复旦大学：《微分方程数值解》课程教学资源（作业习题）连续铸造中的应用模型

连续铸造中的应用模型 复旦大学数学系 0118139 李雨蒙

连续铸造中的应用模型 复旦大学数学系 0118139 李雨蒙

目录 简介 问题的提出 模型的建立 问题的解决办法 数据模拟检验

目录 • 简介 • 问题的提出 • 模型的建立 • 问题的解决办法 • 数据模拟检验

简介 铸造是将通过熔炼的 金属液体浇注入铸型 内,经过冷却凝固获得 所需形状和性能的零 件的过程,这里要介绍 的是连续铸造铁管的 过程

简介 • 铸造是将通过熔炼的 金属液体浇注入铸型 内,经过冷却凝固获得 所需形状和性能的零 件的过程,这里要介绍 的是连续铸造铁管的 过程

问题的提出 ●所谓连续铸铁管就是 向内外水冷结晶器内 中 直接浇注铁液,使其 在结晶器内迅速凝固, 并随底盘向下运动而 ■■器·■■■■自器音鲁命D自自。看 DUOLUN● 拉出管子,如图所示 图1连续铸管示意图 1-内结晶器;2-铁水 3-外结晶器;4-铁管;5-底盘

问题的提出 • 所谓连续铸铁管就是 向内外水冷结晶器内 直接浇注铁液, 使其 在结晶器内迅速凝固, 并随底盘向下运动而 拉出管子, 如图 所示 图1 连续铸管示意图 1- 内结晶器; 2- 铁水; 3- 外结晶器; 4- 铁管; 5- 底盘

问题的简化 由于是续续浇注,管壁上每点温度可以认为与 时间无关,只是该点空间坐标的函数,所以是 稳定的传热问题 由于管壁很薄,因此铁水的对流运动是很微弱, 故可以忽略对流传热的微弱影响 把铸铁的传热系数、比热、密度等物理参数作 为有效参数来处理,分别用kCe'来表示 拉管速度v为常数

问题的简化 • 由于是续续浇注, 管壁上每点温度可以认为与 时间无关, 只是该点空间坐标的函数, 所以是 稳定的传热问题. • 由于管壁很薄, 因此铁水的对流运动是很微弱, 故可以忽略对流传热的微弱影响. • 把铸铁的传热系数、比热、密度等物理参数作 为有效参数来处理, 分别用k’,c’ ,e’来表示. • 拉管速度v 为常数

模型的建立 如图2所示:在型腔内取一柱壳 的微元体,其内半径为ⅹ,厚为 dx,高为dy,因湿度是空间函数 故微元体固定在空间上的其内 能是不随的问变化的 (1)于整体运动从上面传入 微元体的能量为 d@ =ve2rac'tdx

模型的建立 如图2 所示: 在型腔内取一柱壳 的微元体, 其内半径为x , 厚为 dx , 高为dy,因温度是空间函数, 故微元体固定在空间上时, 其内 能是不随时间变化的. (1)由于整体运动, 从上面传入 微元体的能量为 dQ ve'2 xc'Tdx 1 = 

而相应地从微元体底面传出的能量为 OT d@,'=ve2ndxc'lT+ (2)通过热传导从微元体上面传入的能量 OT 而相应地从微元体底面传出的能量 OT aaT cO,=-k2兀 ayay、oy

而相应地从微元体底面传出的能量为 dy y T dQ v e dxc T           1 ' = '2 ' + (2) 通过热传导从微元体上面传入的能量 而相应地从微元体底面传出的能量 dx y T dQ k x   2 = − '2 dy dx y T y y T dQ k x                   +   2 ' = − '2

(3)由内壁沿径向传入微元体的能量是 OT dQ3=-k2mxdy°oy 而相应地从微元体沿径向传出的能量 oT aT d@3=-h2T(x+dx dy dx 由于微元体的内能变化量是零,传入微元体的 能量应等于传出微元体的能量,故有能量平衡 方程式 d9+(2+d3=9'+Q2+9

(3) 由内壁沿径向传入微元体的能量是 而相应地从微元体沿径向传出的能量 由于微元体的内能变化量是零, 传入微元体的 能量应等于传出微元体的能量, 故有能量平衡 方程式 y T dQ k xdy   3 = − '2 •           +   = − + dx x T x T dQ k x dx dy 2 2 3 ' '2( ) ' ' ' dQ1 + dQ2 + dQ3 = dQ1 +dQ2 +dQ3

把前面所得各项等式代入上式,略去高阶项并整理 得出椭圆形偏微分方程: 02T82T10TT a r ox 求解区域为矩形,其中v k 以连铸球铁管为例,取定拉速=1.92cm/s;有效比热 c=0.119ca/gC;有效密度e'=7.0969g/cm3;有效 传热系数k′=0.05 cal/cm s°C由上述数据得 W=32.299941/cm,可见在合金成分一定时,W只是拉 管速度的函数

把前面所得各项等式代入上式, 略去高阶项并整理 得出椭圆形偏微分方程: 求解区域为矩形,其中 以连铸球铁管为例, 取定拉速v = 1. 92cm/s; 有效比热 c′= 0. 119cal/g℃; 有效密度e′= 7. 0969g/cm 3; 有效 传热系数k′=0.05cal/cm s℃由上述数据得 w = 32. 299941/cm , 可见在合金成分一定时,w 只是拉 管速度的函数. 0 1 2 2 2 2 =   −   +   +   y T w x T y x T x T ' ' ' k vc e w =

问题的解决 用差分格式简化方程 由于对称性,只考虑铸管轴向 截面的一侧,并以力1h2分别 表示沿X,y方向的步长,将截 面划分为矩形网格,网格节点是科 (Xi,yj)=(ih1,h2)简 记为(i方),而(j)处的温 度简记为

问题的解决 用差分格式简化方程: 由于对称性, 只考虑铸管轴向 截面的一侧, 并以h1,h2分别 表示沿x , y 方向的步长, 将截 面划分为矩形网格,网格节点是 (x i, y j ) = ( ih1, jh2) 简 记为( i ,j ) , 而( i, j ) 处的温 度简记为T ij