复旦大学：《高等数学》教学论文_运用Newton微元法求解概率密度函数

第50卷第1期 复旦学报(自然科学版) Vol 50 No. 1 2011年2月 Journal of Fudan University(Natural Science) Feb.2011 文章编号:0427-7104(2011)01- 运用 Newton微元法求解概率密度函数 朱慧敏 (复旦大学数学科学学院,上海200433) 摘要:利用 Newton微元法求连续型随机变量函数的概率密度,可使其与求离散型随机变量函数的概率分布 的计算方法相统一,因而这种方法更直观简单,尤其在求解复杂的随机变量函数的概率密度时,此方法更胜 关键词: Newton微元法;概率密度函数;连续型随机变量;随机变量函数 中图分类号:O1 文献标志码:A 在概率论中求随机变量函数的分布是一个很基本的问题,即设f是已知函数,若随机变量和n满足 =f(),则称n是的函数所谓求随机变量函数的分布,就是已知随机变量的分布,要求的分布 若是离散型随机变量其分布为P(=x)=p,k=1,2,…;∑p=1.记n的可能取值为{y 2,…}={f(xk)|k=1,2,…},则n的分布为 7=y 若安和η都是连续型随机变量,为了求n的密度函数,常用的办法是先求出累积分布函数,然后求导 得到密度函数,在本文中,利用 Newton微元法,对连续型随机变量可以计算其在一点的微概率,记g(x) 为的概率密度,则P(=x)=ge(x)|dx|,其中|dx是x轴上一点的长度,由此,在一个区间上的 概率 P(ELa, b]=pe(x)I dx|= 9:(r)da 即可看成是它在每一点微概率的总和注意,微概率的积分与积分上下限的顺序无关: P∈[ab)=9x)|dr|= p: (x)dr. 按照这样的想法,我们就可以像处理离散型随机变量函数那样,来求连续性随机变量函数n(n f()的概率密度了 y)Idyl=P(n=y)=P(f(s)=y 1求解一维连续型随机变量的函数的概率密度 当η均为连续型随机变量时,若的概率密度为g:(x),∫(x)是一个连续函数,n=f(),则为了求 出n的概率密度gn(x),通常的方法是 1)先求=f()的分布函数:P(≤y)=F2(y)= 收稿日期:2010-09-25 作者简介:朱慧敏(1963-),女,硕士,讲师,E-mal:huzhu@fudan.edu.cn

!"#$!!"#"$"'$!; )*+,!Ð݆!#'67$"%2%X4%56%,$-./0&C-5C4!L42.?8/AK!Q.A4=.0R9/<?9<" S:08;"Q:8# @<M8!"##

朱慧敏:运用 Newton微元法求解概率密度函数 2)然后求导得出的概率密度:93(y)=F(y) 然而,在某些情况下,{x|f(x)≤y}是一个比较复杂的集合,上述的方法就必须先在这复杂的集合上 积分,然后再求导以完成最终的计算.这是一种比较繁琐的过程,尤其是对于比较复杂的问题,更是让人 望而却步. 注意到积分与求导是互逆的运算,利用 Newton微元法可以避免这种“重复”计算,如同离散型随机 变量那样,通过相应点的概率密度的相加直接得到所求的结果. 2用牛顿微元法求解概率密度(一) 定理1设是连续型随机变量,其概率密度记为9:(x),n=f(),设f(x)满足:整个实轴除去一个 零集后,可划分为若干个两两互不重叠的区间(ak,b),使得在每一个区间(ak,b)上,y=f(x)严格单调并 且有惟一具有连续导数的反函数x=gk(y),区间(αA)为值域则η也是连续型随机变量,其概率密度 (y)为 ∑g(x4(y)|g4(y)y∈U(ak,), (1) y∈U(akA) 证利用 Newton微元法求g(y),设y∈U(a,A) P, (y)Idyl=P(n=y)=P(f(s)=y) (2) 由已知,当y∈(a,R)时,y=f(x)在x∈(ak,bh)上有对应的反函数x=gk(y),故 P(f()=y) P ly∈(a) klye q B), e(g:(y))Id(g+(y))I 2 e(g:(y))Igi(y)II dyl (3) ly∈aA 则由(2)和(3)式,约去|dy得:gn(y) 19:(g(y)gk(y)| 当y∈u(a,A)时,P(f()=y)=0,故g(y)=0.(1)式得证 例1设连续型随机变量~Exp(λ),即的概率密度为 求随机变量v=tan的概率密度gn(y) 解如果直接利用定理1中的(1)式来计算g(y),需要找出定理1中的各个单调区间(ak,b),这既 繁琐又不必要[.为此,直接用 Newton微元法计算g(y),就不需要考虑区间的变换关系,而只要考虑点 的变换关系,既简便又清晰 当y>0时,tanx=y满足x>0的解为:x= arctan y+kr,k=0,1,2,…,则 P, (y).dyl=P(n=y)=P(tan s=y)=P(S=arctan y+k,k=0,1,2, " P(=arctan y+kr)=2Ae-xaretan yt*) I d arctan yl m∑ea|dyl 所以, g(y)=422·1

!"$Ÿ L¨I.^íhq^&+.!2"U*6.!2"' $‡%K£"tuw%)% 3!%")2+oS¢.¢DÌ^ÛÜ%73^WX’×ÓK¦DÌ^ÛÜ7 äi%$Ÿ2 L±CJ1q^{O'¦oSN.¢`à^½~%ªîou<.¢DÌ^QR%/oL© #‡É' ƒV»äi+ Lo¡[^=O%`a Q<[A:?8¼Xر¹º¦N5?D6{O%x_&'l²~ ˆ%T%%<½÷†Å^íhq^^÷îÁ¨» ^üû' ! aáâ8¼X ˆíhq^!S" R4! z8o67l²~ˆ%%îíhq^(œ+8!%"%.U3!8"'z3!%"ÈÉ&¢:wMS¢ \۟%ØCiœœÈ¢°°¡t?ã^:á!#9%M9"%§¨KmS¢:á!#9%M9"7%2U3!%"¿Àef_ gY=SƒY67Ll^ekl%U49!2"%:á!$9%%9"œžG'$.Ço67l²~ˆ%%îíhq^ +.!2"œ +.!2"U )92" # !$9%%9"+ +8!%9!2""469!2" 2"< T 9"# !$9%%9"% " 2;< T 9"# !$9%%9" * + , ' !#" L `a Q<[A:?8¼X +.!2"%z2"< T 9U# !$9%%9"% +.!2"22 U?!.U2"U?!3!8"U2"' !!" ZìÄ%S2"!$9%%9"\%2U3!%"K%"!#9%M9"7Yu†^ekl%U49!2"% ?!3!8"U2"U )92" # !$9%%9"+ ?!8"%9!2""" )92" # !$9%%9"+ +8!49!2""2!49!2""" )92" # !$9%%9"+ +8!49!2""469!2" 22 % !7" $Z!!"¬!7"`%M 22 ¨&+.!2"U )92" # !$9%%9"+ +8!49!2""469!2"' S2;< T 9U# !$9%%9"\%?!3!8"U2"U"%+.!2"U"'!#"`¨L' E# z67l²~ˆ%8",3Y!!"%Æ8^íhq^œ +8!%"U !<V!% %&"% ) " %)"%  ²~ˆ%.UA.?8^íhq^+.!2"' ˆ xûÁÂ`a­G#‚^!#"`¬{O+.!2"%nªI­G#‚^4¢ef:á!#9%M9"%¦’ `àþt'!( 'œ®%ÁÂa Q<[A:?8¼X{O+.!2"%’tn÷):á^ˆHQD%‡}÷)Å ^ˆHQD%’÷ÑþÙä' S2&"\%A.?%U2ÈÉ%&"^ˆœ&%U.=9A.?2W9;%9U"%#%!%*%$ +.!2". 22 U?!.U2"U?!A.?8U2"U?!8U.=9A.?2W9;%9U"%#%!%*"U # T 9"" ?!8".=9A.?289;"" # T 9"" !<1!!.=9A.?289;" 2.=9A.?2 " # #82!!<1!.=9A.?2 # T 9"" <19;! 22 % ±% +.!2"U!<V!.=9A.?2 #V<V;! . # #W2!' ¡#" Ð݆&=a Q<[A:?8¼X ˆíhq^kl '"

复旦学报(自然科学版) 第50卷 当y0的解为:x= arctan y+kr,k=1,2,…,则 P,().dyl=P(n=y)=P(tan 5=y)=P(S==arctan y+kI,k=1,2,") ∑P(= arctan y+kx)=∑ e-xCaretan y++)I d arctan yl k=1 1+y2 de A(rt aretas y) 所以,9(y)=1-。-a 当y=0时,由于g(y)在零集上的值不影响概率的计算,故取g(0)=93(0+),所以, k=0,1,2,… de-Acrtaretan y) 1 1-e-1+y2 3用牛顿微元法求解联合概率密度(二) 概率密度反映的是连续型随机变量取x邻域内值的概率大小,因此,它是了解连续型随机变量的有 力工具.在实际冋题中,又常常需要计算多个连续型随机变量函数的概率密度 计算二维连续型随机变量函数的概率密度时,我们也可以计算其在一点的微概率 P(S=-x. =y)=p(x,y)drdy 其中g(x,y)为连续型随机变量和η的联合概率密度,则 P((s,n)∈D) (x, y)drd 为二维连续型随机变量在一个区域上的概率,也可看成是它在每一点微概率的总和 定理2设和n为连续型随机变量,其联合概率密度为g(x,y).随机变量函数{=f(,ny),r g(,ny).设(u,)=(f(x,y),g(x,y)满足:(x,y)平面除去一个零集后,可分解成互不相交的开区域D 的并,在每个D上(a,v)=(f(x,y),g(x,y)都有连续可微的反函数(x,y)=(sk(u,v),tk(u,),且其 值域为R.则随机变量函数的联合概率密度g(u,为 96y((,)(,0)((n,0,(, D(u, v (u,)∈∪R, 其他 证利用 Newton微元法求gn(a,),设(u,v)∈∪R,则 P(t )(u, u)dudu=P(s=u,t=v=P(f(s, p)=u,g(s, n=v) 由已知当(u,v)∈Rk时,(u,v)=(f(x,y),g(x,y)在(x,y)∈D上有对应的反函数(x,y) (sk(u,v),tk(u,)),故 P(f(,y)=a,g(,n)=v) P(E=Sk(u,v) {l(m,)∈R Pe(s(u,D),t (u,v)) D(s (u, v),tr(u,v)) ∑gs(sx(u,),t4(a,v) D(se (u, v),t: (u, v)) (u,v)∈URk, 则 其他

S2."\%A.?%U2ÈÉ%&"^ˆœ&%U.=9A.?2W9;%9U#%!%*%$ +.!2". 22 U?!.U2"U?!A.?8U2"U?!8U.=9A.?2W9;%9U#%!%*"U # T 9"# ?!8".=9A.?289;"" # T 9"# !<1!!.=9A.?289;" 2.=9A.?2 U # #82!!<1!.=9A.?2 # T 9"# <19;! 22% ±%+.!2"U!<V!!;W.=9A.?2" #V<V;! . # #W2!' S2U"\%Z<+.!2"K\Û7^žt•íh^{O%V+.!""U+.!"W"%±% +.!2"U !<V!.=9A.?2 #V<V;! . # #W2! 2$" !<V!!;W.=9A.?2" #V<V;! . # #W2! 2. * + , " 9U"%#%!%* ' 7 aáâ8¼X ˆžÜíhq^!5" íhq^e\^o67l²~ˆ%V%*GǞ^íh:ç%I®%ioJˆ67l²~ˆ%^Y yÿƒ'KBQR‚%þŠŠn{OŒ¢67l²~ˆ%kl^íhq^' {O5367l²~ˆ%kl^íhq^\%êÇر{OîKSÅ^8íh& ?!8U%%.U2"U+!%%2"2%22% î‚+!%%2"œ67l²~ˆ%8¬.^žÜíhq^%$ ?!!8%.""W""UW +!%%2"2%22 œ5367l²~ˆ%KS¢:G7^íh%Ç؁JoiKmSÅ8íh^Ò¬' R4" z8¬.œ67l²~ˆ%%îžÜíhq^œ+!%%2"'²~ˆ%kl-U3!8%."%*U 4!8%."'z!-%."U!3!%%2"%4!%%2""ÈÉ&!%%2"åÔwMS¢\۟%ØiˆJ¡t÷;^è:GW9 ^_%Km¢W9 7!-%."U!3!%%2"%4!%%2""’Y67Ø8^ekl!%%2"U!C9!-%."% G9!-%.""%gî žGœB9'$²~ˆ%kl^žÜíhq^+!-% *"!-%."œ +!-% *"!-%."" )9!- #%.""B9+ +!8%."! C9!-%."% G9!-%.""W! C9!-%."% G9!-%."" W!-%." !-%.""< T 9"# B9% " î¶ * + , ' L `a Q<[A:?8¼X +!-% *"!-%."%z!-%.""< T 9U# B9%$ +!-% *"!-%."2-2.U?!-U-% *U."U?!3!8%."U-%4!8%."U."' ZìÄS!-%.""B9 \%!-%."U!3!%%2"%4!%%2""K!%%2""W9 7Yu†^ekl!%%2"U ! C9!-%."% G9!-%.""% ?!3!8%.""-%4!8%.""."" )9 !- #%.""B9+ ?!8"C9!-%."%."G9!-%.""" )9 !- #%.""B9+ +!8%."! C9!-%."% G9!-%.""W! C9!-%."% G9!-%."" W!-%." 2-2.% $ +!-% *"!-%."" )9 !- #%.""B9+ +!8%."! C9!-%."% G9!-%.""W! C9!-%."% G9!-%."" W!-%." !-%.""< T 9"# B9% " î¶ * + , ' '# D E & ø!#$%&)" ¡;"&

朱慧敏:运用 Newton微元法求解概率密度函数 例2设二维连续型随机变量(,y的联合概率密度为g(x,y)=21+,二=+可,求的概率 密度 解用增加变量法,设{=+, 先用 Newton微元法求(ξ,z)的联合概率密度为g;(a,v) 当u-2>0时, 有2个解 ,所以 gr;(a,v)dud=P(y=a,r=v)=P(2+r=a,F=v) P(=v,=/-)+P(=v,n=--7)= 9e-p(o,u-v)D(u,/u-v dudu+ps-7 (U,/u-7) Du./u=dudu 约去dudv得 g(r)(u,乙) 当u-20时,的边缘概率密度为 du e 2 arcsin 当≤0时,g 所以,的概率密度为 9(n)=2c- 例3设,点…是n个独立同分布的连续型随机变量,密度函数均为g(x),分布函数为F(x) F(x)=g(x).将,每…按从小到大的顺序重排队得n个顺序随机变量:m≤≤…≤,求1)n, …,m的联合概率密度g(y1,y2,…yn);2)第k个顺序随机变量k的边缘密度函数g(y) 解1)用 Newton微元法求g(y1,y2,…,yn) 为了方便起见记各顺序随机变量的的变换函数为=f(,2……,n),k=1,2,…,n ①当y1<y<…<yn时 =f2( 有n!个解(x1,x2,…,xn),每个解都是 fn( . (y1,y2,…,yn)的一个全排列,因此, g(y1,y2,…,yn) dyi dy2…dyn=P(m=y,=y2,…,7=yn) P(f1(1,,…,n)=y,f2(1,,…,)=y2,…,fn(,,…,5)=yn) P(1=x,5=x2,…,5n=xn,(x1,x2,…,xn)为(y1,y2,…,yn)的一个全排列)

E! z5367l²~ˆ%!8%."^žÜíhq^œ+!%%2"U# !; /?. ￾￾- ￾￾- 1￾￾- " # !; o>¢`K_ij^67l²~ˆ%%q^klœ+!%"%ijklœ*!%"% *6!%"U+!%"'8#%8!%*%8> Üæç»:^©Ä?èæ¨>¢©Ä²~ˆ%&.#).!)*).>' #".#% .!%*%.> ^žÜíhq^4!2#%2!%*%2>"#!"¡9¢©Ä²~ˆ%.9 ^Ãåq^kl49!2"' ˆ #"a Q"' œJWÑâã(4©Ä²~ˆ%^^ˆHklœ.9U39!8#%8!%*%8>"%9U#%!%*%>' 'S2# .2! . * .2> \% 2#U3#!%#%%!%*%%>" 2!U3!!%#%%!%*%%>" 3 2>U3>!%#%%!%*%%> * + , " Y>4 ¢ˆ !%#%%!%*%%>"%m¢ˆ’o !2#%2!%*%2>"^S¢[èé%I®% 4!2#%2!%*%2>"22#22!*22>U?!.#U2#%.!U2!%*%.>U2>"U ?!3#!8#%8!%*%8>"U2#%3!!8#%8!%*%8>"U2!%*%3>!8#%8!%*%8>"U2>"U ?!8#U%#%8!U%!%*%8>U%>%!%#%%!%*%%>"œ!2#%2!%*%2>"^S¢[èé"U ¡#" Ð݆&=a Q<[A:?8¼X ˆíhq^kl '$

复旦学报(自然科学版) 第50卷 D(x dyi dy2…dyn (求和范围为(y1,y2,…,yn)的全排列(x1,x2,…,xn)) 当(x1,x2…,xn)为(y,y,…,y)的一个全排列,有x32∵=1.所以, ②当y≤y2≤…≤yn时,且不等式中至少有一个成立等式,这些点组成R中的零集,故密度函数 g(,y2,…,yn)的值可任取 ③当y≤y2≤…≤y不成立时,g(y1,y2,…,yn)=0 所以,g(y,y2,…y,)=n!g(m)g(y) y1≤y2s…≤yn, 其他 2)g4(y)=…g(y,y2,…,yn)dy…dydy+1…dyn= g(y1)…g(y=1)g(y)g(y+1)…g(yn)dy…dy-1 p(y(% p(y-1)dye F p(y-2)dye%p(y )dy so(y, )dy/ p(y-1)dy ar (yr2 )dyr-2 (4) 记 Che Joy p(y, )dyn"p(ym-1)dy- p(m-2)dyig.o(yu+1)dyH+ (ym)dy. p(rl)dy g(v-2)dy 2".(F(H2)-F( )dF(+2)- 4 so(ym )dyu. o(yml)dy m-lp(yu-2 )dm-2" rl t (F(y43)-F(y))dF(y+3) F(yn)-FCy) F(yn) (n-k)! (1-F(y2), h2=。(y1)dy。(y=)dy…s(y)dy PP(ye1) g(y+)=/, p(y-2)dyr-2 "Jo 2 5(y3))dF(y3) (k-2)1(F(y-1)一dFy1) 11(F(y)1 (6) 由(4)~(6)式得 g4(y)=mg(y)·x1 (F(y)

#+!%#"+!%!"*+!%>"W!%#%%!*%%>" W!2#%2!*%2>"22#22!*22> ! ¬ÕŸœ!2#%2!%*%2>"^[èé!%#%%!%*%%>""' S!%#%%!%*%%>"œ!2#%2!%*%2>"^S¢[èé%Y W!%#%%!%*%%>" W!2#%2!%*%2>" U#'±% 4!2#%2!%*%2>"U>4 +!2#"+!2!"*+!2>"' ( S2#)2!)*)2> \%gt;`‚{rYS¢JK;`%¦"ÅúJB> ‚^\Û%q^kl 4!2#%2!%*%2>"^žØUV' ) S2#)2!)*)2> tJK\%4!2#%2!%*%2>"U"' ±%4!2#%2!%*%2>"U >4 +!2#"+!2!"*+!2>" 2#)2!)*)2>% ) " î¶' !"49!2"" /B * > /1# 4!2#%2!%*%2>"22#*2291#2298#*22> " 2#.*.2 /91#. * 2 /.298#.*.2> +!2#"*+!291#"+!2"+!298#"*+!2>"22#*2291#2298#*22> " >4 +!2" / 29 "+!291#"2291 /# 291# " +!291!"2291!* / 2! ! "+!2#"22#". / 8T 29 +!2>"22/> 2> 29 +!2>1#"22>1 /# 2>1# 29 +!2>1!"22>1!* / 298! 29 ! +!298#"2298#"' !%" ( E# " / 8T 29 +!2>"22/> 2> 29 +!2>1#"22>1 /# 2>1# 29 +!2>1!"22>1!* / 298! 29 +!298#"2298# " / 8T 29 +!2>"22/> 2> 29 +!2>1#"22>1 /# 2>1# 29 +!2>1!"22>1!* / 2987 2 ! 9 *!298!"1*!29""2*!298!"" / 8T 29 +!2>"22/> 2> 29 +!2>1#"22>1 /# 2>1# 29 +!2>1!"22>1!* / 2>1# 29 #!! *!2987"1*!29""! 2*!2987"* " / 8T 29 # !>1!98#""4!*!2>"1*!29"" >1!98#" 2*!2>" " # !>19"4!#1*!29"" >19% !;" E! " / 29 "+!291#"2291 /# 291# " +!291!"2291!* / 2! "+!2#"22# " / 29 "+!291#"2291 /# 291# " +!291!"2291!* / 27 " *!2!"2*!2!"" / 29 "+!291#"2291 /# 291# " +!291!"2291!* / 2% " #!! *!27""! 2*!27"* " / 29 " # !91!"4!*!291#""91! 2*!291#" " # !91#"4!*!29""91# ' !6" Z!%"= !6"`¨ 49!2"">4 +!2". # !91#"4!!*!2""91# . # !>19"4!#1*!2"" >19 " 9I9 >+!2"!*!2""91 !# #1*!2"" >19 ' '* D E & ø!#$%&)" ¡;"&

朱慧敏:运用 Newton微元法求解概率密度函数 结语 综上所述,运用牛顿微元法求解一维或多维连续型随机变量的函数的概率密度不失为一种简便有效 的计算方法 参考文献 [1]费勒W.概率论及其应用(第二卷)M].李志闸,郑元禄译.北京:科学出版社,1994:52-61. [2]张建华.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2008:60-63 Solving probability density with Newtons Infinitesimal Method ZHU Hui-min (School of Mathematical Sciences, Fudan University, Shanghai 200433, China) Abstract: The procedure to solve the probability density function for a continuous random variable with Newto Infinitesimal method can be unified with that for a discrete random variable, Therefore it is more intuitive and simpler, particularly more practical for complicated random variables. Keywords: Newton's infinitesimal method; probability density; continuous random variable; random variable function

% ü ® ¥73%=aáâ8¼X ˆS3MŒ367l²~ˆ%^kl^íhq^tdœSN÷ÑYZ ^{OWX8 UV-L! '#( s× `8íhnŽî†a!¡5&"'+(8‹ìœ%ï¼çF8T3&%&I)U%#''%&;!$6#8 '!( Žã8íhn+lGs{'+(8T3&u;ºéI)U%!""X&6"$678 E-9>3F/>+.4;#+!""%77%N;+>#" 7>4/,9:/!FC:0J/AKL4?9A/:?L:=.9:?A/?4:4>=.?2:-J.=/.M0 ^?L/?/A<>/-.0-9=-:=/-Y08 @1AB-,64!Q/?L/?/A<>/-.0-/AK#9:?A/?4:4>=.?2:-J.=/.M0<#=.?2:-J.=/.M0<L4?9A/:? ¡#" Ð݆&=a Q<[A:?8¼X ˆíhq^kl '%