复旦大学：《高等数学》课程学习园地_π是无理数的证明

π是无理数的证明 大家都知道是丌无理数,但是它是如何证明的呢?我们下面就给出一个证 明。首先给出丌一个定义。 定义丌=2mn{a>0,cosa=0},即丌是使cosa=0的最小正数的两倍 按这个定义,利用定积分容易得到半径为r的圆的面积为m2,因此这样的定 义是合理的。下面证明丌是无理数 利用反证法。设x是有理数,则x2也是有理数,于是存在正整数p,q,使 得z2=P。由于P→0(n→∞),因此存在正整数N,使得Px<1。 设∫是如下定义的2N次多项式 f(x) 中少 则∫满足 f(x)=f(1-x),f(x)=(-1)f((1-x)(k=12…)。 展开∫的表达式得 f(x)=∑cnx。 对其求导k次(0≤k≤2N)得 f(x)=,∑m(n-1)…(n-k+1)c 若0≤k<N,显然f(0)∈Z,因此由f(x)=(-1)4f(1-x),知f(1)∈Z 若N≤k≤2N,显然f(0)=c∈Z,因此f(1)∈Z。 令F(x)=∑(-1)pqf(x),则利用f(O)∈Z,f“(1)∈Z得到 F(0)∈Z,F(1)∈Z。进一步计算得

π 是无理数的证明 大家都知道是  无理数，但是它是如何证明的呢？我们下面就给出一个证 明。首先给出  一个定义。 定义   2min{  0, cos  0} ，即  是使 cos  0 的最小正数的两倍。 按这个定义，利用定积分容易得到半径为 r 的圆的面积为 2 r ，因此这样的定 义是合理的。下面证明  是无理数。 利用反证法。设  是有理数，则 2  也是有理数，于是存在正整数 p ，q ，使 得 q p  2  。由于 0 !  n p n （ n  ），因此存在正整数 N ，使得 1 !  N p N  。 设 f 是如下定义的 2N 次多项式 ! (1 ) ( ) N x x f x N N   ， 则 f 满足 f (x)  f (1 x)， ( ) ( 1) (1 ) ( ) ( ) f x f x k k k    （ k 1,2,  ）。 展开 f 的表达式得   N n N n n c x N f x 2 ! 1 ( ) 。 对其求导 k 次（ 0  k  2N ）得       N n N k n k n k n n n k c x N f x 2 max{ , } ( ) ( 1) ( 1) ! 1 ( )  。 若 0  k  N ，显然 (0)  Z (k ) f ，因此由 ( ) ( 1) (1 ) ( ) ( ) f x f x k k k    ，知 (1)  Z (k ) f ； 若 N  k  2N ，显然  k  Z k c N k f ! ! (0) ( ) ，因此 (1)  Z (k ) f 。 令 ( ) ( 1) ( ) (2 ) 0 F x p q f x j N j j N j j     ，则利用 (0)  Z (k ) f ， (1)  Z (k ) f 得 到 F(0)Z， F(1)Z 。进一步计算得

Fx)+z2F(x)=∑-1)pqf2(x)+x2(-1)pqf)(x) ∑(-1)pqf2)( =(-l" f2+(x)+p*q-f(x)=p"rf(x) 其中利用了f是2N次多项式,因此f2M2)(x)=0。 再令g(x)=F(x)snx-mF(x)cosm,则 8(x)=F(x)+r F(xlsin n= p" r f(x)sin x 且F(1)+F(O)=-[g(1)-g(0。利用 Lagrange中值定理得,存在5∈(0,1),使得 F(1)+F(0)=-g()=pm()snx5。 由∫的定义可知0<f(4)<1,于是0<(5mx<1,因此 0<F(1)+F(0)=pz(5)sn5 P 但已经知道F(O∈Z,F(1)∈Z,因此F(1)+F(0)∈Z,与上式矛盾。这就证明 了丌是无理数

( 1) ( ) ( ) ( ), ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) (2 2) 1 1 2 (2 ) 0 (2 ) 1 1 1 1 1 1 1 (2 ) 0 (2 2) 2 0 2 q f x p q f x p f x p q f x p q f x F x F x p q f x p q f x N N N N N j N j j j N j j N j j N j j j N j j j N j j N j j N j j                                        其中利用了 f 是 2N 次多项式，因此 ( ) 0 (2 2)   f x N 。 再令 g(x)  F(x)sinx F(x)cosx ，则 g x F x F x x p f x x N ( ) [ ( )  ( )]sin   ( )sin  2 2      。 且 [ (1) (0)] 1 F(1)  F(0)  g  g  。利用 Lagrange 中值定理得，存在  (0,1) ，使得       ( ) ( )sin 1 F(1) F(0) g p f N     。 由 f 的定义可知 ! 1 0 ( ) N  f   ，于是 ! 1 0 ( )sin N  f    ，因此 1 ! 0  (1)  (0)  ( )sin   N p F F p f N N      。 但已经知道 F(0)Z， F(1)Z ，因此 F(1)  F(0)Z ，与上式矛盾。这就证明 了  是无理数