复旦大学：《高等数学》课程练习题（概率论与数理统计）_概率论习题

概率论习题 §1概率 设A、B、C表示3个随机事件,试将下列事件用A、B、C表示出来 (1)A、C出现,B不出现 (2)恰好有2个事件出现 (3)3个事件中至少有2个出现; (4)3个事件中不多于1个出现. 2.在某系中任选一个学生,令事件A表示被选学生是男生,事件B表示该 学生是三年级学生,事件C表示该学生是优秀生.试用A、B、C表示下列事件 (1)选到三年级的优秀男生 (2)选到非三年级的优秀女生 (3)选到的男生但不是优秀生 (4)选到三年级男生或优秀女生. 3.写出n个人组成的班级的一次某学科测验的平均成绩的样本空间 4.某市发行A、B、C三种报纸.在该市的居民中,订阅A报的占45% 订阅B报的占35%,订阅C报的占30%,同时订阅A报及B报的占10%,同时 订阅A报及C报的占8%,同时订阅B报及C报的占5%,同时订阅A、B、C报 的占3%,求下列事件的概率: (1)只订阅A报的; (2)只订阅A报及B报的 (3)只订阅一种报纸的; (4)正好订阅两种报纸的 (5)至少订阅一种报纸的 (6)不订阅任何报纸的 5.掷两粒骰子,出现的点数之和小于5或是偶数的概率是多少? 6.袋中有4粒黑球,1粒白球,每次从中任取一粒,并换入一粒黑球,这 样连续进行下去,求第三次取到黑球的概率 7.任取一个正整数,该数的平方的末尾数是1的概率是多少? 8.有10本不同的数学书,5本不同的外文书,任意地摆放在书架上,求5 本个的文在的,8,9这九个要学中任取三个数,求 个数之和为10的概率 (2)三个数之积为21的倍数的概率 10.n个人围着圆桌随机而坐,那么其中甲、乙两人坐在一起的概率是多少? 11.甲、乙两人投掷均匀硬币,甲投掷n+1次,乙投掷n次,那么甲投掷出 的正面次数大于乙投掷出的正面次数的概率是多少? 12.随机地向圆x2+y2-2ax=0(a>0)的上半部分内投掷一点,假设点 等可能地落在半圆内任何地方,那么原点与该点的连线的夹角小于一的概率是多

- 1 - 概率论习题 §1 概率 1. 设 A 、B 、C 表示 3 个随机事件，试将下列事件用 A 、B 、C 表示出来： （1） A 、C 出现， B 不出现； （2）恰好有 2 个事件出现； （3）3 个事件中至少有 2 个出现； （4）3 个事件中不多于 1 个出现． 2. 在某系中任选一个学生，令事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示该 学生是三年级学生，事件 C 表示该学生是优秀生．试用 A 、B 、C 表示下列事件： （1）选到三年级的优秀男生； （2）选到非三年级的优秀女生； （3）选到的男生但不是优秀生； （4）选到三年级男生或优秀女生． 3．写出 n 个人组成的班级的一次某学科测验的平均成绩的样本空间。 4．某市发行 A 、 B 、C 三种报纸．在该市的居民中，订阅 A 报的占 45%， 订阅 B 报的占 35%，订阅 C 报的占 30%，同时订阅 A 报及 B 报的占 10%，同时 订阅 A 报及 C 报的占 8%，同时订阅 B 报及 C 报的占 5%，同时订阅 A 、B 、C 报 的占 3%，求下列事件的概率： （1）只订阅 A 报的； （2）只订阅 A 报及 B 报的； （3）只订阅一种报纸的； （4）正好订阅两种报纸的； （5）至少订阅一种报纸的； （6）不订阅任何报纸的． 5．掷两粒骰子，出现的点数之和小于 5 或是偶数的概率是多少？ 6．袋中有 4 粒黑球，1 粒白球，每次从中任取一粒，并换入一粒黑球，这 样连续进行下去，求第三次取到黑球的概率。 7．任取一个正整数，该数的平方的末尾数是 1 的概率是多少？ 8. 有 10 本不同的数学书，5 本不同的外文书，任意地摆放在书架上，求 5 本不同的外文书放在一起的概率． 9. 从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这九个数字中任取三个数，求 （1）三个数之和为 10 的概率； （2）三个数之积为 21 的倍数的概率． 10．n 个人围着圆桌随机而坐，那么其中甲、乙两人坐在一起的概率是多少？ 11．甲、乙两人投掷均匀硬币，甲投掷 n 1 次，乙投掷 n 次，那么甲投掷出 的正面次数大于乙投掷出的正面次数的概率是多少？ 12．随机地向圆 2 0 2 2 x  y  ax  （ a  0 ）的上半部分内投掷一点，假设点 等可能地落在半圆内任何地方，那么原点与该点的连线的夹角小于 4  的概率是多

少? 13.设A,B是两个事件,且P(A=06,P(B)=0.7.问 (1)在什么条件下P(AB)取到最大值,最大值是多少? (2)在什么条件下P(AB)取到最小值,最小值是多少? §2条件概率与事件的独立性 14.证明:如果P(4|B)=P(1|B),则随机事件A、B相互独立。 15.袋中有5把钥匙,只有一把能打开门,从中任取一把去开门,求在(1) 有放回;(2)无放回的两种情况下,第三次能够打开门的概率 16.某种动物由出生活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为04.问现 年20岁的这种动物活到25岁的概率是多少? 知肥胖者患高血压的概率为02,中等体型者患高血压的概率为01,消瘦者患高 血压的概率为0.05,求 (1)该城市居民患高血压的概率是多少? (2)若已知有一个居民患有高血压,那么该居民最有可能是哪种体型的人? 18.将m个红球与n(n≥m)个白球任意排成一排,那么至少有两个红球 挨着的概率是多少? 19.设袋中有5个白球和3个黑球,从中每次无放回地任取一球,共取2 次,求: (1)取到的2个球颜色相同的概率; (2)第二次才取到黑球的概率; (3)第二次取到黑球的概率 20.为了提高抗菌素生产的产量和质量,需要对生产菌种进行诱变处理,然 后从一大批经过处理的变异菌株中抽取一小部分来培养、测定,从中找出优良的 菌株.如果某菌种的优良变异率为0.03,试问从一大批经诱变处理的菌株中,采 取多少只来培养、测定,才能以95%的把握从中至少可以选到一只优良菌株? 21.证明:如果P(4|B)=P(4B),则随机事件A、B相互独立。 22.对某目标进行三次射击,各次的命中率分别为02,0.6,0.3,计算: (1)在三次射击中恰好击中一次的概率; (2)在三次射击中至少击中一次的概率。 §3一维随机变量 23.糖果厂生产的巧克力100盒装成一箱,在抽样检査时,只从每箱中抽取 盒来检査,若发现其中有不合格品,则认为这一箱产品就不合格.假定每箱 中不合格品最多不超过4支,且有如下表所表示的概率分布 每箱中不合格品数 0 概 0.10.30.30.20.1

- 2 - 少？ 13. 设 A ， B 是两个事件，且 P(A)  0.6， P(B)  0.7 ．问： （1）在什么条件下 P(AB) 取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下 P(AB) 取到最小值，最小值是多少？ §2 条件概率与事件的独立性 14．证明：如果 PA B  PA B ，则随机事件 A 、 B 相互独立。 15. 袋中有 5 把钥匙，只有一把能打开门，从中任取一把去开门，求在（1） 有放回；（2）无放回的两种情况下，第三次能够打开门的概率。 16. 某种动物由出生活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的概率为 0.4．问现 年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率是多少？ 17． 经统计，某城市肥胖者占 10%，中等体型人数占 82%，消瘦者占 8%．已 知肥胖者患高血压的概率为 0.2，中等体型者患高血压的概率为 0.1，消瘦者患高 血压的概率为 0.05，求： （1）该城市居民患高血压的概率是多少？ （2）若已知有一个居民患有高血压，那么该居民最有可能是哪种体型的人？ 18. 将 m 个红球与 n （ n  m ）个白球任意排成一排，那么至少有两个红球 挨着的概率是多少？ 19. 设袋中有 5 个白球和 3 个黑球，从中每次无放回地任取一球，共取 2 次，求： （1）取到的 2 个球颜色相同的概率； （2）第二次才取到黑球的概率； （3）第二次取到黑球的概率． 20. 为了提高抗菌素生产的产量和质量，需要对生产菌种进行诱变处理，然 后从一大批经过处理的变异菌株中抽取一小部分来培养、测定，从中找出优良的 菌株．如果某菌种的优良变异率为 0.03，试问从一大批经诱变处理的菌株中，采 取多少只来培养、测定，才能以 95%的把握从中至少可以选到一只优良菌株？ 21．证明：如果 PA B  PA B ，则随机事件 A 、 B 相互独立。 22．对某目标进行三次射击，各次的命中率分别为 0.2，0.6，0.3，计算： （1）在三次射击中恰好击中一次的概率； （2）在三次射击中至少击中一次的概率。 §3 一维随机变量 23. 糖果厂生产的巧克力 100 盒装成一箱，在抽样检查时，只从每箱中抽取 10 盒来检查，若发现其中有不合格品，则认为这一箱产品就不合格．假定每箱 中不合格品最多不超过 4 支，且有如下表所表示的概率分布： 每箱中不合格品数 0 1 2 3 4 概 率 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1

求一箱巧克力通过检查的概率 24.保险公司里有25000个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险,在 年里每个人死亡的概率为0002,每个参加保险的人在一月一日付12元保险 费,而在死亡时,家属颗向保险公司领2000元,问 (1)保险公司亏本的概率是多少? (2)保险公司获利不少于10000元的概率是多少? 25.某电站的供应网有10000盏电灯,夜晚每盏灯开着的可能性是0.7,假 定每盏灯开、关的时间相互独立,估计夜晚同时开着的灯数在6800至7200盏之 间的概率。 26.某箱内装有药品40盒,其中有3盒是不合格品.现从中任取3盒,求 取出的3盒药品中的不合格品数的分布列和分布函数 27.设随机变量X的可能取值分别为-1,0,1,2,相应的概率依次为 2试 求 4c8c16 (1)P(X<1X≠0); (2)随机变量X的分布函数 28.设随机变量X的分布函数为 F(x)=A+ Barctanx,x∈(-∞,+∞) 求:(1)A、B的值 (2)概率密度函数; (3)P(x1< 29.下列函数定义了发布函数吗? 0 0, (1)F(x)={3x,0<x≤, (2)F(x)=- arctan,x∈(-∞,+ 30.从1,2,345中任取三个数,设为x1,x2,x3,记5=max(x1,x2,x3),求5 的分布列及P(≤3)。 31.设随机变量X服从正态分布N(,a2),求: (1)P(4-0.32a≤X≤+0.320); (2)P(+1.150<X<4+2.58)

- 3 - 求一箱巧克力通过检查的概率． 24．保险公司里有 25000 个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在 一年里每个人死亡的概率为 0.002，每个参加保险的人在一月一日付 12 元保险 费，而在死亡时，家属颗向保险公司领 2000 元，问： （1）保险公司亏本的概率是多少？ （2）保险公司获利不少于 10000 元的概率是多少？ 25. 某电站的供应网有 10000 盏电灯，夜晚每盏灯开着的可能性是 0.7，假 定每盏灯开、关的时间相互独立，估计夜晚同时开着的灯数在 6800 至 7200 盏之 间的概率。 26. 某箱内装有药品 40 盒，其中有 3 盒是不合格品．现从中任取 3 盒，求 取出的 3 盒药品中的不合格品数的分布列和分布函数． 27. 设随机变量 X 的可能取值分别为1，0，1，2，相应的概率依次为 2c 1 ， 4c 3 ， 8c 5 ， 16c 2 ，试求： （1） P(X 1 X  0) ； （2）随机变量 X 的分布函数。 28．设随机变量 X 的分布函数为 Fx  A Barctanx ， x  ,  ， 求：（1） A 、 B 的值； （2）概率密度函数； （3） P X 1． 29．下列函数定义了发布函数吗？ （1）                 ； ， ， 3 1 1, 3 1 3 , 0 0, 0 x x x x F x （2） Fx arctan x 2   ， x  ,  ． 30． 从 1,2,3,4,5 中任取三个数，设为 1 2 3 x , x , x ，记   1 2 3   max x , x , x ，求  的分布列及 P  3。 31. 设随机变量 X 服从正态分布 ( , ) 2 N   ，求： （1） P(  0.32  X    0.32) ； （2） P( 1.15  X    2.58) ；

(3)P(X-(>2.58a) 32.设随机变量x~M(-12),且P-3≤x≤-1)=04,求P(x21) 设随机变量X的分布函数为 F(x)={a+be2,x20 x<0. 试求: (1)常数a,b; (2)概率密度函数 (3)p(m4≤X≤√ln6 34.设随机变量X的分布列为 2 P 424 求Y=X+2与Z=c0sX的分布列 35.设随机变量X的分布列为 P 求Y=X2的分布列. 36.设随机变量x~N(-1a2),且P(-3≤x-1)=04,求P(x 37.设x~M(2),P(x≤-5)=0045,P(x≤3)=0618,求和a。 §4二维随机变量 38.袋中有号码为1,2,2,3的四个球,从中不放回地抽取两个球。设 n分别为第一次和第二次取到的球的号码。求 (1)(2,n)的联合分布列; (2)5、n的边际分布列

- 4 - （3） P( X    2.58)． 32. 设随机变量   2 X ~ N 1, ，且 P 3  X  1  0.4 ，求 PX 1． 33．设随机变量 X 的分布函数为          0 , 0. , 0, ( ) 2 2 x a be x F x x 试求： （1） 常数 a，b ； （2） 概率密度函数； （3） P ln 4  X  ln16． 34. 设随机变量 X 的分布列为 X 0 2   P 4 1 2 1 4 1 求 2 3 2 Y  X  与 Z  cos X 的分布列． 35. 设随机变量 X 的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P 5 1 6 1 5 1 15 1 30 11 求 2 Y  X 的分布列． 36．设随机变量   2 X ~ N 1,  ，且 P 3  X  1  0.4 ，求 PX 1． 37. 设   2 X ~ N ,  ， PX  5  0.045 ， PX  3  0.618 ，求  和  。 §4 二维随机变量 38．袋中有号码为 1，2，2，3 的四个球，从中不放回地抽取两个球。设  、  分别为第一次和第二次取到的球的号码。求： （1） , 的联合分布列； （2）  、 的边际分布列；

(3) P(E < 39.随机变量(,n)的联合概率密度函数为 pIx,y) (x+y)0<x<1,0<y<1, 其它, 求:(1)k的值; (2)5、n的边际分概率密度函数 P(<0.5,n<0.5) 40.设x~N(,a2),证明 (1) ax+b-NlaH+b, ao?) N(0,1) 随机向量(,n)的联合概率密度函数为 p(x,y) 求:(1)常数c; (2)p(0<5<1,0<n<1) (3)边际概率密度函数 (4)5、m是否相互独立? 42.从(0,1)内任取两个数,求: (1)两数之和小于1.2的概率; (2)两数之积小于0.25的概率 §5随机变量的数字特征 43.设随机变量X的分布函数为 ≥3, X≤3 求 Ex、DX 44.设随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为

- 5 - （3） P  2,   2。 39．随机变量 , 的联合概率密度函数为              0, , , 0 1, 0 1, , 其它 k x y x y p x y 求：（1） k 的值； （2）  、 的边际分概率密度函数； （3） P  0.5,  0.5。 40．设   2 X ~ N ,  ，证明： （1）   2 2 aX  b ~ N a  b, a  ； （2） ~ N0, 1 X    。 41．随机向量 , 的联合概率密度函数为      2 2 1 1 , x y c p x y    ， 求：（1）常数 c ； （2） p0   1, 0  1 ； （3）边际概率密度函数； （4）  、 是否相互独立？ 42．从 0, 1 内任取两个数，求： （1）两数之和小于 1.2 的概率； （2）两数之积小于 0.25 的概率。 §5 随机变量的数字特征 43．设随机变量 X 的分布函数为            0, 3, 1 , 3, 3 x x x a F x 求 a、 EX 、 DX 。 44．设随机向量 X, Y  的联合概率密度函数为

y2≤1, 1.北它 判别X、Y是否独立?是否相关? 45.设X的概率密度函数为 p(x) <X<+00 求Y=1-√X的概率密度函数 46.设随机变量ξ、刀相互独立,证明 D(En)=D5Dn +DE(En)+DnES 47.设ξ、n为两个随机变量,证明:若ξ、n相互独立,则ξ、η一定线性 不相关;反之,占、η线性不相关,说明ξ、n不一定相互独立。 §6大数定律和中心极限定理 48.某厂采购的某商品每月的销售量X~U200400(单位:吨)。每销 售一吨获利3万美元。若卖不出去,每吨仓储费1万美元。该厂月初应组织多少 货物才能使利润最大? 49.临床上急性肠梗阻分为单纯性(A1)与绞窄性(A2)两类,从发病的表现来 看,有的发病急(B1),有的发病缓(B2).现有545例急性肠梗阻资料如下 合计 B1 B, 108 302 263 试求:P(A1),P(B2),P(A1B2),P(A|B2),P(B2|A1)的近似值,并说明依据 50.有一种新药,据说能有效地治愈流行性感冒.在500名流感病人中,有 210人服用此药,其中170人痊愈;290人未服用此药,有230人痊愈.试判断 这种新药对医治流感是否有效? 51.设{xn}是独立同分布的随机变量序列,E(x)<+∞。已知E(xn)=a D(Xn)=a2,设=(Xn-p),n=1,2,…,那么随机变量序列{n}是否服从大 数定律?

- 6 -           0, , , 1, 1 , 2 2 其它 x y p x y  判别 X 、Y 是否独立？是否相关？ 45．设 X 的概率密度函数为     2 1 1 x p x    ，  x  ， 求 3 Y  1 X 的概率密度函数。 46．设随机变量  、 相互独立，证明：       2 2 D   DD  D E  D E 。 47．设  、 为两个随机变量，证明：若  、 相互独立，则  、 一定线性 不相关；反之，  、 线性不相关，说明  、 不一定相互独立。 §6 大数定律和中心极限定理 48．某厂采购的某商品每月的销售量 X ~ U2000, 4000 （单位：吨）。每销 售一吨获利 3 万美元。若卖不出去，每吨仓储费 1 万美元。该厂月初应组织多少 货物才能使利润最大？ 49．临床上急性肠梗阻分为单纯性( A1 )与绞窄性( A2 )两类，从发病的表现来 看，有的发病急( B1 )，有的发病缓( B2 )．现有 545 例急性肠梗阻资料如下： A1 A2 合计 B1 69 174 243 B2 194 108 302 合计 263 282 545 试求： ( ) P A1 ， ( ) P B2 ， ( ) P A1B2 ， ( | ) P A1 B2 ， ( | ) P B2 A1 的近似值，并说明依据． 50．有一种新药，据说能有效地治愈流行性感冒．在 500 名流感病人中，有 210 人服用此药，其中 170 人痊愈；290 人未服用此药，有 230 人痊愈．试判断 这种新药对医治流感是否有效？ 51．设 Xn  是独立同分布的随机变量序列，    4 E Xn 。已知 EXn    ，   2 D Xn  ，设   2 Yn  Xn   ，n 1, 2, ，那么随机变量序列 Yn  是否服从大 数定律？

52.已知在抛掷硬币试验中,正面出现的概率为0.5。为了使出现正面的频 率与之概率之差的绝对值不超过001的概率不小于99%,试验次数至少应该多 少次? 53.某单位有200台电话机,每台电话机大约有5%的时间要使用外线通 话.若每台电话机使用外线与否是相互独立的,问该单位总机至少需要安装多少 条外线,才能以90%以上的概率保证每台电话机需要使用外线通话时可供使用 7

- 7 - 52．已知在抛掷硬币试验中，正面出现的概率为 0.5。为了使出现正面的频 率与之概率之差的绝对值不超过 0.01 的概率不小于 99%，试验次数至少应该多 少次？ 53. 某单位有 200 台电话机，每台电话机大约有 5%的时间要使用外线通 话．若每台电话机使用外线与否是相互独立的，问该单位总机至少需要安装多少 条外线，才能以 90%以上的概率保证每台电话机需要使用外线通话时可供使用．