复旦大学：《高等数学》课程练习题（线性代数）_线性空间与线性变换练习题.pdf_大学文库

线性空间与线性变换练习题 §1 线性空间 1．设 { ( , , , ) | } 1 2 1 2 n n n V  x  x x  x  R x  x   x 是否按向量的加法和数乘构成 R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。 2．设                        0 2 2 a b c d c d a b V R 是否按矩阵的加法和数乘构成 R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。 3．证明 n 阶实对称矩阵全体 V1 和 n 阶实反对称矩阵全体 V2 均构成 nn R 的子空间，并求它们的维数。 4．已知 4 R 中向量 T (1, 2, 3, 1) a1  ， T (1,1, 2, 1) a2   ， T ( 2, 6, 1, 6) a3     ， T (3, 4, 7, 1) a4   ，求 Span{ , , , } a1 a2 a3 a4 的一个基和维数。 5．已知矩阵            1 0 1 0 1 1 2 1 2 k A k k ( , , , )  a1 a2 a3 a4 （1）求 A 的零空间 ( ) { | } 4 N A  x R Ax  0 的基与维数；（2）求 T A 的零空间 ( ) { | } 3 A  x  A x  0 T T N R 的基与维数（3）求 Span{ , , , } a1 a2 a3 a4 一个基和维数。 6．已知 3 R 中的两组基为 T (1, 1, 1) a1  ， T (1, 0, 1) a2   ， T (1, 0, 1) a3  ，和 T (1, 2,1) b1  ， T (2, 3, 4) b2  ， T (3, 4, 3) b3  。（1）求向量 T x  (2, 2, 4) 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的坐标；（2）求从基 a1， 2 a ， 3 a 到基 1 b ，b2，b3 的过渡矩阵；（3）求向量 b1 2b2 b3 z    在基 a1， 2 a ， 3 a 下的坐标；（4）求向量 4a1 2a2 4a3 y    在基 1 b ，b2，b3 下的坐标。 7．已知 3 R 中的两组基为 T (1, 0, 1) a1  ， T (1, 1, 1) a2   ， T (1, 1, 1) a3   ，和 T (3, 0, 1) b1  ， T (2, 0, 0) b2  ， T (0, 2, 2) b3   。（1）求从基 a1， 2 a ， 3 a 到基 1 b ，b2，b3 的过渡矩阵；（2）已知向量 x 在 1 b ，b2，b3 下的坐标为 T (1, 2, 0) ，求 x 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的坐标；（3）求在基 a1， 2 a ， 3 a 和 1 b ，b2，b3 下具有相同坐标的全部向量

8．已知 a1， 2 a ， 3 a 是 3 维线性空间 V 的一个基，且 b1  a1  a2  a3，b2  a1  2a2  2a3 ，b3  3a1  4a2  3a3 。（1）证明： 1 b ，b2，b3 也是 V 的一个基；（2）求向量 a1 a2 a3 ξ    在基 1 b ，b2，b3 下的坐标。 9．设 P(x) 是在 1 [ ]n R x 中的一个 n 次多项式，证明： P(x)，P(x)，…， ( ) ( ) P x n 是 1 [ ]n R x 的一个基。 10．记 n C[x] 为次数小于 n 的复系数多项式全体再添上 0 所成的线性空间。证明：（1） ( ) ( ) ( )( ) ( ) i 1 i 1 i 1 an P x  x  a  x  a  x  a   x  （ i  1,2,  ,n ）是 n C[x] 的一个基，其中 a a an , , , 1 2  是互不相同的数；（2）若 a a an , , , 1 2  全是 n 次单位根（即满足  1 n x ），求基 1， x ，…， n1 x 到 ( ), ( ), , ( ) 1 2 P x P x P x  n 的过渡矩阵。 §2 线性变换及其矩阵表示 1．判断下列映射中哪些是线性换，哪些不是：（1） A ： 3 3 R  R 定义为，若 T (x , x , x ) x  1 2 3 ，则 T A( ) (x , x , x ) 3 3 3 2 3 x  1 ；（2）设 a1， 2 a 3 R ， A ： 3 3 R  R 定义为，若 T (x , x , x ) x  1 2 3 ，则 1 2 1 2 3 2 A(x)  (x  x )a  (x  x )a ；（3）设 P 为 m 阶实矩阵， Q 为 n 阶实矩阵，  ： mn  mn R R 定义为，  (A)  PAQ， mn AR 。 2．设 3 R 上的线性变换 A 对于基 T ( 1, 0, 2) a1   ， T (0, 1, 1) a2  ， T (3, 1, 0) a3   的像为 T A ( 5, 0, 3) a1   ， T A (0, 1, 6) a2   ， T A ( 5, 1, 9) a3    ，（1）求 A 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的表示矩阵；（2）求 A 在自然基 1 e ， 2 e ， 3 e 下的表示矩阵；（3）求 N(A) 与 ( ) 3 A R 的维数。 3．设 V 是 4 维线性空间。已知 V 上的线性变换 A 在基 a1， 2 a ， 3 a ， 4 a 下的表示矩阵为                1 2 1 3 2 5 3 1 3 0 1 2 1 2 0 1 。（1）若 a  2a1  a4 ，求 A(a) ；（2）求 A 在基 a1， 3 a ， 2 a ， 4 a 下的表示矩阵；（3）求 A 在基 a1，a1  a2，a1  a2  a3 ，a1  a2  a3  a4 下的表示矩阵。 4．设 V 22  R 是实 2 阶实方阵全体组成的线性空间。 V 上的线性变换  如下定义： * (A)  A ， 22 AR

求  在基          0 0 1 0 B11 ，          0 0 0 1 B12 ，          1 0 0 0 B21 ，          0 1 0 0 B22 下的表示矩阵。 5．设 3 R 上的线性变换 A 对于基 T ( 1, 0, 2) a1   ， T (0, 1, 1) a2  ， T (3, 1, 6) a3    的像为 T A ( 1, 0, 1) b1  a1   ， T A (0, 1, 2) b2  a2   ， T A ( 1, 1, 3) b3  a3    。（1）求 A 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的表示矩阵；（2）求 ( ) A b1 ， ( ) A b2 ， ( ) A b3 ；（3）若 a 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的坐标为 T (5, 1, 1) ，求 A(a) 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的坐标；（4）若 T b  (1, 1,1) ，求 A(b) ；（5）若 2a1 4a2 2a3 c    ，求 c 关于 A 的原像 {x V | A(x)  c}。 6．设 3 R 上的线性变换 A 定义为：若 T (x , x , x ) x  1 2 3 ，则   T A x x x x x 1 2 2 3 1 (x)  2  ,  , 。（1）求 A 在自然基 1 e ， 2 e ， 3 e 下的表示矩阵；（2）若 T a  (1, 0,  2) ，求 A(a) 在基 T (2, 0,1) a1  ， T (0, 1, 1) a2   ， T ( 1, 0, 2) a3   下的坐标；（3）证明 A 是可逆变换，并求 1 A 。 7．设  是线性空间 V 上的可逆线性变换。证明：若 x 是 V 中的非零向量，则  (x)  0 。 8．设  是线性空间 V 上的线性变换， a a am , , , 1 2  是 V 中向量。证明：若 ( ), ( ), , ( )  a1  a2   am 线性无关，则 a a am , , , 1 2  也线性无关。 9．设 V 是 n 维线性空间， a a an , , , 1 2  是 V 的一个基。已知  是 V 上的线性变换，且在基 a a an , , , 1 2  下的表示矩阵为 A 。证明：若有 a  0V 使得  (a)  0 ，则 A 是不可逆矩阵。 10．设 A ， B 为 3 阶实矩阵， 3 R 上的线性变换 A ， B 定义为：若 x  3 R ，则 A(x)  Ax ， B(x)  Bx。（1）若 A  O 2 ，求 2 A ；（2）若 A 可逆，求 1 A ；（4）证明：若 A 与 B 相乘可交换，则 AB  BA 。 11．设 A ， B 是线性空间 V 上的线性变换，证明：若 A 和 B 都可逆，则 AB 也是 V 上的可逆线性变换，且 1 1 1 ( )    AB  B A 。 12．设 V 22  R 是实 2 阶实方阵全体组成的线性空间。 V 上的线性变换  如下定义：若          c d a b x ，则            c c d b a b (x) 。证明  是可逆线性变换，并求 1  。 13．设  是 n 维实线性空间 V 上的线性变换。证明：若存在实数 a a an , , , 1 2  满足 an  0 ，使得 a an an I 0 n n          1 1 1 