空间解析几何练习题 §1向量的内积、外积与混合积 1.已知a=(1,-2,2),b=(-3,6,2)。求 (1)‖al (2)a·b (3)(3a+2b)(a-3b) (4)a与b的夹角 (5)a×b (6)(a×b)k。 2.已知向量a,b满足‖a|=11,‖b|23,‖a-bl=30,求‖a+b‖l 3.已知空间三点A(1,0,2),B(4,-1,0),C(2,2,1),求△ABC的面积。 4.证明:三个向量a,b,c共面的充要条件为:存在不全为零的实数a,B y,使得a++e=0。 5设a,b为满足‖al=2,‖bl=1的向量,且a与b的夹角为。求以m=5a+b, b为邻边的三角形面积 6.已知向量a=(2,1,3),b=(x,y,z),若axc=b有解c,问x,y,z应满足 什么条件? 7.证明:对任意向量a,b成立‖a+b‖+‖-b‖=2(l‖2+b‖),并说明 其几何意义 8.设三个向量a,b,c满足(axb)·c=2,求[(a+b)×(b+c)(c+a)。 9.问向量a=(2,3,-1),b=(1,-1,3),c=(,9,-11)是否共面? b 已知a,b,c都不是零向量,问a=b与 是否等价? b 11.利用向量的乘积性质证明
空间解析几何练习题 §1 向量的内积、外积与混合积 1．已知 a (1, 2, 2)，b (3, 6, 2) 。求 （1） || a || ； （2） a b ； （3） (3a 2b)(a 3b) ； （4） a 与 b 的夹角； （5） a b ； （6） (ab) k 。 2．已知向量 a，b 满足 || a ||11，|| b || 23，|| a b || 30 ，求 || a b ||。 3．已知空间三点 A(1, 0, 2)， B(4, 1, 0)，C(2, 2,1) ，求 ABC 的面积。 4．证明：三个向量 a，b ，c 共面的充要条件为：存在不全为零的实数 ， ， ，使得 a b c 0。 5．设 a，b 为满足 || a || 2，|| b ||1 的向量，且 a 与 b 的夹角为 4 。求以 m 5a b ， n a b 为邻边的三角形面积。 6．已知向量 a (2,1, 3)，b (x, y, z) ，若 a c b 有解 c ，问 x ， y ， z 应满足 什么条件？ 7．证明：对任意向量 a ，b 成立 || || || || 2(|| || || || ) 2 2 2 2 a b a b a b ，并说明 其几何意义。 8．设三个向量 a，b ，c 满足 (a b) c 2，求 [(a b)（b c)](c a)。 9．问向量 a (2, 3, 1) ，b (1, 1, 3)，c (1, 9, 11) 是否共面？ 10．已知 a，b ，c 都不是零向量，问 a b 与 a c b c a c b c, 是否等价？ 11．利用向量的乘积性质证明 3 1 2 2 2 3 3 3 2 2 2 1 1 1 i i i i a b c a b c a b c a b c
§2平面和直线 1.求过点P(0,2)及y轴的平面方程 2.求过点P(2,-1-1)和P2(L,2,3),且与平面2x+3y-52+6=0垂直的平面方 程 3.求过点P(4,-1,2),且与三个坐标轴的正向夹角相等的直线方程 4.求过点P(3,-2,7),且与平面3x-2y+7二-8=0垂直的直线方程。 5.求过点P(-123),且与向量a=(43)垂直,并与直线:-2=y+2=2-3 相交的直线方程。 6.一平面过直线x-1=y+1=-2 ,且平行于直线x+1==三-1,求该平面 的方程 7.求经过原点,且与两平面x+2y+3x-13=0和3x+y-z-1=0都垂直的平面 方程。 3x-2y+z-1=0 8.求过点(-2,3,-1)和直线 的平面方程。 2x-y=0 9.求过直线==三1且平行于直线x-1 0=}=三的平面方程。 10.求过点(3,3,-1)且与平面x+3y-x-1=0和2x+4y+z+3=0都平行的直线 方程。 11.已知一直线过点(3,4,5),且方向向量为(2,-3,6),求点P(-1,2,5)与该直线 的距离 问四个点P(3,1,6),P(4,0,8),P(1,5,7),P(O,8,10)是否共面?若共面 写出该平面的方程 13.作一平面,使它经过z轴,且与平面2x+y-√5-7=0的夹角为x 求直线x+15=与直丝(x5y+8=0,的夹角 2y+112+1=0 15.求直线x+4=y-4=+1与直线+5=y5=三-5的距离。 3 5
§2 平面和直线 1．求过点 P(1, 0, 2) 及 y 轴的平面方程。 2．求过点 (2, 1, 1) P1 和 (1, 2, 3) P2 ，且与平面 2x 3y 5z 6 0 垂直的平面方 程。 3．求过点 P(4, 1, 2) ，且与三个坐标轴的正向夹角相等的直线方程。 4．求过点 P(3, 2, 7) ，且与平面 3x 2y 7z 8 0 垂直的直线方程。 5．求过点 P(1, 2, 3) ，且与向量 a (4, 3,1) 垂直，并与直线 L ： 2 3 2 1 y z x 相交的直线方程。 6．一平面过直线 1 2 2 1 1 1 x y z ，且平行于直线 0 1 2 1 1 x y z ，求该平面 的方程。 7．求经过原点，且与两平面 x 2y 3z 13 0 和 3x y z 1 0 都垂直的平面 方程。 8．求过点 (2, 3, 1) 和直线 2 0 3 2 1 0, x y x y z 的平面方程。 9．求过直线 2 1 2 1 x y z 且平行于直线 0 1 1 1 x y z 的平面方程。 10．求过点 (3, 3, 1) 且与平面 x 3y z 1 0 和 2x 4y z 3 0 都平行的直线 方程。 11．已知一直线过点 (3, 4, 5) ，且方向向量为 (2, 3, 6) ，求点 P(1, 2, 5) 与该直线 的距离。 12．问四个点 P(3,1, 6) ， P(4, 0, 8)， P(1, 5, 7) ， P(0, 8,10) 是否共面？若共面， 写出该平面的方程。 13．作一平面，使它经过 z 轴，且与平面 2x y 5z 7 0 的夹角为 3 。 14．求直线 4 8 8 1 15 x y z 与直线 2 11 1 0 5 8 0, y z x y 的夹角。 15．求直线 2 1 1 4 2 4 x y z 与直线 5 5 3 5 4 5 x y z 的距离
16.已知直线L:{b+=1 a C x=0 y=0. (1)求包含L1且平行于L2的平面方程; (2)若L1与L2的距离为2d,验证:1=1+1+1 §3曲面、曲线和二次曲面 1.问直线{y=3-2,与直线{y=-4-1是否相交?若相交,求出其交点。 -41+6 z=1-4 2.求形式为ax2+by2+cz2=1的曲面方程,使它经过点(2,,1)和曲线 2 x2+32=9 3.求曲线 绕z轴旋转一周所产生的旋转曲面的方程 0 4.已知直线L 求一曲面,使它上面的任一点到L的距离与到Oxy平面 y=0. 的距离相等。 5.求顶点在原点,准线为 (a,c>0)的锥面方程 6.求曲线+(p+2)+(=1D2=2在O平面上的投影曲线的方程 16 7.试对t的不同值,说明二次曲面5x2-2y2=62+2的类型 8.求直线 -3y-4z+2 与椭球面 1的交点 6 81369
16．已知直线 L1 ： 0 1, x c z b y 和 L2 ： 0. 1, y c z a x （1） 求包含 L1 且平行于 L2 的平面方程； （2） 若 L1 与 L2 的距离为 2d ，验证： 2 2 2 2 1 1 1 1 d a b c 。 §3 曲面、曲线和二次曲面 1．问直线 4 6 3 2, 2 3, z t y t x t 与直线 4 4 1, 5, z t y t x t 是否相交？若相交，求出其交点。 2 ． 求 形 式 为 1 2 2 2 ax by cz 的 曲 面 方 程 ， 使 它 经 过 点 (2, 1, 1) 和曲线 2. 4 9 1, 2 2 z x y 3．求曲线 0 3 9, 2 2 y x z 绕 z 轴旋转一周所产生的旋转曲面的方程。 4．已知直线 L ： 0. , y x a 求一曲面，使它上面的任一点到 L 的距离与到 Oxy 平面 的距离相等。 5．求顶点在原点，准线为 z c x y a , 2 2 2 （ a，c 0 ）的锥面方程。 6．求曲线 16 ( 2) ( 1) 25, 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 在 Oxy 平面上的投影曲线的方程。 7．试对 t 的不同值，说明二次曲面 5x 2y 6z 2t 2 2 2 的类型。 8．求直线 4 2 6 4 3 3 x y z 与椭球面 1 81 36 9 2 2 2 x y z 的交点
