复旦大学数学科学学院 2010~2011学年第二学期期末考试试卷 A卷 课程名称:高等数学A(下 课程代码:MATH12002 开课院系: 数学科学学院 考试形式:闭卷 姓名: 学号: 专业 6 8总分 得分 (本题满分42分,每小题7分)计算下列各题 (1)设方程z-x= arctan确定隐函数z=x(x,y),求 装订线内不要答题 (2)计算二重积分』yx2+y2dd,其中D是圆x2+y2=2y所围的有界闭区域
1 复旦大学数学科学学院 2010～2011 学年第二学期期末考试试卷 A 卷 数学科学学院 1．（本题满分 42 分，每小题 7 分）计算下列各题： （1）设方程 z x y z x arctan 确定隐函数 z z(x, y) ，求 x z 。 （2）计算二重积分 x y dxdy D 2 2 ，其中 D 是圆 x y 2y 2 2 所围的有界闭区域。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
(3)求椭圆抛物面z=1-x-y(a,b>0)与平面z=0所围立体的体积 (4)计算曲线积分」(x2+y2)ds,其中L是曲线x=cst+sn1,(05152z) y=sin cost
2 （3）求椭圆抛物面 2 2 2 2 1 b y a x z （ a，b 0 ）与平面 z 0 所围立体的体积。 （4）计算曲线积分 L (x y )ds 2 2 ，其中 L 是曲线 y t t t x t t t sin cos cos sin , （ 0 t 2 ）
(5)将f(x)=x2(0≤x≤2)展开为周期4的余弦级数。 (6)解定解问题 +4y=8e2x
3 （5）将 2 f (x) x （ 0 x 2 ）展开为周期 4 的余弦级数。 （6）解定解问题 1, 1. 4 8 , 0 0 2 x x x y y y y e
2.(本题满分8分)已知函数z=f(x,y)的全微分为d=2xdx-2yy,且f(,1)=2。 求∫在椭圆域D={(x,y)x2+≤1}上的最大值和最小值。 3.(本题满分8分)求过直线∠:(x+2y+2-1=0 且与曲线C x ty 3=0 x+y 2=z=4 在点P(,-1,2)处的切线平行的平面方程
4 2．（本题满分 8 分）已知函数 z f (x, y) 的全微分为 dz 2xdx 2ydy ，且 f (1,1) 2。 求 f 在椭圆域 1 4 ( , ) | 2 2 y D x y x 上的最大值和最小值。 3．（本题满分 8 分）求过直线 L ： 2 3 0 2 1 0, x y z x y z 且与曲线 C ： 2 4 , 2 2 2 1 2 x y z x y z 在点 (1, 1, 2) P0 处的切线平行的平面方程
4.(本题满分8分)求曲面积分』(x+y+)dS,其中Σ为球面x2+y2+2=a2上 z≥h(0<h<a)的部分 5.(本题满分8分)计算曲线积分∮中-ydx,其中L为圆周x2+(y-1)2=4,定 向为逆时针方向
5 4．（本题满分 8 分）求曲面积分 (x y z)dS ，其中 为球面 2 2 2 2 x y z a 上 z h （ 0 h a ）的部分。 5．（本题满分 8 分）计算曲线积分 L x y xdy ydx 2 2 4 ，其中 L 为圆周 ( 1) 4 2 2 x y ，定 向为逆时针方向
6.(本题满分8分)计算曲面积分(x2+siny)h=+(x2y-)d+y2dd,其 中∑为上半球面x2+y2+x2=4(20)的上侧 本题满分8分)求级数∑((-+的和
6 6．（本题满分 8 分）计算曲面积分 xz y dydz x y z dzdx y zdxdy 2 2 2 ( sin ) ( ) ，其 中 为上半球面 4 2 2 2 x y z （ z 0 ）的上侧。 7．（本题满分 8 分）求级数 0 2 2 ( 1) ( 1) n n n n n 的和
8.(本题满分10分)设y(x)是定解问题=(++ 的解(n=1,2,…)。 y(0)=0 (1)求yn(x)(n=1,2,…) (2)证明:对于每个x∈0.2|,级数∑n2y2(x)收敛
7 8．（本题满分 10 分）设 y (x) n 是定解问题 (0) 0 , 2 2 y n x y dx dy 的解（ n 1, 2, ）。 （1）求 y (x) n （ n 1, 2, ）； （2）证明：对于每个 2 0, x ，级数 1 2 ( ) n n n y x 收敛