复旦大学：《高等数学》课程练习题（线性代数）_线性空间与线性变换练习题

线性空间与线性变换练习题 §1线性空间 1.设V={x=(x1,x2…,x)∈R"|x1=x2=…=xn}是否按向量的加法和数乘构 成R上的线性空间?若是,求出它的维数和一个基。 2.设V= ∈R2|a+b+c+d=0}是否按矩阵的加法和数乘构成R上的 线性空间?若是,求出它的维数和一个基 3.证明n阶实对称矩阵全体V和n阶实反对称矩阵全体V2均构成R的子空间, 并求它们的维数。 4.已知R4中向量 a1=(1,2,3,1) (1,1,2,-1)2, 3=(-2,-6,1,-6) =(3,4,7,-1) 求Span{a1a2a3,a4}的一个基和维数。 5.已知矩阵 212 kk (1k01 (1)求A的零空间N(A)={x∈R4|Ax=0}的基与维数 (2)求A的零空间N(A)={x∈R3|A2x=0}的基与维数 (3)求Span{a1a2,a32a4}一个基和维数。 6.已知R3中的两组基为 a1=(1,1,1)y,a2=(1,0,-1)2,a3=(1,0,1) 和 b=(1,2,1),b2=(2,3,4),b3=(3,4,3)。 (1)求向量x=(2,2,4)在基a1,a2,a3下的坐标; (2)求从基a1,a2,a3到基b,b2,b2的过渡矩阵 (3)求向量z=b+2b2-b在基a1,a2,a3下的坐标 (4)求向量y=4a1+2a2-4a3在基b1,b2,b3下的坐标。 已知R3中的两组基为 a1=(1,0.,1),a2=(1,1,-1),a3=(1,-1,1)y, 和 (3,0,1),b2=(2,0.,0)2,b3 (1)求从基a1,a2,a3到基b,b2,b3的过渡矩阵; (2)已知向量x在b,b2,b2下的坐标为(1,2,0)},求x在基a1,a2,a3下的 坐标 (3)求在基a1,a2,a3和b,b2,b3下具有相同坐标的全部向量

线性空间与线性变换练习题 §1 线性空间 1．设 { ( , , , ) | } 1 2 1 2 n n n V  x  x x  x  R x  x   x 是否按向量的加法和数乘构 成 R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。 2．设                        0 2 2 a b c d c d a b V R 是否按矩阵的加法和数乘构成 R 上的 线性空间？若是，求出它的维数和一个基。 3．证明 n 阶实对称矩阵全体 V1 和 n 阶实反对称矩阵全体 V2 均构成 nn R 的子空间， 并求它们的维数。 4．已知 4 R 中向量 T (1, 2, 3, 1) a1  ， T (1,1, 2, 1) a2   ， T ( 2, 6, 1, 6) a3     ， T (3, 4, 7, 1) a4   ， 求 Span{ , , , } a1 a2 a3 a4 的一个基和维数。 5．已知矩阵            1 0 1 0 1 1 2 1 2 k A k k ( , , , )  a1 a2 a3 a4 （1）求 A 的零空间 ( ) { | } 4 N A  x R Ax  0 的基与维数； （2）求 T A 的零空间 ( ) { | } 3 A  x  A x  0 T T N R 的基与维数 （3）求 Span{ , , , } a1 a2 a3 a4 一个基和维数。 6．已知 3 R 中的两组基为 T (1, 1, 1) a1  ， T (1, 0, 1) a2   ， T (1, 0, 1) a3  ， 和 T (1, 2,1) b1  ， T (2, 3, 4) b2  ， T (3, 4, 3) b3  。 （1）求向量 T x  (2, 2, 4) 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的坐标； （2）求从基 a1， 2 a ， 3 a 到基 1 b ，b2，b3 的过渡矩阵； （3）求向量 b1 2b2 b3 z    在基 a1， 2 a ， 3 a 下的坐标； （4）求向量 4a1 2a2 4a3 y    在基 1 b ，b2，b3 下的坐标。 7．已知 3 R 中的两组基为 T (1, 0, 1) a1  ， T (1, 1, 1) a2   ， T (1, 1, 1) a3   ， 和 T (3, 0, 1) b1  ， T (2, 0, 0) b2  ， T (0, 2, 2) b3   。 （1）求从基 a1， 2 a ， 3 a 到基 1 b ，b2，b3 的过渡矩阵； （2）已知向量 x 在 1 b ，b2，b3 下的坐标为 T (1, 2, 0) ，求 x 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的 坐标； （3）求在基 a1， 2 a ， 3 a 和 1 b ，b2，b3 下具有相同坐标的全部向量

8.已知a,a2,a3是3维线性空间v的一个基,且 b=a1+a2-a3,b2=-n1-2n2+2an3,b2=30n+4n2-3n3 (1)证明:b,b2’b也是V的一个基; (2)求向量ξ=a1+a2+a3在基b,b2,b3下的坐标 9.设P(x)是在Rxn中的一个n次多项式,证明:P(x),P(x),…,P"(x)是 R[xn1的一个基。 10.记C[xn为次数小于n的复系数多项式全体再添上0所成的线性空间。证明 (1)P(x)=(x-a1)…(x-a-1)(x-a1)…(x-an)(i=1,2,…,n)是C[x]n的一个 基,其中a1,a2,…,an是互不相同的数; (2)若a1,a2…,an全是n次单位根(即满足x”=1),求基1,x,…,x”到 P(x)P(x)…,P(x)的过渡矩阵。 §2线性变换及其矩阵表示 1.判断下列映射中哪些是线性换,哪些不是: 1)A:R3→R3定义为,若x=(x,x2,x3),则 A(x)=(x1,x2,x3); (2)设a1,a2∈R3,A:R3→R3定义为,若x=(x1,x2x3),则 A(x)=(x1+x2)a1+(x2+x3)a2 (3)设P为m阶实矩阵,Q为n阶实矩阵,σ:Rm→R定义为, o(A)=PAQ,A∈R 2.设R3上的线性变换A对于基a1=(-1,0.,2),a2=(0,1,1),a3=(3,-10)7的 像为 Aa1=(-5,0,3)2,Aa2=(0,-16),Aa3=(-5,-1,9), (1)求A在基a1,a,a3下的表示矩阵 (2)求A在自然基e1,e2’e3下的表示矩阵; (3)求N(A)与AR)的维数。 3.设是4维线性空间。已知上的线性变换A在基a1,a2,a3,a4下的表示 矩阵为 1201 30-12 25 (1)若a=2a1+a4,求A(a); (2)求A在基a1,a3,a2,a4下的表示矩阵 (3)求A在基a1,a1+a2,a1+a2+a3,a1+a2+a3+a4下的表示矩阵 4.设=R2是实2阶实方阵全体组成的线性空间。V上的线性变换a如下定 义 o(A)=A,A∈R2

8．已知 a1， 2 a ， 3 a 是 3 维线性空间 V 的一个基，且 b1  a1  a2  a3，b2  a1  2a2  2a3 ，b3  3a1  4a2  3a3 。 （1）证明： 1 b ，b2，b3 也是 V 的一个基； （2）求向量 a1 a2 a3 ξ    在基 1 b ，b2，b3 下的坐标。 9．设 P(x) 是在 1 [ ]n R x 中的一个 n 次多项式，证明： P(x)，P(x)，…， ( ) ( ) P x n 是 1 [ ]n R x 的一个基。 10．记 n C[x] 为次数小于 n 的复系数多项式全体再添上 0 所成的线性空间。证明： （1） ( ) ( ) ( )( ) ( ) i 1 i 1 i 1 an P x  x  a  x  a  x  a   x  （ i  1,2,  ,n ）是 n C[x] 的一个 基，其中 a a an , , , 1 2  是互不相同的数； （2）若 a a an , , , 1 2  全是 n 次单位根（即满足  1 n x ），求基 1， x ，…， n1 x 到 ( ), ( ), , ( ) 1 2 P x P x P x  n 的过渡矩阵。 §2 线性变换及其矩阵表示 1．判断下列映射中哪些是线性换，哪些不是： （1） A ： 3 3 R  R 定义为，若 T (x , x , x ) x  1 2 3 ，则 T A( ) (x , x , x ) 3 3 3 2 3 x  1 ； （2）设 a1， 2 a 3 R ， A ： 3 3 R  R 定义为，若 T (x , x , x ) x  1 2 3 ，则 1 2 1 2 3 2 A(x)  (x  x )a  (x  x )a ； （3）设 P 为 m 阶实矩阵， Q 为 n 阶实矩阵，  ： mn  mn R R 定义为，  (A)  PAQ， mn AR 。 2．设 3 R 上的线性变换 A 对于基 T ( 1, 0, 2) a1   ， T (0, 1, 1) a2  ， T (3, 1, 0) a3   的 像为 T A ( 5, 0, 3) a1   ， T A (0, 1, 6) a2   ， T A ( 5, 1, 9) a3    ， （1） 求 A 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的表示矩阵； （2） 求 A 在自然基 1 e ， 2 e ， 3 e 下的表示矩阵； （3） 求 N(A) 与 ( ) 3 A R 的维数。 3．设 V 是 4 维线性空间。已知 V 上的线性变换 A 在基 a1， 2 a ， 3 a ， 4 a 下的表示 矩阵为                1 2 1 3 2 5 3 1 3 0 1 2 1 2 0 1 。 （1）若 a  2a1  a4 ，求 A(a) ； （2）求 A 在基 a1， 3 a ， 2 a ， 4 a 下的表示矩阵； （3）求 A 在基 a1，a1  a2，a1  a2  a3 ，a1  a2  a3  a4 下的表示矩阵。 4．设 V 22  R 是实 2 阶实方阵全体组成的线性空间。 V 上的线性变换  如下定 义： * (A)  A ， 22 AR

求σ在基 B B B 下的表示矩阵 5.设R3上的线性变换A对于基 a1=(-1,0,2),a2=(0,1,1)2,a3=(3,-1 的像为 b=Aa1=(-1,0,1),b2=Aa2=(0,-12),b3=Aa3=(-1,-1,3) (1)求A在基a1,a2,a3下的表示矩阵 (2)求A(b1),Ab2),A(b3); (3)若a在基a1,a2,a3下的坐标为(5,1,1)y,求Aa)在基a1,a2,a3下的坐 标 (4)若b=(1,1,1),求Ab) (5)若c=2a1-4a2-2a3,求c关于A的原像{x∈I|A(x)=c}。 6.设R3上的线性变换A定义为:若x=(x1,x2,x3),则 A(x)=(2 x1-x2,x+ (1)求A在自然基e1,e2,e3下的表示矩阵 (2)若a=(10,-2)2,求Aa)在基a1=(2,0,1),a2=(0,-1,1)2,a3=(-1,0,2) 下的坐标 (3)证明A是可逆变换,并求A-l。 7.设σ是线性空间V上的可逆线性变换。证明:若x是V中的非零向量,则 a(x)≠0 8.设σ是线性空间上的线性变换,a1,a2,…,an是V中向量。证明:若 σ(a1)a(a2),…σ(an)线性无关,则a1,a2…,an也线性无关。 9.设V是n维线性空间,a12a2,…,an是V的一个基。已知a是V上的线性变换, 且在基a12a2,…,an下的表示矩阵为A。证明:若有a≠O∈V使得σ(a)=0,则A 是不可逆矩阵。 10.设A,B为3阶实矩阵,R3上的线性变换A,B定义为:若x∈R3,则 A(x)=Ax,B(x)=Bx。 (1)若A2=O,求A2; (2)若A可逆,求A-; (4)证明:若A与B相乘可交换,则AB=BA 11.设A,B是线性空间上的线性变换,证明:若A和B都可逆,则AB也是 上的可逆线性变换,且(AB)=B-A-。 12.设V=R2是实2阶实方阵全体组成的线性空间。V上的线性变换a如下定 义:若 (x)= 。证明σ是可逆线性变换,并求σ-1。 c d/ lcc+ 13.设σ是n维实线性空间V上的线性变换。证明:若存在实数a1,a2,…,an满 足an≠0,使得 Ⅰ=0

求  在基          0 0 1 0 B11 ，          0 0 0 1 B12 ，          1 0 0 0 B21 ，          0 1 0 0 B22 下的表示矩阵。 5．设 3 R 上的线性变换 A 对于基 T ( 1, 0, 2) a1   ， T (0, 1, 1) a2  ， T (3, 1, 6) a3    的像为 T A ( 1, 0, 1) b1  a1   ， T A (0, 1, 2) b2  a2   ， T A ( 1, 1, 3) b3  a3    。 （1）求 A 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的表示矩阵； （2）求 ( ) A b1 ， ( ) A b2 ， ( ) A b3 ； （3）若 a 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的坐标为 T (5, 1, 1) ，求 A(a) 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的坐 标； （4）若 T b  (1, 1,1) ，求 A(b) ； （5）若 2a1 4a2 2a3 c    ，求 c 关于 A 的原像 {x V | A(x)  c}。 6．设 3 R 上的线性变换 A 定义为：若 T (x , x , x ) x  1 2 3 ，则   T A x x x x x 1 2 2 3 1 (x)  2  ,  , 。 （1）求 A 在自然基 1 e ， 2 e ， 3 e 下的表示矩阵； （2）若 T a  (1, 0,  2) ，求 A(a) 在基 T (2, 0,1) a1  ， T (0, 1, 1) a2   ， T ( 1, 0, 2) a3   下的坐标； （3）证明 A 是可逆变换，并求 1 A 。 7．设  是线性空间 V 上的可逆线性变换。证明：若 x 是 V 中的非零向量，则  (x)  0 。 8．设  是线性空间 V 上的线性变换， a a am , , , 1 2  是 V 中向量。证明：若 ( ), ( ), , ( )  a1  a2   am 线性无关，则 a a am , , , 1 2  也线性无关。 9．设 V 是 n 维线性空间， a a an , , , 1 2  是 V 的一个基。已知  是 V 上的线性变换， 且在基 a a an , , , 1 2  下的表示矩阵为 A 。证明：若有 a  0V 使得  (a)  0 ，则 A 是不可逆矩阵。 10．设 A ， B 为 3 阶实矩阵， 3 R 上的线性变换 A ， B 定义为：若 x  3 R ，则 A(x)  Ax ， B(x)  Bx。 （1）若 A  O 2 ，求 2 A ； （2）若 A 可逆，求 1 A ； （4） 证明：若 A 与 B 相乘可交换，则 AB  BA 。 11．设 A ， B 是线性空间 V 上的线性变换，证明：若 A 和 B 都可逆，则 AB 也是 V 上的可逆线性变换，且 1 1 1 ( )    AB  B A 。 12．设 V 22  R 是实 2 阶实方阵全体组成的线性空间。 V 上的线性变换  如下定 义：若          c d a b x ，则            c c d b a b (x) 。证明  是可逆线性变换，并求 1  。 13．设  是 n 维实线性空间 V 上的线性变换。证明：若存在实数 a a an , , , 1 2  满 足 an  0 ，使得 a an an I 0 n n          1 1 1 

则σ是可逆线性变换 14.设a是线性空间V上的线性变换。 (1)证明:若存在∈V使得a()=0,但σ(2)≠0,则ξ,(引)…,σ4(2)线 性无关 (2)设dim=n,且存在ξ∈V使得o"(2)=0,但m(k)≠0,求的一个基, 使得σ在这个基下的表示矩阵为 00 10 00 00

则  是可逆线性变换。 14．设  是线性空间 V 上的线性变换。 （1）证明：若存在 ξ V 使得 (ξ)  0 k  ，但 ξ  0  ( ) k 1  ，则 , ( ), , ( ) 1 ξ ξ ξ k    线 性无关； （2）设 d imV  n ，且存在 ξ V 使得 (ξ)  0 n  ，但 ξ  0  ( ) n 1  ，求 V 的一个基， 使得  在这个基下的表示矩阵为                 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0         