复旦大学：《高等数学》课程练习题（微积分）_答案与提示（全部）

答案与提示 极限与连续练习题 §1函数 1.(1)(-∞,+∞);(2) (4)|-2, 621-1.23/:(3)(-a-U(,2) 2 2.略。 3.(1)偶函数:(2)奇函数;(3)奇函数;(4)偶函数。 5.提示:f(x+c+c)=-f(x+c) 6.(1)不是;(2);(3)不是:(4)z。 7.(1)有界;(2)有界;(3)无界;(4)无界。 0.x≤0. 0.X≤0 8.f°g(x)= x>0, gof(x) 0, fof(x) 0, g8=+ ≤0, x>0 9.(1)f= g choi,其中g(n)=Va,h(v)=1+e",(x)=2x (2)∫=g°hoi,其中g(u)=hu,h(v)=1+y2,i(x)= arctan x; (3)∫= go hoioj,其中g(n)=n3,h(y)=cosy,m(y)=1+w,f(x)=√x。 10.(1)(x)=2x+2acmx:(2)f(x)=kg21=x (3)f-(x)= ,x∈(0,1:(4)f-(x)= 丌- arcsin d,x∈[-1,0] ∈(0,x2] 11.提示:用数学归纳法 §2数列的极限 1.略

1 答案与提示 极限与连续练习题 §1 函 数 1．（1） (,  ) ；（2） k 2 , 2 3 3 π π kπ kπ           ；（3） (, 1)  (1, 2) （4）                      , 2 2 2 , 2 2 2, π π π π   。 2．略。 3．（1）偶函数；（2）奇函数；（3）奇函数；（4）偶函数。 4．略。 5．提示： f x c c f x c ( ) ( )      。 6．（1）不是；（2） 2  ；（3）不是；（4） 3  。 7．（1）有界；（2）有界；（3）无界；（4）无界。 8．       2 , 0, 0, 0, ( ) 2 x x f g x x        2 , 0, 0, 0, ( ) 2 x x g f x x        2 , 0, 0, 0, ( ) 2 x x f  f x x        , 0. , 0, ( ) 4 4 x x x x g  g x 9．（1） f  g  h i ，其中 g(u)  u ， v h(v) 1 e ，i(x)  2x ； （2） f  g  h i ，其中 g(u)  ln u ， 2 h(v) 1 v ，i(x)  arctan x ； （3） f  g  h i j ，其中 3 g(u)  u ，h(v)  cosv ，i(w)  1 w ， j(x)  x 。 10．（1） f (x) 2 2arctan x 1     ；（2） x x f x     1 1 ( ) log 2 1 ； （3） ( ) 2 , (0, 1] 1 2      f x x x x ；（4）           , (0, ]. arcsin , [ 1, 0], ( ) 2 1    x x x x f x 11．提示：用数学归纳法。 §2 数列的极限 1．略

2.(1)2;(2)0;(3)+∞;(4)0;(5)-1;(6)1;(7) 4.(1) m x=-1:(2) Iim x =2:(3) lim s,2 5.lima,=3。 6.lim-+=2。 √5 7. lim x 8.提示:记an=1+ 证明2>1:记bn=1+ ,证明 bn bn 9.提示:an n 10.(1)收敛;(2)收敛:(3)发散。 §3函数的极限 略 2.略 3.(1) 2:(2)3:(3)1:(4)2:(5)2:(6):(7)sec2x;(8)e° (9)e2;(10)g3;(11)-;(12)1:(13)-1:(14)1。 4.f(0+0)=1 03?’(1-0)=√2-1,f(1+0)=-1,f(2-0)=2,f(2+0)=2, 5.f(0-0)=-1,f(0+0 0=0 +0|=0,f(x-0)=0, 2 2 ∫(+0)=-1 7 2

2 2．（1）2；（2）0；（3）  ；（4）0；（5）1 ；（6）1；（7） 2 1 ；（8） 1 e 。 3． 2 1 。 4．（1） lim  1  n n x ；（2） lim  2  n n x ；（3） 2 1 5 lim    n n x 。 5．lim  3  n n a 。 6．lim 2 1    n n n x x 。 7． 2 1 5 lim    n n x 。 8．提示：记 n n n a         1 1 ，证明 1 1   n n a a ；记 1 1 1          n n n b ，证明 1 1  n n b b 。 9．提示：                          k k n a n k n 1 ln 1 1 ln 1 1 1 。 10．（1）收敛；（2）收敛；（3）发散。 §3 函数的极限 1．略。 2．略 3．（1） 2 1 ；（2） 2 3 ；（3）1；（4）2；（5）2；（6） 4 3 ；（7） x 2 sec ；（8） 6 e ； （9） 2 3  e ；（10） 3 1 e ；（11） 2 3 ；（12）1；(13) 1 ；(14) 1。 4． 2 1 f (0  0)  ， f (1 0)  2 1， f (1 0)  1， f (2  0)  2， f (2  0)  2 ， 3 2 3 f (3  0)  。 5． f (0  0)  1， f (0  0)  0 ， 0 0 2          f ， 0 0 2          f ， f (  0)  0 ， f (  0)  1。 6．0。 7． 4 1 

§4连续函数 略 2.(1)x=0,1为无穷间断点; (2)x=1为可去间断点,x=-1为无穷间断点 (3)x=0为可去间断点,x=kx+x(k∈Z)为可去间断点,x=kz(k≠0, 2 k∈Z)为无穷间断点 (4)x=0为振荡间断点; (5)x=k(k∈Z)为可去间断点 (6)x=0为可去间断点。 3.(1);(2)-1;(3)1;(4)27(hn3-1):(5)e (6)ha;(7)1:;(8)e-;(9) 2:(10)ei 4.(1)x2;(2)x;(3)x2:(4)x2。 5.水平渐近线y=1,垂直渐近线x=-2。 6.斜渐近线y=x+1和y=-x-1。 7.垂直渐近线x=-2和x=3,斜渐近线y=x+1 8.提示:f(√x)=f(x) 9.提示:作函数F(x)=f(x+a)-f(x) 0.提是示作函数(=+)0,注2(=0 元函数微分学练习题 §1微分与导数的概念 1.N=0.1时,△S≈2mN≈3.14cm2;N=0.2时,AS≈628cm2。 2.(1) dy=-dx; (2) dy=cos xoxo x+1

3 §4 连续函数 1．略。 2．（1） x  0, 1 为无穷间断点； （2） x 1 为可去间断点， x  1 为无穷间断点； （3） x  0 为可去间断点， 2  x  k  （ k Z ）为可去间断点， x  k （ k  0， k Z ）为无穷间断点； （4） x  0 为振荡间断点； （5） x  k （ k Z ）为可去间断点； (6) x  0 为可去间断点。 3．（1） 6 1 ；（2）1 ；（3）1；（4） 27(ln 3 1) ；（5） 2 e ； （6） ln a ；（7）1；（8） 1 e ；（9） 12 25 ；(10) ln 4 1 e 。 4．（1） 2 x ；（2） x ；（3） 2 x ；（4） 2 x 。 5．水平渐近线 y  1 ，垂直渐近线 x  2。 6．斜渐近线 y  x 1 和 y  x 1。 7．垂直渐近线 x  2 和 x  3 ，斜渐近线 y  x 1。 8．提示： f ( x)  f (x) 。 9．提示：作函数 F(x)  f (x  a)  f (x)。 10．提示：作函数 ( ) 1 ( ) f x n F x f x          ，注意 0 1 0           n k n k F 。 一元函数微分学练习题 §1 微分与导数的概念 1．r  0.1 时， 2 S  2 rr  3.14 cm ； r  0.2 时， 2 S  6.28 cm 。 2．（1） dx x dy 1 1   ；（2） dy  cos xdx

2f(a) 3.(1)e();(2)e 4.0 5.f(1)=-h2,f(1)=h2,f在x=1处不可导 6.切线方程y=ex,法线方程y-e)x-1) §2求导运算 (1)'(x)==+3sec2x:(2)f'(x)=sin x+xcosx+(x2+2x)e (3)f(x)=-1 (4) f(x)=2xarctanx+2 arctan x: (5)f(x)=e2[(1-2x)sn4x+4xcos4x] (6)f(x)=-4(1-: (7)f(x) COSx (8)f(x)=5e sin 2x: (9)f'(x)=xeInx+ (10)f(x) 1(x+1)(x+2)(1 (x+4)(x+5)(x+1x+2x+4x+5 11)/(x)=smx 2xIn Snx+ coS. x (12)f(x)=-(cosx) 2 In cos x tan x 2.略 3.a 4.(1)f"(x)=2mx+ (2)f"(x) (1+x2)2 (3)f(x)=e-(4sn2x-3c0s2x):(4)fx)=e3(6x-12x2+4x2) 5.(1)f(x)=(-1)(n (x+1)”(x-1)

4 3．（1） ( ) ( ) f a f a e  ；（2） ( ) 2 ( ) f a f a e  。 4．0。 5． f  (1)  ln 2， f  (1)  ln 2， f 在 x 1 处不可导。 6．切线方程 y  ex ，法线方程 ( 1) 1    x  e y e 。 §2 求导运算 1．（1） x x f x 2 3sec 2 ( )   ；（2） x f (x) sin x xcos x (x 2x)e 2      ； （3） 2 3 2 (1 ) 1 ( ) x f x    ； （4） f (x) 2x arctan x 2arctan x 2    ； （5） f x e  x x x x x ( ) (1 2 )sin 4 4 cos4 2      ； （6） 3 (1 ) 4(1 ) ( ) x x f x      ； （7） x f x cos 2 ( )  ； （8） f x e x x ( )  5 sin 2 ； （9）          x f x x e x e x x 1 ( ) ln ； （10）                    5 1 4 1 2 1 1 1 ( 4)( 5) ( 1)( 2) 4 1 ( ) 4 x x x x x x x x f x ； （11）                   x x x x x x x x x x f x x sin sin cos sin 2 ln sin ( ) 2 2 ； （12）             3 2 1 2ln cos tan ( ) cos 2 x x x x f x x x 。 2．略， 3． e a 2 1  。 4．（1） x x f x 2(ln 1) ( )    ； （2） f (x)  2 2 (1 ) 2  x ； （3） f x e  x x x ( )  4sin 2  3cos2  ； （4）   2 2 3 f (x) e 6x 12x 4x x      。 5．（1）                n n n n x x f x n ( 1) 1 ( 1) 1 ( ) ( 1) ( 1)! ( ) 1 ；

(2)fo(x)=74"cos4x+;z f(=-1(-x),fo(x) (2n-3)! 2 (4)f(x)=52ecos(2x+nq),其中sm95’cos= 6.(1)f(0)=-3584:(2)f0(x)= 7.f(x)=2"cos2x+ 4 4 +6" cos 6 b=1 2x 9.f(0)=0,f(x)= cos-,x≠0 imf(x)不存在。 x=0 10.提示:用数学归纳法。 §3微分运算 (1) dy=(2x tan 2x+2x sec 2x)dx: (2) dy=-e--(2cos x +sin x)dx (3) dy d x (4)dy ln(1+x2) (1+x2)2 (5)d (6)dy= ax。 2x(1+x) 2.(1)dy dx (2)c f(x) 2√f(x) fo (3)d=4x(x)(xk;(4)=223)。 f2(2x) 3.(1) (2) dy 1-ycos(xy) dh dx 1+xcos(xy) (2) (1-xey)3

5 （2）          2 4 cos 4 2 1 ( ) ( ) n f x x n n ； （3）   2 1 1 2 1 ( )  f  x    x ， 2 2 1 ( ) (1 ) 2 (2 3)!! ( )       n n n x n f x ，n  2,3,  ； （4） ( ) 5 cos(2 ) f ( ) x 2 e x n x n n    ，其中 5 2 sin   ， 5 1 cos   。 6．（1） (0) 3584 (8) f   ； （2） 9 (10) 8! ( ) x f x  。 7．                                  2 6 cos 6 2 4 cos 4 2 2 cos 2 4 1 ( ) ( ) n x n x n f x x n n n n 。 8． 2 1 a   ，b 1。 9． f (0)  0，           0, 0, , 0, 1 cos 1 2 sin ( ) x x x x x f x lim ( ) 0 f x x   不存在。 10．提示：用数学归纳法。 §3 微分运算 1．（1） dy (2x tan 2x 2x sec 2x)dx 2 2   ；（2） dy e x x dx x (2cos sin ) 2     ； （3） dx x x dy 2 3 2 (1 )   ； （4） dx x x dy x x           2 3 2 1 2 2 ln(1 ) ； （5） dx x dy sin 1   ； （6） dx x x dy 2 (1 ) 1   。 2．（1） dx f x f x dy 2 ( ) ( )  ； （2） dx f x f x dy ( ) ( )  ； （3） dy 4xf(x ) f (x )dx 2 2   ； （4） dx f x f x dy 1 (2 ) 2 (2 ) 2    。 3．（1） y x y x dx dy 2 2    ； （2） 1 cos( ) 1 cos( ) x xy y xy dx dy    ； 4．（1） 3 2 2 2 (1 ) (2 ) y y y xe e xe dx d y    ； （2） 2 3 2 (  1)    x y x y dx d y ；

(3) (4) dr2-xe")(y-x)+ 2(-xe")ye"-o1 y+2=3(x+1)。 7.(1) d-y 1 s2(2)d2y_1+t d (3) 1-1)°(1+1) 8.(1)0.6006:(2)0.8747;(3)0.01:(4)2.0125。 n2,S:=( 0.33% 10.=0.33%。 §4微分学中值定理 (-2,1),使f(x)=0,i=1,2 2.提示:作函数f(x)=x3+3px2+3gx+r,证明∫递增 3.提示:作函数F(x)=f(x)-x。 4.提示:存在a13a2∈(a,b),使f(a1)=0,i=1,2。 略。 6.提示:作函数F(x)=f(x)f(1-x)。 7.提示:作函数F(x)=,-f(x),证明F有最大值点x∈(0,+∞) 8.(2)提示:考虑函数e-f(x),先证有两点f(x)-f(x)=0,再作函数 F(x=e('(x)-f(x) b 9.提示:作函数F(x)=(x+, f(x),x∈|a 0.提示:利用 Lagrange中值定理先证有两点51∈(-2,0),2∈(0,2),使得 f(,≤1,1=1,2,再证函数F(x)=f(x)+f(x)2在[51,52]内部取到最大值。 §5 法则 6

6 （3） 2 3 2 ( ) 1 dx x y d y   ； （4） ( ) 2(1 )( 1) (1 ) 2 2 3 2       xy xy xy xy y x x e ye x e e dx d y 。 5． y  2  3(x 1) 。 6．0。 7．（1） 2 csc 4 1 4 2 2 t dx d y   ；（2） 3 2 2 2 1 t t dx d y    ；（3） 3(1 ) (1 ) 2 2 3 2 dx t t d y    。 8．（1）0.6006；（2）0.8747；（3）0.01；（4）2.0125。 9． 2  A  37.70 cm ，  0.33%   A 。 10．  0.33%   R 。 §4 微分学中值定理 1． ( 2, 1) 3 2 7 1, 2     x  ，使 f (xi )  0，i  1, 2。 2．提示：作函数 f (x)  x  3px  3qx  r 3 2 ，证明 f 递增。 3．提示：作函数 F(x)  f (x)  x 。 4．提示：存在 , ( , ) a1 a2  a b ，使 f (ai )  0，i  1, 2。 5．略。 6．提示：作函数 F(x)  f (x) f (1 x)。 7．提示：作函数 ( ) 1 ( ) 2 f x x x F x    ，证明 F 有最大值点 (0, ) x0   。 8．（2）提示：考虑函数 e f (x) x ，先证有两点 f (x)  f (x)  0 ，再作函数 F(x) e ( f (x) f (x)) x    。 9．提示：作函数 ( ) 2 ( ) f x b a F x f x           ，         2 , a b x a 。 10．提示：利用 Lagrange 中值定理先证有两点 ( 2, 0) 1   ， (0, 2)  2  ，使得 f (i ) 1，i  1, 2 ，再证函数 2 2 F(x)  f (x) [ f (x)] 在 [ , ]  1  2 内部取到最大值。 §5 L’Hospital 法则

1);(2)-;(3)1;(4)2;(5 7 (9)1;(10)-2;(11)e-;(12)-1;(13)1;(14)1;(15)-c;(16)2sec2 x tan x; 2 (18)1;(19) 86 Taylor公式 1.(1) V-x)1+3x+15235315 x+—x+ x +olx (2) x 2+o(r) (3)、01+x5=1+5x+15x2+5 x4+o(x4)。 2.(1)h(2+x)=hn2+x-x2+…+( x”+o(x"); (2)h(2-3x+x2)=m_3b 2n+1 28 x+o(x"); (3) =1 1+-x+-x (2n-1) x”+o(x"); (4)x2cos32x=x2-x2+…+(-1) x2+o(x2)。 (2n-2) 3.(1)tan x3+o(x4) (2)e2cosx=1-x2+o(x3)。 4.xhnx=(x-1)+(x-1)21 (x-1)3+o(x-1)3)。 5 5.A=2,B 6.√62≈78402,误8(32/000 7.R2-<0.00021 7

7 1．（1） 2 3 ；（2） 2 1 ；（3）1；（4）2；（5） 32 7 ；（6）4；（7） 3 2 ；（8） 2 ； （9）1；（10） 2 ；（11） 1 e ；（12）1 ；（13）1；（14）1；（15） 2 e  ；（16） 2sec x tan x 2 ； （17） 3 2 ；（18）1；（19） 6 1 e 。 §6 Taylor 公式 1．（1） 3 (1 ) 1  x ( ) 128 315 16 35 8 15 1 3 2 3 4 4   x  x  x  x  o x ； （2） 2 1 x x  ( ) 2 1 3 4  x  x  o x ； （3） 5 (1 x) ( ) 128 5 16 5 8 15 2 5 1 2 3 4 4   x  x  x  x  o x 。 2．（1） ln( 2  x) ( ) 2 1 ( 1) 8 1 2 1 ln2 2 1 n n n n x o x n   x  x       ； （2） ln( 2 3 ) 2  x  x ( ) 2 2 1 8 5 2 3 ln2 2 n n n n x o x n x x       ； （3） 1 x 1 ( ) 2 ! (2 1)!! 8 3 2 1 1 2 n n n x o x n n x x       ； （4） x x 2 2 cos ( ) (2 2)! 2 ( 1) 2 2 2 3 2 4 1 n n n- n x o x n x x          。 3．（1） tan x ( ) 3 1 3 4  x  x  o x ； （2） e x x cos 2 2 ( ) 12 1 1 4 5   x  o x 。 4． xln x ( 1) (( 1) ) 6 1 ( 1) 2 1 ( 1) 2 3 3  x   x   x   o x  。 5． A  2 ， B  1， 4 5 C  。 6． 62  7.87402 ，误差 0.000017 32 1 8 2        R  。 7． 0.00021 4 1 3        R

(1)--;(2)--;(3) 3(4)、1 9.提示:对f在点x处用 Taylor公式 10.提示:对∫在点x处用 Taylor公式,再分别代入x-h,x+h 11.提示:对∫在点x=a+b 用 Taylor公式,再分别代入x=a,b。 12.提示:对f(x0+h)写出在点x=x0的n+1阶的带 Peano余项 Taylor公式。 §7函数的单调性和凸性 1.(1)f在(-∞,-1和[5,+∞)上分别递增,在[-1,5]上递减,在x=-1处取到 极大值13,在x=5处取到极小值-95 (2)∫在-1和,+上分别递减,在-,上递增,在 √2√2 x=⊥处取到极小、在x=处取到极万“ (3)f在(-∞,-2]和⑩,+∞)上分别递增,在[-2,-1)和(-1,0]上分别递减,在 x=-2处取到极大值-4,在x=0处取到极小值0 (4)f在[e-1,+∞)上递增,在(-1,e-1-1上递减,在x=e-1-1处取到极小 值 2.(3)提示:作f(x) sIn x 3.提示:令x=一,作f(x)=hx2(x-1) x+1 4.略 5.(1)fm=f(-3)=36,fm=f(1)=4; (2)fmn=f(1) (3)fm=f(-2)=-9,f 144(2 7)49(7 (4)fmn=f(0)=3,fms=f(m2)=4 6.当a≥e时,方程有一个实根;当a<e时,方程有三个实根。提示:考虑 辅助函数 7.最优批量为70711件。 8.所求点为2,4 4.2),最大面积为 9 10.(1)曲线在(-∞,1上上凸,在[1+∞)上下凸,拐点为(1-2) (2)曲线在[0,+∞)上上凸,在(-∞,0上下凸,拐点为(0,0) (3)曲线在(-∞,-2]上上凸,在[-2,+∞)上下凸,拐点为(-2,-2e-2) (4)曲线在(-∞,-√3],[0,√3]上上凸,在[-3,0],[3,+∞)上下凸,拐点为

8 8．（1） 2 1  ；（2） 4 1  ；（3） 3 2 ；（4） 2 1  ；（5）1． 9．提示：对 f 在点 x 处用 Taylor 公式。 10．提示：对 f 在点 x 处用 Taylor 公式，再分别代入 x  h, x  h。 11．提示：对 f 在点 2 a b x   用 Taylor 公式，再分别代入 x  a, b 。 12．提示：对 ( ) f x0  h 写出在点 0 x  x 的 n 1 阶的带 Peano 余项 Taylor 公式。 §7 函数的单调性和凸性 1．（1） f 在 (, 1] 和 [5,  ) 上分别递增，在 [1, 5] 上递减，在 x  1 处取到 极大值 13，在 x  5 处取到极小值95 ； （2） f 在          2 1 , 和       ,   2 1 上分别递减，在        2 1 , 2 1 上递增，在 2 1 x   处取到极小值 2 1 2 1   e ，在 2 1 x  处取到极大值 2 1 2 1  e ； （3） f 在 (,  2] 和 [0,  ) 上分别递增，在 [2, 1) 和 (1, 0] 上分别递减，在 x  2 处取到极大值 4 ，在 x  0 处取到极小值 0； （4） f 在 [ 1, ) 1     e 上递增，在 ( 1, 1] 1    e 上递减，在 1 1    x e 处取到极小 值 1 e 。 2．（3）提示：作 x x x f x   3 cos sin ( ) ； 3．提示：令 a b x  ，作 1 2( 1) ( ) ln     x x f x x 。 4．略 5．（1） fmax  f (3)  36, fmin  f (1)  4 ； （2） 2 1 (1) fmin  f  ； （3） fmin  f (2)  9， 3 1 max 7 2 49 144 7 5              f  f  ； （4） fmin  f (0)  3， fmax  f (ln 2)  4。 6．当 e a e   时，方程有一个实根；当 e a e   时，方程有三个实根。提示：考虑 辅助函数 f (x)  log 1  a x a x 。 7．最优批量为 70711 件。 8．所求点为       4 , 4 a a ，最大面积为 8 2 a 。 9．r 。 10．（1）曲线在 (, 1] 上上凸，在 [1,  ) 上下凸，拐点为 (1,  2) ； （2）曲线在 [0, ) 上上凸，在 (, 0] 上下凸，拐点为 (0, 0) ； （3）曲线在 (,  2] 上上凸，在 [2, ) 上下凸，拐点为 ( 2, 2 ) 2   e ； （4）曲线在 (,  3]，[0, 3] 上上凸，在 [ 3, 0]，[ 3, ) 上下凸，拐点为

√3 11(1)拐点为(4);:(2)拐点为(+2a3 √3 12.略 元函数积分学练习题 §1定积分的概念、性质和微积分基本定理 1.(1)[x3ax;(2) xd (4) 0 2.(2)提示:1+x°≤(1+x3)2。 3.(1)21+tan+x tan xsec2x:(2) +ln2(1+x +l(1+x2)。 1+ 4.(1)-;(2) 5.(1);(2)h2:(3)√2-1:(4)e。 6.提示:作函数(x)=+ad+。,em,证明厂单调。 提示 (a-x)f(x)x≥0。 8.提示:作函数F0=J()-(小(可()),证明F递增 9.提示:用 Cauchy不等式。 10提是示:记c=2,「(xk=丁(x)+1(x),在这两个积分中 分别对∫用 Lagrange中值定理。 1l.提是示:注意f(x)=Jm/(o,(x)=J,f(o)d,再分别用 Cauchy不等式 12.提示:(1)用反证法,否则,估计积分2(,可得 「x-30(x-4)x=0:(2)先证明35∈[0,使得(5)<4 13.提示:先证∫“(x2+13f(x)≤∫“(ax+13f(x),再放大后一个积分 §2不定积分的计算 1.(1)223 +C:(2)=x2-2x+c:(3)x--x-arcsin x+c In 2-In 3 9

9           4 3 3, ，(0, 0)，         4 3 3, 。 11．（1）拐点为 (1, 4) ； （2）拐点为 2 3 , 3 2   a a     。 12．略。 一元函数积分学练习题 §1 定积分的概念、性质和微积分基本定理 1．（1）  1 0 3 x dx ；（2）   1 0 2 1 x xdx ；（3）   1 0 2 1 x xdx ；（4）   1 0 ln(1 x)dx e 。 2．（2）提示： 6 3 2 1 x  (1 x ) 。 3．（1） x x x 4 2 2 1 tan tan sec ；（2）   ln(1 ) 1 ln 1 ln (1 ) 2 2 x x x      。 4．（1） 3 1 ；（2） 3 8 。 5．（1） 2 1 ；（2） ln 2 ；（3） 2 1 ；（4） e。 6．提示：作函数    x f x t dt 0 4 ( ) 1    0 cos 2 x t e dt ，证明 f 单调。 7．提示： ( ) ( ) 0 1 1           a a a x f x dx a x 。 8．提示：作函数             t t a a F t x f x dx t f x dx a f x dx 0 0 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ，证明 F 递增。 9．提示：用 Cauchy 不等式。 10．提示：记 2 a b c   ，   b a f (x) dx   c a f (x) dx  b c f (x) dx ，在这两个积分中， 分别对 f 用 Lagrange 中值定理。 11．提示：注意       x x f x f t dt f x f t dt 0 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) ，再分别用 Cauchy 不等式。 12 ． 提 示 ：（ 1 ） 用 反 证 法 ， 否 则 ， 估 计 积 分   1 0 ( ) 2 1 x f x dx ，可得  ( ) 4 0 2 1 1 0     x f x dx ；（2）先证明  [0,1] ，使得 f ()  4。 13．提示：先证    u a (u 1) f (x)dx 2 2   u a (ux 1) f (x)dx 2 ，再放大后一个积分。 §2 不定积分的计算 1．（1） c x x    ln 2 ln 3 2 3 ；（2） x  2 x  c 7 2 2 7 ；（3） x  x  arcsin x  c 3 1 3 ；

(4)5x2+3x+3Inx-+c:(5)tan x+secx-x+c (6)x+six +arctan x+c 2.(1)m(2x2+5)+c; (2)2h(x2+2x+2)- arctan(x+1)+c (3)√x2+4+(x+√x2+4)+c:(4) arcsin2x+c 2 (5)l(3e2+1)-x+c (6)-(1-x2) (7)-cos=+c (8) Intan x+c 2 2 (9) arccose-+c (10)=(x+1) (x+ x-+C (11)-2√4-sn2x+c (12) +C: (13) In/x+Inx+c (14)-h +1+ (15)h In (16) arcsin√x-(2+√x)1-x+c; (17) arcsin x+ x+c (18)hn +c +x+ (19)-h arctan x I --arctan x+c (20)-ln (21)-hx+ 2 2x+ xX-1+ 3.(1) 31 sin 2x+sin 4x+c (2)= cos 2x+c (3)x+=In/ sin+cos x+c: (4) x+cot x-cscx+c tar (5)arctan( 2 tan x)-2x+c:(6 √6 tan --1 10

10 （4） c x x  x  x   1 3 3ln 2 1 2 ；（5） tan x  sec x  x  c ； （6） x c x x    3arctan 2 sin 。 2．（1） ln( 2x  5)  c 4 1 2 ； （2） 2ln( x  2x  2)  arctan( x 1)  c 2 ； （3） x  4  ln( x  x  4)  c 2 2 ； （4） x  c 2 arcsin 2 1 ； （5） e x c x ln( 3 1)   3 4 ； （6）  x  c 2 3 2 (1 ) 3 1 ； （7） c x  2 cos 2 1 ； （8） ln tan x  c ； （9） e c x   arccos ； （10） x   x   x  c 2 5 2 3 2 5 5 2 ( 1) 3 2 ( 1) 5 2 ； （11）  x  c 2 2 4 sin ； （12） c x x    4 1 2 ； （13） ln x  ln x  c ； （14） c x x  1 ln 3 1 3 3 ； （15） ln x  x 1 c x x         2 1 5 1 2 1 5 1 ln 5 1 ； （16） arcsin x  (2  x) 1 x  c ； （17） x   x  c 2 arcsin 1 ； （18） c x x      1 1 1 1 ln ； （19） x c x x x x     2 2 2 arctan 2 arctan 1 1 ln 2 1 ； （20） c x x      1 2 1 2 ln 4 2 2 2 ； （21） c x x x x x x x x x               1 2 5 2 ln 2 5 2ln 1 2 5 2 5 2 2 2 。 3．（1） x  x  sin 4x  c 32 1 sin 2 4 1 8 3 ； （2） ln cos 2x  c 4 1 ； （3） x  ln 2sin  cos x  c 5 2 5 1 ； （4） x  cot x  csc x  c ； （5） arctan( 2 tan x)  2x  c 2 3 ； （6） c x x      1 6 2 tan 1 6 2 tan ln 6 1 ；