关于数列的极限 极限理论是微积分学的理论基础。对于刚刚接触微积分的学生而言,常常感 到极限的概念与理论很难掌握。事实上,这是由于数学课程关注对象的改变而产 生的。初等数学关注的对象往往是静止、不变的,而高等数学关注的对象确是运 动、发展、变化的。因此自然会产生适应性的问题,给学习和理解带来困难。 数列的分析定义如下 定义设{an}为数列,A为一定常数。若对于任意给定的E>0,总存在正整 数N,使得当n>N时成立 la,-Ak 则称数列{an}以A为极限,记作iman=A。 从直观上来看,如果当n无限增大时,a无限接近于定数A,即a与A的距 离|an-A|趋于0,则A便被认为是{an}的极限。这就是说,对于任意给定的正 数E,无论它多么小,只要N足够大,便对所有的n>N,都能保证|an-AkE 这就是极限的严格的定义的思想。 注意以下几种说法是不正确的: (1)数列{an}越来越接近于A,则A是{an}的极限 (2)若|an-A越来越小,则A是{an}的极限; (3)若an-A|越来越接近于0,则A是{an}的极限。 事实上,{an}越来越接近于A,并不意味着|an-A|趋于0。例如,an=n n+2 (n=1,2,…),A=2,则(1)和(2)的条件满足,但2不是{an}的极限。当an (n=1,2,…),A=0时,(3)的条件满足,但0不是{an}的极限。 数列的极限的定义,反映了数列中的项的变化趋势。从定义很容易看出 个数列的极限如果存在,它必定是唯一的。数列的定义还可以有以下的等价叙述 (1)若对于任意给定的>0,总存在正整数N,使得当n≥N时成立 la, -Aks 则称数列{an}以A为极限; (2)若对于任意给定的E>0,总存在正整数N,使得当n>N时成立
关于数列的极限 极限理论是微积分学的理论基础。对于刚刚接触微积分的学生而言，常常感 到极限的概念与理论很难掌握。事实上，这是由于数学课程关注对象的改变而产 生的。初等数学关注的对象往往是静止、不变的，而高等数学关注的对象确是运 动、发展、变化的。因此自然会产生适应性的问题，给学习和理解带来困难。 数列的分析定义如下： 定义 设 { }n a 为数列， A 为一定常数。若对于任意给定的 0 ，总存在正整 数 N ，使得当 n N 时成立 | a A | n ， 则称数列 { }n a 以 A 为极限，记作 an A n lim 。 从直观上来看，如果当 n 无限增大时， n a 无限接近于定数 A ，即 n a 与 A 的距 离 | a A | n 趋于 0，则 A 便被认为是 { }n a 的极限。这就是说，对于任意给定的正 数 ，无论它多么小，只要 N 足够大，便对所有的 n N ，都能保证 | a A | n 。 这就是极限的严格的定义的思想。 注意以下几种说法是不正确的： （1） 数列 { }n a 越来越接近于 A ，则 A 是 { }n a 的极限； （2）若 | a A | n 越来越小，则 A 是 { }n a 的极限； （3）若 | a A | n 越来越接近于 0，则 A 是 { }n a 的极限。 事实上， { }n a 越来越接近于 A ，并不意味着 | a A | n 趋于 0。例如， 1 n n an （ n 1,2, ）， A 2 ，则（1）和（2）的条件满足，但 2 不是 { }n a 的极限。当 n n an 3 2 （ n 1,2, ）， A 0 时，（3）的条件满足，但 0 不是 { }n a 的极限。 数列的极限的定义，反映了数列中的项的变化趋势。从定义很容易看出，一 个数列的极限如果存在，它必定是唯一的。数列的定义还可以有以下的等价叙述： （1）若对于任意给定的 0 ，总存在正整数 N ，使得当 n N 时成立 | a A | n ， 则称数列 { }n a 以 A 为极限； （2）若对于任意给定的 0 ，总存在正整数 N ，使得当 n N 时成立
lan,-Ak 则称数列{an}以A为极限; (2)若对于任意给定的正整数K,总存在正整数N,使得当n>N时成立 la,-Ak 则称数列{an}以A为极限 例证明Vn2+1 证由于 n2+1 n+5-n 5 n(√n2+5+n) 因此,对于任意给定的>0,只要使55,上式便成立。于是取 N 则当n>N时成立 n2+5 <-<8, 即lim 在证明中,通过“放大”了的不等式一<E来找N,是一种常用技巧
3 | | an A ， 则称数列 { }n a 以 A 为极限； （2）若对于任意给定的正整数 K ，总存在正整数 N ，使得当 n N 时成立 K an A 1 | | ， 则称数列 { }n a 以 A 为极限。 例 证明 1 1 lim 2 n n n 。 证 由于 n n n n n n n n n 5 ( 5 ) 5 5 1 1 2 2 2 ， 因此，对于任意给定的 0 ，只要使 n 5 ，即 5 n ，上式便成立。于是取 5 N ，则当 n N 时成立 n n n 5 1 5 2 ， 即 1 1 lim 2 n n n 。 在证明中，通过“放大”了的不等式 n 5 来找 N ，是一种常用技巧