复旦大学：《高等数学》课程练习题（线性代数）_线性方程组练习题

线性方程组练习题 §1向量的线性关系 判断下列向量组是否线性无关 0 (1)|1 (2) 2021 0 2.讨论下面向量组的线性相关性 0 b 3.设a1 (1)问当t为何值时,a,a2a3线性相关? (2)问当t为何值时,a1,a2,a3线性无关? (3)当a1,a2,a3线性相关时,问a3是否可以由a1,a2线性表示?若能,写出具 体表达式。 4.设有向量组 2 444 3+ 问:(1)当t为何值时,a1,a2,a3a4线性相关? (2)当t为何值时,a1a2,a3a4线性无关? 5.设a2a2a3线性无关,问当参数l,m满足何种关系时,la2-a1,ma3-a2, a1-a3也线性无关? 6.设a1,a2,…,am线性无关,作 b1=a1+a2,b2=a2+a3 判别b,b2,…bn的线性相关性。 7.设a1,a2线性无关,a1+b,a2+b线性相关,问b能否由a1,a2线性表示? 8.设a1,a2,a3线性相关,a2,a3,a4线性无关。问 (1)a1能否由a2,a3线性表示; (2)a4能否由a,a2,a3线性表示。 9.若b=(0,k,k2)能由a1=(1+k,1,1),a2=(1,1+k,1),a3=(1,1,1+k)唯

线性方程组练习题 §1 向量的线性关系 1．判断下列向量组是否线性无关： （1）           1 1 2 ，            8 4 0 ，            3 1 1 ； （2）               0 10 1 4 ，               1 5 2 1 ，               1 2 0 2 ，               7 0 2 4 。 2．讨论下面向量组的线性相关性：                 1 2 2 1 1 ，                 1 5 1 2 0 ，                 1 4 1 b a 。 3．设            1 1 1 1 a ，            3 2 1 a1 ，            t 3 1 1 a 。 （1）问当 t 为何值时， 1 2 3 a , a , a 线性相关？ （2）问当 t 为何值时， 1 2 3 a , a , a 线性无关？ （3）当 1 2 3 a , a , a 线性相关时，问 3 a 是否可以由 1 a ， 2 a 线性表示？若能，写出具 体表达式。 4．设有向量组                 1 1 1 1 1 t a ，                 2 2 2 2 2 t a ，                 3 3 3 3 3 t a ，                 4 t 4 4 4 4 a 。 问：（1）当 t 为何值时， 1 2 3 4 a ,a , a ,a 线性相关？ （2）当 t 为何值时， 1 2 3 4 a ,a , a ,a 线性无关？ 5．设 1 2 3 a , a , a 线性无关，问当参数 l ，m 满足何种关系时， a2  a1 l ，ma3  a2， a1  a3 也线性无关？ 6．设 a a am , , , 1 2  线性无关，作 b1  a1  a2 ，b2  a2  a3，…，bm1  am1  am ，bm  am  a1。 判别 b b bm , , , 1 2  的线性相关性。 7．设 1 2 a , a 线性无关， a1  b, a2  b 线性相关，问 b 能否由 1 2 a , a 线性表示？ 8．设 1 2 3 a , a , a 线性相关， 2 3 4 a , a , a 线性无关。问： （1） 1 a 能否由 2 3 a , a 线性表示； （2） 4 a 能否由 1 2 3 a , a , a 线性表示。 9．若 T (0, k, k ) 2 b  能由 T (1 k, 1, 1) a1   ， T (1, 1 k, 1) a2   ， T (1,1,1 k) a3   唯一

地线性表示,求k。 10.已知两个n维向量组a1,a2,…,an和b,b2,…,bn。证明:若存在两组不 全为零的数A1,A2,…,况n和A1,2,…,μn使得 (1+Ha1+(2+{2)a2+…+(m+Hn)an +(41-)b1+(2-H2)b2+…+(m-Hn)bn=0, 则a1+b,a2+b2,…,an+bn,a1-b1,a2-b2,…,an-b线性相关。 11.设a1,a2…,an是n维向量组,A是mXn矩阵。证明:若a1,a2,…,an线 性相关,则Aa1,Aa2,…,Aan也线性相关。 12.已知向量b可由a1,a2,…,an线性表示,但不能被a1,a2,…,am1线性表 示。证明:a灬不能被a1,a2,…,an1线性表示,但能被a1,a2,…,an1,b线性 表示 13.设a1,a2,…,an是n个n维向量,证明:a1,a2,…,an线性无关的充分必 要条件是任何n维向量都可以被它们线性表示。 14.设有向量组a1,a2,…,an,其中任意m-1个向量都线性无关。证明:等式 x a=0 中的系数x1,x2,…,xn或者全为零,或者全不为0 15.证明:线性方程组 xn=b a2r-x,+a22x2+.+a2n,=b2 对于任何b,b2,…b都有解的充分必要条件是其系数行列式不等于0 16.设A为m×n矩阵,B为n×p矩阵。若AB=C,且矩阵C的行向量线性无 关,证明A的行向量也线性无关 17·设a,a2…an都是非零向量。证明:若每个a(1<j≤m)都不能由 a2,…,a=线性表示,则a1,a2,…,an线性无关 18.设a1,a2,…,a,是线性方程组Ax=0的r个线性无关的解。而向量b不是该 方程的解,即Ab≠0。证明:向量组b,b+a1b+a2,…,b+a线性无关 19.证明:n个维列向量a,a2…,an线性无关的充分必要条件是: ≠0 na, an a,anI §2秩 1.求下列矩阵的秩

地线性表示，求 k 。 10．已知两个 n 维向量组 a a am , , , 1 2  和 b b bm , , , 1 2  。证明：若存在两组不 全为零的数    m , , , 1 2  和    m , , , 1 2  使得 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 b b b 0 a a a               m m m m m m               则 a  b a  b am  bm a  b a  b am  bm , , , , , , , 1 1 2 2  1 1 2 2  线性相关。 11．设 a a am , , , 1 2  是 n 维向量组， A 是 mn 矩阵。证明：若 a a am , , , 1 2  线 性相关，则 Aa Aa Aam , , , 1 2  也线性相关。 12．已知向量 b 可由 a a am , , , 1 2  线性表示，但不能被 1 2 1 , , , a a  am 线性表 示。证明： m a 不能被 1 2 1 , , , a a  am 线性表示，但能被 a1 , a2 ,  , am1 , b 线性 表示。 13．设 a a an , , , 1 2  是 n 个 n 维向量，证明： a a an , , , 1 2  线性无关的充分必 要条件是任何 n 维向量都可以被它们线性表示。 14．设有向量组 a a am , , , 1 2  ，其中任意 m 1 个向量都线性无关。证明：等式 x1a1  x2a2  xmam  0 中的系数 m x , x , , x 1 2  或者全为零，或者全不为 0。 15．证明：线性方程组                    n n n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 , , 对于任何 b b bn , , , 1 2  都有解的充分必要条件是其系数行列式不等于 0。 16．设 A 为 mn 矩阵， B 为 n  p 矩阵。若 AB  C ，且矩阵 C 的行向量线性无 关，证明 A 的行向量也线性无关。 17．设 a a am , , , 1 2  都是非零向量。证明：若每个 a j （ 1 j  m ）都不能由 1 2 1 , , , a a  a j 线性表示，则 a a am , , , 1 2  线性无关。 18．设 a a ar , , , 1 2  是线性方程组 Ax  0 的 r 个线性无关的解。而向量 b 不是该 方程的解，即 Ab  0 。证明：向量组 b b  a b  a b  ar , , , , 1 2  线性无关。 19．证明： n 个 n 维列向量 a a an , , , 1 2  线性无关的充分必要条件是： 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1  n T n T n T n n T T T n T T T a a a a a a a a a a a a a a a a a a        。 §2 秩 1．求下列矩阵的秩：

21 (1)3-156 104-1 114 (2123 2 2.设矩阵2010的秩为2,求t。 0-45-2 3.判定下述向量组是否线性相关: 2 (2) 4.求向量组 的秩与一个极大无关组。 5.设有向量组 (1+a,,,1),a2=(2,2+a,2.,2),a3=(3,3,3+a,3) (4,4,4,4 问a为何值时,a1,a2,a3,a4线性相关?当a1,a2,a3,a4线性相关时,求 其一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示 6.证明:若向量组S1能由向量组S2线性表示,且rank(S1)=rank(S2),则S1与S2 等价。 7设有两个向量组(I):a1=(1,0,1,-1)},a2=(L,1,-2,0),a3=(-1,-3,8,-2) (II):b1=(,1-1,0)2,b2=(0.,1,0,1)y,b2=(2,1,-2,-1 问它们是否等价? 8.设有两个向量组a1=(1,1,a),a2=(1,a,1),a3=(a,1,1)和b1=(,1,a)2, b2=(-2,a,4),b2=(-2,a,a)。问:当a为何值时a1,a2,a3可以由b,b2b 线性表示,但b,b2,b3不能由a1,a2,a3线性表示? 设有两个向量组(D):a1=(1,1,0,0),a2=(0,1,,0)2,a3=(0.0,1,1) (II):b=(a,b,1),b2=(2,1,1,2)2,b=(0,1,2,1) 问当a,b为何值时它们会等价? 10.设有两个n维向量组(I)a1,a2…,an和(II)b,b2,…,bn(m≤n), 证明:若(I)可以由(I1)线性表示,且a1,a2,…,an线性无关,则b,b2,…,bn 也线性无关。 11.设A,B为n阶方阵,满足A2=A,B2=B,且Ⅰ-A-B可逆。证明

（1）             2 1 2 3 3 1 5 6 1 2 3 1 ；（2）                  2 1 5 6 11 4 56 5 1 0 4 1 2 1 11 2 ；（3）                     1 2 1 1 1 0 1 0 0 a a a a n n    。 2．设矩阵              0 4 5 2 2 0 0 1 2 1 1 t 的秩为 2，求 t 。 3．判定下述向量组是否线性相关： （1）                1 1 4 3 ，                0 1 2 4 ，                 1 0 2 1 ； （2）                3 3 1 2 ，               2 1 0 1 ，               0 1 2 0 ，                2 1 3 1 。 4．求向量组 a1                2 5 3 2 ，a2                  1 1 2 1 ，a3                  1 1 2 1 ，a4                  3 2 3 1 ，a5                 4 1 2 1 的秩与一个极大无关组。 5．设有向量组： T (1 a, 1, 1, 1) a1   ， T (2, 2 a, 2, 2) a2   ， T (3, 3, 3 a, 3) a3   ， T (4, 4, 4, 4 a) a4   。 问 a 为何值时， 1 a ， 2 a ， 3 a ， 4 a 线性相关？当 1 a ， 2 a ， 3 a ， 4 a 线性相关时，求 其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 6．证明：若向量组 1 S 能由向量组 2 S 线性表示，且 rank( 1 S )  rank( 2 S )，则 1 S 与 2 S 等价。 7．设有两个向量组（I）： T (1, 0, 1, 1) a1   ， T (1, 1, 2, 0) a2   ， T ( 1, 3, 8, 2) a3     ； （II）： T (1, 1, 1, 0) b1   ， T (0, 1, 0, 1) b2  ， T (2,1, 2, 1) b3    。 问它们是否等价？ 8．设有两个向量组 T (1, 1, a) a1  ， T (1, a, 1) a2  ， T (a,1,1) a3  和 T (1, 1, a) b1  ， T ( 2, a, 4) b2   ， T ( 2, a, a) b3   。问：当 a 为何值时 1 a ， 2 a ， 3 a 可以由 1 2 3 b , b , b 线性表示，但 1 2 3 b , b , b 不能由 1 a ， 2 a ， 3 a 线性表示？ 9．设有两个向量组（I）： T (1, 1, 0, 0) a1  ， T (0, 1, 1, 0) a2  ， T (0, 0,1,1) a3  ； （II）： T (1, a, b, 1) b1  ， T (2, 1, 1, 2) b2  ， T (0,1, 2,1) b3  。 问当 a，b 为何值时它们会等价？ 10．设有两个 n 维向量组（I） a a am , , , 1 2  和（II） b b bm , , , 1 2  （ m  n ）, 证明：若（I）可以由（II）线性表示，且 a a am , , , 1 2  线性无关，则 b b bm , , , 1 2  也线性无关。 11．设 A ， B 为 n 阶方阵，满足 A  A 2 ， B  B 2 ，且 I  A B 可逆。证明

rank(A)=rank( b )o 12.设A1,A12,…,An为m个n阶方阵,若A1A2…An=O。试证: rank(A1)+rank(A2)+…+rank(An)≤(m-1)n 13.设A,B为n阶方阵,满足ABA=B。证明:rank(I-AB)+rank(I+AB)≤n。 14.设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,证明 (1)若rank(A)=n,则rank(AB)=rank(B); (2)若rank(B)=n,则rank(AB)=rank(A) 15.设A=|247,3阶非零矩阵B满足BA=O,求rank(B) 16.设A是m×n矩阵,证明:(1)A是列满秩矩阵的充分必要条件是存在m阶 可逆矩阵P,使得A (2)A是行满秩矩阵的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q,使得 A=(I, o)Q 17.设A为m×n矩阵,且rank(A)=r。证明:存在m×r矩阵B和r×n矩阵C, 满足rank(B)=ank(C)=r,使得A=BC §3线性方程组 1.求下列线性方程组的通解: x1+x2+x3+x4+x5=0, 1) 3x1+2x2+x3+x4-3x5=0 2x,+ 6x5=0, 5x1+4x2+3x3+3 0 +2x2+x3-x4 6, 3x4+4xs=-7, (2){2x x4 2x1-3x,+x2+2x-2 +x2-2x1-6x4=4 2x1-x2-2x3+x4=0 1=6, x1+2x2 x4 x1+4x2+3x3-2x4 2.问a,b为何值时,齐次线性方程组 0 xtax2 +x 0. x1+x2+bx3=0 有非零解,此时并求出其解

rank( A ) = rank( B )。 12．设 A A Am , , , 1 2  为 m 个 n 阶方阵，若 A1A2  Am  O 。试证： rank (A1 )  rank (A2 )  rank (Am )  (m 1)n 。 13．设 A ，B 为 n 阶方阵，满足 1 ABA  B 。证明：rank (I  AB)  rank( I  AB )  n。 14．设 A 为 mn 矩阵， B 为 nm 矩阵，证明： （1）若 rank( A )  n ，则 rank( AB ) = rank( B )； （2）若 rank( B )  n ，则 rank( AB ) = rank( A )。 15.设            3 6 9 2 4 7 1 2 3 A ，3 阶非零矩阵 B 满足 BA  O ，求 rank (B) 。 16．设 A 是 mn 矩阵，证明：（1） A 是列满秩矩阵的充分必要条件是存在 m 阶 可逆矩阵 P ，使得          O I A P n 。 （ 2 ） A 是 行 满 秩 矩 阵 的 充 分 必 要 条 件 是 存 在 n 阶 可 逆 矩 阵 Q ，使得 A  I m , OQ 。 17．设 A 为 mn 矩阵，且 rank( A )  r 。证明：存在 mr 矩阵 B 和 r n 矩阵 C ， 满足 rank( B )  rank( C )  r ，使得 A  BC 。 §3 线性方程组 1．求下列线性方程组的通解： （1）                           5 4 3 3 0; 2 2 6 0, 3 2 3 0, 0, 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （2）                                  2 6 4; 2 3 2 2 9, 2 2 2 4, 2 3 4 7, 2 6, 1 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （3）                            2 4 3 2 7. 2 3 2, 3 2 1, 2 2 6, 2 2 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2．问 a，b 为何值时，齐次线性方程组               0 0, 0, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x bx x ax x x x x 有非零解，此时并求出其解

3.若已知线性方程组1a1x=1有无穷多解,求a。 4.求线性方程组 x1-x2+2x3+x4=1, x1=X2+x3 x1=x3 的通解,并求出满足x2=x2的全部解。 5.已知三阶方阵A的第一行是(bc),且a≠0,矩阵B=|246(k为常数)满 36k 足AB=0。求线性方程组Ax=0的通解 6.设A=1a+2a+1。若存在3阶非零矩阵B,使得AB=O (1)求a的值; (2)求线性方程组Ax=0的通解。 7.问λ为何值时,线性方程组 x,+X,=A-3 x+x2+Ax3=-2 有唯一解、有无穷多解、无解?在方程组有无穷多解时,求出解。 8.问a,b为何值时,线性方程组 x.+x. 2x4=1, x2+(a-3)x3-2x4=b, 有唯一解、有无穷多解、无解?在方程组有解时,求出解。 9.设a=(1,2,1),β=(,1/2,0),γ=(0,0,8),A=q,B=Pa,求解方 程2B2A2x=A4x+Bx+y。 10.已知线性方程组 +x2+x3+x x1+3x2+5x3-x4=-1, x1+x2+3x3 有3个线性无关的解。 (1)证明该方程组的系数矩阵的秩为2

3．若已知线性方程组                                 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 x x x a a a 有无穷多解，求 a。 4．求线性方程组                      3 3 5 2, 2 2 3, 2 1, 1 2 4 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 的通解，并求出满足 2 2 2 1 x  x 的全部解。 5．已知三阶方阵 A 的第一行是 (a, b, c) ，且 a  0 ，矩阵            3 6 k 2 4 6 1 2 3 B （ k 为常数）满 足 AB  O 。求线性方程组 Ax  0 的通解。 6．设                 1 2 2 3 1 2 1 1 2 1 a a A a a 。若存在 3 阶非零矩阵 B ，使得 AB  O ， （1）求 a 的值； （2）求线性方程组 Ax  0 的通解。 7．问  为何值时，线性方程组                  2 2, 3, 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x     有唯一解、有无穷多解、无解？在方程组有无穷多解时，求出解。 8．问 a，b 为何值时，线性方程组                         3 2 1 ( 3) 2 , 2 2 1, 0, 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x ax x a x x b x x x x x x x 有唯一解、有无穷多解、无解？在方程组有解时，求出解。 9．设 T α  (1, 2, 1) ， T β  (1, 1/ 2, 0) ， T γ  (0, 0, 8) ， T A  αβ ，B β α T  ，求解方 程 B A x  A x  B x  γ 2 2 4 4 2 。 10．已知线性方程组                    3 1 4 3 5 1, 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x   有 3 个线性无关的解。 （1）证明该方程组的系数矩阵的秩为 2；

(2)求λ,u的值及该方程组的通解 11.设有n元线性方程组Ax=b,其中 A 2 b=10 (0 问:(1)a为何值时,该方程组有唯一解x=(x,x2,…,x),并求出x1; (2)a为何值时,该方程组有无穷多解,并求出通解。 12.设 a1=(4,0,2),a2=(2,7,13),a3=(,1,-1a)2,b=(3,10,b,4)y。 问a,b为何值时,(1)b不能由a1,a2,a3线性表示? (2)b能由a1,a2,a3线性表示?并写出表达式。 13. 设 a1=(10,0,3),a2=(1,1,-1,2),a2=(12,a-3,1 a4=(1,2,-2,a),b=(0,1,B,-1)。 讨论α,β为何值时,(1)b能由a1,a2,a3,a4线性表示,且表达式唯一; (2)b不能由a1,a2,a3,a4线性表示 (3)b能由a1,a2,a3,a4线性表示,但表达式不唯一,并指出一般表达式 14.设有四元齐次线性方程组(D:x1+x2=0,和(mx一+=Q x2-x3+x4=0. (1)分别求方程组(I)和(II)的基础解系 (2)求方程组(I)和(II)的公共解 0 15已知齐次线性方程组(I){x+2x2+0x=0.和方程(1)x+2x2+x=a-1 4 2x3=0 有公共解。 (1)求a的值; (2)求所有公共解 16.设有四元齐次线性方程组(I) 又已知另一四元齐次 x1+2x2+x3-X 线性方程组(I)的一个基础解系为a1=(2,-1,a+2,1),a2=(-1,2,4,a+8)。 (1)求方程组(I)的一个基础解系 (2)问a何值时(I)与(II)有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部公 共解 17.已知两个线性方程组 x1+x2-2x4= 2-x3-x4= (D):{4x1-x2-x3-x4=1,(m):{mx2-x3 3x

（2）求  ，  的值及该方程组的通解。 11．设有 n 元线性方程组 Ax  b ，其中                  a a a a a a a 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2   A  ，                  0 0 0 1  b 。 问：（1） a 为何值时，该方程组有唯一解 T n (x , x , , x ) x  1 2  ，并求出 1 x ； （2） a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求出通解。 12．设 T (1, 4, 0, 2) a1  ， T (2, 7, 1, 3) a2  ， T (0,1, 1, a) a3   ， T b  (3, 10, b, 4) 。 问 a，b 为何值时，（1） b 不能由 1 a ， 2 a ， 3 a 线性表示？ （2） b 能由 1 a ，a2 ， 3 a 线性表示？并写出表达式。 13．设 T (1, 0, 0, 3) a1  ， T (1, 1, 1, 2) a2   ， T (1, 2, 3,1) a3    ， T (1, 2, 2, ) a4    ， T b  (0, 1, , 1) 。 讨论  ，  为何值时，（1） b 能由 1 a ，a2 ， 3 a ，a4 线性表示，且表达式唯一； （2） b 不能由 1 a ，a2 ， 3 a ，a4 线性表示； （3） b 能由 1 a ，a2 ， 3 a ，a4 线性表示，但表达式不唯一，并指出一般表达式。 14．设有四元齐次线性方程组（I）：        0 0, 2 4 1 2 x x x x 和（II）          0. 0, 2 3 4 1 2 3 x x x x x x （1）分别求方程组（I）和（II）的基础解系； （2）求方程组（I）和（II）的公共解。 15.已知齐次线性方程组（I）：               4 0 2 0, 0, 3 2 1 2 1 2 3 1 2 3 x x a x x x ax x x x 和方程（II） x1  2x2  x3  a 1 有公共解。 （1）求 a 的值； （2）求所有公共解。 16．设有四元齐次线性方程组（I）：           2 0. 2 3 0, 1 2 3 4 1 2 3 x x x x x x x 又已知另一四元齐次 线性方程组（II）的一个基础解系为 T (2, 1, 2, 1) α1     ， T ( 1, 2, 4, 8) α2     。 （1）求方程组（I）的一个基础解系； （2）问  何值时（I）与（II）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部公 共解。 17．已知两个线性方程组 （I）：                 3 3, 4 1, 2 6, 1 2 3 1 2 3 4 1 2 4 x x x x x x x x x x （II）：                   2 1, 2 11, 5, 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x t nx x x x mx x x

(1)求方程组(D)的通解 (2)问m,n,t为何值时,方程组(Ⅰ)和(I)同解? 18.已知线性方程组 x1+a1x2+a1x3=a1, x +ax+a 2x3=a2, x +ax. a33 x,+a4x3=a (1)若a1,a2,a3,a4互不相同,证明该方程组无解; (2)若a1=a3=k,a2=a4=-k(k≠0),证明该方程组有解,并求其的通解 19.已知线性方程组 0, a21x1+a22x2 xn=0, 0 的系数矩阵A的行列式A=0。证明:若A的某个元素的代数余子式A≠0, 则(A1,A2,…,A,)是所给方程组的一个基础解系。 20.设A为m×n矩阵,B为p×n矩阵,证明方程组Ax=0与Bx=0同解的充 分必要条件为A的行向量组与B的行向量组等价。 21.设A,B均为n阶方阵,且rank(4)+rank(B)<n,证明:方程组Ax=0与 Bx=0有非零公共解 22.设月1,B2是非齐次方程Ax=b(b≠0)的解,a1,a2,…an(m为奇数) 为Ax=0的一个基础解系。证明:方程组Ax=b的任一解都可以表为 β1+p2 1(a1+a2)+c2(a2+a3)+…+cn( 其中c1,c2,…,cm为常数 23.设ξ是n维列向量,满足6=1,记A=n-,证明线性方程Ax=0必 有非零解

（1） 求方程组（I）的通解； （2） 问 m，n，t 为何值时，方程组（I）和（II）同解？ 18．已知线性方程组                    . , , , 3 3 4 2 1 4 2 4 3 3 3 2 1 3 2 3 3 3 2 2 1 2 2 2 3 3 1 2 1 1 2 1 x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）若 1 a ，a2 ， 3 a ， 4 a 互不相同，证明该方程组无解； （2）若 a  a  k 1 3 ，a  a  k 2 4 （ k  0 ），证明该方程组有解，并求其的通解。 19．已知线性方程组                    0 0, 0, 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     的系数矩阵 A 的行列式 | A| 0 。证明：若 A 的某个元素的代数余子式 Aij  0， 则 T Ai Ai Ain ( , , , ) 1 2  是所给方程组的一个基础解系。 20．设 A 为 mn 矩阵， B 为 p  n 矩阵，证明方程组 Ax  0 与 Bx  0 同解的充 分必要条件为 A 的行向量组与 B 的行向量组等价。 21．设 A ，B 均为 n 阶方阵，且 rank (A)  rank (B)  n ，证明：方程组 Ax  0 与 Bx  0 有非零公共解。 22．设 β1， β2 是非齐次方程 Ax  b （ b  0 ）的解， α α αm , , , 1 2  （ m 为奇数） 为 Ax  0 的一个基础解系。证明：方程组 Ax  b 的任一解都可以表为    2 β1 β2 x ( ) ( ) ( ) 1 α1  α2  2 α2  α3   m αm  α1 c c  c 。 其中 m c , c , , c 1 2  为常数。 23．设 ξ 是 n 维列向量，满足 ξ ξ  1 T ，记 T n A  I  ξξ ，证明线性方程 Ax  0 必 有非零解