复旦大学数学科学学院 2013~2014学年第一学期期末考试试卷 A卷 课程名称:高等数学A(上) 课程代码:MATH120001 开课院系: 数学科学学院 考试形式:闭卷_ 姓名 学号 专业 题号1 2 4 6 总分 得分 (本题满分48分,每小题6分)计算下列各题: (1)设y=cos(nx),求y” 装订线内不要答题 (2)求极限lim x-sInx
1 复旦大学数学科学学院 2013～2014 学年第一学期期末考试试卷 A 卷 数学科学学院 1．（本题满分 48 分，每小题 6 分）计算下列各题： （1）设 y cos(ln x) ，求 y ； （2）求极限 3 0 sin lim x x x x ； （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
(3)求函数f(x) 的单调区间和极值 (4)求曲线y=ln(x+√x2+1)的拐点 (5)求不定积分es2e)x
2 （3）求函数 x x f x 2 ln ( ) 的单调区间和极值； （4）求曲线 ln( 1) 2 y x x 的拐点； （5）求不定积分 dx x x e cos(2e ) ；
(6)计算反常积分∫。 e sin xdx 100 (7)问矩阵A=120是否可逆?若可逆,求其逆矩阵 arty+2= 0, (8)问当a,b取何值时,齐次线性方程组{x+by+z=0,只有零解? x+ 2by
3 （6）计算反常积分 0 e sin xdx x ； （7）问矩阵 1 2 3 1 2 0 1 0 0 A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵； （8）问当 a ，b 取何值时，齐次线性方程组 2 0 0, 0, x by z x by z ax y z 只有零解？
2.(本题满分8分)设f(x) ,x∈[0,1 求F(x)=「f(n)在D.,2]上的表达式 2x,x∈[12] 并讨论F(x)在x=1点的可导性。 3.(本题满分8分)已知抛物线L:y=-x2+4x-3 (1)求L分别在点(0,-3)和(3,0)处的切线的方程 (2)求(1)中的两条切线与L所围图形的面积
4 2．（本题满分 8 分）设 2 , [1, 2]. , [0, 1), ( ) 2 x x x x f x 求 x F x f t dt 0 ( ) ( ) 在 [0, 2] 上的表达式， 并讨论 F(x) 在 x 1 点的可导性。 3．（本题满分 8 分）已知抛物线 L ： 4 3 2 y x x 。 （1）求 L 分别在点 (0, 3) 和 (3, 0) 处的切线的方程； （2）求（1）中的两条切线与 L 所围图形的面积
4.(本题满分8分)讨论方程xlnx=a有几个实根。 5.(本题满分8分)设f(x)在(-∞,+)上连续,且满足方程 (x-1)f(1)dt=e( (1)求f(x)的表达式;(2)求f(x)的极值
5 4．（本题满分 8 分）讨论方程 xln x a 有几个实根。 5．（本题满分 8 分）设 f (x) 在 (, ) 上连续，且满足方程 ( ) ( ) e ( 2 ) 2 0 x t f t dt x x x x 。 （1）求 f (x) 的表达式；（2）求 f (x) 的极值
6.(本题满分10分)已知2=1是矩阵A=5a3的特征向量。 (1)求常数a,b及ξ所对应的特征值 (2)问A是否能对角化?请说明理由
6 6．（本题满分 10 分）已知 1 1 1 ξ 是矩阵 1 2 5 3 2 1 2 b A a 的特征向量。 （1）求常数 a ，b 及 ξ 所对应的特征值； （2）问 A 是否能对角化？请说明理由
7.(本题满分10分)(1)求 dx和 1+cos-x 0 1+cos x dt (2)证明lim1+cos2t 7
7 7．（本题满分 10 分）（1）求 π 0 2 1 cos 1 dx x 和 π 0 2 2 1 cos sin dx x x ； （2）证明 2 2 1 cos 1 1 cos sin lim 0 2 0 2 2 x x x dt t dt t t