复旦大学数学科学学院 2011~2012学年第二学期期末考试试卷 A卷 课程名称: 高等数学A(下) 课程代码:MATH20002 开课院系: 数学科学学院 考试形式:闭卷 姓名 学号 专业 题号 6 7 总分 得分 (本题满分42分,每小题7分)计算下列各题 (1)设z= 求d 装订线内不要答题 (2)求曲线(2x+y+1)2+(x+2y+3)2=1所围有界区域的面积
1 复旦大学数学科学学院 2011～2012 学年第二学期期末考试试卷 A 卷 数学科学学院 1．（本题满分 42 分，每小题 7 分）计算下列各题： （1）设 4 x y x y z ，求 dz 。 （2）求曲线 (2 1) ( 2 3) 1 2 2 x y x y 所围有界区域的面积。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
(3)计算三重积分亦(x2+y)h,其中9为抛物面==x2+y2与平面=h (h>0)所围的有界闭区域 (4)计算第一类曲面积分』y3ds,其中是球面x2+y2+=2=a2(a>0)
2 （3）计算三重积分 (x y )dxdydz 2 2 ，其中 为抛物面 2 2 z x y 与平面 z h （ h 0 )所围的有界闭区域。 （4）计算第一类曲面积分 y dS 2 ，其中 是球面 2 2 2 2 x y z a （ a 0 )
(5)求幂级数∑+x的和函数。 dy (6)求微分方样ay=xy(x>0,y>0)的通解
3 （5）求幂级数 1 ! 1 n n x n n 的和函数。 （6）求微分方程 y x y dx x dy 4 （ x 0， y 0 ）的通解
2.(本题满分8分)求函数f(x,y,2)=x2+y2+2在条件ax+by+c=1下的最小 值,其中a,b,c为常数。 3.(本题满分10分)确定常数λ,使得右半平面{(x,y)|x>0}上的向量值函数 r(x,y)=2x(x4+y2)2i-x2(x4+y2)2j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求v(x,y)
4 2．（本题满分 8 分）求函数 2 2 2 f (x, y,z) x y z 在条件 ax by cz 1 下的最小 值，其中 a ，b ，c 为常数。 3．（本题满分 10 分）确定常数 ，使得右半平面 {(x, y) | x 0} 上的向量值函数 r i ( , ) 2 ( ) 4 2 x y xy x y j ( ) 2 4 2 x x y 为某二元函数 u(x, y) 的梯度，并求 u(x, y)
4.(本题满分10分)计算第二类曲面积分(1-x)0小+8 oder-4xohy,其 中∑是由Ox平面上的曲线x=e(0≤y≤1)绕x轴旋转一周而成的旋转曲面, 且该曲面的法向量与x轴正向的夹角不小于z。 d-y dy 5.(本题满分10分)设y(x)是定解问题d 的解(n=2,3,…) (1)=0,y(1) (1)求yn(x)(n=2,3…);(2)问级数∑yn(0)lhn是否收敛?请说明理由
5 4．（本题满分 10 分）计算第二类曲面积分 2(1 x )dydz 8xydzdx 4zxdxdy 2 ，其 中 是由 Oxy 平面上的曲线 2 y x e （ 0 y 1 ）绕 x 轴旋转一周而成的旋转曲面， 且该曲面的法向量与 x 轴正向的夹角不小于 2 。 5．（本题满分 10 分）设 y (x) n 是定解问题 (1) 0, (1) 0 , 1 2 2 y y x dx dy n dx d y x n 的解（ n 2, 3, ）。 （1）求 y (x) n （ n 2, 3, ）；（2）问级数 2 (0)ln n yn n 是否收敛？请说明理由
6.(本题满分12分)设0<<z。(1)求函数f(x)= 的Fou 0,q<xk≤丌 级数:(2)求级数∑12及∑的和
6 6．（本题满分 12 分）设 0 。（1）求函数 0, | | 1, | | , ( ) x x f x 的 Fourier 级数；（2）求级数 1 sin 2 n n n 及 1 2 2 sin n n n 的和
7.(本题满分8分)已知曲面∑1:R=x2+y2+R2和Σ2:Rz=x2+y2(R>0) 证明:∑1上任一点处的切平面与曲面∑2所围立体的体积与该点的位置无关
7 7．（本题满分 8 分）已知曲面 1 ： 2 2 2 Rz x y R 和 2 ： 2 2 Rz x y （ R 0 )。 证明： 1 上任一点处的切平面与曲面 2 所围立体的体积与该点的位置无关