复旦大学：《高等数学》课程学习园地_函数的连续性

函数的连续性 我们常说曲线是连续的,或说温度的变化是连续的,这都反映了函数的一个 重要特性—连续性。连续是一个很直观的现象。通常我们说一根曲线是连续的, 因为它没有断开,那么什么叫“断开”呢?你若说,不连续就是断开的,这样从 逻辑的角度看,出现了循环定义的现象,也就是说什么也没有定义,因此有必要 给“连续”一个严格的定义。但连续的定义如何给出,却经历了一个漫长的过程。 现代数学给出的连续的定义如下 定义设函数∫在x的某个邻域内有定义。如果函数∫当x→x0时的极限存 在,并且等于它在x处的值,即mmf(x)=∫(x0),则称函数∫在x点连续 显然imnf(x)=f(x0)等价于m[f(x0+△x)-f(x)=0。因此函数在x。点连 r→0 续就是说,当自变量的改变量△x→>0时,函数值的改变量f(x0+△x)-f(x0)也 趋于零。 ∫在x点连续的定义用“E-8”语言表述就是:若对于任意给定的E>0, 总存在δ>0,使得当|x-x0kd时,成立f(x)-f(x0)kE 由连续的定义可以知道,若∫在x点连续,则∫也在x点连续。反之不然。 例如,f(x) 显然f(x)=1,因此∫在x=0点连续。但∫在该 点不连续。 若函数∫在x点连续,g在x0点不连续,则f+g在x点一定不连续。而当 函数∫和g都在x点不连续时,∫+g在x点却可能是连续的。例如在x=0点 x≤0 不连续的函数f(x) 和g(x) l,x≤0, l,x>0 x>0, 总有f(x)+g(x)=0 因此它在x=0点连续。注意此时f(x)g(x)=-1,因此函数g也在x=0点连续。 若函数f,g都在(a,b)上连续,则函数 F(x)=max{f(x),g(x)}和G(x)=min{f(x),g(x)},x∈(a,b) 也在(a,b)上连续。事实上

函数的连续性 我们常说曲线是连续的，或说温度的变化是连续的，这都反映了函数的一个 重要特性—连续性。连续是一个很直观的现象。通常我们说一根曲线是连续的， 因为它没有断开，那么什么叫“断开”呢？你若说，不连续就是断开的，这样从 逻辑的角度看，出现了循环定义的现象，也就是说什么也没有定义，因此有必要 给“连续”一个严格的定义。但连续的定义如何给出，却经历了一个漫长的过程。 现代数学给出的连续的定义如下： 定义 设函数 f 在 0 x 的某个邻域内有定义。如果函数 f 当 0 x  x 时的极限存 在，并且等于它在 0 x 处的值，即 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x   ，则称函数 f 在 0 x 点连续。 显然 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x   等价于 lim [ ( 0 ) ( 0 )] 0 0       f x x f x x 。因此函数在 0 x 点连 续就是说，当自变量的改变量 x  0 时，函数值的改变量 ( ) ( ) 0 0 f x  x  f x 也 趋于零。 f 在 0 x 点连续的定义用“    ”语言表述就是：若对于任意给定的   0 ， 总存在   0 ，使得当 | x  x0 |  时，成立 | ( )  ( ) |  0 f x f x 。 由连续的定义可以知道，若 f 在 0 x 点连续，则 | f | 也在 0 x 点连续。反之不然。 例如，        1, 0, 1, 0, ( ) x x f x 显然 | f (x) |1 ，因此 | f | 在 x  0 点连续。但 f 在该 点不连续。 若函数 f 在 0 x 点连续， g 在 0 x 点不连续，则 f  g 在 0 x 点一定不连续。而当 函数 f 和 g 都在 0 x 点不连续时， f  g 在 0 x 点却可能是连续的。例如在 x  0 点 不连续的函数        1, 0 1, 0, ( ) x x f x 和        1, 0, 1, 0, ( ) x x g x 总有 f (x)  g(x)  0， 因此它在 x  0 点连续。注意此时 f (x)g(x)  1 ，因此函数 fg 也在 x  0 点连续。 若函数 f ， g 都在 (a, b) 上连续，则函数 F(x)  max{ f (x), g(x)} 和 G(x)  min{ f (x), g(x)}， x(a, b) 也在 (a, b) 上连续。事实上

F(x)=[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x),G(x)=[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)。 闭区间上的连续函数具有一些很好的性质。例如,有界性定理,介值定理, 零点存在定理,最大最小值定理。但这些定理的逆定理却是不成立的。但有时附 加一些条件,却可以成立。例如,若函数∫在[a,b]上单调,且能取到f(a)与f(b) 之间的一切值,则∫在[a,b]上连续。它的证明如下 不妨设∫在[ab]上单调增加。若x∈[a,b。当a<x<b时,由于∫在分别 在区间[a,x],[x0,b上单调增加,且f(x。)分别是它在这两个区间的上界和下 界,因此a=lmf(x)(≤f(x0))和β=mf(x)(≥f(x)皆存在,且由f 的单调增加性知α≤β。若a<β,则∫的单调增加性决定了∫不可能取到 (a,B)c{ab内的值,与假设矛盾。因此lmf(x)=limf(x)=f(x0),即f在 xn点连续。 当x=a或x。=b,同样可以证明∫在x=a点右连续,∫在x=b点左连续, 因此∫在[a,b]上连续

[ ( ) ( ) | ( ) ( ) |] 2 1 F(x)  f x  g x  f x  g x ， [ ( ) ( ) | ( ) ( ) |] 2 1 G(x)  f x  g x  f x  g x 。 闭区间上的连续函数具有一些很好的性质。例如，有界性定理，介值定理， 零点存在定理，最大最小值定理。但这些定理的逆定理却是不成立的。但有时附 加一些条件，却可以成立。例如，若函数 f 在 [a, b] 上单调，且能取到 f (a) 与 f (b) 之间的一切值，则 f 在 [a, b] 上连续。它的证明如下： 不妨设 f 在 [a, b] 上单调增加。若 x[a, b] 。当 a  x0  b 时，由于 f 在分别 在区间 [ , ] 0 a x ，[ , ] x0 b 上单调增加，且 ( ) 0 f x 分别是它在这两个区间的上界和下 界，因此 lim ( ) 0 0 f x xx    （ ( ) 0  f x ）和 lim ( ) 0 0 f x xx    （ ( ) 0  f x ）皆存在，且由 f 的单调增加性知    。若    ，则 f 的单调增加性决定了 f 不可能取到 (, )  [a, b] 内的值，与假设矛盾。因此 lim ( ) 0 0 f x xx  lim ( ) ( ) 0 0 0 f x f x x x     ，即 f 在 0 x 点连续。 当 x0  a 或 x0  b ，同样可以证明 f 在 x  a 点右连续， f 在 x  b 点左连续， 因此 f 在 [a, b] 上连续