复旦大学数学科学学院 2012~2013学年第二学期期末考试试卷 ■A卷 课程名称:高等数学A(下)课程代码:MATH120002 开课院系 数学科学学院 考试形式 闭卷 姓名: 题目1 7总分 得分 装订线内不要答题 1.(本题满分42分,每小题7分)计算下列各题: ()设,=()1(3x-20,求D(.1),Dmb1.1 +y2+22-3x=0 (2)求空间曲线 在点(1,1,1)处的切线方程。 3y+5z-4=0 第1页(共8页)
( K â á ÿ S Ç æ C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EåÆÍÆâÆÆ 2012*2013Æc1Æœœ"££Ú A Ú ë߶°µ p ÍÆA(e) ëßì˵ MATH120002 mëXµ ÍÆâÆÆ £/™µ 4Ú 6 ¶µ Æ “µ ; íµ K 8 1 2 3 4 5 6 7 o© © 1.£ K˜©42 ©ßzK7 ©§OéeàKµ (1)z(x, y) = x y 2 ln(3x − 2y), ¶ ∂z ∂x(1, 1), ∂ 2 z ∂x∂y (1, 1). (2)¶òmÇ x 2 + y 2 + z 2 − 3x = 0 2x − 3y + 5z − 4 = 0 3:(1, 1, 1)?ÉÇêß" 11ê ( 8ê)
(3)求椭圆抛物面z=1+x2+3y2、圆柱面x2+y2=1及平面z=0所围的有界区域 的体积 (4)计算三重积分 (1+x+y+2)2 dadda,其中区域={(x,y,2)|x2+y2+ 第2页(共8页)
(3)¶˝ ‘°z = 1 + x 2 + 3y 2! Œ°x 2 + y 2 = 19²°z = 0§åk.´ç N»" (4)Oén»© Z Z Z Ω (1 + x + y + z) 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 dxdydz, Ÿ•´çΩ = {(x, y, z)|x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1}. 12ê ( 8ê)
(5)计算第二类曲面积分//dydz,其中是上半球面z=√1-n2-y2,定向取 装订线内不要答题 (6)一个雪球开始融化,假设它将时刻保持球形,且体积的融化率与表面积成正 若在最初的一个小时内,其体积缩减为原来的亠。计算雪球全部融化所需的 时间 第3页(共8页)
( K â á ÿ S Ç æ C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5)Oé1a°»© Z Z Σ xdydz, Ÿ•Σ¥˛å•°z = p 1 − x 2 − y 2ß½ï ˛˝. (6)òổm©KzßbßÚû豕/ßÖN»Kz«ÜL°»§ 'ße3Å–òáûSߟN»†~è5 1 8 "O黕 ‹Kz§I ûm" 13ê ( 8ê)
2.(本题满分8分)设有一条光滑的空间曲线L,其每一点处的切线与z轴的夹角 均为元证明L上任意两点A(x1,1,x1)与B(x2,y2,2)间的弧长为v22-a1 3.(本题满分8分)设f(x)在R上二阶可导,讨论∑(-1)f()的敛散性。 第4页(共8页)
2.£ K˜©8 ©§ kò^1wòmÇL, Ÿzò:?ÉÇÜz¶Y ˛è π 4 . y²L˛?ø¸:A(x1, y1, z1)ÜB(x2, y2, z2)mlè √ 2|z2 − z1|. 3.£ K˜©8 ©§ f(x)3R˛ åß?ÿ X∞ n=1 (−1)n f( 1 n )Ò—5" 14ê ( 8ê)
4.(本题满分10分)设∫(x)在[1,+∞)上二阶连续可导,f(1)=0,f(1)=1,函 数z=(x2+y2)f(x2+y2)满足方程zx+2y0=0.求函数f(x) 装订线内不要答题 第5页(共8页)
( K â á ÿ S Ç æ C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.£ K˜©10 ©§ f(x)3[1, +∞)˛ ÎYåßf(1) = 0, f 0 (1) = 1, º Íz = (x 2 + y 2 )f(x 2 + y 2 )˜vêßzxx + zyy = 0. ¶ºÍf(x). 15ê ( 8ê)
5.(本题满分10分)计算第二类曲面积分 + wddx+ eddy,其中∑是 球面x2+y2+2=1,定向取外侧 第6页(共8页)
5.£ K˜©10 ©§ Oé1a°»© Z Z Σ xdydz + ydzdx + zdxdy (x 2 + 4y 2 + 4z 2 ) 3 2 , Ÿ•Σ¥ •°x 2 + y 2 + z 2 = 1ß½ï ˝. 16ê ( 8ê)
6.(本题满分10分)设f(x)是以2x为周期的函数且f(x)= (1)求f(x)的 Fourier展开式,并分别计算和函数在。及7处的值; (2)求实系数A,A1,,A10和B1,B2,…,B10使下面的积分 [(f(x)-g(x)2+9( 达到最小值,其中函数g(x)=41 +∑(4nosm+ B, sin) 装订线内不要答题 第7页(共8页)
( K â á ÿ S Ç æ C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.£ K˜©10 ©§ f(x)¥±2π豜ºÍÖf(x) = 1, x ∈ [0, π]; 0, x ∈ (−π, 0). (1)¶f(x)Fourier–m™ßø©OOé⁄ºÍ3 7π 2 97π?ä¶ (2)¶¢XÍA0, A1, . . . , A10⁄B1, B2, . . . , B10¶e°»©µ Z π −π f(x) − g(x) 2 + g 2 (x) dx àÅäߟ•ºÍg(x) = A0 2 + X 10 n=1 An cos nx + Bn sin nx . 17ê ( 8ê)
7.(本题满分12分)分别在下述两种情况下讨论,是否存在常数a,λ使得积分 Pdr + Qdy 在区域D=R2\{(0.,0)}内与路径无关?证明你的结论。 -4u.T (1)P (x2+y2)2 (x2+y2)2 第8页(共8页)
7.£ K˜©12 ©§ ©O3e„¸´ú¹e?ÿߥƒ3~Ía, 붻© Z L Pdx + Qdy 3´çD = R2\{(0, 0)} SÜ¥ªÃ'ºy²\(ÿ" (1)P = ay x 2 + y 2 , Q = x λ x 2 + y 2 ; (2)P = axy2 (x 2 + y 2 ) 2 , Q = −4yxλ (x 2 + y 2 ) 2 . 18ê ( 8ê)