϕ ( (x + )) - n 10 hm ϕ ( x) = n 10 ± m n 10 h ， 于是我们得到 m m h + − xfhxf )()( = ∑ ， − = ± 1 0 1 m n 2
等式右端必定是整数,且其奇偶性与m一致,由此可知极限 f(x+hm)-f(x) h 不存在,也就是说,f(x)在任意一点x是不可导的。这样,一个处处 连续,但处处不可导的函数反例通过了函数项级数这一工具而被构造 出来了。 电子课件演示 Weierstrass的反例构造出来后,在数学界引起极大的震动,因为 对于这类函数,传统的数学方法已无能为力,这使得经典数学陷入又 次危机。但是反过来危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对 这类函数进行研究,从而促成了一门新的学科“分形几何”的产生 所谓“分形”,就是指几何上的一种“形”,它的局部与整体按某种方 式具有相似性。“形”的这种性质又称为“自相似性”。 我们知道,经典几何学研究的对象是规则而光滑的几何图形,但 是自然界存在着许多不规则不光滑的几何图形,它们都具有上面所述 的“自相似性”。如云彩的边界;山峰的轮廓;奇形怪状的海岸线; 蜿蜒曲折的河流;材料的无规则裂缝,等等。这些变化无穷的曲线 虽然处处连续,但可能处处不可导。因此“分形几何”自产生起,就 得到了数学家们普遍的关注,很快就发展为一门有着广泛应用前景的 新的学科。 通过这个例子,同学们可以认识到数学家如何通过从提出猜想 到证明或否定猜想的过程,使数学学科得到发展的,希望学生在今后 的学习中重视对反例的探讨
等式右端必定是整数，且其奇偶性与 m 一致，由此可知极限 m ∞→ lim m m h −+ xfhxf )()( 不存在，也就是说， 在任意一点 x 是不可导的。这样，一个处处 连续，但处处不可导的函数反例通过了函数项级数这一工具而被构造 出来了。 xf )( 电子课件演示 Weierstrass 的反例构造出来后，在数学界引起极大的震动，因为 对于这类函数，传统的数学方法已无能为力，这使得经典数学陷入又 一次危机。但是反过来危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对 这类函数进行研究，从而促成了一门新的学科“分形几何”的产生。 所谓“分形”，就是指几何上的一种“形”，它的局部与整体按某种方 式具有相似性。“形”的这种性质又称为“自相似性”。 我们知道，经典几何学研究的对象是规则而光滑的几何图形，但 是自然界存在着许多不规则不光滑的几何图形，它们都具有上面所述 的“自相似性”。如云彩的边界；山峰的轮廓；奇形怪状的海岸线； 蜿蜒曲折的河流；材料的无规则裂缝，等等。这些变化无穷的曲线， 虽然处处连续，但可能处处不可导。因此“分形几何”自产生起，就 得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一门有着广泛应用前景的 新的学科。 通过这个例子，同学们可以认识到数学家如何通过从提出猜想， 到证明或否定猜想的过程，使数学学科得到发展的，希望学生在今后 的学习中重视对反例的探讨。 3
2. Peano曲线 什么是曲线?曲线就是一个从实轴上的闭区间到平面(或空间) 的连续映射。如果这个映射具有非零的连续导数,则称曲线是光滑的 大家已经知道光滑曲线是可求长的。否则的话,曲线有可能不可求长。 从常识来讲,曲线所绘出的图形的面积(或体积)似乎应该为零。但 事实上一条曲线所绘出的图形的面积(或体积)并不一定是零。不仅 如此,意大利数学家 Peano(1858年8月-1932年4月)发现,存 在将实轴上的闭区间映满平面上的一个二维区域(如三角形和正方 形)的连续映射。也就是说,这条曲线通过该二维区域的每个点,这 种曲线被称为 Peano曲线。 在学习了函数序列一致收敛概念以后,我们就能在数学分析课程 中讲解这一数学上的经典结论。以下我们给出一个将[0映满平面上 边长为1/2的正三角形的连续映射的构造方法 设△为平面上边长为12的闭正三角形。作连续映射f:[01→Δ, 使得它的像是三角形的一个顶点到重心再到另一个顶点的折线,如图 1所示。将Δ分为四个全等三角形,再作f20.→△,使得f在每个 区间44上的像分别完全落在一个小三角形△,(1=0123)上,且∫ ii+I 的像在小三角形△,的部分恰如f的像,如图2所示。继续将每个小 角形△,分为四个更小的全等三角形,作连续映射f[0→Δ,使得在 每个区间[+(=0123)上的像分别完全落在一个小三角形△,上, f在这个区间上的构造完全类似于f在[上的构造,而且f的像在
2. Peano 曲线 什么是曲线？曲线就是一个从实轴上的闭区间到平面（或空间） 的连续映射。如果这个映射具有非零的连续导数，则称曲线是光滑的， 大家已经知道光滑曲线是可求长的。否则的话，曲线有可能不可求长。 从常识来讲，曲线所绘出的图形的面积（或体积）似乎应该为零。但 事实上一条曲线所绘出的图形的面积（或体积）并不一定是零。不仅 如此，意大利数学家 Peano（1858 年 8 月—1932 年 4 月）发现，存 在将实轴上的闭区间映满平面上的一个二维区域（如三角形和正方 形）的连续映射。也就是说，这条曲线通过该二维区域的每个点，这 种曲线被称为 Peano 曲线。 在学习了函数序列一致收敛概念以后，我们就能在数学分析课程 中讲解这一数学上的经典结论。以下我们给出一个将 映满平面上 边长为 的正三角形的连续映射的构造方法。 ]1,0[ 2/1 设Δ为平面上边长为 的闭正三角形。作连续映射 ， 使得它的像是三角形的一个顶点到重心再到另一个顶点的折线，如图 1 所示。将Δ分为四个全等三角形，再作 2/1 f1 ]1,0[: Δ→ f 2 ]1,0[: → Δ ，使得 在每个 区间 2 f ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 4 1 , 4 ii 上的像分别完全落在一个小三角形Δi （i = 3,2,1,0 ）上，且 的像在小三角形 的部分恰如 的像，如图 2 所示。继续将每个小三 角形 分为四个更小的全等三角形，作连续映射 ，使得在 每个区间 2 f Δi 1 f Δi f 3 ]1,0[: Δ→ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 4 1 , 4 ii （ ）上的像分别完全落在一个小三角形 上， 在这个区间上的构造完全类似于 在 上的构造，而且 的像在 i = 3,2,1,0 Δi 3 2 3 f f ]1,0[ f 4
更小的三角形的部分恰如f的像,如图3所示。如此继续下去,将正 三角形△等分为4″个小全等三角形,用归纳法可作出连续映射 ∫:[0→△,使得从∫到∫的构造完全类似于从f2到f的构造,且∫ 的像在每个小三角形的部分恰如∫的像。这样就可以构造一个连续映 射序列{f} f2([0,1]) f1([0,1) 图1 3([0,1]) 图3 设m≤n,由序列{}的构造可知,对于每个t∈[0,若f(t)落在某 个△中,则∫()必然也落在这个△中,也就是说可以找到边长为1/2 的小三角形同时含有fn()和f(),因此对一切t∈[,],成立 fn(t)-fn(1)1/2m
更小的三角形的部分恰如 的像，如图 3 所示。如此继续下去，将正 三角形Δ等分为 个小全等三角形，用归纳法可作出连续映射 ，使得从 到 的构造完全类似于从 到 的构造，且 的像在每个小三角形的部分恰如 的像。这样就可以构造一个连续映 射序列 。 1 f 1 4n− f n ]1,0[: Δ→ n−1 f n f 2 f 3 f n f 1 f }{ n f 图 2 图 1 图 3 设 ≤ nm ，由序列 f n }{ 的构造可知，对于每个t ∈ ]1,0[ ，若 ( ) mf t 落在某 个Δk m中，则 ( ) nf t 必然也落在这个 k Δm中，也就是说可以找到边长为 的小三角形同时含有 和 ，因此对一切 m 2/1 f t)( m n f t)( t ∈[0,1]，成立 m m n ff tt ≤− 2/1|)()(| ， 5
其中m≤n。这说明函数序列{,}满足一致收敛的 Cauchy收敛原理, 于是{}在圓上一致收敛于一个连续映射∫:0→Δ,且∫满足 lfn(m)-f()1/2",t∈[0,l 现在证明∫的像为整个△。 先证明Δ上每一点都是f的像集的聚点。从G}的构造可知:f关 于[区间的像到△上任一点的距离不超过1/2。设a是△上任一点, 则对任意的n,存在t∈[01l,使得 a-fn(Ln)1/2。 因此 a-f(n)|a-fn(tn)|+|fn(tn)-f(tn)1/2"+1/2”=1/2, 由n的任意性,可知a是∫的像集的聚点。 显然∫(o)c△。而∫为连续映射,所以f(0为紧集,因此是闭 集,所以f(0包含它的所有聚点,因此f(o.)=△,即∫的像为整个 注可以同样构造一条空间曲线,它通过某个空间区域的每一个点。 3. Schwarz的反例 我们将光滑曲线的内接折线长度的极限定义为曲线的弧长,但这 定义不能推广到光滑曲面的面积定义上去。 Schwarz曾举过一个例 子:即使对一段圆柱面,都无法用“内接多面形之面积的极限”来定 义它的面积。 设一圆柱面的高是h,半径是r,那么它的面积显然是2mh。在
其中 。这说明函数序列 满足一致收敛的 Cauchy 收敛原理， 于是 在 上一致收敛于一个连续映射 ≤ nm }{ n f f }{ n ]1,0[ f ]1,0[: → Δ ，且 满足 f m m ff tt ≤− 2/1|)()(| ，t ∈ ]1,0[ 。 现在证明 f 的像为整个Δ。 先证明 上每一点都是 的像集的聚点。从 的构造可知： 关 于 区间的像到Δ上任一点的距离不超过 。设 是 上任一点， 则对任意的 ，存在 ，使得 Δ f }{ n f n f ]1,0[ n 2/1 a Δ n ∈ ]1,0[ nt | ( )| 1/ n n n a f − ≤ t 2 n 。 因此 1 | ( )| | ( )| | ( ) ( )| 1/2 1/2 1/2 n n n n n n n n t t tt − af af f f − ≤− + − ≤ + = ， 由n的任意性，可知a 是 f 的像集的聚点。 显然 。而 为连续映射，所以 为紧集，因此是闭 集，所以 包含它的所有聚点，因此 f ])1,0([ Δ⊂ f f ])1,0([ f ])1,0([ f ])1,0([ = Δ ，即 的像为整个 Δ。 f 注 可以同样构造一条空间曲线，它通过某个空间区域的每一个点。 3. Schwarz 的反例 我们将光滑曲线的内接折线长度的极限定义为曲线的弧长，但这 一定义不能推广到光滑曲面的面积定义上去。Schwarz 曾举过一个例 子：即使对一段圆柱面，都无法用“内接多面形之面积的极限”来定 义它的面积。 设一圆柱面的高是h，半径是r ，那么它的面积显然是2πrh。在 6
这个圆柱面上取三点A,B和C,使得A,B在同一高度上,而C和A,B 不在同一高度上,且C在A,B的连线上的投影C恰是线段AB的的中点 (图4)。 作三角形ABC,则它是圆柱面的一个内接多边形。再由图2那样 作出圆柱面的内接多面形,它是由许多三角形连结起来的,每一个三 角形都如同三角形ABC。问题是当这些三角形的直径都趋于0时,它 们的面积之和的极限是否为圆柱面的面积2m呢? 把圆柱面的底圆m等分,高n等分,这时图5中的三角形共有2mn 个,并且都是全等的。易计算每个三角形的底边长是2simx,高是 1-cos ,那么其面积为 B 图4 图5 rsIn 1-cos -rsin 于是所有小三角形组成的内接多面形的面积S为
这个圆柱面上取三点 A，B 和C ，使得 在同一高度上，而C 和 不在同一高度上，且C 在 的连线上的投影 , BA , BA , BA C′恰是线段 AB 的的中点 (图 4)。 作三角形 ，则它是圆柱面的一个内接多边形。再由图 2 那样， 作出圆柱面的内接多面形，它是由许多三角形连结起来的，每一个三 角形都如同三角形 。问题是当这些三角形的直径都趋于 0 时，它 们的面积之和的极限是否为圆柱面的面积 ABC ABC 2πrh呢？ 把圆柱面的底圆 等分，高n等分，这时图 5 中的三角形共有 个，并且都是全等的。易计算每个三角形的底边长是 m 2mn m r π sin2 ，高是 2 2 2 cos1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − n h m r π ,那么其面积为 图 4 图 5 m r π sin2 2 1 ⋅ 2 = 2 2 42 2 sin4sin n h m r m r + π π 。 2 ⎟ ⎠ ⎞ m 2 π cos1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ + ⎝ ⎛ − n h r 于是所有小三角形组成的内接多面形的面积S mn 为 7
丌h2 S=2mnrsin-4r2sin 2m n 由于当m→∞,n→∞时,上式中两圆括号 内的值都趋于1,因此S的极限与”的极限 有关。当”的极限不存在时,Sm的极限也不 图6 存在;当"有极限时,S的极限为 S(1) 这一极限与l有关,即与m,n同时趋于无穷大的方式有关。只有当l=0 时它才是圆柱面的面积2mh。 由于m,n可以各自独立地趋于无穷大,所以S确实没有一个与 m,n增加方式无关的极限。也就是说,无法用“内接多面形之面积的 极限”来定义曲面的面积。 再来看一下l=0的几何意义:设O是三角形所在平面与圆柱面母 线的夹角(图6),那么当l=0,即"→0时,显然有 r-rcOS SIn tan e 2h T 这说明只有当三角形所在的平面趋于切平面位置时,S才可能以圆 柱面的面积为极限
2 2 42 2 sin4sin n h m r m + π π mn = 2mnrS 1 2 2 sin 4 sin 2 4 2 4 2 24 + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = m n m m h r m m rh π π π π π π 。 由于当m → ∞ ， 时，上式中两圆括号 内的值都趋于 1，因此 的极限与 n ∞→ S mn 2 m n 的极限 有关。当 2 m n 的极限不存在时， 的极限也不 存在；当 S mn 2 m n 有极限 时， l S mn 的极限为 图 6 2 224 4 2)( h lr = rlS + π π 。 这一极限与 有关，即与 同时趋于无穷大的方式有关。只有当l＝0 时它才是圆柱面的面积 l , nm 2πrh。 由于 可以各自独立地趋于无穷大，所以 确实没有一个与 增加方式无关的极限。也就是说，无法用“内接多面形之面积的 极限”来定义曲面的面积。 , nm S mn , nm 再来看一下l＝0 的几何意义：设θ 是三角形所在平面与圆柱面母 线的夹角(图 6)，那么当l = 0，即 0 2 → m n 时，显然有 0 2 2 sin 2 2 sin2cos tan 2 2 2 2 → ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = − = m n m m h r n h m r n h m rr π π π π π θ ， 这说明只有当三角形所在的平面趋于切平面位置时， 才可能以圆 柱面的面积为极限。 S mn 8