第50卷第1期 复旦学报(自然科学版) Vol 50 No. 1 2011年2月 Journal of Fudan University(Natural Science) Feb.2011 文章编号:0427-7104(2011)01- 运用 Newton微元法求解概率密度函数 朱慧敏 (复旦大学数学科学学院,上海200433) 摘要:利用 Newton微元法求连续型随机变量函数的概率密度,可使其与求离散型随机变量函数的概率分布 的计算方法相统一,因而这种方法更直观简单,尤其在求解复杂的随机变量函数的概率密度时,此方法更胜 关键词: Newton微元法;概率密度函数;连续型随机变量;随机变量函数 中图分类号:O1 文献标志码:A 在概率论中求随机变量函数的分布是一个很基本的问题,即设f是已知函数,若随机变量和n满足 =f(),则称n是的函数所谓求随机变量函数的分布,就是已知随机变量的分布,要求的分布 若是离散型随机变量其分布为P(=x)=p,k=1,2,…;∑p=1.记n的可能取值为{y 2,…}={f(xk)|k=1,2,…},则n的分布为 7=y 若安和η都是连续型随机变量,为了求n的密度函数,常用的办法是先求出累积分布函数,然后求导 得到密度函数,在本文中,利用 Newton微元法,对连续型随机变量可以计算其在一点的微概率,记g(x) 为的概率密度,则P(=x)=ge(x)|dx|,其中|dx是x轴上一点的长度,由此,在一个区间上的 概率 P(ELa, b]=pe(x)I dx|= 9:(r)da 即可看成是它在每一点微概率的总和注意,微概率的积分与积分上下限的顺序无关: P∈[ab)=9x)|dr|= p: (x)dr. 按照这样的想法,我们就可以像处理离散型随机变量函数那样,来求连续性随机变量函数n(n f()的概率密度了 y)Idyl=P(n=y)=P(f(s)=y 1求解一维连续型随机变量的函数的概率密度 当η均为连续型随机变量时,若的概率密度为g:(x),∫(x)是一个连续函数,n=f(),则为了求 出n的概率密度gn(x),通常的方法是 1)先求=f()的分布函数:P(≤y)=F2(y)= 收稿日期:2010-09-25 作者简介:朱慧敏(1963-),女,硕士,讲师,E-mal:huzhu@fudan.edu.cn
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朱慧敏:运用 Newton微元法求解概率密度函数 2)然后求导得出的概率密度:93(y)=F(y) 然而,在某些情况下,{x|f(x)≤y}是一个比较复杂的集合,上述的方法就必须先在这复杂的集合上 积分,然后再求导以完成最终的计算.这是一种比较繁琐的过程,尤其是对于比较复杂的问题,更是让人 望而却步. 注意到积分与求导是互逆的运算,利用 Newton微元法可以避免这种“重复”计算,如同离散型随机 变量那样,通过相应点的概率密度的相加直接得到所求的结果. 2用牛顿微元法求解概率密度(一) 定理1设是连续型随机变量,其概率密度记为9:(x),n=f(),设f(x)满足:整个实轴除去一个 零集后,可划分为若干个两两互不重叠的区间(ak,b),使得在每一个区间(ak,b)上,y=f(x)严格单调并 且有惟一具有连续导数的反函数x=gk(y),区间(αA)为值域则η也是连续型随机变量,其概率密度 (y)为 ∑g(x4(y)|g4(y)y∈U(ak,), (1) y∈U(akA) 证利用 Newton微元法求g(y),设y∈U(a,A) P, (y)Idyl=P(n=y)=P(f(s)=y) (2) 由已知,当y∈(a,R)时,y=f(x)在x∈(ak,bh)上有对应的反函数x=gk(y),故 P(f()=y) P ly∈(a) klye q B), e(g:(y))Id(g+(y))I 2 e(g:(y))Igi(y)II dyl (3) ly∈aA 则由(2)和(3)式,约去|dy得:gn(y) 19:(g(y)gk(y)| 当y∈u(a,A)时,P(f()=y)=0,故g(y)=0.(1)式得证 例1设连续型随机变量~Exp(λ),即的概率密度为 求随机变量v=tan的概率密度gn(y) 解如果直接利用定理1中的(1)式来计算g(y),需要找出定理1中的各个单调区间(ak,b),这既 繁琐又不必要[.为此,直接用 Newton微元法计算g(y),就不需要考虑区间的变换关系,而只要考虑点 的变换关系,既简便又清晰 当y>0时,tanx=y满足x>0的解为:x= arctan y+kr,k=0,1,2,…,则 P, (y).dyl=P(n=y)=P(tan s=y)=P(S=arctan y+k,k=0,1,2, " P(=arctan y+kr)=2Ae-xaretan yt*) I d arctan yl m∑ea|dyl 所以, g(y)=422·1
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