复旦大学：《高等数学》课程练习题（微积分）_一元函数积分学练习题

元函数积分学练习题 §1定积分的概念、性质和微积分基本定理 1.试用定积分表示下列各个极限 (1)im1k3 (2) lim k (3) lim (4)im(n+1(n+2)(2n) 2.证明下列不等式 (2)2 5 3.计算下列导数: d 4.求下列极限 sIn (e-D)dt (1) lim (2)lim 0x2ln(1+x) x SInx 算下列定积分 sin 2x (2)「 o 1+sinx xdx √h 6.证明方程 +t dt 有且只有一个实根 7.设函数∫在 1a上非负连续(a>0),且[1xf(x)dx=0,证明 Ixf(x)dslo 8.设∫在[0,+∞)上连续递增,证明:对于任意给定的b>a>0,成立 ∫)h2(小(x(x 9.设函数∫在[ab上连续,且f(x)>0。证明:J。f(x)d3≈(b-a) 10.设函数∫在[a,b上导数连续,且f(a)=f(b)=0。证明: ∫(xmNr(x

一元函数积分学练习题 §1 定积分的概念、性质和微积分基本定理 1. 试用定积分表示下列各个极限： （1）   n k n k n 1 3 4 1 lim ； （2）    n k n n k nk n 1 2 2 1 lim ； （3）    n k n n k k n 1 2 2 1 lim ； （4） n n n n n n ( 1)( 2) (2 ) 1 lim     。 2. 证明下列不等式： （1）     2 1 2 0 1 3 6 1  dx x dx ； （2）     1 1 6 2 5 2 1 x dx 。 3．计算下列导数： （1）   x t dt dx d 2 tan 0 2 1 ； （2）     ln(1 ) 2 ln(1 ) x x t dt dx d 。 4. 求下列极限： （1） 0 lim x ln(1 ) sin 2 0 2 x x tdt x   ； （2） 0 lim x x x e dt x t sin ( 1) 2 sin 2 0 2   。 5. 计算下列定积分： （1）  4 0 sin 2  xdx ； （2）   2 0 1 sin cos  dx x x ； （3）   1 0 2 1 x xdx ； （4）   e x dx 1 (1 ln ) 。 6. 证明方程   x t dt 0 4 1 0 0 cos 2     x t e dt 有且只有一个实根。 7. 设函数 f 在        a a , 1 上非负连续 (a  0) ，且   a a 1 xf (x)dx 0 ，证明：    a a a a 1 x f x dx 1 f x dx 2 ( ) ( ) 。 8. 设 f 在 [0,  ) 上连续递增，证明：对于任意给定的 b  a  0 ，成立            b b a a xf x dx b f x dx a f x dx 0 0 ( ) ( ) 2 1 ( ) 。 9. 设函数 f 在 [a, b] 上连续，且 f (x)  0 。证明： 2 ( ) ( ) ( ) b a f x dx f x dx b a b a     。 10．设函数 f 在 [a, b] 上导数连续，且 f (a)  f (b)  0 。证明： ( ) max ( ) ( ) 4 2 f x dx f x b a a x b b a      

1.设函数∫在[0,1上导数连续,且f(O)=f(1)=0。证明 ∫f()dk≤「r(x)。 12.设函数/在上连续,J(x)=0,J(x)=1,证明: (1)存在a∈[0,使得f(a)>4 (2)存在b∈[0,,使得|(b)=4 13.设函数∫在[-aa上非负连续(a>0),且“xk=Jx3/(x)=1, ∫x(x)dx=0。证明:对于任意给定的n∈[a0,成立 f(r)drs.I 1+l §2不定积分的计算 1.计算下列不定积分 (1)「23-dx (2)∫( )√xdx, (3) dx. (4) (x+ dx (5) tan x(tan x+sec x)dx (6)「(cos2x 2.计算下列不定积分 (2) x2+2x+2 (3)(x+1)dx (4) arcsin x (5) dx. (6) (7)x sin=dx (8) In x cos x (10) sInk d x (12) in2x +1 x(r+In dx (14) x(x+1) (5)∫.4 (16) x+√x+1 √1

11．设函数 f 在 [0, 1] 上导数连续，且 f (0)  f (1)  0 。证明     1 0 2 1 0 2 [ ( )] 4 1 f (x)dx f x dx 。 12．设函数 f 在 [0, 1] 上连续， ( ) 0 1 0   f x dx ， ( ) 1 1 0   xf x dx ，证明： （1）存在 a [0,1] ，使得 f (a)  4 ； （2）存在 b[0,1] ，使得 f (b)  4。 13. 设函数 f 在 [a, a] 上非负连续 (a  0) ，且 ( ) ( ) 1 2     a a a a f x dx x f x dx ， ( )  0  a a xf x dx 。证明：对于任意给定的 u [a, 0] ，成立 2 1 1 ( ) u f x dx u a    。 §2 不定积分的计算 1．计算下列不定积分： （1）   2 3 dx; x x （2）   (  ) ; 2 1 x x xdx （3）     ; 1 (1 ) 1 2 2 3 2 dx x x （4）   ; ( 1 2 3 dx x x ） （5）  tan x(tan x  sec x)dx; （6）    dx x x ) 1 3 2 (cos 2 2 。 2．计算下列不定积分： （1）   ; 2 5 2 x xdx （2）     ; 2 2 4 3 2 dx x x x （3）    ; 4 ( 1) 2 x x dx （4） dx x x   2 1 arcsin ； （5）    ; 1 3 1 dx e e x x （6）  1 ; 2 x x dx （7） ; 2 sin 2 dx x x   （8）  ; sin x cos x dx （9）   ; 1 2x e dx （10）    ; x 1 x xdx （11）   ; 4 sin sin 2 2 dx x x （12）   ; 4 1 2 2 x x dx （13）    ; ( ln ) 1 dx x x x x （14）   ; ( 1) 1 3 dx x x （15）    ; x x 1 dx （16）    dx x x 1 1

7) dx (18) dx (20) (x2+1) 3.计算下列不定积分: (2) 1+2tanx (5) sin 2 (6) sInx cos x sIn xcos x sIn x db (a≠k丌,k=1,2,…) coS x+ cos a 4.计算下列不定积分: (1)「x2xdx (2) arctan xdx (3) (4) s xdx n(In x) dx d x (10) (11) VAud (12)「(x+1)Nx2+x+lr 5.计算下列不定积分 (1) 1)(x+3) (5) (6) l)(x-2)( (8) 2(x+1) x-1)(x+2x2+1) l)(x2+1)2

（17） ; 1 1 dx x x    （18）   ; x 1 x dx （19）   ; (1 ) arctan 2 2 dx x x x （20） dx x x x    2 2 ( 1) 1 。 3．计算下列不定积分： （1）  xdx 4 sin ； （2）   dx x x tan 1 tan 2 ； （3）   x dx 1 2 tan ； （4）   dx x x 1 cos cos ； （5）   dx x x 2 1 sin cos 2 ； （6）  sin x  3cos x  2 dx ； （7）  dx x x 3 sin cos 1 ； （8）  dx x x 4 4 sin cos 1 ； （9）   dx x x x x sin cos sin cos ； （10）  x  a dx cos cos （ a  k,k 1,2,  ）。 4．计算下列不定积分： （1）  x dx x 2 ； （2）  arctan xdx ； （3）  x ln xdx 3 ； （4）  dx x x 2 arcsin ； （5）  x xdx 2 2 cos ； （6）  x xdx 2 tan ； （7）  dx x ln(ln x) ； （8）   dx e x x 2 sin 1 sin 2 ； （9）  x x 1dx 2 2 ； （10）   dx x x x 2 2 (1 ) arcsin ； （11）   dx x x x 1 ； （12）  (x 1) x  x 1dx 2 。 5．计算下列不定积分： （1）  (x 1)(x  3) dx ； （2）   dx x x 1 4 ； （3）   4  3 4 2 x x xdx ； （4）    dx x x 2 2 3 ( 1) ( 1) ； （5）  (x 1)(x  2)(x  3) xdx ； （6）     2 2 ( 2 5) ( 1) x x x dx ； （7）  ( 1)(  2)( 1) 2 2 x x x x dx ； （8）     2 2 ( 1)( 1) 2( 1) x x x dx

§3定积分的计算 计算下列定积分: (1)「2x2 sin xdx (2) xsin xdx (3)resin xdx (4) arcsin xdx (5)arctan xdx (6)∫m1+x) (7)「 4 xian2xtr, +xdr。 2.计算下列定积分: (1) db (1+In (2)f2(x+2) (3) (x+D)d (4)/arctanxdx (5) d x (6)∫sin3 d sin x+ coSx (7) d 0cos“+sin6 3.计算下列定积分: 1)「max(x,x2)dx, (2)∫1x-lt (3) dx (4) cosx- co dx (5)「sin2xcos3xx; (6)|x r sin nx 4.计算定积分In=] o sinx 5.设f是(-+)上的连续函数,F(x)=(x-2)/()d,证明 (1)若∫为偶函数,则F(x)也是偶函数 (2)若∫为递减函数,则F(x)是递增函数 6.设f(x)= 计算I=「f(x-1)ax。 x>0 7.设,刀]上的连续函数∫满足f(x)=smx+2」(x)女,求f(x) 8.设函数∫在(L+∞)上连续且单调减少,证明 fx)xs∑f(k)≤f(1)+「fx)hx

§3 定积分的计算 1．计算下列定积分： （1） sin ; 2 0 2   x xdx （2） sin ; 0 3   x xdx （3） sin ; 2 0 2 e xdx x   （4） arcsin ; 1 0 x xdx  （5） arctan ; 1 0 x xdx （6） ln(1 ) ; 1 0 2   x dx （7） tan ; 4 0 2   x xdx （8） x x dx   1 0 2 2 1 。 2．计算下列定积分： （1） ; (1 ln ) 2 1 1  dx x x （2）   2  2 2 2 ; 1 ( 2) x x x dx （3） ; 2 1 ( 1) 1  2    x x dx （4） ; (1 ) 1 arctan 0  2 3 / 2  x xdx （5） ; 1 1 0  dx e e x x （6） ; sin cos sin 2 0 3    dx x x x （7） ; cos sin 1 4 0  4 4      d （8）   1 0 3 2 x 1 x dx 。 3．计算下列定积分： （1） max( , ) ; 2 0 2  x x dx （2） 1 ; 2 0 x  e dx x （3） ; 1 2 1 1 1  1   dx x （4） cos cos ; 2 2 3     x xdx （5） sin cos ; 0 2 3   x xdx （6）    2 0 2 x x dx。 4．计算定积分    0 2 sin sin dx x nx I n 。 5．设 f 是 (,) 上的连续函数，    x F x x t f t dt 0 ( ) ( 2 ) ( ) ，证明： （1）若 f 为偶函数，则 F(x) 也是偶函数； （2）若 f 为递减函数，则 F(x) 是递增函数。 6．设          , 0. 1 , 0, ( ) 2 e x x x f x x ，计算    3 0 I f (x 1)dx。 7. 设 [0, ] 上的连续函数 f 满足     0 f (x) sin x 2 f (x)dx ，求 f (x) 。 8. 设函数 f 在 (1, ) 上连续且单调减少，证明  1 1 ( ) n f x dx     n k f k 1 ( )   n f f x dx 1 (1) ( )

9.设函数∫,g在[a,b]上连续,且g(x)≠0。证明:存在5∈(a,b),使得 f∫(x)dhx &(x)dx 8(5) 10.设函数f在[O,上具有二阶连续导数,且f(O)=f(1)=0。证明: (1)f(x)h x(x-Df(x)dx 2 (2)f(x)dr≤max|∫(x)l 12 11.设函数∫在[O,1]上二阶导数连续,且f(O)=f()=0,证明存在x∈(0,1), 使得 ∫/(xk=)+/①+f(x) 6 12.设函数∫在0,上连续,证明:lm[ sin nxI(xt=2 「。f(x)dx。 设函数∫在[a,b上二阶可导,∫(x)≠0,f(a)=f(b)=0,且有x0∈(a,b), 使y=f(x0)>0,f(x0)=0。证明 (1)存在x∈(ax)和x2∈(x,b),使得∫(x)=f(x2)=20 (2)f(x)dx0,0≤t≤2n)与x轴所围图 形的面积 4.求r=2cosb与r=2snb所围公共部分图形的面积。 5.求r=1+cos与r=3cos所围公共部分图形的面积。 6.求由圆盘(x-2)2+(y-3)2≤1分别绕x轴和y轴旋转一周,所得旋转体的体 积 7.求旋轮线x=a(-sin1),y=a(1-cos1)(a>0,0≤t≤2n)与x轴所围图 形绕x轴旋转所成旋转体的体积 8.求r=1+cosθ所围图形绕极轴旋转一周所得旋转体体积。 9.求抛物线y2=4ax(a>0)与过焦点的弦所围图形的面积的最小值,并求出这 时的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 10.求下列曲线段的弧长

9．设函数 f ， g 在 [a, b] 上连续，且 g(x)  0 。证明：存在  (a, b) ，使得 ( ) ( ) ( ) ( )   g f g x dx f x dx b a b a    。 10．设函数 f 在 [0, 1] 上具有二阶连续导数，且 f (0)  f (1)  0 。证明： （1）      1 0 1 0 ( 1) ( ) 2 1 f (x)dx x x f x dx ； （2） max | ( ) | 12 1 ( ) 0 1 1 0 f x dx f x x      。 11．设函数 f 在 [0, 1] 上二阶导数连续，且 f (0)  f (1)  0，证明存在 (0,1) x0  ， 使得      1 0 0 6 ( ) 2 (0) (1) ( ) f f f x f x dx 。 12．设函数 f 在 [0, ] 上连续，证明：       0  0 ( ) 2 lim |sin nx | f (x)dx f x dx x 。 13. 设函数 f 在 [a, b] 上二阶可导， f (x)  0， f (a)  f (b)  0 ，且有 ( , ) x0  a b ， 使 y0  f (x0 )  0 ， f (x0 )  0 。证明： （1）存在 ( , ) 1 0 x  a x 和 ( , ) x2  x0 b ，使得 2 ( ) ( ) 0 1 2 y f x  f x  ； （2）    b a f (x)dx y (x x ) 0 2 1 。 §4 定积分的应用 1．求抛物线 2 y  x 与直线 y  2x  3 所围图形的面积。 2．求由曲线 2 y  x ， 2 4 1 y  x 和直线 y = 1 所围图形的面积。 3．求旋轮线 x  a(t sint)， y  a(1 cost) （ a  0 ，0  t  2 ）与 x 轴所围图 形的面积。 4．求 r  2cos 与 r  2sin 所围公共部分图形的面积。 5. 求 r 1 cos 与 r  3cos 所围公共部分图形的面积。 6．求由圆盘 ( 2) ( 3) 1 2 2 x   y   分别绕 x 轴和 y 轴旋转一周，所得旋转体的体 积。 7. 求旋轮线 x  a(t sint) ， y  a(1 cost) （ a  0 ，0  t  2π ）与 x 轴所围图 形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积。 8．求 r 1 cos 所围图形绕极轴旋转一周所得旋转体体积。 9．求抛物线 4 ( 0) 2 y  ax a  与过焦点的弦所围图形的面积的最小值，并求出这 时的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。 10．求下列曲线段的弧长：

(1)y=e2(0≤x≤2) (2)y=(e+e)(-1sxs1);、兀∠x≤ (3)x=a(cost +tsint), y=a(sint-tcost(a>0,00.0≤b≤2丌)。 11.求下列曲线在指定点的曲率和曲率半径 (1)y=x2,在点(1,1) (2)x= 3r2,y=2r3,在t=1对应的点 12.求下列曲线的曲率和曲率半径 (1)y=x+-(x>0) (2) (3)r=a(a>0); (4) x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a>0)o 13.求曲线y=lnx上曲率最大的点,并求出该点的曲率圆方程 14.求下列旋转曲面的面积: (1)y=snx(0≤x≤x)绕x轴旋转一周生成的曲面 (2)旋轮线x=a(t-sin1),y=a(1-cos1)(a>0,0≤1≤2x)绕x轴一周生 成的曲面 (3)双扭线r2=a2cos2绕极轴产生的曲面。 15.过点(,0)作曲线y=√x-2的切线,求曲线y=√x-2与该切线,以及x轴 所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。 16.有一等腰三角形薄板,底边长为a,高为h米,薄板垂直倒立于水中,底边 与水平面相齐。求水对薄板的侧压力 17.设有一半径为R、高为H的均匀圆柱体平放在水深为2R的水池中(即圆柱 体的侧面与水面相切),圆柱体的密度为p,现将圆柱体抬出水面,需作多少功? (设水的密度为1) 18.设有一均匀的半径为r的圆形薄片,其面积为S。在圆心的正上方有一个单 位质点,质点到圆心的距离为a (1)求薄片的边界对该质点的引力; (2)求薄片对该质点的引力; (3)如果圆心的正上方有一条长为l、质量为m的均匀细杆垂直于薄片,下端 距圆心为a,求薄片对细杆的引力 §5反常积分 算下列无穷限的反常积分: (1) (x-1)(x+2) (2) 0(x2+1)(x+1

（1） x y  e (0  x  2) ； （2） ( ) 2 1 x x y e e    （1 x 1 ）； 2 2     x  （3） x  a(cost  tsint) ， y  a(sint t cost) （ a  0 ，0  t  2 ）； （4） r  a （ a  0, 0   2 ）。 11. 求下列曲线在指定点的曲率和曲率半径： （1） 2 y  x ，在点 (1, 1) ； （2） 2 3 x  3t , y  2t ，在 t 1 对应的点。 12. 求下列曲线的曲率和曲率半径： （1） x y x 1   （ x  0 ）； （2） y x 3x 3   ； （3） r  a （ a  0 ）； （4） x  a(t sint)， y  a(1 cost) （ a  0 ）。 13. 求曲线 y  ln x 上曲率最大的点，并求出该点的曲率圆方程。 14．求下列旋转曲面的面积： （1） y  sin x （ 0  x   ）绕 x 轴旋转一周生成的曲面； （2） 旋轮线 x  a(t sint)， y  a(1 cost) （ a  0，0  t  2π ）绕 x 轴一周生 成的曲面； （3）双扭线 cos 2 2 2 r  a 绕极轴产生的曲面。 15. 过点 (1, 0) 作曲线 y  x  2 的切线，求曲线 y  x  2 与该切线，以及 x 轴 所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。 16．有一等腰三角形薄板，底边长为 a，高为 h 米，薄板垂直倒立于水中，底边 与水平面相齐。求水对薄板的侧压力。 17．设有一半径为 R 、高为 H 的均匀圆柱体平放在水深为 2R 的水池中（即圆柱 体的侧面与水面相切），圆柱体的密度为  ，现将圆柱体抬出水面，需作多少功？ （设水的密度为 1） 18．设有一均匀的半径为 r 的圆形薄片，其面积为 S 。在圆心的正上方有一个单 位质点，质点到圆心的距离为 a 。 （1）求薄片的边界对该质点的引力； （2）求薄片对该质点的引力； （3）如果圆心的正上方有一条长为 l、质量为 m 的均匀细杆垂直于薄片，下端 距圆心为 a ，求薄片对细杆的引力。 §5 反常积分 1．计算下列无穷限的反常积分： （1） dx x x   2 ( 1)(  2) 1 ； （2）      0 2 ( 1)( 1) 1 dx x x x ；

dx ctan (1+x2)2 arcsin (5) xdx: (6) + x (7) (8)∫ arctan dx x√1+2x2+2x 0 (1+x2)2 2.判别下列无穷限反常积分的收敛性 (1)∫ +∞Sn(x (2) dx (3) (4) dx (5)arctan-5dx (6) In(x+1)-Inx 3.计算下列反常积分: (1) (2) /(1-x) (3)∫(x+) In xdx: (4) + x 4.判别下列反常积分的收敛性 (1) +∞ arctan x 2 sin x dx xdx (4) 5.计算下列 Cauchy主值积分 (1)(CP) (2)(CPp)「x -x2+2 6.把下列积分表示为厂函数

（3）    0 2 3 2 (1 x ) xdx ； （4）   1  2 1 arctan dx x x ； （5）    2 2 1 1 arcsin dx x x x ； （6）    0 2 3 2 (1 x ) dx ； （7）     1 2 4 x 1 2x 2x dx ； （8）    0 2 3 2 (1 ) arctan dx x x 。 2．判别下列无穷限反常积分的收敛性： （1）   1  2 2 1 sin( ) dx x x ； （2）    1 2 1 dx x x ； （3）   1  x x e dx ； （4）    1 3 1 ln dx x x ； （5）   1 2 1 arctan dx x ； （6） dx x x x x       1 2 ln( 1) ln 1 。 3．计算下列反常积分： （1）   1 0 1 dx x x ； （2）   1  0 (1 ) 1 dx x x x ； （3）   1 0 (x 1)ln xdx ； （4） dx x x x   1  1 1 1 。 4．判别下列反常积分的收敛性： （1） dx x x    0 4 1 arctan ； （2）  2 1 ln sin dx x x ； （3）    0 1 sin x x xdx ； （4）   0 2 cos dx x x 。 5．计算下列 Cauchy 主值积分： （1）（CPV）   1 2 3 5 x dx ； （2）（CPV）     2 2 x xdx 。 6．把下列积分表示为Γ 函数：

(2) 7.利用r函数计算下列积分: x-e ax: 8.利用B函数计算下列积分: (1)「cos6xsin3 I8 xdx: (2)∫2cos2xsin2xbr 9.计算 (a>0)。 0(1+x2)(1+x) 10.证明当a,b>0时,只要下式两边的反常积分有意义,就有 ax+=dx=

（1） xe dx x    0 3 ； （2） dx x  x  0 2 2 。 7．利用  函数计算下列积分： （1） x e dx x    0 2 3 1 ； （2） x e dx x    0 5 3 。 8．利用  函数计算下列积分： （1）  2 0 6 8 cos sin  x xdx ； （2）  2 0 2 5 2 3 cos sin  x xdx 9．计算   0   2 (1 )(1 ) a x x dx （ a  0 ）。 10. 证明当 a, b  0 时，只要下式两边的反常积分有意义，就有          0 dx x b f ax       0 2 4 1 f x ab dx a