复旦大学：《高等数学》课程学习园地_可导与连续

可导与连续 我们知道,若函数f在x点可导,那么的它在x0点连续。进一步会问,若函 数∫在一个区间上可导,那么它的导函数∫是否连续呢?不一定。下面的例子 说明了这个问题。考察函数f(x)= sx≠0,它在x=0点的导数为 f'(0) f(x)-f(0) 即∫在x=0点可导。而f在x≠0点的导数为f(x)=2xsn--cos-。由于当 x→0时,f(x)的极限不存在(事实上,左、右极限也都不存在),因此∫在x=0 点不连续。 sinx- xcosx,-丌<x<0, 再考虑函数f(x)=x|simx(|xkx)。此时f(x)={0 x,0<x 由于 limf'(x=lim(sin x+xcosx)=0, lim f(x)=lim(-sin x-x cos x)=0 它们相等且等于∫(0),因此∫在x=0点连续。但f的二阶导数f”在x=0点却 不连续。事实上 rm(o)=lim /(x)-/(0)= lim sinx+xcosx X f(x)-f(0) -sinx-x x f"(0)=im 这说明∫"(0)不存在。因此f"在x=0点不连续 我们可以很容易地找到一个处处连续的函数,但它不一定处处可导,例如函 数∫(x)=x,它处处连续,但在x=0点不可导。这可能会使我们认为,一个处

可导与连续 我们知道，若函数 f 在 0 x 点可导，那么的它在 0 x 点连续。进一步会问，若函 数 f 在一个区间上可导，那么它的导函数 f  是否连续呢？不一定。下面的例子 说明了这个问题。考察函数         0, 0. , 0, 1 sin ( ) 2 x x x x f x 它在 x  0 点的导数为 0 1 lim sin 0 ( ) (0) (0) lim 0 0         x x x f x f f x x 。 即 f 在 x  0 点可导。而 f 在 x  0 点的导数为 x x f x x 1 cos 1 ( )  2 sin  。由于当 x  0 时， f (x) 的极限不存在（事实上，左、右极限也都不存在），因此 f  在 x  0 点不连续。 再考虑函数 f (x)  x |sin x | （ | x |  ）。此时                 sin cos , 0 . 0, 0, sin cos , 0, ( )   x x x x x x x x x f x 由于 lim ( ) lim (sin cos ) 0 0 0 0 0         f x x x x x x ， lim ( ) lim ( sin cos ) 0 0 0 0 0          f x x x x x x 。 它们相等且等于 f (0) ，因此 f  在 x  0 点连续。但 f 的二阶导数 f  在 x  0 点却 不连续。事实上 2 sin cos lim 0 ( ) (0) (0) lim 0 0 0 0               x x x x x f x f f x x ， 2 sin cos lim 0 ( ) (0) (0) lim 0 0 0 0                 x x x x x f x f f x x ， 这说明 f (0) 不存在。因此 f  在 x  0 点不连续。 我们可以很容易地找到一个处处连续的函数，但它不一定处处可导，例如函 数 f (x) | x | ，它处处连续，但在 x  0 点不可导。这可能会使我们认为，一个处

处连续的函数,它的不可导的点并不是很多,最起码这些点之间会有一些“空隙”。 但这是不对的,因为确实存在着处处连续但处处不可导的函数。这样的函数的第 个例子是由 Weierstrass举出来的。他指出,若01+丌,则函数 f(x)=∑a"cos(ba) 处处连续,但处处不可导 我们知道,若一个函数在一个区间(a,b)上的导数恒大于0,则它在(a,b)上 单调增加。但若一个函数在一个点x处大于0,是否它会在x附近单调增加呢? 答案是不一定。例如,函数f(x)= x+2x2sn-,x≠0, 它的导数为 0, x=0 1+4xsn--2cos-,x≠0, ∫(x) 1, x=0. 它在x=0点的每个邻域内都兼取正值和负值,因此函数∫在x=0点的任何邻域 上都不单调

处连续的函数，它的不可导的点并不是很多，最起码这些点之间会有一些“空隙”。 但这是不对的，因为确实存在着处处连续但处处不可导的函数。这样的函数的第 一个例子是由 Weierstrass 举出来的。他指出，若 0  a  1， b 是奇整数，且  2 3 ab  1 ，则函数     0 ( ) cos( ) n n n f x a b x 处处连续，但处处不可导。 我们知道，若一个函数在一个区间 (a, b) 上的导数恒大于 0，则它在 (a, b) 上 单调增加。但若一个函数在一个点 0 x 处大于 0，是否它会在 0 x 附近单调增加呢？ 答案是不一定。例如，函数          0, 0. , 0, 1 2 sin ( ) 2 x x x x x f x 它的导数为           1, 0. , 0, 1 2cos 1 1 4 sin ( ) x x x x x f x 它在 x  0 点的每个邻域内都兼取正值和负值，因此函数 f 在 x  0 点的任何邻域 上都不单调