复旦大学：《高等数学》课程练习题（微积分）_常微分方程练习题

常微分方程练习题 §1一阶常微分方程 1.求下列微分方程的通解 (1)y-xy=2(y2+y); (2)yx+(x2-4x)dhy=0 (3)(x2+2x-y2)dx+(y2+2x-x2)dy=0 (4) xy'-y=xtan= (5) xty (6)edx+(xe -2y)dy=0 (7)(xcos y-1)dx+(3y2-x sin ycos y)dy=0 (8) xd+ ydy +4y(x+y )dy (9)(x-xy)dx+(y+x)dy=0; (10)y+2x=xe (11)x2y-y=x2e (12)(y2-6x)y+2y=0; (13)y= 2yIny+y-x (14)xt+(y+-x2)dhy=0 4x (15) y=x; (16) yIn(xy-1=0 (17)xy-y2+2x3cosx=0;

常微分方程练习题 §1 一阶常微分方程 1．求下列微分方程的通解： （1） 2( ) 2 y  xy   y  y  ； （2） ( 4 ) 0 2 ydx  x  x dy  ； （3） ( 2 ) ( 2 ) 0 2 2 2 2 x  xy  y dx  y  xy  x dy  ； （4） x y xy   y  x tan ； （5） 2 1 2 2              x y y y ； （6） e dx  (xe  2y)dy  0 y y ； （7） ( cos 1) (3 sin cos ) 0 2 2 2 x y  dx  y  x y y dy  ； （8） 4 ( ) 0 3 2 2 xdx  ydy  y x  y dy  ； （9） ( ) ( ) 0 2 x  xy dx  y  x dy  ； （10） 2 2 x y xy xe     ； （11） x x x y y x e 1 2 2     ； （12） ( 6 ) 2 0 2 y  x y   y  ； （13） y y y x y y     2 ln ； （14） ( ) 0 4 2 xydx  y  x dy  ； （15） y x x x y y     1 1 4 2 ； （16） xy   y[ln(xy) 1]  0 ； （17） 2 cos 0 2 3 xyy   y  x x  ；

(18)V1+x'y'sin 2y=2xsin2y+e 2i+x (19)(x2y2-1)y+2xy3=0; (20)xy=(x2+y)2+y。 2.求下列微分方程的特解: (1) yIn xx=xIn ydy,y=l (2) tar (4)(+2y)=0,=1 x+ (5)x-yz-(1-x2)x=0,y=0: (6) y'cosx+ysinx=cos'x, y (7)(x-sin y)dy+tan ydx=0,y_=t y)=0,y 3.试确定具有连续导数的一元函数φ,它满足φ(0)=-2,使得 [sin 2x-o(x)tan x]yx +o(x)dy=0 是全微分方程,并求此全微分方程的通解。 4.试确定在(O,+∞)具有连续导数的一元函数q,它满足 9()ht-() =(x)+1 5.有一曲线y=f(x)(f(x)>0),它通过(,1)点,且该曲线在[x上所形成的 曲边梯形的面积等于2x-2,其中y=(x)。求f(x)。 6.设u(x,y)具有二阶连续导数,且不恒等于0。证明u(x,y)=f(x)g(y)的充要 条件为 a-u au au

（18） 2 2 2 2 1 1 sin 2 2 sin x x y y x y e      ； （19） ( 1) 2 0 2 2 3 x y  y   xy  ； （20） xy   x  y  y 2 2 ( ) 。 2．求下列微分方程的特解： （1） y ln xdx  xln ydy ， 1 1  x y ； （2） x y x y y    tan ， 6 1   x y ； （3） 0 2 2 xy   y  y  x  ， 1 1  x y ； （4） 0 ( ) ( 2 ) 2     x y x y dx ydy ， 1 0  x y ； （5） (1 ) 0 2 xdy  ydx   x dx  ， 0 1  x y ； （6） y x y x x 2 cos  sin  cos ， 1 0  x y ； （7） (x sin y)dy  tan ydx  0， 6 1   x y ； （8） xy ln xsin y  cos y(1 xcos y)  0，   x1 y 。 3. 试确定具有连续导数的一元函数  ，它满足 (0)  2 ，使得 [sin 2x (x)tan x]ydx (x)dy  0 是全微分方程，并求此全微分方程的通解。 4．试确定在 (0,  ) 具有连续导数的一元函数  ，它满足           x dt x t t t t 1 2 ( ) 1 ( ) ( )ln    。 5．有一曲线 y  f (x) （ f (x)  0 ），它通过 (1, 1) 点，且该曲线在 [1, x] 上所形成的 曲边梯形的面积等于 2 2  y x ，其中 y  f (x) 。求 f (x) 。 6．设 u(x, y) 具有二阶连续导数，且不恒等于 0。证明 u(x, y)  f (x)g(y) 的充要 条件为 y u x u x y u u         2

某湖泊的水量为F,每年排入湖泊内含污染物A的污水量为,流入湖泊内 不含A的水量为一,流出湖泊的水量为。。已知1999年底湖中A的含量为5m0, 超过国家标准。为了治理污染,从2000年起,限定排入湖泊中含A污水的浓度 不超过,问至多需经过多少年,湖泊中的污染物A的含量会降至m以内(假 定湖水中A的浓度是均匀的)? 8.一摩托艇以10km/h的速度在静水上运动,全速时停止发动机。过了20s后, 摩托艇的速度减至6kmh,试确定发动杋停止2分钟后,摩托艇的速度。假定水 的阻力与摩托艇的运动速度成正比。 §2二阶线性微分方程 1.求下列微分方程的通解: (1)y”+2y-8y=0; (2)y”+4y+6y=0; (3)y4-y=0; (5)y"+y'=2x (6)y”+3y'+2y=3xe-x; (7)y-2y+5y=e sin 2x (8)y”+y=x+cosx; (9)y"-2y+2y=xe cos x (10)y"+ 2 (11)x2y2-3xy+3y=0 (12)x'y-xy'+2y=xInx; (13)(2x-1)2y"+4(2x-1)y-8y=4x-3

7．某湖泊的水量为 V ，每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为 6 V ，流入湖泊内 不含 A 的水量为 6 V ，流出湖泊的水量为 3 V 。已知 1999 年底湖中 A 的含量为 5m0 ， 超过国家标准。为了治理污染，从 2000 年起，限定排入湖泊中含 A 污水的浓度 不超过 V m0 。问至多需经过多少年，湖泊中的污染物 A 的含量会降至 m0 以内（假 定湖水中 A 的浓度是均匀的）？ 8．一摩托艇以 10km/h 的速度在静水上运动，全速时停止发动机。过了 20s 后， 摩托艇的速度减至 6km/h ，试确定发动机停止 2 分钟后，摩托艇的速度。假定水 的阻力与摩托艇的运动速度成正比。 §2 二阶线性微分方程 1．求下列微分方程的通解： （1） y   2y  8y  0 ； （2） y   4y   6y  0 ； （3） 0 (4) y  y  ； （4） 2 0 (4) y  y   y   ； （5） 2 1 2 y   y   x  ； （6） x y y y xe    3   2  3 ； （7） y y y e x x   2   5  sin 2 ； （8） y   y  x  cos x ； （9） y y y xe x x   2   2  cos ； （10） y   y  sin xsin 2x ； （11） 3 3 0 2 x y   xy   y  ； （12） x y xy 2y xln x 2      ； （13） (2 1) 4(2 1) 8 4 3 2 x  y   x  y   y  x 

2.求下列微分方程的特解 (1)y”-4y+13y=0,y-=0,y1, (2)y”-y=4xe',v1=0,y1 (3)y”+y=2xe2+4six,y=0 (4)y-5y′+6y=(12x-7l3,y=0,y1-= 已知y=e是方程(1+x)y"-y-xy=0的一个解,求这个方程的通解。 4.用常数变易法求方程y+2y+y=1的通解。 5.设y=e'C1sinx+C2Osx)(C1,C2是任意常数)为某二阶常系数线性齐次 微分方程的通解,求该方程。 6.设一元函数∫具有二阶连续导数,且∫(O)=f(O)=1。试确定∫,使得在全 平面上曲线积分 ∫5e2-f(xy+Uf(x)-smy 与路径无关,并求「"15e2-f(x)y+(x)- sin y]e。 7.设一元函数厂具有二阶连续导数,z=( e y)满足方程Q 02z 求 8.某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地瞬间,飞机尾部张开减 速伞以增大阻力,使飞机减速停下。现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水 平速度为700km/h。经测试,减速伞打开后,飞机所受阻力与飞机的速度成正 比(比例系数k=60×10°)。问从着陆点算起,飞机滑行的最大距离是多少? 9.一长为20m且质量均匀的链条悬挂在钉子上,开始挂上时有一端为8m。问 不计钉子对链条的摩擦力时,链条自然滑下所需的时间? §3可降阶的微分方程 1.求解下列微分方程: (1)y

2．求下列微分方程的特解： （1） y   4y  13y  0， 0 0  x y ， 3 0   x y ； （2） x y   y  4xe ， 0 0  x y ， 1 0   x y ； （3） y y xe x x    2  4sin ， 0 0  x y ， 0 0   x y ； （4） x y y y x e    5   6  (12  7) ， 0 0  x y ， 0 0   x y 。 3．已知 x y  e 是方程 (1 x)y   y   xy  0 的一个解，求这个方程的通解。 4．用常数变易法求方程 x xe y y y 1   2    的通解。 5．设 ( sin cos ) 1 2 y e C x C x x   （ C1，C2 是任意常数）为某二阶常系数线性齐次 微分方程的通解，求该方程。 6．设一元函数 f 具有二阶连续导数，且 f (0)  f (0) 1 。试确定 f ，使得在全 平面上曲线积分      L x [5e f (x)]ydx [ f (x) sin y]dy 2 与路径无关，并求      ( , ) (0, 0 ) 2 [5 ( )] [ ( ) sin ]   e f x ydx f x y dy x 。 7．设一元函数 f 具有二阶连续导数， z f (e sin y) x  满足方程 e z y z x z 2x 2 2 2 2       ， 求 f 。 8．某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开减 速伞以增大阻力，使飞机减速停下。现有一质量为 9000 kg 的飞机，着陆时的水 平速度为 700 km/h 。经测试，减速伞打开后，飞机所受阻力与飞机的速度成正 比（比例系数 6 k  6.010 ）。问从着陆点算起，飞机滑行的最大距离是多少？ 9．一长为 20m 且质量均匀的链条悬挂在钉子上，开始挂上时有一端为 8m。问 不计钉子对链条的摩擦力时，链条自然滑下所需的时间？ §3 可降阶的微分方程 1．.求解下列微分方程： （1） 2 1 1 x y    ；

(2)y”=y+x; y+y=0 (4)y"=2x√1+y (5)y"=y3+y 8)xyy"+xy/2=3yy' 2.求解下列微分方程的特解 (1)yy+x=0,yn=1,y1,=1; 0 (3)3 0 3.设有一两端固定的均匀且柔软的绳索,它仅受重力的作用而下垂,问该绳索 在平衡状态时是怎样的一条曲线

（2） y   y   x ； （3） 0 3 y   y   y   ； （4） 2 y   2x 1 y  ； （5） y   y   y  3 ； （6） 2 y   1 y  ； （7） yy   y   y y  2 2 ； （8） xyy   xy   3yy  2 。 2．.求解下列微分方程的特解： （1） y  y   x  0， 1 0  x y ， 1 0   x y ； （2） 1 2 y   y   ， 0 0  x y ， 0 0   x y ； （3） 3 0 2 y   y  y   ， 1 0  x y ， 1 0   x y ， 1 0   x y 。 3．设有一两端固定的均匀且柔软的绳索，它仅受重力的作用而下垂，问该绳索 在平衡状态时是怎样的一条曲线