复旦大学：《高等数学》课程往年试题（高等数学A）《高等数学（II）》试题（2009.7）（答案）

复旦大学数学科学学院 2008~2009学年第二学期期末考试试卷 《高等数学A》(下)试题(答案) 1.(本题满分48分,每小题8分)(1) a-z ax 1+x ay (2)9;(3)13:(4)9√2a4;(5) (6)siy=-x。 2.(本题满分10分)x+4y+62+21=0(在(-1,-2,-2)点)和x+4y+62-21=0 (在(1,2,2)点)。 3.(本题满分8分)最长距离√9+5√,最短距离√-5√3。 ⌒装订线内不要答题 4.(本题满分8分) 124 5.(本题满分8分)f(x)=e-x 6.(本题满分10分)(1)x2=x+4( D-cosnx(-r≤x≤x) (2)记F的 Fourier系数为An,Bn,则 Ao 2丌23 F(x)dx dt- g(x-1)ds A,F(x)cos ndx=.rdtg(x-r)cosnxdx s I(rdr__g(u)cosn(u+D)du Ji'dt_, g(u)(cos nucosnt-sin nusin ndu g(u)cosnudu-(sin ntdr g(u)sin nadu 同理B(-1) 于是

复旦大学数学科学学院 2008～2009 学年第二学期期末考试试卷 《高等数学 A》（下）试题（答案） 1．（本题满分 48 分，每小题 8 分）（1）    x z 2 1 1  x ， 0 2     x y z ； （2） 15 64 ；（3） 13 ；（4） 4 2 15 64 a ；（5）        2 1 , 2 1 ；（6） x x y 2 1 sin  。 2．（本题满分 10 分） x  4y  6z  21  0 （在 (1,  2,  2) 点）和 x  4y  6z  21  0 （在 (1, 2, 2) 点）。 3．（本题满分 8 分）最长距离 95 3 ，最短距离 95 3 。 4．（本题满分 8 分）  5 124 。 5．（本题满分 8 分） x f x e 2 ( )   。 6．（本题满分 10 分）（1）       1 2 2 2 cos ( 1) 4 3 n n nx n x  （  x   ）； （2）记 F 的 Fourier 系数为 An， Bn ，则             2 3 3 2 ( ) 1 1 ( ) 1 2 2 0          A F x dx t dt g x t dx ； . 2 2 4( 1) ( 1) ( )sin 1 sin 1 ( ) cos 1 cos 1 ( )[cos cos sin sin ] 1 ( ) cos ( ) 1 ( ) cos 1 1 ( ) cos 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 n n n t ntdt g u nudu t ntdt g u nudu t d t g u n u n t n u n t d u t d t g u n u t d u A F x nxdx t d t g x t nxdx n n t t t t t t t t n                                                                              同理 4 ( 1) n B n n   。于是 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）

F(x)x+∑|2 corn+ In nx 7.(本题满分8分)记S(x)=∑ 当x<0时,S(x)=∑ 2(2n)!(2n)! 当x≥0时,设F()=∑,则F(0)=F(),因此F(y)=Ce+Ce 由F(0)=1,F(0)=0得F(y)=(e+e-)。因此 (x)= (2n)=F()=(+今) 于是,∑x的和函数为 cOSv-x x<0 S(x) √x,-x 令x=1便得 e m=6(2m)!2

            1 3 4 sin ( 1) cos 2 ( ) ~ n n nx n nx n F x  。 7．（本题满分 8 分）记     0 (2 )! ( ) n n n x S x 。 当 x  0 时， x n x n x S x n n n n n             cos (2 )! ( 1) ( ) (2 )! ( ) 0 2 0 ； 当 x  0 时，设     0 2 (2 )! ( ) n n n y F y ，则 F(y)  F(y) ，因此 y y F y C e C e   1  2 ( ) 。 由 F(0) 1， F(0)  0 得 ( ) 2 1 ( ) y y F y e e     。因此   x x n n n n F x e e n x n x S x             2 1 ( ) (2 )! ( ) (2 )! ( ) 0 2 0 。 于是，   0 (2 )! n n n x 的和函数为              , 0. 2 1 cos , 0, ( ) e e x x x S x x x 令 x  1 便得            e e n n 1 2 1 (2 )! 1 0