复旦大学：《高等数学》课程往年试题（高等数学A）2009级高等数学A（上）试题

复旦大学 2009~2010学年第一学期期末考试试卷 A卷 课程名称:高等数学A(上)课程代码: 开课院系 考试形式:闭卷 姓名 专业: 题号1 6 8总分 得分 (本题共20分,每小题5分) 1求y=xsn22x的二阶导数 2计算x+2x+2 3计算∫ tan 2x In(1+r*)dt 4求im2 x sinx

1 复旦大学 2009～2010 学年第一学期期末考试试卷 A 卷 一. （本题共 20 分，每小题 5 分） 1.求 y x sin 2x 2  的二阶导数 ; 2.计算 2 3 4 2 2 x dx x x     ; 3.计算    0 2 1 1 dx e x ; 4.求 x x ( t )dt x x sin ln 1 lim 2 tan2 0 2 0   

(本题共20分,每小题5分) l-221 1求矩阵的秩;A= 22 2设矩阵AB满足AB=A+2B,其中A=-120,求矩阵B 213 3设A是一个3×4的矩阵,rank(A)=2,方程组Ax=b有三个特解 x")=(1,2,-1,2),x(2)=(2,-1,1,3),x0)=(3,2,-2,1)r, 试求方程组Ax=b的通解

2 二. （本题共 20 分，每小题 5 分） 1.求矩阵的秩;                      1 4 10 5 2 2 8 4 2 1 2 1 1 2 2 1 A 2.设矩阵 A,B 满足 AB  A  2B ，其中             2 1 3 1 2 0 1 2 3 A ，求矩阵 B ; 3.设 A 是一个 3 4 的矩阵， rank(A)  2，方程组 Ax  b 有三个特解 (1) T (2) T (3) T x  (1, 2,1, 2) , x  (2,1,1,3) , x  (3, 2,2,1) , 试求方程组 Ax  b 的通解

4设A=0de为正交阵,求abcd,e 三.(本题10分)求f(O)=「x-4 in xdx在p2上的最大值和最小值 x1+x2-2x3+x4=2 四.(本题10分)设有方程组 2x1+x2+ax3-x4=1 问a,b为何值时 x1-x2+2x3+3x4=b 3x,+2x,-5X,+2x,=1 方程组无解?有唯一解?有无穷多解?有无穷多解时请求出其通 解

3 4.设            0 0 f 0 d e a b c A 为正交阵，求 a,b,c,d,e,f 。 三. （本题 10 分）求    π f t x t xdx 0 ( ) sin 在 [0, 2] 上的最大值和最小值。 四. （本题 10 分）设有方程组                        3 2 5 2 1 2 3 2 1 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x b x x ax x x x x x ，问 a,b 为何值时， 方程组无解？有唯一解？有无穷多解？有无穷多解时请求出其通 解

五.(本题10分)设A是一个实三阶方阵,其特征值为1-1,2,证明 A可逆,且A=(1+2A-A2) 六.(本题10分)设有一个质量为m的均匀细棒放在xoy平面的第 象限,细棒两端的坐标分别是(2,0),(0,2),有一个单位质量的质点 位于坐标原点,求细棒对这质点的引力

4 五. （本题 10 分）设 A 是一个实三阶方阵，其特征值为 1, 1, 2，证明: A 可逆，且 (I 2A A ) 2 1 A 1 2     六. （本题 10 分）设有一个质量为 m 的均匀细棒放在 xoy 平面的第一 象限，细棒两端的坐标分别是 (2, 0), (0, 2)，有一个单位质量的质点 位于坐标原点，求细棒对这质点的引力

七(本题12分)设线性空间v=ab|abce b 112020少说明A具是V的一组基 (2)记a1 01 求出基a1a2,a3到基 月,B2,B2的过渡矩阵; (3)定义线性变换a为:(a1)=B1+B2,a1(a2)=B2+B3 c(a3)=B3,求出在基B,B2,B3下的表示矩阵

5 七. （本题 12 分）设线性空间                   a,b,c R b c a b V （1）记                            1 1 1 1 , 1 0 1 1 , 0 0 1 0 1  2  3 ，说明 1 2 3  ,  ,  是 V 的一组基； （ 2 ） 记                            1 0 0 1 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 1  2 3 ， 求 出 基 1 2 3  ,  ,  到 基 1 2 3  ,  ,  的过渡矩阵； （3）定义线性变换 A 为 ：A 1 1 2 ( )     ，A 2 2 3 ( )     ， A 3 3 ( )   ，求出 A 在基 1 2 3  ,  ,  下的表示矩阵

八.(本题8分)设f(x)在[0,1上三阶可导,满足 f(0=-1,f(1)=0,f(0)=0 (1)设g(x)=),计算g(x) (2)证明:存在5∈0,使得f(x)=-1+x2+x2(x-1r"(5),x∈(0,1)

6 八. （本题 8 分）设 f x( ) 在 [0,1] 上三阶可导，满足 f f f (0) 1, (1) 0, (0) 0      。 （1）设 1 ( ) ( )   x f x g x ，计算 g (x) ； （2）证明：存在  (0,1) ，使得 ( ) 6 ( 1) ( ) 1 2 2 f  x x f x x       ，x(0,1)