复旦大学：《高等数学》课程往年试题（高等数学A）2014高数A（下）-答案

复旦大学数学科学学院 2013~2014学年第二学期期末考试 高数A(下)A卷参考答案 一、1、sin(x+y)+xcos(x+y),cos(x+y)-xsin(x+y). 2、2x+y+z=√3 48 4、收敛半径为R=2,收敛域(-2,2). 通解为y +Cx fo sin/x Z 2n-1 sin(2n-1)x 7、兀 8 +yj+z 二、(1)驻点(0,0),f(0,.0)=2. (2)在椭圆域边界椭圆上,最大值为3(x=1,-12y=0时),最小值为2 (x=02y=2,2时)。 综上,最大值3,最小值-2 四 3 = (1-x) 五f(x)=1+2y(1-1,n 2k-1) (0)=0,f2(0) 2(-1)

复旦大学数学科学学院 2013～2014 学年第二学期期末考试 高数 A（下）A 卷参考答案 一、1、sin( ) cos( ) x y x x y    ， cos( ) sin( ) x y x x y    . 2、2 3 . x y z    3、 1 48 . 4、收敛半径为 R  2 ，收敛域 ( 2, 2)  . 5、通解为 1 3 2 y x Cx   . 6、 1 1 4 1 ( ) sin sin(2 1) . 2 1 n n n f x b nx n x  n          7、 8、 ( ) , . r f r r xi yj zk r     二、（1）驻点（0,0），f(0,0)=2. （2）在椭圆域边界椭圆上，最大值为 3（x=1,-1,y=0 时），最小值为-2 （x=0,y=2,-2 时）。 综上，最大值 3，最小值-2. 三、 7 . 12  四、 3 3 ( ) . (1 ) x S x x    五、 1 2 2 1 ( 1) ( ) 1 2 4 1 n n n f x x n         ， (0) f (0) 1  ， (2 1)(0) 0 k f   ， 1 (2 ) 2 2( 1) (0) (2 )! ( 1, 2, , ) 4 1 k k f k k k     

六、(1) a z are cos yf'(e cos y)+e cos yf"(e cos p) 8z=-e cos yf(e cos y)+e sin yf(e cos y) av (2)f()=el 七、证明 (1)由 Lagrange中值定理,3∈(0,),使得 osa, -,-(cosa -a,)=(sin s-D(a-a. ),3 于是 cosb- cos,≥{an-an|,n- a sb-b 由于∑b收敛,可知b→0(m→∞),根据 Cauchy收敛原理,{an}收敛,记 an→a(n→∞),a∈[0,zl 在 coSa-an=cosb,中令n→∞,得 cos一a=1 则a=0 另证:记函数F(x,y)=cosy-y-cosx,则F=-siny-1≠0,y∈1,,由 隐函数存在定理,方程F(x,y)=cosy-y-cosx=0可在0,δ确定一个隐函数 y=f(x),它在0,上连续,于是在 cOS a-an= cos b中令n→,得 cosf(0)-f(0)=1,则f(0)=0,即an→0(m→∞ 1-cos a (2)由 1- cos b,及a→0(n→∞),可得lim1=cosb 即lim=1,或lmnb=1,由比较判别法,∑收敛

六、（1） 2 2 2 2 cos ( cos ) cos ( cos ) z x x x x e yf e y e yf e y x       ， 2 2 2 2 cos ( cos ) sin ( cos ) z x x x x e yf e y e yf e y y        ； （2） 1 1 2 2 ( ) 2 . 2 2 u u f u e e u     七、证明 （1）由 Lagrange 中值定理， 0 2    （ ， ） ，使得 cos (cos ) ( sin 1)( ) m m n n m n a a a a a a         ， 于是 cos cos m n b b   m n a a  ， m n a a  m n   b b ， 由于 1 n n b    收敛，可知 0( ) n b n    ，根据 Cauchy 收敛原理， { }n a 收敛，记 ( ) n a a n    ， [0 ] 2 a   ， 在 cos cos n n n a a b   中令 n ，得 cos 1 a a   ，则 a  0。 另证：记函数 F x y y y x ( , ) cos cos    ，则 sin 1 0 F y y      ， [0 ] 2 y   ， ，由 隐函数存在定理，方程 F x y y y x ( , ) cos cos 0     可在 [0 ] ， 确定一个隐函数 y f x  ( ) ，它在 [0 ] ， 上连续，于是在 cos cos n n n a a b   中令 n ，得 cos (0) (0) 1 f f   ，则 f (0) 0  ，即 0( ) n a n    。 （2）由 1 cos 1 cos 1 n n n n a b a a     ，及 0( ) n a n    ，可得 1 cos lim 1 n n n b  a   ， 即 2 lim 1 2 n n n b  a  ，或 1 lim 2 n n n n a b  b  ，由比较判别法， 1 n n n a b    收敛