复旦大学数学科学学院 2010~2011学年第一学期期末考试试卷 A卷 课程名称:高等数学A(上) 课程代码:MATH120001 开课院系: 数学科学学院 考试形式:闭卷 姓名: 学号: 专业 题号1 2 4 6 分 得分 (本题满分48分,每小题6分)计算下列各题: (1)设y=hx+Ⅵ+x2),求y”; 装订线内不要答题 (2)若当x→0时,e2-(ax2+bx+c)是比x2高阶的无穷小量,求a,b,c;
1 复旦大学数学科学学院 2010～2011 学年第一学期期末考试试卷 A 卷 数学科学学院 1．（本题满分 48 分，每小题 6 分）计算下列各题： （1）设 2 y ln x 1 x ，求 y ； （2）若当 x 0 时， ( ) 2 2 e ax bx c x 是比 2 x 高阶的无穷小量，求 a，b ，c ； （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
(3)求极限lim In tan 7x →0 In tan2x (4)设n为正整数,求函数f(x)=x"e-(x>0)的极值; (5)求不定积分∫03 sIn x 2
2 （3）求极限 x x x ln tan 2 ln tan 7 lim 0 ； （4）设 n 为正整数，求函数 n x f x x e ( ) （ x 0 ）的极值； （5）求不定积分 dx x x 3 sin cos ；
(6)计算反常积分[n-dx (7)求矩阵A=3-156的秩 (8)已知矩阵A=202有特征值-1,求A对应于该特征值的全部特征向量
3 （6）计算反常积分 1 0 2 1 ln dx x ； （7）求矩阵 2 1 2 3 3 1 5 6 1 2 3 1 A 的秩； （8）已知矩阵 4 2 3 2 0 2 3 2 4 A 有特征值1 ，求 A 对应于该特征值的全部特征向量
x(x+1) x+1,0)的值不小于
4 2．（本题满分 8 分）问 a、b 为何值时，函数 (2 ) , 1 , 1, , 1, 1 sin ( 1) ( ) 1 1 x x b x x x a x f x x 在 x 1 点 连续？ 3．（本题满分 8 分）求 A 的最小值，使得函数 5 2 ( ) 5 x A f x x （ x 0 ）的值不小于 28
4.(本题满分8分)已知a1=(10,3,0),a2=(0,3,-2,1),a3=(11,0,0)是R中 向量,求λ,μ的值,使得b=Aa1+m2+a3分别与a1、a2正交 5.(本题满分9分)问a,b为何值时,线性方程组 x+x x2+2 2x4=1, b 3x1+2x2+x3+ax4=-1 有唯一解、无穷多解、无解?在方程组有解时,请求出解
5 4．（本题满分 8 分）已知 T (1, 0, 3, 0) a1 ， T (0, 3, 2, 1) a2 ， T (1,1, 0, 0) a3 是 4 R 中 向量，求 ， 的值，使得 b a1 a2 a3 分别与 1 a 、 2 a 正交。 5．（本题满分 9 分）问 a，b 为何值时，线性方程组 3 2 1 ( 3) 2 , 2 2 1, 0, 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x ax x a x x b x x x x x x x 有唯一解、无穷多解、无解？在方程组有解时，请求出解
6.(本题满分9分)已知曲线y= Vint dt(0sxsz) (1)求该曲线的弧长 (2)证明该曲线与直线x=x,y=0所围平面图形的面积不小于
6 6．（本题满分 9 分）已知曲线 x y t dt 0 sin （ 0 x ）。 （1） 求该曲线的弧长； （2） 证明该曲线与直线 x ， y 0 所围平面图形的面积不小于
7.(本题满分10分)设函数f(x)在[ab上具有连续二阶导数,且f"(x)≥0 (x∈ab)。又已知ox)是在a6上连续的非负函数,且满足∫o(x)dk=1。证 明:(1)a≤xo(x)dx≤b (2)@(x)f(x)dx2 xo(x)dx 7
7 7．（本题满分 10 分）设函数 f (x) 在 [a, b] 上具有连续二阶导数，且 f (x) 0 （ x[a, b] ）。又已知 (x) 是在 [a, b] 上连续的非负函数，且满足 ( ) 1 b a x dx 。证 明：（1） a x x dx b b a ( ) ； （2） b a b a (x) f (x) dx f x(x) dx