分期付款模型 考虑一个现实生活中经常遇到的问题。若某人从银行贷款A元,年利率为r, 计划m年还清。若在这m年内按月等额还款,那么他每月应还款多少元呢? 设他每月还款a元。由于他从银行贷款A元,那么第一个月他将支付的利息 VI 第一个月后已还款a元,则第二个月他还需还款的总数额为A-a+y1,所以第 个月应支付的利息为 12=(A-a+1)、r=N12y1212 a 12 12 第二个月后已还款2a元,则第三个月他还需还款的总数额为A-2a+y2+y,所 以第三个月应支付的利息为 y3=(A-2a+y2+y)-=4.+y1:-a+y2-a r al ar 1212 12 记yn为第n个月应支付的利息(n=12.…12m),那么用归纳法可得递推关系 yn+!= 这是一个一阶常系数线性差分方程,易求出它的通解为 +|+a(c是任意常数) 因为1=4 Ar 代入上式可解得 12 因此 +d1-|1 因此该人m年的应付的利息总和为 2(+)+1m2
分期付款模型 考虑一个现实生活中经常遇到的问题。若某人从银行贷款 A 元，年利率为 r ， 计划 m 年还清。若在这 m 年内按月等额还款，那么他每月应还款多少元呢？ 设他每月还款 a 元。由于他从银行贷款 A 元，那么第一个月他将支付的利息 为 12 1 r y A 。 第一个月后已还款 a 元，则第二个月他还需还款的总数额为 1 A a y ，所以第二 个月应支付的利息为 12 12 1 12 12 12 12 ( ) 2 1 1 1 a r y r r a r y r A r y A a y 。 第二个月后已还款 2a 元，则第三个月他还需还款的总数额为 2 2 1 A a y y ，所 以第三个月应支付的利息为 . 12 12 1 12 12 12 12 12 12 12 12 ( 2 ) 2 2 2 3 2 1 1 2 a r y r a r r y y r a r y r a r y r A r y A a y y 记 n y 为第 n 个月应支付的利息（ n 1,2, ,12m ），那么用归纳法可得递推关系 12 12 1 1 ar y r yn n 。 这是一个一阶常系数线性差分方程，易求出它的通解为 a r y c n n 12 1 （ c 是任意常数）。 因为 12 1 Ar y ，代入上式可解得 12 1 12 r a Ar c 。因此 1 1 1 12 1 1 12 1 12 12 1 12 n n n n r a Ar r a r a Ar y 。 因此该人 m 年的应付的利息总和为 m n n n m n n r a Ar r y 1 2 1 1 1 1 2 1 12 1 1 12 1 12 m n n m n n r ma a Ar r 1 2 1 1 1 2 1 1 12 12 1 12 1 12
Ar 12 ma-a 1-1+ 12 :12m-A+A1+ 因为12m是m年的还款总数,所以12ma-A就是m年的利息总数,因此 12m 12m-A+A1 12ma -A 12m12a 0 12 由此解得 ar 这就是该人按月等额还款时每月的应还款数
. 12 1 1 12 12 12 1 12 1 1 12 1 1 12 12 1 1 12 1 1 12 1 2 1 2 1 2 1 2 m m m m r r r a ma A A r r ma a r r Ar 因为 12ma 是 m 年的还款总数，所以 12ma A 就是 m 年的利息总数，因此 ma A r r r a ma A A m m 12 12 1 1 12 12 12 1 1 2 1 2 ， 即 0 12 1 1 12 12 1 1 2 1 2 m m r r r a A 。 由此解得 1 12 1 12 1 12 12 12 m m r Ar r a 。 这就是该人按月等额还款时每月的应还款数