复旦大学数学科学学院 2009~2010学年第二学期期末考试试卷 A卷 课程名称:高等数学A(下) 课程代码:MATH1200 开课院系 数学科学学院 考试形式:闭卷 姓名 学号 专业 题号1 2 4 5 6 得分 (本题满分48分,每小题8分)计算下列各题: (1)设函数2=(x,y由方程x+y-=e所确定,求x, 装订线内不要答题 Oxy (2)求二元函数f(x,y)=2xy-3x2-2y2+10的极值
1 复旦大学数学科学学院 2009～2010 学年第二学期期末考试试卷 A 卷 ____ A _________ ___MATH120002__ ____ 数学科学学院___________ 1 2 3 4 5 6 7 1．（本题满分 48 分，每小题 8 分）计算下列各题： （1）设函数 z z(x, y) 由方程 z x y z e 所确定，求 y z ， x y z 2 。 （2）求二元函数 ( , ) 2 3 2 10 2 2 f x y xy x y 的极值。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
(3)计算二重积分 [ arctan=dxdy,其中D是由圆周x2+y2=1,x2+y2=4及直 线y=0,y=x在第一象限所围的闭区域 (4)计算第一类曲线积分∫yds,其中曲线L为上半心脏线,其极坐标表示为 r=a(1+co0)(0≤0≤x),其中a>0
2 （3）计算二重积分 D dxdy x y arctan ，其中 D 是由圆周 1 2 2 x y ， 4 2 2 x y 及直 线 y 0， y x 在第一象限所围的闭区域。 （4）计算第一类曲线积分 L yds ，其中曲线 L 为上半心脏线，其极坐标表示为 r a(1 cos) （ 0 ），其中 a 0
(5)计算第二类曲面积分∫xydd,其中Σ为球面x2+y2+2=1在x≥0,y≥0 z≥0的部分,并定向为下侧 (6)求幂级数(”+2)x“的收敛半径和收敛域
3 （5）计算第二类曲面积分 xyzdxdy ，其中 为球面 1 2 2 2 x y z 在 x 0，y 0， z 0 的部分，并定向为下侧。 （6）求幂级数 0 4 2 1 2 n n n x n n 的收敛半径和收敛域
2.(本题满分8分)设V是由椭球面x+y+三=1在第一卦限上的点处的切平 b 面和三个坐标平面所围成的四面体体积(a>0,b>0,c>0),求V的最小值 3.(本题满分8分)计算第二类曲线积分smy+y)x+xyzy,其中L为曲线 y=x(-x)在第一象限的部分,方向为从AO,0)到B(x,0)
4 2．（本题满分 8 分）设 V 是由椭球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 在第一卦限上的点处的切平 面和三个坐标平面所围成的四面体体积（ a 0, b 0, c 0 ），求 V 的最小值。 3．（本题满分 8 分）计算第二类曲线积分 L (sin y y)dx x cos ydy ，其中 L 为曲线 y x( x) 在第一象限的部分，方向为从 A(0, 0) 到 B(, 0)
4.(本题满分8分)已知螺旋面片Σ:x=rcosθ,y=rsnθ,z=θ(0≤θ≤2x, 0≤r≤1),计算第一类曲面积分yx2+y2dS。 5.(本题满分10分)设f(x) x∈[0,] (1)将厂展开为余弦级数:(2)求级数∑二)的和。 n1+4n
5 4．（本题满分 8 分）已知螺旋面片 ： x r cos ，y rsin ，z （ 0 2 ， 0 r 1 ），计算第一类曲面积分 x y dS 2 2 。 5．（本题满分 10 分）设 e e e e f x x x ( ) ， x[0, ]。 （1）将 f 展开为余弦级数；（2）求级数 1 2 1 4 ( 1) n n n 的和
6.(本题满分8分)计算第二类曲面积分xy2dd+yz2dadx+x2 dxdy,其中∑是 椭球面x+y+三=1的外侧
6 6．（本题满分 8 分）计算第二类曲面积分 xy dydz yz dzdx zx dxdy 2 2 2 ，其中 是 椭球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的外侧
7.(本题满分10分)已知幂级数∑,(1)求其收敛域:(2)若记该幂级 n=0(2n+1)! 数的和函数为S(x,且已知∫cak=z,证明: lim 2S(x)
7 7．（本题满分 10 分）已知幂级数 0 2 1 (2 1)!! n n n x 。（1）求其收敛域；（2）若记该幂级 数的和函数为 S(x) ，且已知 0 2 2 e dx x ，证明： 2 2 lim ( ) 2 2 e S x x x