元函数微分学练习题 §1微分与导数的概念 1.半径为5cm的圆面,如果半径增加0.lcm,试用求微分的方法计算圆面积会 增加多少?如果半径再增加0.lcm,圆面积会比原来增加多少? 2.求微分dy (1)y=l(x+1); (2)y=sin x 3.设函数f在x=a处可导,且f(a)>0,计算下列极限 a+ ( (2)li f(a) 1) 4.设∫是偶函数,且∫(0)存在,求f(0)。 5.设f(x)=2-,试计算∫(),f(),由此说明∫在点x=1处的可导性 6.求曲线y=e2上的点(e)处的切线方程和法线方程 §2求导运算 1.求下列函数的导数: (1) f(x)=In 2+2In x+ tan x (2)f(x)=sinx+xe (3)f(x)= (4)f(x)=(x2+1)arctan2'x 1 (5) f(x)=xe sin 4x: (6)f(x)= t sin x (7)f(x)=h (8)f(x)=e(sin 2x-2 cos 2x) 1-sin x (9)f(x)=x (10)f(x) 4(x+1)(x+2) V(x+4)(x+5) (11)f(x)= (12)f(x)=(cosx)x。 2.证明:曲线√x+y=√G在第一象限任意点上的切线在x,y轴上的截距之和 为常数。 3.当参数a为何值时,抛物线y=ax2与对数曲线y=hx相切? 4.求下列函数的二阶导数 (1)f(x)=xh2x; (2)f(x)=arctan x: (3)f(x)=e cos 2x (4)f(x)=x2e2x; 5.求下列函数的n阶导数
一元函数微分学练习题 §1 微分与导数的概念 1．半径为 5cm 的圆面，如果半径增加 0.1cm，试用求微分的方法计算圆面积会 增加多少？如果半径再增加 0.1cm，圆面积会比原来增加多少？ 2．求微分 dy ： （1） y ln( x 1) ； （2） y sin x。 3．设函数 f 在 x a 处可导，且 f (a) 0 ，计算下列极限 （1） n n f a n f a ( ) 1 lim ； （2） n n n f a n f a 1 1 lim 。 4．设 f 是偶函数，且 f (0) 存在，求 f (0)。 5．设 1 ( ) 2 x f x ，试计算 (1) f ， (1) f ，由此说明 f 在点 x 1 处的可导性。 6．求曲线 x y e 上的点 1, e 处的切线方程和法线方程。 §2 求导运算 1．求下列函数的导数： （1） f (x) ln 2 2ln x 3tan x ； （2） x f x x x x e 2 ( ) sin ； （3） 2 1 ( ) x x f x ； （4） f x x x 2 2 ( ) ( 1)arctan ； （5） f x xe x x ( ) sin 4 2 ； （6） 2 1 1 ( ) x x f x ； （7） x x f x 1 sin 1 sin ( ) ln ； （8） f (x) e (sin 2x 2cos2x) x 。 （9） x e f (x) x ； （10） 4 ( 4)( 5) ( 1)( 2) ( ) x x x x f x ； （11） 2 sin ( ) x x x f x ； （12） 2 1 ( ) (cos ) x f x x 。 2．证明：曲线 x y a 在第一象限任意点上的切线在 x, y 轴上的截距之和 为常数。 3．当参数 a 为何值时，抛物线 2 y ax 与对数曲线 y ln x 相切？ 4．求下列函数的二阶导数： （1） f x x x 2 ( ) ln ； （2） f (x) x arctan x ； （3） f x e x x ( ) cos 2 ； （4） x f x x e 3 2 ( ) ； 5．求下列函数的 n 阶导数：
(1)f(x)=h 1+x (2) f(x)=cos 2x (3)f(x) (4)f(x)=e-cos2x。 6.求下列函数所指定的阶的导数 (1) f(x)=x cos 2x,kf((0) (2)f(x)=xhx,求f(x)。 7.设∫(x)= cos x cOS2xcos3x,求f(x) +b, 8.设∫(x)={snx+cosx 问ab取何值时,函数∫在x=0处可导? x0,求下列函数的微分 (1)y=√f(x) (2)y=In f(x); (3)y=f2(x2) (4)y= arctan f(2x)。 3.求由下列方程确定的隐函数y=y(x)的导数 d x 4.求由下列方程确定的隐函数y=y(x的一阶娄 (1)x2+y2-4xy=0 2) sin( xy)=x 2)y=l(x+y) (3)x2+2xy-y2=2x; (4)x+y-e=0。 5.求曲线{x=-2在(1-2处的切线方程 6.求由参数方程 x=2+1 所确定的函数y=f(x)在t=0时的导数 y=5r2+
（1） x x f x 1 1 ( ) ln ； （2） f (x) cos 2x 2 ； （3） f (x) 1 x ； （4） f x e x x ( ) cos2 。 6．求下列函数所指定的阶的导数： （1） f (x) x cos2x 2 ，求 (0) (8) f ； （2） f (x) x ln x ，求 ( ) (10) f x 。 7．设 f (x) cos x cos 2x cos3x ，求 ( ) ( ) f x n 。 8．设 , 0. sin cos 1 , 0, ( ) x x x x ax b x f x 问 a,b 取何值时，函数 f 在 x = 0 处可导？ 9．设 0, 0. , 0, 1 sin ( ) 2 x x x x f x 求 f (0), f (x) ，并问 lim ( ) 0 f x x 是否存在？ 10．证明： x n n n n x e x x e 1 1 ( ) 1 1 ( 1) 。 §3 微分运算 1．求下列函数的微分： （1） y x tan 2x 2 ； （2） y e x x cos 2 ； （3） 1 1 2 x y ； （4） ln(1 ) 2 2 y x x ； （5） y ln cot x csc x ； （6） y arctan x 。 2．已知 f (x) 为可微函数，且 f (x) 0 ，求下列函数的微分： （1） y f (x) ； （2） y ln f (x) ； （3） ( ) 2 2 y f x ； （4） y arctan f (2x) 。 3．求由下列方程确定的隐函数 y = y(x)的导数 dx dy ： （1） 4 0 2 2 x y xy ； （2） sin( xy) x y 。 4．求由下列方程确定的隐函数 y = y(x)的二阶导数 2 2 dx d y ： （1） 1 y y xe ； （2） y ln( x y) ； （3） x 2xy y 2x 2 2 ； （4） 0 xy x y e 。 5．求曲线 y t t x t t 3 2 , 3 2 在 (1, 2) 处的切线方程。 6．求由参数方程 y t t t x t t 5 4 2 , 2 所确定的函数 y f (x) 在 t 0 时的导数 dx dy
7.求由下列参数方程确定的函数的二阶导数 x=t-sin t (2) x=hn√1+t2, ly=1-cost y= arctan (3){x=1(3-r2 (1+1) 8.计算下列函数值的近似值: (1)tan31° (2)cos29°; (3)h101 (4)33。 9.设测量所得圆桌的直径为d0=120cm,其绝对误差限=02cm,估计由此 算得的圆桌面积A的绝对误差δ和相对误差δ 10.为了计算出球的体积能够精确到1%,问测量球半径R时所允许产生的相对 误差最多为多少?。 4微分学中值定理 1.对函数f(x)=x3+2x2-x-2,在区间[-2,1上验证 Rolle中值定理的结论。 2.设p2-q0,证明:存在ξ∈(a,b),使得 f()+f'(5)=0。 5.应用微分学中值定理证明下列不等式 (2)当0e,x>0) 6.设∫在[0,上连续,在(O,1)上可导,证明:存在5∈(0,1),使得 f'()f(1-5)=f()f(1-5) 7.设f在0+∞)上可导,且0≤f(x1+r3,证明:存在5∈(ab),使得 f"() 8.设∫在[a,b上可导,在(a,b)上二阶可导,f(a)=f(b)=0,且f(a)f(b)>0, 证明:(1)存在ξ∈(a,b),使得f()=0; (2)存在n∈(a,b),使得∫"()=f()。 9.设∫是[a,b]上的连续可导函数,且在(a,b)内二阶可导,证明:存在c∈(a,b), 使下列等式成立
7．求由下列参数方程确定的函数的二阶导数 2 2 dx d y ： （1） 1 cos ; sin , y t x t t （2） arctan ; ln 1 , 2 y t x t （3） (1 ) . (3 ), 3 2 y t x t t 8．计算下列函数值的近似值： （1） tan31 ； （2） cos29 ； （3） ln1.01 ； （4） 5 33 。 9．设测量所得圆桌的直径为 d0 120cm ，其绝对误差限 d 0.2cm ，估计由此 算得的圆桌面积 A0 的绝对误差 A 和相对误差 . * A 10．为了计算出球的体积能够精确到 1%，问测量球半径 R 时所允许产生的相对 误差最多为多少？。 §4 微分学中值定理 1．对函数 ( ) 2 2 3 2 f x x x x ，在区间 [2, 1] 上验证 Rolle 中值定理的结论。 2．设 0 2 p q ，证明：方程 3 3 0 3 2 x px qx r 有且仅有一个实根。 3．设 f 在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 上可导，且 f (0) f (1) 0， 1 2 1 f ，证明存 在 (0, 1) ，使得 f ( ) 1。 4．设 f 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 上可导， f (a) 0， f (b) 0 ，且有 c (a,b) ， 使 f (c) 0 ，证明：存在 (a, b) ，使得 f ( ) f ( ) 0。 5．应用微分学中值定理证明下列不等式： （1） e x x 1 ； （2）当 2 0 x y 时， x y x y tan tan ； （3） a (a x) a x a （ a e, x 0 ）。 6. 设 f 在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 上可导，证明：存在 (0, 1) ，使得 f ( ) f (1 ) f ( ) f (1 )。 7．设 f 在 [0, ) 上可导，且 2 1 0 ( ) x x f x ，证明：存在 (a, b) ，使得 2 2 2 (1 ) 1 ( ) f 。 8．设 f 在 [a, b] 上可导，在 (a, b) 上二阶可导， f (a) f (b) 0 ，且 f (a) f (b) 0， 证明：（1）存在 (a, b) ，使得 f ( ) 0 ； （2）存在 (a, b) ，使得 f () f () 。 9．设 f 是 [a, b] 上的连续可导函数，且在 (a, b) 内二阶可导，证明：存在 c (a,b) ， 使下列等式成立
a+ b (6 f(b)-2 +f(a)= 4f"(c)。 设函数∫在[-2,2]上二阶可导,(x)≤1(x∈[-2 且 f2(0)+(f(0)2=4,证明:存在ξ∈(-2,2),使得f(2)+f"(2)=0。 s5 L'Hospital法则 1.求下列极限 1) (3)lim (4)lim tanx-x →1ln(x+1) x→0x一Smx (5)lim x+2-x+14 (6) arcsin 3x-3arcsin x (8)lim h(1+x3) x→+h(x3+2x+1) x→0snx-tanx (9)lim (e inr- D)si (10)lim cos(re)-cos(xe=-) Cos 2x (11) lim xl-I (12)lim x tan x (13) lin xIn( x + 2e (14) lim x z arcsin 1+ (15)lim (1+x)x-e (16) lim tan(x+h)-2 tan x+ tan(x-h) (18) tan(tan x)-sin(sin x) (19) lim arcsin x r s6 Taylor公式 1.求下列函数的4阶 Maclaurin公式 +x 2.求下列函数的n阶 Maclaurin公式: (1)l(2+x) (2)k(2-3x+x2)
( ) 4 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 f c b a f a a b f b f 。 10. 设 函 数 f 在 [2, 2] 上 二 阶 可 导 ， f (x) 1 （ x [2,2] ）， 且 (0) ( (0)) 4 2 2 f f ，证明：存在 (2, 2)，使得 f ( ) f ( ) 0。 §5 L’Hospital 法则 1．求下列极限： （1） 0 lim x x x sin 2 tan 3 ； （2） 0 lim x ln( 1) 1 1 x x ； （3） x lim ln( 1) ln x x ； （4） 0 lim x ; sin tan x x x x ； （5） 2 lim x 2 2 14 4 x x x ； （6） 0 lim x 3 arcsin 3 3arcsin x x x ； （7） x lim ln( 2 1) ln 3 1 3 2 x x x x ； （8） 0 lim x x x x sin tan ln(1 ) 3 ； （9） 0 lim x x e x x 1 cos 2 ( 1)sin 2 sin ； （10） 0 lim x 3 cos( ) cos( ) x xe xe x x ； （11） 1 lim x x x x 1 ； （12） 2 lim x x x sec x 2 tan ； （13） x lim ln( ) ln( 2 ) 2 x x x e x x e ； （14） x lim 2 1 arcsin 2 x x x ； （15） 0 lim x x x e x 1 (1 ) ； （16） 0 lim h 2 tan( ) 2 tan tan( ) h x h x x h ； （17） 0 lim x x x 2 2 cot 1 ； （18） 0 lim x 3 tan(tan ) sin(sin ) x x x ； （19） 0 lim x 2 1 arcsin x x x 。 §6 Taylor 公式 1．求下列函数的 4 阶 Maclaurin 公式： （1） 3 (1 ) 1 x ； （2） 2 1 x x ； （3） 5 (1 x) 。 2．求下列函数的 n 阶 Maclaurin 公式： （1） ln( 2 x) ； （2） ln( 2 3 ) 2 x x ；
(3)1 (4)x2cos2x。 3.求下列函数的 Maclaurin公式到所指定的项 (1)tanx到含x3的项 (2)e2cosx到含x4的项。 4.写出xhx在x=1处的3阶 Taylor公式。 5.设极限ln 3-(A+B(x-1) =C,求常数ABC 6.利用√l+x的2阶 Maclaurin公式,计算√62的近似值,并估计这一近似的误 差 7.估计ex≈1+x+ xk<的绝对误差 26 8.利用 Taylor公式计算极限 (1)lim sIn xn(1+x)-x2 (2)imn2(m-1-2vn+√m+1) (3) lim (4)lim Sn x.arctanx-x2 x sIn x (5) lim n arctan--arctan n+1 9.设函数∫在O,1上有二阶导数,f(O)=f(1)=0,且f(x≤2。证明: I'(x< 10.设函数∫在(-∞,+∞)上具有三阶导数,且f(x),f"(x)在(-∞,+∞)上有界, 证明f(x),f(x)在(-∞,+∞)上也有界。 11.设函数∫在[a,b]上有二阶导数,证明存在ξ∈(a,b),使 f(a)-2da+b +f(b) (b-a)2 4 12.设函数f在x点附近有n+1阶导数,且成立 (n-1) f(x0+h)=f(x0)+f(x0)h+…+ h "(x0+Oh) h"(0<b<1)。 (n-1)! n 且f(m)(x0)≠0,证明 limb=n+1 §7函数的单调性和凸性 1.求下列函数的单调区间及极值 (1)f(x)=x3-6x2-15x+5 (2)f(x)=xe; (3)f(x)= (4)f(x)=(x+1)h(x+1) 2.证明:
（3） 1 x 1 ； （4） x x 2 2 cos 。 3．求下列函数的 Maclaurin 公式到所指定的项： （1） tan x 到含 3 x 的项； （2） e x x cos 2 2 到含 4 x 的项。 4．写出 xln x 在 x 1 处的 3 阶 Taylor 公式。 5．设极限 1 lim x C x x A B x 2 4 ( 1) 3 ( ( 1)) ，求常数 A, B,C 。 6．利用 1 x 的 2 阶 Maclaurin 公式，计算 62 的近似值，并估计这一近似的误 差。 7．估计 2 6 1 2 3 x x e x x ， 4 1 | x | 的绝对误差。 8．利用 Taylor 公式计算极限： （1） 0 lim x 3 2 sin ln(1 ) x x x x ； （2） n lim ( 1 2 1) 2 3 n n n n ； （3） 0 lim x x x xe x x sin sin 2 2 2 ； （4） 0 lim x 4 2 sin arctan x x x x ； （5） n lim 1 1 arctan 1 arctan 2 n n n 。 9．设函数 f 在 [0, 1] 上有二阶导数， f (0) f (1) 0 ，且 f (x) 2 。证明： f (x) 1。 10．设函数 f 在 (, ) 上具有三阶导数，且 f (x), f (x) 在 (, ) 上有界， 证明 f (x), f (x) 在 (, ) 上也有界。 11．设函数 f 在 [a, b] 上有二阶导数， 证明 存在 (a, b) ，使 ( ) 4 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 f b a f b a b f a f 。 12．设函数 f 在 0 x 点附近有 n 1 阶导数，且成立 f (x0 h) f (x0 ) f (x0 )h 0 1 ( 1) ( 1)! ( ) n n h n f x n n h n f x h ! ( ) 0 ( ) （ 0 1 ）。 且 ( 0 ) 0 ( 1) f x n ，证明 1 1 lim 0 h n 。 §7 函数的单调性和凸性 1．求下列函数的单调区间及极值： （1） ( ) 6 15 5 3 2 f x x x x ； （2） 2 ( ) x f x xe ； （3） x x f x 1 ( ) 2 ； （4） f (x) (x 1)ln( x 1)。 2．证明：
(1)x>0 时,h(1+x)>x (3)0√cosx 3.设00) y°)2>(x3+y2)(x,y>0.b>a>0)。 5.求下列函数在指定区间的最大值与最小值: (1)f(x)=x2+3x2-9x+9在[-41内:(2)f()计个在12)内 (3)f(x)=(x-1)2(x+1)在[-2,内 在p1)内 6.设a∈(0,1),问方程a2- loga x=0有几个实根? 7.某服装厂年产衬衫20万件,分若干批进行生产,每批生产准备费为1万元 假设产品均匀投入市场,且上一批售完后立即生产下一批,即平均库存量为批量 的一半,每年每件衬衫的库存费为0.8元。问如何选择批量,使一年中库存费与 生产准备费的和最小。 8.在曲线√x+√y=√a上找一点P,使该点处的切线与两坐标轴所围成的面积 最大,并求出这最大面积值。 9.一个灯泡吊在半径为r的圆桌的正上方,桌上任意点受到的照度与光线的入 射角的余弦成正比(入射角是光线与桌面的垂线之间的夹角),而与光源的距离 成反比。要使桌子的边缘得到最强照度,问灯泡应挂在桌面上面多高? 10.求下列曲线上凸与下凸相应的区间及拐点 (1)y=x3 (2)y=l(x+Vx2+1) (3)y=xe; (4) 11.求下列曲线的拐点: x=t x=2a cot e (1) (2) ly=3+1 t>0 0e2,其中x≠y (2)Ⅵ1+x2+√1+y2>√4+(x+y)2,其中x≠y
（1） x 0 时， 2 ln(1 ) 2 x x x ； （2） x 0 时， 3 arctan 3 x x x ； （3） 2 0 x 时， 3 cos sin x x x 。 3．设 0 a b，证明： a b b a a b 2( ) ln 。 4．证明：（1）函数 x x f x a 1 ( ) 1 在 (0, ) 内单调减少 (a 0) ； （2） a a a x y 1 ( ) b b b x y 1 ( ) (x, y 0, b a 0)。 5．求下列函数在指定区间的最大值与最小值： （1） ( ) 3 9 9 3 2 f x x x x 在 [ 4,1] 内； （2） x x f x 1 ( ) 在 [1, 2) 内； （3） 3 1 2 f (x) (x 1) (x 1) 在 [2, 1] 内； （4） x x f x e e 2 ( ) 4 在 0,1 内。 6．设 a (0,1) ，问方程 a log a x 0 x 有几个实根？ 7．某服装厂年产衬衫 20 万件，分若干批进行生产，每批生产准备费为 1 万元。 假设产品均匀投入市场，且上一批售完后立即生产下一批，即平均库存量为批量 的一半，每年每件衬衫的库存费为 0.8 元。问如何选择批量，使一年中库存费与 生产准备费的和最小。 8．在曲线 x y a 上找一点 P ，使该点处的切线与两坐标轴所围成的面积 最大，并求出这最大面积值。 9．一个灯泡吊在半径为 r 的圆桌的正上方，桌上任意点受到的照度与光线的入 射角的余弦成正比（入射角是光线与桌面的垂线之间的夹角），而与光源的距离 成反比。要使桌子的边缘得到最强照度，问灯泡应挂在桌面上面多高？ 10．求下列曲线上凸与下凸相应的区间及拐点： （1） 3 9 9 3 2 y x x x ； （2） ln( 1) 2 y x x ； （3） x y xe ； （4） 2 1 x x y 。 11．求下列曲线的拐点： （1） 3 2 y 3t t x t ， t 0 ； （2） 2 2 sin 2 cot y a x a ， 0 。 12．利用函数的凸性，证明不等式： （1） 2 ( ) 2 1 x y x y e e e ，其中 x y ； （2） 2 2 2 1 x 1 y 4 (x y) ，其中 x y
