多元函数微分学练习题 §1多元函数的极限和连续 1.设f(x,y)= (1)证明 lim lim f(x,y)= lim lim f(x,y)=0; 0y-0 (2)证明limf(x,y)不存在 2.下列极限是否存在?若存在,求出极限。 (1) lim (x+ y)In(x+y) (2) lin 1-cos(x+y) (x,y)+(0,0) (x,y)+(0,0) (3)im (4)lim1+ y+∞ 3.问下列函数在(O,0)点是否连续? y 0. 1)f(x,y) 0, 0 x3+y3 ,x2+y2≠0 (2)f(x,y)= 0 0 4.设D是O平面中的有界闭区域,M为D外的一点。证明在D中必存在点P 和P,使它们分别为D中与离M0最近和最远的点 §2偏导数、全微分、方向导数和梯度 1.求下列函数的偏导数或全微分: (1)z= arc cot,求 (2)z=(+x)y,求, (3)z=10x,求d; (4)=l(x2+y2+=2),求da (x"+y")sin 设f(x,y) 0 x2+y2=0 问:(1)∫在(0,0)点是否连续?
多元函数微分学练习题 §1 多元函数的极限和连续 1．设 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) x y x y x y f x y （1） 证明 limlim ( , ) limlim ( , ) 0 0 0 0 0 f x y f x y x y y x ； （2） 证明 lim ( , ) ( , ) (0,0) f x y x y 不存在。 2．下列极限是否存在？若存在，求出极限。 （1） lim ( )ln( ) 2 2 ( , ) (0, 0) x y x y x y ； （2） 2 2 3 2 2 ( , ) (0, 0) ( ) 1 cos( ) lim x y x y x y ； （3） x y y x x y xy 2 2 lim ； （4） x y x y x x 2 1 lim 1 4 。 3．问下列函数在 (0, 0) 点是否连续？ （1） 0, 0; , 0, ( , ) 2 2 2 2 6 2 3 x y x y x y x y f x y （2） 0, 0. sin , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 3 3 x y x y x y x y f x y 4．设 D 是 Oxy 平面中的有界闭区域， M0 为 D 外的一点。证明在 D 中必存在点 P0 和 P1 ，使它们分别为 D 中与离 M0 最近和最远的点。 §2 偏导数、全微分、方向导数和梯度 1．求下列函数的偏导数或全微分： （1） x y z arc cot ，求 x z ， y z ； （2） y z (1 xy) ，求 x z ， y z ； （3） x y z 10 ，求 dz ； （4） ln( ) 2 2 2 z x y z ，求 dz (1, 1, 1) 。 2．设 0, 0. , 0, 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 问：（1） f 在 (0, 0) 点是否连续？
(2)f在(0,0)点是否可导? (3)∫在(O,0)点是否连续? (4)∫在(0,0)点是否可微? 3.设f(x,y)=xe+(x-1)2ln(1+y)+ arctan2|,求f、(,0),f(20) 4.曲线 y=44,在点(245)处的切线与x轴的正向所夹的角度是多少? 5.如果可微函数f(x,y)在点(,2)处的从点(1,2)到点(2,2)方向的方向导数为2, 从点(1,2)到点(1,1)方向的方向导数为-2。求 (1)这个函数在点(1,2)处的梯度; (2)点(1,2)处的从点(,2)到点(4,6)方向的方向导数 6.证明函数z=2在椭圆x2+2y2=c2(c是常数)上任一点处沿椭圆法向的方 向导数等于 7.已知二元函数∫满足 f(x,y)=-siny+-, f(o, y)=2sin y 1-x 求∫的表达式。 8.设z= arcsin 求a b)2 9.证明:函数u= e4a(a,b为常数)当t>0时满足方程 au 0.设0y=()+(2)其中函数,g具有二阶连线导数证明 2+y20 设二元函数∫具有二阶连续导数,且满足 D, Ou 求 12.有一边长分别为x=6m与y=8m的矩形,如果x边增加5cm,而y边减少 10cm,问这个矩形的对角线的长度的变化情况? §3复合函数和隐函数的微分法 1.设方程siny+e2-xy2=0确定隐函数y=y(x),求
（2） f 在 (0, 0) 点是否可导？ （3） x f 在 (0, 0) 点是否连续？ （4） f 在 (0, 0) 点是否可微？ 3．设 x y f x y x e x y y ( , ) ( 1) ln(1 ) arctan 2 2 ，求 (1, 0) x f ， (1, 0) y f 。 4．曲线 4 , 4 2 2 y x y z 在点 (2,4,5) 处的切线与 x 轴的正向所夹的角度是多少？ 5．如果可微函数 f (x, y) 在点 (1, 2) 处的从点 (1, 2) 到点 (2, 2) 方向的方向导数为 2， 从点 (1, 2) 到点 (1, 1) 方向的方向导数为 2 。求 （1）这个函数在点 (1, 2) 处的梯度； （2）点 (1, 2) 处的从点 (1, 2) 到点 (4, 6) 方向的方向导数。 6．证明函数 2 x y z 在椭圆 2 2 2 x 2y c （ c 是常数）上任一点处沿椭圆法向的方 向导数等于 0。 7．已知二元函数 f 满足 xy f x y y x 1 1 ( , ) sin ， 2 f (0, y) 2sin y y ， 求 f 的表达式。 8．设 2 2 arcsin x y x z ，求 x z ， 2 2 x z ， y x z 2 。 9．证明：函数 a t x b e a t u 2 2 4 ( ) 2 1 （ a, b 为常数）当 t 0 时满足方程 2 2 2 x u a t u 。 10．设 x y xg y x u(x, y) yf ，其中函数 f ， g 具有二阶连续导数。证明 0 2 2 2 x y u y x u x 。 11．设二元函数 f 具有二阶连续导数，且满足 y x f 2 2 ， x y x y u 2 ， x y u 2 2 ， 求 f 。 12．有一边长分别为 x 6m 与 y 8m 的矩形，如果 x 边增加 5cm ，而 y 边减少 10cm ，问这个矩形的对角线的长度的变化情况？ §3 复合函数和隐函数的微分法 1．设方程 sin 0 2 y e xy x 确定隐函数 y y(x) ，求 dx dy
设方程z-x= arctan确定隐函数==(xy),求止。 x-y=0, 3.设 求 yu+xv=l, ax ay 4.设x=,x=e"cos,y=e"sinv(u∈(-∞,+∞),v∈(-x/2,x/2)),求 5.设=f( e sin v. x2+y2),其中∫具有二阶连续偏导数,求。 6.设方程-=ln-确定隐函数z=x(x,y),求 a: a2- a2 7.证明:若 +y2-1=0, 则当x>0时成立 dx dy 8.设二=(x,y)由方程x=叫2确定,其中一元函数φ具有二阶连续导数。证 a2- 9.设变量代换{“=x-2.可把方程62+2-02=0简化为2=0,求 v=x+a ax aray av 常数a 10.利用变换x=u,y=1+1+m将方程 0,2z 变换为函数=v(u,v)的微分方程。 11.设二元函数F可表示为:对于任意x,y,F(x,y)=f(x)+g(y)。并且在极坐 标变换x= rcos e,y=rsin0下,F( rcos 6, sine)=S(r),求F的表达式 12若二元函数/(m)具有二阶连续偏导数,且满足 Laplace程2+y=0, a2-a 证明函数=(x-y,2)满足也满足1apae2=+=0。 13.设三元函数∫具有二阶连续偏导数,且∫为n次齐次函数,证明:f满足
2．设方程 z x y z x arctan 确定隐函数 z z(x, y) ，求 dz 。 3．设 1, 0, yu xv xu yv 求 x u ， y u 。 4. 设 z uv ，x e v u cos ，y e v u sin （ u (,)，v( / 2, / 2) ），求 x z ， y z 。 5．设 ( sin , ) 2 2 z f e y x y x ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 x y z 2 。 6．设方程 y z z x ln 确定隐函数 z z(x, y) ，求 x z ， 2 2 x z ， x y z 2 。 7．证明：若 1 0 2 2 2 2 x y x y ， 则当 xy 0 时成立 0 1 1 4 4 y dy x dx 。 8. 设 z z(x, y) 由方程 z y z x 确定，其中一元函数 具有二阶连续导数。证 明 2 2 2 2 2 2 x y z y z x z 。 9．设变量代换 v x ay u x 2y, 可把方程 6 0 2 2 2 2 2 y z x y z x z 简化为 0 2 u v z ，求 常数 a 。 10．利用变换 x u ， uv u y 1 ， uw u z 1 将方程 2 2 2 z y z y x z x 变换为函数 w w(u,v) 的微分方程。 11．设二元函数 F 可表示为：对于任意 x, y ，F(x, y) f (x) g(y) 。并且在极坐 标变换 x r cos ， y rsin 下， F(r cos,rsin) S(r) ，求 F 的表达式。 12．若二元函数 f (,) 具有二阶连续偏导数，且满足Laplace方程 0 2 2 2 2 f f ， 证明函数 ( , 2 ) 2 2 z f x y xy 满足也满足 Laplace 方程 0 2 2 2 2 y z x z 。 13．设三元函数 f 具有二阶连续偏导数，且 f 为 n 次齐次函数，证明： f 满足
x-+y2+--f(x,y,)=m(n-1)f(x,y,)。 14.设函数u=(x,y)由方程组 f∫(x,y,,1), h(二,D)=0 确定,其中∫,g,h具有连续偏导数。求, §4可微映射 求映射∫(u,)=(ucos, uSIng,v),求∫(1,r) xy=0 2.由方程组 确定的映射(u,v)(x,y)的 Jacobi阵 3.设∫R3→R3为向量值函数 (1)如果坐标分量函数f(x,y,z)=x,f2(x,y,)=y,f(x,y,=)=,验证∫的 导数是单位阵 (2)写出坐标分量函数的一般形式,使∫的导数是单位阵 (3)如果已知∫的导数是对角阵 diag( p(x,q(),r(=),那么坐标分量函数 应该具有什么样的形式? §5 Taylor公式 1.在(1,2)点按 Taylor公式展开函数f(x,y)=x-2y+x2+4y2-3xy。 2.求f(x,y)=x在(,1)点的三阶 Taylor多项式。 3.求f(x,y)=(x+y)sin(x-y)在(0,0)点的三阶 Taylor多项式 求f( x,, v) x+y2.(x,y)≠(0,0) 的四阶 Taylor多项式,并计算 7,o0)2eg 0,0)
( , , ) ( 1) ( , , ) 2 f x y z n n f x y z z z y y x x 。 14．设函数 u u(x, y) 由方程组 ( , ) 0 ( , , ) 0, ( , , , ), h z t g y z t u f x y z t 确定，其中 f ， g ，h 具有连续偏导数。求 x u ， y u 。 §4 可微映射 1．求映射 T f (u,v) (u cos v, usin v, v) ，求 f (1, ) 。 2．由方程组 0 0, 2 2 2 2 uv x y u v xy 确定的映射 T T (u, v) (x, y) 的 Jacobi 阵。 3．设 3 3 f :R R 为向量值函数。 （1）如果坐标分量函数 f (x, y,z) x, f (x, y,z) y, f (x, y,z) z 1 2 3 ，验证 f 的 导数是单位阵； （2）写出坐标分量函数的一般形式，使 f 的导数是单位阵； （3）如果已知 f 的导数是对角阵 diag( p(x), q(y), r(z)) ，那么坐标分量函数 应该具有什么样的形式？ §5 Taylor 公式 1．在 (1, 2) 点按 Taylor 公式展开函数 f (x, y) x 2y x 4y 3xy 2 2 。 2．求 y x f (x, y) 在 (1, 1) 点的三阶 Taylor 多项式。 3．求 f (x, y) (x y)sin(x y) 在 (0, 0) 点的三阶 Taylor 多项式。 4．求 0, ( , ) (0, 0) , ( , ) (0, 0), 1 ( , ) 2 2 ( ) 2 2 x y x y x y e f x y x x y 的四阶 Taylor 多项式，并计算 (0, 0) 2 x y f 和 (0, 0) 4 4 x f
5.证明:当x2+y2充分小时,成立 cOS J §6偏导数的几何应用 1.求曲线x= 在t=1对应的点处的切线和法平面方程 2.求曲面z-e2+2x=3在(1,2,0)处的切平面方程 3.已知平面才是曲面:=x+y的切平面,且与直线L:{+2=垂直,求 y+2z=2 丌的方程。 4.求曲线 x2+y2+ze=2 在点(1,-1,0)处的切线方程。 t+ y 5.过直线 x+y+=0作曲面16x2-16y2+16=5的切平面,求该切平面的 方程。 6.求原点到曲面z=ytan-在点(m/4,a,a)处的切平面的距离。 Ix=ue 7.求曲面{y=ve2,在=y=0所对应的点处的切平面方程 l4+1 8.已知椭球面 1和平面x:2x+2y++5=0 4 (1)求椭球面∑上与平面x平行的切平面; (2)求椭球面Σ上与平面x之间的最短距离 9.求圆柱面x2+y2=R2与球面(x-R)2+y2+x2=R2(R>0)在点 兰R处的交角 10.证明曲线x= a cos t,y=asnt,z=bt的切线与z轴成定角(a,b>0)。 11.设A2+B2+C2≠0,a2+b2+c2≠0。证明平面Ax+B+Cz=D与曲面 ax2+by2+c2=1相切的充要条件为 34+B2+C=D3 b
5．证明：当 2 2 x y 充分小时，成立 2 2 2 1 2 1 1 cos cos x y y x 。 §6 偏导数的几何应用 1．求曲线 4 4 t x ， 3 3 t y ， 2 2 t z 在 t 1 对应的点处的切线和法平面方程。 2．求曲面 z e 2xy 3 z 在 (1, 2, 0) 处的切平面方程。 3．已知平面 是曲面 2 2 z x y 的切平面，且 与直线 L ： 2 2 2 1, y z x z 垂直，求 的方程。 4．求曲线 1 2, 2 2 2 2 x xy y x y ze z 在点 (1, 1, 0) 处的切线方程。 5．过直线 0 3 2 5, x y z x y z 作曲面 16 16 16 5 2 2 x y z 的切平面，求该切平面的 方程。 6．求原点到曲面 a x z y tan 在点 (a / 4, a, a) 处的切平面的距离。 7．求曲面 z u v y ve x ue u v , , 在 u v 0 所对应的点处的切平面方程。 8．已知椭球面 ： 1 2 4 2 2 2 z y x 和平面 ： 2x 2y z 5 0。 （1）求椭球面 上与平面 平行的切平面； （2）求椭球面 上与平面 之间的最短距离。 9 ．求圆柱面 2 2 2 x y R 与 球 面 2 2 2 2 (x R) y z R （ R 0 ）在点 , 0 2 3 , 2 1 R R 处的交角。 10．证明曲线 x acost ， y asint ， z bt 的切线与 z 轴成定角（ a ，b 0 ）。 11．设 0 2 2 2 A B C ， 0 2 2 2 a b c 。证明平面 Ax By Cz D 与曲面 1 2 2 2 ax by cz 相切的充要条件为 2 2 2 2 D c C b B a A
证明:曲面F(ax-by,cx-b)=0上任一点处的切平面都与一个常向量平行 其中F具有连续偏导数 13.证明曲面二=y上任一点处的切平面都过原点,其中厂具有连续偏导数 §7极值 求函数∫(x,y)=x3y2(6-x-y)在第一象限中的极值 求函数f(x,y)=x4+y4-x2- 的极值。 3.求函数z=x2+y2-x在区域D={(x,y)x|+|ykl}上的最大值和最小值。 4.求由方程确定的隐函数2x2+y2+22+2xy-2x-2y-4x+4=0确定的隐函数 =x(x,y)的极值。 5.求函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在约束条件ax+by+c=1下的最小值 6.求函数z=x2+y2-12x+16y在区域D={(x,y)x2+y2≤25}上的最大值和最 小值 7.求椭圆 的长半轴与短半轴 xty+== 8.求直线4x+3y=16与椭圆18x2+5y2=45之间的最短距离。 9.在所有棱长之和为12a的长方体中,求出具有最大体积者。 10.求平面+B+C=0与柱面+=1相交所成的椭圆的面积,其中 A,BC不为零,a,b为正数 11.x>0,y>0,x>0时,求函数 f(x,y, =)=Inx+2In y+3In: 在球面x2+y2+2=6R2上的最大值。并由此证明:当a,b,c为正实数时 成立不等式 ab2c3≤108 +b+ 6 12.设椭球面的方程为
12．证明：曲面 F(ax by, cx bz) 0 上任一点处的切平面都与一个常向量平行， 其中 F 具有连续偏导数。 13．证明曲面 x y z xf 上任一点处的切平面都过原点，其中 f 具有连续偏导数。 §7 极值 1．求函数 ( , ) (6 ) 3 2 f x y x y x y 在第一象限中的极值。 2．求函数 4 4 2 2 f (x, y) x y x 2xy y 的极值。 3．求函数 z x y xy 2 2 在区域 D {(x, y) | | x | | y |1} 上的最大值和最小值。 4．求由方程确定的隐函数 2 2 2 2 4 4 0 2 2 2 x y z xy x y z 确定的隐函数 z z(x, y) 的极值。 5．求函数 2 2 2 f (x, y,z) x y z 在约束条件 ax by cz 1 下的最小值。 6．求函数 z x y 12x 16y 2 2 在区域 {( , ) | 25} 2 2 D x y x y 上的最大值和最 小值。 7．求椭圆 1 1, 2 2 x y z x y 的长半轴与短半轴。 8．求直线 4x 3y 16 与椭圆 18 5 45 2 2 x y 之间的最短距离。 9．在所有棱长之和为 12a 的长方体中，求出具有最大体积者。 10．求平面 Ax By Cz 0 与柱面 1 2 2 2 2 b y a x 相交所成的椭圆的面积，其中 A, B, C 不为零， a, b 为正数。 11．当 x 0， y 0， z 0 时，求函数 f (x, y,z) ln x 2ln y 3ln z 在球面 2 2 2 2 x y z 6R 上的最大值。并由此证明：当 a ，b ，c 为正实数时， 成立不等式 2 3 ab c 6 6 108 a b c 。 12．设椭球面的方程为
ax+by+c+2exy +2 f=+2g=x=1 证明:这个椭球面的三个半轴之长恰为矩阵 e g 的三个特征值的平方根的倒数
2 2 2 1 2 2 2 ax by cz exy fyz gzx ， 证明：这个椭球面的三个半轴之长恰为矩阵 g f c e b f a e g 的三个特征值的平方根的倒数