复旦大学：《高等数学》课程练习题（微积分）_级数练习题

级数练习题 §1数项级数 1.按定义说明下列级数的敛散性,若收敛,求出和 3 n n(n+ 2.用 Cauchy收敛准则证明级数∑n=cs(m+收敛 n 3.设级数∑a和∑b均收敛。若数列{xn}满足 1,2, 证明级数∑x收敛。 4.判断下列正项级数的敛散性: (1) (2) +2n+3 (3) (4) (5) (6) n=l (InIn n) In n m"√2+3xax n(n+1) 1√m (11) (12) 5.讨论下列正项级数的敛散性 (1)∑n“B”(B>0); (2) (x≥0) (1+x)(1+x)…(1+x")

级数练习题 §1 数项级数 1．按定义说明下列级数的敛散性，若收敛，求出和： （1）       1 1 ( 2) ( 1) n n n n ； （2）   1 2 3 cos 2 1 sin n n n 。 2．用 Cauchy 收敛准则证明级数      1 cos cos( 1) n n n n 收敛。 3．设级数   n1 an 和   n1 bn 均收敛。若数列 { }n x 满足 n n bn a  x  ，n 1,2, ， 证明级数   n1 n x 收敛。 4．判断下列正项级数的敛散性： （1）   1   3 2 3 tan n n n  ； （2）   1 ln 1 n n n ； （3） n n 2n sin cos 1 2      ； （4）   1 7  2 5 n n n n ； （5）   1 ln (ln ln ) 1 n n n ； （6）   1 2 2 3 n n n n ； （7）    2 cos 2 2 ( 1) 2 1 2 n n n n n      ； （8）   1  5 ln(5 ) 1 n n n ； （9）    1  0 4 2 3 1 n n xdx ； （10）            1 ln( 1) ln 1 n n n ； （11）              1 2 1 cos n n n n n ； （12）           1 1 arctan 1 tan n n n 。 5．讨论下列正项级数的敛散性： （1） n n n     1 （   0 ）； （2）   1    2 n (1 )(1 ) (1 ) n n x x x x  （ x  0 ）；

(3) -sIn (p>0); (4) (a>0)。 6.设{xn}是正数列,若级数∑一发散,证明级数∑ +x 发散 n11+x, 7.若正项级数∑xn收敛,证明级数∑x、21-xn~Vxxm均收敛 ne 8.设{x}是正数列,若叫x,证明级数∑x发散 9.设{xn}是单调减少的正数列,且∑x收敛 (1)证明 lim nx=0; (2)证明∑nx2收敛。 10.判别下列级数的敛散性(在收敛时说明是绝对收敛还是条件收敛) (1)∑cos(rVn2+1); (2) a√厅+(-1) (3)∑(-”hn (4) cOS nT (5) (p>0); (6) (a>0) a[n+(-1) s n 1+a sin 3n 1(2x+1 (9)∑x+1y2 (10)∑(-1)n2e。 11.判断下列交错级数∑(-1)xn的敛散性 32252 2n-1 (2) (x=1,x.=1) 5487 3n-1

（3）           1 1 sin 1 n p n n （ p  0 ）； （4）                 1 1 ln sin 1 ln n n n   （   0 ）。 6．设 { }n x 是正数列，若级数   1 1 n n x 发散，证明级数      1 2 1 1 n n n x x 发散。 7．若正项级数   n1 n x 收敛，证明级数   1 2 n n x 、  n1 1 n n x x 和     1 1 n n n x x 均收敛。 8．设 { }n x 是正数列，若 1 1 lim 1 2                          n n n x n e ，证明级数   n1 n x 发散。 9．设 { }n x 是单调减少的正数列，且   n1 n x 收敛。 （1）证明 lim  0  n n nx ； （2）证明   1 2 n nxn 收敛。 10．判别下列级数的敛散性（在收敛时说明是绝对收敛还是条件收敛）： （1）     1 2 cos( 1) n  n ； （2）       2 ( 1) ( 1) n n n n ； （3）      2 1 ln ( 1) n n n n ； （4）   1  3 cos n n n n ； （5）       2 [ ( 1) ] ( 1) n n p n n （ p  0 ）； （6）      1 1 ( 1) n n n a a n （ a  0 ）； （7）   2 2 ln sin 3 n n n n ； （8）          n 1 1 2 1 n x x n n ； （9）     1 2 2 | | | | n n n n x y ； （10）       1 1 4 ( 1) n n nx n e 。 11．判断下列交错级数      1 1 ( 1) n n n x 的敛散性： （1）    2   3  2 1 5 1 2 1 3 1 2 1 1 （ 2 1 1 2 1    n x n ， n n x 2 1 2  ）； （2）       7 1 8 1 4 1 5 1 1 2 1 （ 3 1 1 2 1    n x n ， 3 2 1 2   n x n ）

12.判别下列级数的敛散性: (1)>1cos"z (2) y sinnasin(n-a 问级数2+2-√ +y2-y2+√2+12-V2 2+…是否收 1已知之为常数,且级数∑收敛证明级数∑《,绝对收敛 15设数列{n}单调减少且趋于0,证明级数∑(-1y“+a“+a收敛 16.设f(x)= arctan x?(p>0),an=f()-「f(x)dt(n=12,…),讨论级数 ∑an的敛散性。 17设g是(-a1+)上的周期为1的连续函数,且∫g(x)=0。又设∫在0上 具有连续导数。记an=「f(x)g(mx)dx(n=12…),证明级数∑a2收敛 §2幂级数 1.求下列幂级数的收敛半径和收敛域: (1) n(1+n) (2) 2n-1 (4)>4 (5)∑-1y-)(x-2y;(6)∑(a-1x(a>0) 2.求下列幂级数的和函数: (2)∑ n+1 2n+1 (3) n(n+1) (4) 3.求下列级数的和

12．判别下列级数的敛散性： （1）   2  2 2 1 cos ln 1 n n n n  ； （2）   1 2 sin sin( ) n n na n a 。 13．问级数 2  2  2  2  2  2  2  2  2  2 是否收敛？ 14.已知  为常数，且级数   1 2 n an 收敛，证明级数   1  2 2 sin n n n a  绝对收敛。 15.设数列 { } an 单调减少且趋于 0，证明级数        1 1 2 ( 1) n n n n a a  a 收敛。 16.设 p f (x)  arctan x （ p  0 ），     1 ( ) ( ) n n an f n f x dx （ n 1,2,  ），讨论级数   n1 an 的敛散性。 17.设 g 是 (,  ) 上的周期为 1 的连续函数，且 ( ) 0 1 0   g x dx 。又设 f 在 [0, 1] 上 具有连续导数。记   1 0 a f (x)g(nx)dx n （ n 1,2,  ），证明级数   1 2 n an 收敛。 §2 幂级数 1．求下列幂级数的收敛半径和收敛域： （1）     1 ln(1 ) n n x n n ； （2）      1 3 ( 3) n n n n x ； （3）      1 2 2 2 2 1 n n n x n ； （4）   1 2 2 4 n n n x ； （5）         1 3 3 1 ( 2) (2 3) (3 1) ( 1) n n n n n x n n ； （6）     1 ( 1) n n n a x （ a  0 ）。 2．求下列幂级数的和函数： （1）       1 1 1 ( 1) n n n nx ； （2）            1 1 1 n n x n n ； （3）      1 ( 1)! ( 1) n n x n n n ； （4）              1 2 1 3 2 2 1 1 ( 1) n n n x n 。 3．求下列级数的和：

(1)S(-1y+m+ (2)S° n!+1 (3) 4.将下列函数展开为 Maclaurin级数,并指出展开式成立的范 (1) 2x-3 (2) In(x (x-1)2 1.1+x1 (3)-ln arctanx-x (4) +e-x+2cosx)。 41-x2 5.求下列函数在指定点的 Taylor展开,并指出展开式成立的范围: (1) cosx, x (2) 5 6.求函数f(x)= arcsin x在x=0点的n阶导数f(O) 7.证明: arctan x 1+∑(-)1+÷+… 2n+1n+1 xk1。 8.设 )、[、为 arctan,x≠0,将f(x)展开成x的幂级数,并求级数 0, 0 (-1)的和 9.求幂级数∑(-1) -的和函数 10.求幂级数∑(-1)2+x2收敛域及和函数。 11.求下列函数项级数的收敛域 (1) (2) 如2n+3(1+x 12.计算 arctan-的近似值,使误差小于10-5 13.计算 x-sinx dx的近似值,使误差小于10

（1）       1 1 2 ( 1) ( 1) n n n n n ； （2）     n 0 1 n n e ； （3）      1 2 ( 1)! ! 1 n n n n 。 4．将下列函数展开为 Maclaurin 级数，并指出展开式成立的范围： （1） 2 ( 1) 2 3   x x ； （2） ln( 9) 3 6 x  x  ； （3） x x x x     arctan 2 1 1 1 ln 4 1 ； （4） ( 2cos ) 4 1 e e x x x    。 5．求下列函数在指定点的 Taylor 展开，并指出展开式成立的范围： （1） cos x， 3  x   ； （2） 5 6 2 x  x  x ， x  5。 6．求函数 f (x)  arcsin x 在 x  0 点的 n 阶导数 (0) (n) f 。 7．证明：                        1 2 2 2 1 1 1 3 1 1 ( 1) 1 arctan n n n n x x n x  ，| x |1。 8．设          0, 0. arctan, 0, 1 ( ) 2 x x x x x f x 将 f (x) 展开成 x 的幂级数，并求级数      1 2 1 4 ( 1) n n n 的和。 9．求幂级数         1 2 2 2 1 1 4 (2 1)! ( 1) n n n n n x 的和函数。 10．求幂级数       1 1 2 1 2 ( 1) n n n x n n 收敛域及和函数。 11．求下列函数项级数的收敛域。 （1）            1  1 1 2 3 1 n n x x n ； （2）   1  2 tan ( 1) 1 n n n x  。 12．计算 4 1 arctan 的近似值，使误差小于 5 10 。 13．计算  2  0 3 sin dx x x x 的近似值，使误差小于 4 10

§3 Fourier级数 1.求f(x)= arcsin(cosx)的 Fourier级数。 2.求f(x)=e(x∈[-2,2])的 Fourier级数 3.将f(x)=2sin(x∈[-x,x])展开为 Fourier级数 4.将f(x)=1-x2(x∈[-1/2,1/2])展开为 Fourier级数。 5.将f(x)= 0≤x≤1/2, u-x,1/20为 常数

§3 Fourier级数 1．求 f (x)  arcsin(cos x) 的 Fourier 级数。 2．求 x f (x)  e （ x[2, 2] ）的 Fourier 级数。 3．将 3 ( ) 2sin x f x  （ x[, ] ）展开为 Fourier 级数。 4．将 2 f (x) 1 x （ x[1/ 2,1/ 2] ）展开为 Fourier 级数。 5．将          1 , 1/ 2 1 , 0 1/ 2, ( ) x x x x f x 展开为正弦级数。 6. 设 2 f (x)  x （ x[0, 1) ）， 且 Fourier 级数为     1 ( ) sin n n S x b nx ，其中   1 0 b 2 f (x)sinn xdx n  ，求        2 1 S 。 7．设 2 f (x)  x  x 在 (, ) 上的 Fourier 级数为 a a nx b nx n n n 0 2 1     ( cos sin )， 求系数 3 b 。 8．已知周期为 2 的连续函数 f 的 Fourier 系数为 0 a ， n a ， n b （ n 1,2,  ）。求 函数     x h x h h f t dt h f x ( ) 2 1 ( ) 的 Fourier 系数 A0 ，An，Bn （ n 1,2,  ），其中 h  0 为 常数