多元函数积分学练习题 §1二重积分 1.计算二重积分 ao(x)+b以y)db,其中φ是连续函数,a,b为常数 q(x)+(y) 2设一元函数/在上连续,证明[/(5b-o 3.设一元函数∫在上连续,且∫f(x)=A,求∫∫,(x))h 设一元函数∫在[a,b]上连续,证明 ∫1y-x()=1b-10 5.计算下列二重积分 (1)「eddb,其中D是由抛物线y2=x,直线x=0,y=1所围的闭区域 (2)计算i(x-y)b,其中D为直线x=0,y=0和x+y=2所围的闭区 域 (3) yday,其中D是圆x2+y2ax与x2+y2≤y的公共部分(a>0); (4)∫√x2+yadb,其中D是由抛物线x2+y2=1与曲线r=1+s0所围闭 区域中右面的一个; (5)x2+y2+x)tdb,其中D是由椭圆+=1所围的闭区域:
多元函数积分学练习题 §1 二重积分 1．计算二重积分 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x y r dxdy x y a x b y ，其中 是连续函数， a ，b 为常数。 2．设一元函数 f 在 [a, b] 上连续，证明 b a b a f x dx b a f x dx 2 2 ( ) ( ) [ ( )] 。 3．设一元函数 f 在 [0, 1] 上连续，且 f x dx A 1 0 ( ) ，求 1 1 0 ( ) ( ) x dx f x f y dy 。 4．设一元函数 f 在 [a, b] 上连续，证明 b a n y a n b a b t f t dt n dy y x f x dx ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 。 5．计算下列二重积分： （1） D y x e dxdy ，其中 D 是由抛物线 y x 2 ，直线 x 0， y 1 所围的闭区域； （2）计算 D sin(x y) dxdy ，其中 D 为直线 x 0，y 0 和 2 x y 所围的闭区 域； （3） D ydxdy ，其中 D 是圆 x y ax 2 2 与 x y ay 2 2 的公共部分（ a 0 ）； （4） D x y dxdy 2 2 ，其中 D 是由抛物线 1 2 2 x y 与曲线 r 1 cos 所围闭 区域中右面的一个； （5） D (x y x)dxdy 2 2 ，其中 D 是由椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 所围的闭区域；
(6)∫)b,其中D是由直线x+y=1,y=0,x=0所围的闭区域 (7)∫xh,其中D是由抛物线y=x2,y=x2,x=y2,x=ay2所围的 闭区域。 6.设一元函数∫在原点附近可微,且f(0)=0,求极限 ∫f(x2+y)ah 丌t3 7.求曲线(x2+y2)2=a(x3-3y2)所围图形的面积(a>0) 8.求曲面 二=1与平面z=0所围立体的体积(a,b,c>0) §2三重积分 适当交换积分次序,计算。∫。小 2.计算下列三重积分 (1)「(x+y+)dob,其中是由平面x+y+z=1以及三个坐标平面所围 闭区域; (2) ddhd,其中Ω是由z=x2+y2,z=1和z=2所围闭区域 (3)(x+)o,其中Ω是由z=√x2+y2与z=√-x2-y2所围闭区域
（6） D x y e dxdy x y y 2 ( ) ，其中 D 是由直线 x y 1，y 0，x 0 所围的闭区域； （7） D xydxdy ，其中 D 是由抛物线 2 y x ， 2 4 1 y x ， 2 x y ， 2 4 1 x y 所围的 闭区域。 6．设一元函数 f 在原点附近可微，且 f (0) 0 ，求极限 3 2 2 0 2 2 2 ( ) lim t f x y dxdy x y t t 。 7．求曲线 ( ) ( 3 ) 2 2 2 3 2 x y a x xy 所围图形的面积（ a 0 ）。 8．求曲面 1 2 2 2 2 2 c z b y a x 与平面 z 0 所围立体的体积（ a, b, c 0 ）。 §2 三重积分 1．适当交换积分次序，计算 x y dz z z dx dy 0 2 0 1 0 (1 ) sin 。 2．计算下列三重积分： （1） (x y z)dxdydz ，其中 是由平面 x y z 1 以及三个坐标平面所围 闭区域； （2） dxdydz x y e z 2 2 ，其中 是由 2 2 z x y ，z 1 和 z 2 所围闭区域； （3） (x z)dxdydz ，其中 是由 2 2 z x y 与 2 2 z 1 x y 所围闭区域；
(4) x-y-5,aoht,其中Ω是由++=1所围闭区域 (5)⑩(x2+y)dth,其中是由x2+y2=2与二=2所围闭区域 (6)(x2+y2+=2)dob,其中9是2x2 +2与平面z=c所围闭区域 (a,b,c>0); (7) dyde ddd,其中Ω是由x2+y2+z2=1所围闭区域。 3.计算三重积分(x+y+)d,其中9为抛物体22x2+y2与球体 2+y2+2≤3a2的公共部分(a>0 4.计算三重积分 xyzdxdydz 其中g为球体x2+y2+2≤R2在 x2+b2y2+c2 x≥0,y≥0,z≥0的部分(a>0)。 §3重积分的应用 求下列立体的体积 (1)曲面a=x2+y2和2a=a2-x2-y2所围立体(a>0) (2)曲面(x2+y2+2)2=a2(x2+y2)所围立体(a>0) (3)曲面x+y+ 二所围立体(a,b,c>0)。 b 2.求下列曲面的面积
（4） dxdydz c z b y a x 2 2 2 2 2 2 1 ，其中 是由 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 所围闭区域； （5） (x y )dxdydz 2 2 ，其中 是由 x y 2z 2 2 与 z 2 所围闭区域； （6） (x y z )dxdydz 2 2 2 ，其中 是由 2 2 2 2 2 2 b y a x c z 与平面 z c 所围闭区域 （ a, b, c 0 ）； （7） dxdydz x y z dxdydz 2 2 2 ( 2) ，其中 是由 1 2 2 2 x y z 所围闭区域。 3．计算三重积分 x y z dxdydz 2 ( ) ，其中 为抛物体 2 2 2az x y 与球体 2 2 2 2 x y z 3a 的公共部分（ a 0 ）。 4．计算三重积分 2 2 2 2 2 2 a x b y c z xyzdxdydz ，其中 为球体 2 2 2 2 x y z R 在 x 0， y 0， z 0 的部分（ a 0 ）。 §3 重积分的应用 1．求下列立体的体积： （1） 曲面 2 2 az x y 和 2 2 2 2az a x y 所围立体（ a 0 ）； （2） 曲面 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 x y z a x y 所围立体（ a 0 ）； （3） 曲面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 与 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 所围立体（ a,b,c 0 ）。 2．求下列曲面的面积：
(1)求曲面x2+y2=a2被两平面x+z=0,x-=0所截的在x≥0,y≥0部 分的面积(a>0); (2)设一平面曲线的方程为 y=:(x2-2lnx),1≤x≤4, 求该曲线绕y轴旋转一周所得旋转曲面的面积 (3)求曲面x2+y2=2c包含在柱面(x2+y2)2=2a2xy内的那部分面积 (a>0) 3.设一物体所占的区域由曲面c=x2+y2和z=2a-x2+y2所围成(a>0) 其密度为常数1 (1)求该物体的重心 (2)求该物体关于z轴的转动惯量 4求均匀椭球体Ω={(x,y,=) >×y+2S1}关于三个坐标平面的转动惯量。 5.求高为h,顶角为2a的均匀圆锥体对位于它的顶点的质点的引力,这里设圆 锥体的密度为常数p,质点的质量为1。 §4两类曲线积分 1.计算下列第一类曲线积分: (1)jy1b,其中L={(xy)y2=20≤x (2)∫(x+y+=x)ds,其中L为球面x2+y2+=2=d2和平面x+y+ (a>0)的交线;
（1）求曲面 2 2 2 x y a 被两平面 x z 0 ， x z 0 所截的在 x 0， y 0 部 分的面积（ a 0 ）； （2）设一平面曲线的方程为 ( 2ln ) 4 1 2 y x x ，1 x 4， 求该曲线绕 y 轴旋转一周所得旋转曲面的面积； （3） 求曲面 x y 2az 2 2 包含 在 柱面 x y a xy 2 2 2 2 ( ) 2 内的那部 分面 积 （ a 0 ）。 3．设一物体所占的区域由曲面 2 2 az x y 和 2 2 z 2a x y 所围成（ a 0 ）， 其密度为常数 1。 （1） 求该物体的重心； （2） 求该物体关于 z 轴的转动惯量。 4．求均匀椭球体 ( , , ) 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x x y z 关于三个坐标平面的转动惯量。 5．求高为 h ，顶角为 2 的均匀圆锥体对位于它的顶点的质点的引力，这里设圆 锥体的密度为常数 ，质点的质量为 1。 §4 两类曲线积分 1．计算下列第一类曲线积分： （1） L | y | ds ，其中 2 ( , ) 2 , 0 2 p L x y y px x ； （2） L (xy yz zx)ds ，其中 L 为球面 2 2 2 2 x y z a 和平面 2 3a x y z （ a 0 ）的交线；
(3) ds,其中L为曲线x=e'cost,y=e'sint,z=e'上相应于 从0到2的一段弧 (4)「zs,其中L为曲面x2+y2==2和y2=ax(a>0)的交线上自O(0,0,0) 到A(aa,a√2)的一段 2.计算下列第二类曲线积分: 其中L是以A(1,0),B(O,1),C(-1,0),D(0,-1)为顶点的正 |x|+|y 方形的边界,定向取逆时针方向 (2).8(yh-xd),其中L为双扭线r2=d2s3的右面的一半,定向 取逆时针方向; (3)jo2-=2)+(x2-x2)+(x2-y)k,其中L为球面x2+y2+2=1在第 一卦限部分的边界曲线,自z轴的正方向看为逆时针方向 (4)j0-)+(=-x0+(x-y),其中L为球面x2+y2+2=a2(a>0) 与平面y= tana(0<a<z)的交线,自x轴的正方向看为逆时针方向 3.若悬链线的一段y=e+e(0≤x≤a)上每一点的密度与该点的纵坐 标成反比,且在点(0,a)处的密度等于p,求该曲线段的质量。 4.在力场F(x,y,z)=yzi+xy+xk的作用下,一质点由原点沿直线运动到椭球 面+,+=1上的点M(5,n5),问M在该椭球面的何处时,F所作的功最 大?
（3） L ds x y z 2 2 2 1 ，其中 L 为曲线 x e t t cos ， y e t t sin ， t z e 上相应于 t 从 0 到 2 的一段弧； （4） L zds ，其中 L 为曲面 2 2 2 x y z 和 y ax 2 （ a 0 ）的交线上自 O(0, 0, 0) 到 A(a, a, a 2) 的一段。 2．计算下列第二类曲线积分： （1） L x y dx dy | | | | ，其中 L 是以 A(1, 0) ， B(0, 1) ，C(1, 0) ， D(0, 1) 为顶点的正 方形的边界，定向取逆时针方向； （2） L ydx xdy x y xy ( ) 2 2 ，其中 L 为双扭线 2 2 2 r a cos 的右面的一半，定向 取逆时针方向； （3） L (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 ，其中 L 为球面 1 2 2 2 x y z 在第 一卦限部分的边界曲线，自 z 轴的正方向看为逆时针方向； （4） L (y z)dx (z x)dy (x y)dz ，其中 L 为球面 2 2 2 2 x y z a （ a 0 ） 与平面 y x tan （ 2 0 ）的交线，自 x 轴的正方向看为逆时针方向。 3．若悬链线的一段 a x a x e e a y 2 （ 0 x a ）上每一点的密度与该点的纵坐 标成反比，且在点 (0, a) 处的密度等于 p ，求该曲线段的质量。 4．在力场 F(x, y,z) yzi zxj xyk 的作用下，一质点由原点沿直线运动到椭球 面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 上的点 M(,, ) ，问 M 在该椭球面的何处时， F 所作的功最 大？
§5两类曲面积分 1.计算下列第一类曲面积分 (1)J(x2+y2+=)s,其中为八面体x1+y1+1=1的表面 (2)J(x2+)△s,其中Σ为抛物面二=x2+y2被平面二=2截下的有限部分 (3)jo+=+=△,中为圆面=√+炉被柱面x+y=2截下 的有限部分(a>0); (4)∫24,其中Σ为圆锥面的一部分,其参数方程为x= rcos Osin a y= rsin asin a,z= rcos a(0≤r≤h,0≤≤2x),这里00 为常数 2.求锥面x2=y2+2包含在柱面x2+y2=R2(R>0)内的部分的面积 3.设半径为R的球面S的球心在定球面Σ:x2+y2+2=a2(a>0)上,问R 取何值时球面S在定球面∑内部的部分面积最大? 4.设一元函数∫连续,Σ为球面x2+y2+2=1。证明 ∫(ax+by+c)△s=2[(nNa2+b5+cMh 5.计算下列第二类曲面积分: (1)+y+xbdb,其中∑为锥面=x2+y2被平面=h所截的有 限部分的外侧 (2)∫h+yhd+=dd,其中Σ为上半球面z=√R-x2-y2,定向为 上侧; (3)Je-(x2+y2)kd,其中∑为锥面=x 与两平面z=1,z=3所 围立体的表面,定向取外侧; (4)』xdh+y+(x-a)dd,Σ为上半球面=c+、R2-(x-)2-(y-b) 的上侧 6.求面密度为P的均匀半球壳x2+y2+22=R2(z≥0)关于二轴的转动惯量
§5 两类曲面积分 1．计算下列第一类曲面积分： （1） (x y z )dS 2 2 2 ，其中 为八面体 | x | | y | | z |1 的表面； （2） (x z)dS 3 ，其中 为抛物面 2 2 z x y 被平面 z 2 截下的有限部分； （3） （xy yz zx)dS ，其中 为圆锥面 2 2 z x y 被柱面 x y 2ax 2 2 截下 的有限部分（ a 0 ）； （4） z dS 2 ，其中 为圆锥面的一部分，其参数方程为 x r cos sin ， y rsin sin ， z r cos （ 0 r h，0 2 ），这里 0 / 2 ，h 0 为常数。 2．求锥面 2 2 2 x y z 包含在柱面 2 2 2 x y R （ R 0 ）内的部分的面积。 3．设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 ： 2 2 2 2 x y z a （ a 0 ）上，问 R 取何值时球面 S 在定球面 内部的部分面积最大？ 4．设一元函数 f 连续， 为球面 1 2 2 2 x y z 。证明 1 1 2 2 2 f (ax by cz)dS 2 f (u a b c )du 。 5．计算下列第二类曲面积分： （1） xdydz ydzdx zdxdy ，其中 为锥面 2 2 z x y 被平面 z h 所截的有 限部分的外侧； （2） xzdydz yzdzdx z dxdy 2 ，其中 为上半球面 2 2 2 z R x y ，定向为 上侧； （3） e x y dxdy z ( ) 2 2 4 ，其中 为锥面 2 2 z x y 与两平面 z 1， z 3 所 围立体的表面，定向取外侧； （4） x dydz y dzdx (x a)dxdy 2 2 ， 为上半球面 2 2 2 z c R (x a) (y b) 的上侧。 6．求面密度为 0 的均匀半球壳 2 2 2 2 x y z R （ z 0 ）关于 z 轴的转动惯量
s6 Green公式及其应用 1.计算双扭线(x2+y2)2=a2(x2-y2)(a>0)所围平面图形的面积。 2.利用 Green公式计算下列曲线积分 (1) +y2x+川xy+l(x+√x2+y2),其中L是以点A(1,1),B(2,2)和 C(1,3)为顶点的三角形的正向边界; (2) Jle'sin y-bx+y)k+ le cos y-apy(a>0,b>0),其中L为上半圆 弧y=√2ax-x2,方向自(2a,0)到(0,0) 3)4x+y2,其中是圆周(x-+2=4,定向为迎时针方向 3计算曲线积分(x2+1-smx)- ecos xcx,其中L是抛物线y=x2从点 (0,0)到(1,1)的一段。 4证明曲线积分(x+2)+在半平面D=(xy)1x+y>0上与路径无关 x 并计算∫(+2),这里积分路径不与直线y=-x相交。 5.设D={(xy)1y>0,问微分形式o=a-h 在D上是否有原函数? 若有,试求之 6.选取a,b,使得微分形式=(+2+ax)-(x2+2xy+b2)为某个 (x-+y 2)2 元函数u的全微分,并求出u 7.设二元函数Q在全平面上具有连续偏导数,且在Oxy平面上曲线积分
§6 Green 公式及其应用 1．计算双扭线 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x y a x y （ a 0 ）所围平面图形的面积。 2．利用 Green 公式计算下列曲线积分： （1） L x y dx y[xy ln(x x y )]dy 2 2 2 2 ，其中 L 是以点 A(1, 1) ，B(2, 2) 和 C(1, 3) 为顶点的三角形的正向边界； （2） L x x [e sin y b(x y)]dx [e cos y ax]dy （ a 0，b 0 ），其中 L 为上半圆 弧 2 y 2ax x ，方向自 (2a, 0) 到 (0, 0) ； （3） L x y xdy ydx 2 2 4 ，其中 L 是圆周 ( 1) 4 2 2 x y ，定向为逆时针方向； 3.计算曲线积分 L y y (x 1 e sin x)dy e cos xdx 2 ，其中 L 是抛物线 2 y x 从点 (0, 0) 到 (1, 1) 的一段。 4．证明曲线积分 L x y x y dx ydy 2 ( ) ( 2 ) 在半平面 D {(x, y) | x y 0} 上与路径无关， 并计算 (2, 1) (1, 2) 2 ( ) ( 2 ) x y x y dx ydy ，这里积分路径不与直线 y x 相交。 5．设 D {(x, y) | y 0} ，问微分形式 2 2 3x 2xy 3y ydx xdy 在 D 上是否有原函数？ 若有，试求之。 6．选取 a ，b ，使得微分形式 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 2 ) ( 2 ) x y y xy ax dx x xy by dy 为某个 二元函数 u 的全微分，并求出 u 。 7．设二元函数 Q 在全平面上具有连续偏导数，且在 Oxy 平面上曲线积分
∫2+g(xy与路径无关。若对于任意恒有 2xydx+O(x, y)dy 2xyax+o(x, y)dy 求函数Q。 8.设平面区域D={(x,y)10≤x≤x,0≤y≤m},D的边界aD取正向。证明 (2)fxe sindy e-dx≥2n2。 §7 Gauss公式和 Stokes公式 1.利用 Gauss公式计算下列曲面积分: (1)』xd+x2ytd+y2dd,其中∑是两曲面=x2+y2,x2+y2=1和三 个坐标平面在第一卦限所围立体的外侧; (2)』xd+y2ddk+=oy,其中∑是球面(x-a)2+(y-b)2+(=-c)2=R2 的外侧(R>0) (3)radd=+(a+2 )dxdy (x2+y7,其中Σ是下半球面二=-a2-x2-y2的上侧 (a>0) 4)j女+,其中是球面x++2=1的外侧(020 2.利用 Stokes公式计算下列曲线积分: b>0,c>0) (1)j(x+2y)+(4x-2y)+(3x+)k,其中L是椭圆 (x+2y-5)2+(x-y+1)2=1, 从z轴的正向看为逆时针方向 (2) ∫(=-y)+(x-)b+(x-y)t,其中L是曲线 1, 从z轴的负 x-y+=2, 向看为顺时针方向 (3)J(2+2)+(2+x2)h+(x2+y2),其中L是球面x2+y2+=2=4x与 圆柱面x2+y2=2x的交线在z≥0的部分,顶视为逆时针走向
L 2xydx Q(x, y)dy 与路径无关。若对于任意 t 恒有 (1, ) (0, 0) ( , 1) (0, 0) 2 ( , ) 2 ( , ) t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy ， 求函数 Q 。 8．设平面区域 D {(x, y) | 0 x , 0 y }， D 的边界 D 取正向。证明 （1） D y x D y x xe dy ye dx xe dy ye dx sin sin sin sin ； （2） sin sin 2 2 D y x xe dy ye dx 。 §7 Gauss 公式和 Stokes 公式 1．利用 Gauss 公式计算下列曲面积分： （1） xzdydz x ydzdx y zdxdy 2 2 ，其中 是两曲面 2 2 z x y , 1 2 2 x y 和三 个坐标平面在第一卦限所围立体的外侧； （2） x dydz y dzdx z dxdy 2 2 2 ，其中 是球面 2 2 2 2 (x a) (y b) (z c) R 的外侧（ R 0 ）； （3） 2 2 2 1/ 2 2 ( ) ( ) x y z axdydz a z dxdy ，其中 是下半球面 2 2 2 z a x y 的上侧 （ a 0 ）； （4） 2 2 2 3/ 2 (ax by cz ) xdydz ydzdx zdxdy ，其中 是球面 1 2 2 2 x y z 的外侧（ a 0 ， b 0，c 0 ）。 2. 利用 Stokes 公式计算下列曲线积分： （1） L (x 2y)dx (4x 2y)dy (3x z)dz ，其中 L 是椭圆 4, 3 2 5) ( 1) 1, 2 2 z （ x y x y 从 z 轴的正向看为逆时针方向； （2） L (z y)dx (x z)dy (x y)dz ，其中 L 是曲线 2, 1, 2 2 x y z x y 从 z 轴的负 向看为顺时针方向； （3） L (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 ，其中 L 是球面 x y z 4x 2 2 2 与 圆柱面 x y 2x 2 2 的交线在 z 0 的部分，顶视为逆时针走向；
(4)j(x+y)t+(3x+y0+,其中L是曲线x=asm2t,y=2 asin cost, z=acos2t(a>0),其方向按参数t从0到x的方向。 3.设∫是具有连续导数的一元函数,计算 dyd=+-f=dxdx+=dxdy 其中∑是曲面y=x2+2和y=8-x2-2所围立体的外侧。 计算第二类曲面积分1=2++2,其中Σ为球面 3(ax2+by2+c2)2 x2+y2+z2=1的外侧(a,b,c均为正常数)。 5.已知流体的速度场为v=(2x-2)+x2y-x2k,求流体通过正方体 Ω={(x,y,z)|0≤x≤a,0≤y≤a,0≤x≤a}全表面的外侧的流量 §8场论 1.求向量场v=(3x2z+2y)+(y2-3x)+3zk的散度和旋度。 2.证明:若函数u具有二阶连续偏导数,则rot( gradu)=0。 3.设二元函数厂在R上可微,且满足lmn(xy=+。证明:对于任何 向量v=(a,b),存在(x0,y)∈R2,使得 gradf(x0,y)=p 4.证明向量场F=(x2-2y)i+(y2-2x)j+(x2-2x)k是是R3上的势量场,并 求它的势函数 5.设∑为光滑封闭曲面,且原点不在∑的边界上。记n为Σ上点(x,y,)处的单 位外法向量,r=x+y+k,求1==("△,其中r=x2+y2+2,(n) 为r与n的夹角。 6.设二元函数u在R2上具有二阶连续偏导数。证明u是调和函数的充要条件为: 对于R2中任意光滑封闭曲线C,成立∫=0,其中为沿C的外法线方向 的方向导数
（4） L (x y)dx (3x y)dy zdz ，其中 L 是曲线 x a t 2 sin ， y 2asint cost ， z a t 2 cos （ a 0 ），其方向按参数 t 从 0 到 的方向。 3.设 f 是具有连续导数的一元函数，计算 dzdx zdxdy y x f x dydz y x f y 1 1 ， 其中 是曲面 2 2 y x z 和 2 2 y 8 x z 所围立体的外侧。 4 ． 计 算 第 二 类 曲 面 积 分 2 3 2 2 2 (ax by cz ) xdydz ydzdx zdxdy I ，其中 为球面 1 2 2 2 x y z 的外侧（ a, b, c 均为正常数）。 5 ． 已 知 流 体 的 速 度 场 为 v i j k 2 2 (2x z) x y xz ， 求 流 体 通 过 正 方 体 {(x, y,z) | 0 x a, 0 y a, 0 z a} 全表面的外侧的流量。 §8 场论 1. 求向量场 v (3x z 2y)i (y 3xz) j 3xyzk 2 2 的散度和旋度。 2. 证明：若函数 u 具有二阶连续偏导数，则 rot(gradu) 0。 3．设二元函数 f 在 2 R 上可微，且满足 2 2 | ( , ) | 2 lim 2 x y f x y x y 。证明：对于任何 向量 v (a, b) ，存在 2 0 0 (x , y )R ，使得 ( , ) v 0 0 gradf x y 。 4．证明向量场 F ( 2 )i ( 2 ) j ( 2 )k 2 2 2 x yz y xz z xy 是是 3 R 上的势量场，并 求它的势函数。 5．设 为光滑封闭曲面，且原点不在 的边界上。记 n 为 上点 (x, y,z) 处的单 位外法向量， r xi yj zk ，求 dS r I 2 cos(r, n) ，其中 2 2 2 r x y z ，(r, n) 为 r 与 n 的夹角。 6．设二元函数 u 在 2 R 上具有二阶连续偏导数。证明 u 是调和函数的充要条件为： 对于 2 R 中任意光滑封闭曲线 C ，成立 0 C ds n u ，其中 n u 为沿 C 的外法线方向 的方向导数
