复旦大学：《高等数学》课程练习题（线性代数）_答案与提示

答案与提示 矩阵与行列式练习题 §1向量与矩阵 (1)4B=211,B4=(12不成立 22 (2)(AB)=110,AB7= 不成立 (012 2.-3 3. dau d2 a nal 141 d d 1a1 d d 2a d d d 5.(1)AD 2a a2a da DA da, d2a da d, anI dn da (2)提示:利用(1)的结论,并比较AD和DA的各元素 6.提示:(1),(2,(3),(4)按定义直接验证:(5)A=(4+4)+(4-4)。 a= 8.提示:直接验证 3m-13-13n-1 3n-313 I,n为数 2nA,n为奇数 000 11.000 12.0ab,a,b,c为任意常数。 00 13.提示:直接验证。 14.提示:(1)利用矩阵乘法的定义计算t(AB)和tr(B1);(2)利用(1)的结

1 答案与提示 矩阵与行列式练习题 §1 向量与矩阵 1．（1）            2 0 2 2 1 1 1 1 0 AB ，          1 2 2 1 BA 。不成立； （2）            0 1 2 1 1 0 1 2 2 ( ) T AB ，          1 2 2 1 T T A B 。不成立。 2． 3。 3． x  1。 4．         0 0 0 0 。 5．（1）                n n n n n n n n n d a d a d a d a d a d a d a d a d a       1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 AD ，                n n n n n n n n n d a d a d a d a d a d a d a d a d a       1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 DA ； （2）提示：利用（1）的结论，并比较 AD 和 DA 的各元素。 6．提示：（1），（2），（3），（4）按定义直接验证；（5） ( ) 2 1 ( ) 2 1 T T A  A A  A A 。 7．a  0。 8．提示：直接验证。 9．                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 n n n n n n n n n 。 10．       2 , . 2 , , 1 为奇数 为偶数 n n n n n A I A 11．           0 0 0 0 0 0 0 0 0 。 12．           a a b a b c 0 0 0 ，a ，b ，c 为任意常数。 13．提示：直接验证。 14．提示：（1）利用矩阵乘法的定义计算 tr(AB) 和 tr(BA) ；（2）利用（1）的结

论 15.提示:利用乘法分配律直接验证 16.提示:参见例1.1.15 §2行列式 1.(1)-7:(2)-3(x2-1x2-4);(3)b2(b2-4a2);(4)(1-a+a2)1-a3)。 2.3 sina cosa 0Y cos a cos B cosy 3.提示:原行列式可表为 sin B cos B0 sina sin B siny sy0人0 0 0 4.1 5.0 6.a2(a-2")。 1 8.±1。 9.提示:将一些列的适当倍数加到后面的列 n(n-1) 0.(1)a-a"2;(2)(-1)2"n-;(3)1+∑a (4)n+1;(5)(-2 er(fT (6)x(x2-a12)(x3-a23)…(xn-an1n);(7)(a2-b2)”。 12.有n-1个根:x1=0,x2=1,…,xn1=n-2 13.提示:将各列加到第一列,再将第一行的(-1)倍数加到下面各行 14.提示:将第一行的适当倍数加到下面各行 15.提示:用数学归纳法。 16.提示:对下式取行列式 A A A 0 17.提示:从第i行提取公因子a"(i=1,2,…,n+1),再利用 Vandermonde行列 式的结论。 2

2 论。 15．提示：利用乘法分配律直接验证。 16．提示：参见例 1.1.15。 §2 行列式 1．（1） 7 ；（2） 3( 1)( 4) 2 2  x  x  ；（3） ( 4 ) 2 2 2 b b  a ；（4） (1 )(1 ) 2 3  a  a  a 。 2．3。 3．提示：原行列式可表为                     0 0 0 sin sin sin cos cos cos sin cos 0 sin cos 0 sin cos 0             。 4．1。 5．0。 6． ( 2 ) 2 n a a  。 7． 2 1 。 8．1。 9．提示：将一些列的适当倍数加到后面的列。 10．（1） 2  n n a a ；（2） 2 1 ( 1) 2 1 ( 1)     n n n n n ；（3）   n i ai 1 1 ； （4） n 1 ；（5）                                              n i i n i i n i i n a a n a 1 1 2 1 1 4 1 2 （ 2） 1 ； （6） ( )( ) ( ) 1 2 12 3 23 n an 1, n x x a x a x      ；（7） n (a b ) 2 2  。 11．1， 1，2， 2。 12．有 n 1 个根： x1  0 ， x2 1，…， xn1  n  2。 13．提示：将各列加到第一列，再将第一行的（1 ）倍数加到下面各行。 14．提示：将第一行的适当倍数加到下面各行。 15．提示：用数学归纳法。 16．提示：对下式取行列式：                                                 n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a A A A A A A A A A                  1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1,1 1,2 1, 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 | | | | 0 0 1 A A 。 17．提示：从第 i 行提取公因子 n i a （ i 1, 2,  , n 1 ），再利用 Vandermonde 行列 式的结论

18.提示:从最后一行开始依次减去前面一行,并利用C-C=C1。之后按 第一列展开,再重复前面的步骤。 19.-5 §3逆阵 200 12-3 500 1.(1)|-11-1;(2) (3) 0-23 0-1 2.A A|中所有元素的代数余子式之和为 3. 1 1 2 4 -104 5.A1=2(4+n),(4+n-1 A,(A+4D)=(3n-A) 6 201 030 0 101 1000 8 100 210 9.提示:利用(A4-)=I 10.提示:利用矩阵运算规则直接验证 11.提示:利用A=A|A-

3 18．提示：从最后一行开始依次减去前面一行，并利用 k n k n k Cn C C 1 1 1      。之后按 第一列展开，再重复前面的步骤。 19． 5。 20．n!。 §3 逆 阵 1.（1）               0 2 3 1 1 1 1 2 3 ；（2）                     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 ；（3）                  3 1 3 1 3 2 3 1 0 0 0 0 2 5 0 0 1 2 0 0 。 2．                      1 1 1 1 1 1 1 A 1   ，| A| 中所有元素的代数余子式之和为 1。 3．           3 3 3 2 1 1 1 1 4 3 1 。 4．              10 4 10 4 2 1 。 5． ( ) 6 1 1 n A  A I  ， A I A 6 1 ( ) 1    ， (3 ) 6 1 ( 4 ) 1 A I  I  A  n 。 6．           1 0 2 0 3 0 2 0 1 。 7．           1 0 1 0 1 1 1 1 0 4 1 。 8．                  0 1 2 1 1 2 1 0 2 1 0 0 1 0 0 0 。 9．提示：利用 AA  I  T ( ) 1 。 10．提示：利用矩阵运算规则直接验证。 11．提示：利用 * 1 | |  A  A A

2 12 0600 030-1 14.-1 15.提示:(1)A2=Dn-(2-aaa;(2)用反证法及(1)的结论 16.C4 17.提示:题目的假设就是 18.(1)提示:利用例1.3.15(2)的方法 (2)|A=(-1)"n(1-n) )(ya-n-∑a-{∑a 19 2 0 0 a+ 21.提示:方程组的系数行列式为(a2-b2)”,其解为x=a+b=1,2,…,2n)。 线性方程组练习题 §1向量的线性关系 1.(1)线性无关;(2)线性相关。 2.当a=5且b=12时线性相关,其他情形线性无关 3.(1)当t=5时,线性相关;(2)1≠5时,线性无关;(3)能。a3=-a1+2a2 4.(1)当t=0或t=-10,线性相关;(2)当t≠0且t≠-10时,线性无关 5.lm≠1 6.当m为偶数时,线性相关;当m为奇数时,线性无关。 7.能 8.(1)能;(2)不能 9.k≠0且k≠-3。 10.提示:略 11.提示:利用线性相关定义的线性表达式,再左乘A 12.提示:按定义推知 13.提示:必要性由定义和 Cramer法则导出。充分性通过e1,e2,…en可以被

4 12． 3 2 2 1  n 。 13．               0 3 0 1 6 0 6 0 0 6 0 0 6 0 0 0 。 14．1。 15．提示：（1） T T A I n (2 α α)αα 2    ；（2）用反证法及（1）的结论。 16． T CA 。 17．提示：题目的假设就是                              a a a   1 1 1 A 。 18．（1）提示：利用例 1.3.15（2）的方法； （2） | | ( 1) n!(1 n) n A    ； （3）                            2 1 1 2 ( 1) (1 ) 1 n i i n i i n n a a 。 19． x1  0 ， x2  2， x3  0， x4  0。 20． 4 ( 1) 2   a b 。 21．提示：方程组的系数行列式为 n (a b ) 2 2  ，其解为 a b xi   1 （ i 1, 2,  , 2n ）。 线性方程组练习题 §1 向量的线性关系 1．（1）线性无关；（2）线性相关。 2．当 a  5 且 b 12 时线性相关，其他情形线性无关。 3．（1）当 t  5 时，线性相关；（2） t  5 时，线性无关；（3）能。 a3  a1  2a2。 4．（1）当 t  0 或 t  10 ，线性相关；（2）当 t  0 且 t  10 时，线性无关。 5．lm  1。 6．当 m 为偶数时，线性相关；当 m 为奇数时，线性无关。 7．能。 8．（1）能；（2）不能。 9．k  0 且 k  3。 10．提示：略。 11．提示：利用线性相关定义的线性表达式，再左乘 A 。 12．提示：按定义推知。 13．提示：必要性由定义和 Cramer 法则导出。充分性通过 n e , e , , e 1 2  可以被

a1,a2,…,an线性表示推出。 14.提示:对等式中的系数是否有为零进行讨论。 15.提示:充分性由 Cramer法则导出;必要性利用第13题的结论。 16.提示:记A的行向量为a1,a2,…,an,C的行向量为c1,c2,…,Cn,则由 AB=C得Ba1=c1(i=12,…,m)。若λ1a1+2a2+…+nan=0,则可得 λBa1+Ba2+…+λnBan=0,即λ1c1+A2c2+…+1nCn=0 由此得A1=2= 17.提示:用数学归纳法 18.提示:按定义写出线性组合为0的表达式,再左乘A,证明每个系数为0。 a1a 12 19.提示:记A=(a,a2,…,a),则4=/a3aan2…aan a'a a'a §2秩 1.(1)3;(2)2;(3)an≠0时,秩为n;a,=0时,秩为n-1。 2.3 3.(1)线性相关;(2)线性无关。 4.秩为4;a1,a2,a4,a3是一个极大无关组 5.当a=0或a=-10时,a1,a2,a3,a4线性相关 当a=0时,a1是一个极大无关组,此时a2=2a1,a3=3a1,a4=4a1 当a=-10时,a2,a3,a是一个极大无关组,此时a1=-a2-a3-a4 6.提示:考虑极大无关组 7.不等价。 9 b≠ 10.提示:由(a1,a2,…,an)=(,b2…,bn)D可得 m=rank(a1a2,…,an)≤rank(,b2…,bn)。 11.提示:n=mank(1-A-B)≤rank(-A)+rank(B),以及从A2=A得 rank(I-A)+rank(A)≤n 12.提示:利用定理2.2.5的(6)。 13.提示:由ABA=B-可推知(I-AB)I+AB)=O。 14.提示:利用定理2.2.5的(4)和(6)。 16.提示:(1)充分性易知。必要性:设rank(A)=n。通过行初等变换,即存 在可逆矩阵P,使得PA=\B其中B1为n阶可逆矩阵。此时

5 a a an , , , 1 2  线性表示推出。 14．提示：对等式中的系数是否有为零进行讨论。 15．提示：充分性由 Cramer 法则导出；必要性利用第 13 题的结论。 16．提示：记 A 的行向量为 a a am , , , 1 2  ，C 的行向量为 m c , c , , c 1 2  ，则由 AB  C 得 T i T i T B a  c （ i 1,2,  ,m ）。若 1a1  2 a2   m am  0 ，则可得 B a  B a   B a  0 T m T m T T T T 1 1 2 2   ，即 c  c   c  0 T m m T T 1 1 2 2   。 由此得 1  2   m  0。 17．提示：用数学归纳法。 18．提示：按定义写出线性组合为 0 的表达式，再左乘 A ，证明每个系数为 0。 19．提示：记 ( , , , ) A  a1 a2  an ，则                n T n T n T n n T T T n T T T T a a a a a a a a a a a a a a a a a a A A        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 。 §2 秩 1．（1）3；（2）2；（3） an  0 时，秩为 n ； an  0 时，秩为 n 1。 2．3。 3．（1）线性相关；（2）线性无关。 4．秩为 4； 1 a ， 2 a ， 4 a ， 5 a 是一个极大无关组。 5．当 a  0 或 a  10 时， 1 a ， 2 a ， 3 a ， 4 a 线性相关。 当 a  0 时， 1 a 是一个极大无关组，此时 a2  2a1，a3  3a1，a4  4a1。 当 a  10 时， 2 a ， 3 a ， 4 a 是一个极大无关组，此时 a1  a2  a3  a4 。 6．提示：考虑极大无关组。 7．不等价。 8．a 1。 9． 2 1 a  b  。 10．提示：由   a a am , , , 1 2    b b bm , , ,  1 2  D 可得 m  rank a1 , a2 ,  , am   rank   b b bm , , , 1 2  。 11．提示： n  rank( I  A B )  rank (I  A)  rank( B )，以及从 A  A 2 得 rank (I  A)  rank( A )  n。 12．提示：利用定理 2.2.5 的（6）。 13．提示：由 1 ABA  B 可推知 (I  AB)(I  AB)  O。 14．提示：利用定理 2.2.5 的（4）和（6）。 15. 1。 16．提示：（1）充分性易知。必要性：设 rank( A )  n 。通过行初等变换，即存 在可逆矩阵 P1 ，使得          2 1 1 B B P A ，其中 B1 为 n 阶可逆矩阵。此时

B PA B、I (2)的证明类似 17.提示:由定理2.2.6,存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得 A= (L,O) 00 §3线性方程组 (1)c(,-2,1,0.,0)3+c2(1-2,0,1,0)3+c3(5,-6,0,0,1),c1,c2,c3是任 意常数 (2)(L2,-1,-2.0)2+c1(0,-20,14,-26,1)y,c1是任意常数 (3)无解。 2.当a=1或b=1时有非零解 (1)当a=1时,通解为:b=1时,x=c1+c0:b≠1时,x=c1 0 0 其中c1,c2为任意常数 (2)当b=1时,通解为:a=1时,x=c1+c20:a≠1时,x=cl0 其中c1,c2为任意常数 4.通解:x=(2,10,0)+c(13,1,0)+c(20.0.-1y;满足x2=x2的解 x=(10.,1)+c1(3,1-2)或x=(-1,10,3)+c2(-3,3,1,4)(c1,c2为任意 常数 5.当k≠9时,通解为x=c2+c26(c,c2为任意常数)。 k 当k=9时,若rank(4)=2,则通解为x=c2(c1为任意常数);若rank(4)=1,则 通解为x=c1|+c0(c1,c2为任意常数) 0 6.(1)a=0或a=2 (2)a=0时通解为c(-2,10)(c为任意常数);a=2时通解为c(-1,1)(c 为任意常数)。 6

6                              O I P A I B B I I n m n m n n 1 1 1 2 。 （2）的证明类似。 17．提示：由定理 2.2.6，存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q ，使得 A  I OQ O I Q P O O I O P , r r r                  。 §3 线性方程组 1．（1）   T c (1, 2,1, 0, 0) 1   T c (1, 2, 0,1, 0) 2 T c (5, 6, 0, 0, 1) 3  ， 1 c ， 2 c ， 3 c 是任 意常数。 （2）    T (1, 2, 1, 2, 0) T c (0, 20,14, 26,11) 1   ， 1 c 是任意常数。 （3）无解。 2．当 a 1 或 b 1 时有非零解。 （1）当 a 1 时，通解为： b 1 时，                       1 0 1 0 1 1 1 2 x c c ； b  1 时，            0 1 1 1 x c ， 其中 1 c ， 2 c 为任意常数。 （2）当 b 1 时，通解为： a 1 时，                       1 0 1 0 1 1 1 2 x c c ； a  1 时，            1 0 1 1 x c ， 其中 1 c ， 2 c 为任意常数。 3．a  2。 4．通解：       T T T x  2,1, 0, 0  c1 1, 3,1, 0  c2 1, 0, 0, 1 ；满足 2 2 2 1 x  x 的解：     T T x  1,1, 0,1  c1 3, 3,1,  2 或     T T x  1,1, 0, 3  c2  3, 3,1, 4 （ 1 c ， 2 c 为任意 常数）。 5．当 k  9 时，通解为                       k c c 6 3 3 2 1 1 2 x （ 1 c ， 2 c 为任意常数）。 当 k  9 时，若 rank (A)  2 ，则通解为            3 2 1 1 x c （ 1 c 为任意常数）；若 rank (A) 1 ，则 通解为                             1 0 0 1 1 2 a c a b x c c （ 1 c ， 2 c 为任意常数）。 6．（1） a  0 或 a  2 ； （2） a  0 时通解为   T c  2, 1, 0 （ c 为任意常数）； a  2 时通解为   T c 1, 1, 1 （ c 为任意常数）

7.(1)当λ≠-2且λ≠1时,方程组有唯一解。 (2)当=-2时,方程组无解。 (3)当λ=1时,方程组有无穷多解。通解为 x=(-2,0.0)+c1(-1,1,0)y+c(-1,0,n)y,c1,c2为任意常数。 8.(1)当a≠1时(b可为任意常数),方程组有唯一解 b-a+2 a-2b-3 x4=0。 (2)当a=1,b=-1时,方程组有无穷多解。通解为 x=(-110,0y+c(02-2,1,0)y+c2(02-2,0,1),c1,c2为任意常数 (3)当a=1,b≠-1时,方程组无解。 9.x=(00-y+c(121)y(c1为任意常数 10.(1)略 (2)A=2,H=-3;通解:x=(2,-3,0,0)+c1(-2,1,1,0)y+c2(4,-5,0,1)(c1 c2为任意常数) 11.(1)当a≠0时有唯一解x=(x1,x2,…,x),且x1 n+1)a (2)当a=0时有无穷多解,通解为x=(0,1…,0)2+c(1,0,…,0)(c是任意常 数) 12.(1)b≠2时,b不能由a1,a2,a3线性表示; (2)b=2时,b能由a1,a2,a3线性表示。此时,当a≠1时,b=-m1+2a1; 当a=1时,b=-(2c+1)a1+(c+2)a2+ca2(c为任意常数) 13.(1)当a≠1时(B可为任意常数),b能由a1,a2,a3,a4唯一线性表示 (2)当a=1,B≠-1时,b不能由a1,a2,a3,a4线性表示; (3)当a=1,B=-1时,b能由a1,a2,a3,a4线性表示,但表达式不唯 其一般表示为b=(-1+c1+c2a1+(1-2c1-2c2ka2+ca3+c2a4(c1,c2为任意常 数) 14.(1)(I)的基础解系(0,0,1,0),(-1,1,0,1)2;(Ⅱ)的基础解系(0,1,1,0)2, (-1,-1,0,1)y (2)c(-1,1,2,1)(c为任意常数)。 15.(1)a=1或a=2 (2)当a=1时,公共解为c(-1,0,1)(c为任意常数);当a=2时,公共解为 0,1,-1) 16.(1)x=c1(5,-3,1,0)y+c2(-3,2,0,1)(c1,c2为任意常数) (2)α=-1时有非零公共解。全部公共解为x=c1a1+c2a2(c1,c2为任意常数)。 17.(1)x=(-2,-4,-5,0)+c1(1,12,1)(c1为任意常数) (2)m=2,n=4,t=6 18.(1)提示:利用 Vandermonde行列式的结论 (2)通解:x=(0.,k2,0)+c1(-k2,0,1)(c1为任意常数)。 7

7 7．（1）当   2 且   1 时，方程组有唯一解。 （2）当   2 时，方程组无解。 （3）当  1 时，方程组有无穷多解。通解为       T T T x   2, 0, 0  c1 1,1, 0  c2 1, 0,1 ， 1 c ， 2 c 为任意常数。 8．（1）当 a 1 时（ b 可为任意常数），方程组有唯一解 1 2 1     a b a x ， 1 2 3 2     a a b x ， 1 1 3    a b x ， x4  0。 （2）当 a 1，b  1 时，方程组有无穷多解。通解为       T T T x  1,1, 0, 0  c1 1,  2,1, 0  c2 1,  2, 0,1 ， 1 c ， 2 c 为任意常数。 （3）当 a 1，b  1 时，方程组无解。 9．   T T 0, 0, c (1, 2, 1) 2 1 1 x    （ 1 c 为任意常数）。 10．（1）略； （2）   2，  3 ；通解： T T T (2, 3, 0, 0) c ( 2,1,1, 0) c (4, 5, 0,1) x    1   2  （ 1 c ， 2 c 为任意常数）。 11．（1）当 a  0 时有唯一解 T n (x , x , , x ) x  1 2  ，且 n a n x ( 1) 1   ； （2）当 a  0 时有无穷多解，通解为 T T x  (0,1,  , 0)  c(1, 0,  , 0) （ c 是任意常 数）。 12．（1） b  2 时， b 不能由 1 a ， 2 a ， 3 a 线性表示； （2） b  2 时， b 能由 1 a ， 2 a ， 3 a 线性表示。此时，当 a  1 时，b  a1  2a2 ； 当 a 1 时， 1 2 3 b  (2c 1)a  (c  2)a  ca （ c 为任意常数）。 13．（1）当   1 时（  可为任意常数）， b 能由 1 a ， 2 a ， 3 a ， 4 a 唯一线性表示； （2）当  1，   1 时， b 不能由 1 a ， 2 a ， 3 a ， 4 a 线性表示； （3）当  1，  1 时， b 能由 1 a ， 2 a ， 3 a ， 4 a 线性表示，但表达式不唯一。 其一般表示为 b  1 c1  c2 a1    1 2 1 2 2 a2  c  c 1a3  c 2a4  c （ 1 c ， 2 c 为任意常 数）。 14．（1）（I）的基础解系 T (0, 0, 1, 0) ， T (1,1, 0,1) ；（II）的基础解系 T (0,1,1, 0) ， T (1, 1, 0,1) ； （2） T c(1,1, 2, 1) （ c 为任意常数）。 15.（1） a 1 或 a  2 ； （2）当 a 1 时，公共解为 T c(1, 0, 1) （ c 为任意常数）；当 a  2 时，公共解为 T (0,1, 1) 。 16．（1） T T c (5, 3,1, 0) c ( 3, 2, 0,1) x  1   2  （ 1 c ， 2 c 为任意常数）； （2）   1 时有非零公共解。全部公共解为 x 1α1 2α2  c  c （ 1 c ， 2 c 为任意常数）。 17．（1） T T ( 2, 4, 5, 0) c (1,1, 2,1) x      1 （ 1 c 为任意常数）； （2） m  2，n  4，t  6。 18．（1）提示：利用 Vandermonde 行列式的结论。 （2）通解： T T (0, k , 0) c ( k , 0,1) 2 1 2 x    （ 1 c 为任意常数）

19.提示:利用行列式的性质∑akA1k=n,|A 20.提示:充分性:由A的行向量组与B的行向量组等价可推出存在矩阵C,D 使得A=CB,B=DA。必要性:此时Ax=0与x=0同解,由此可得到 rank(A)=rank 则B的行向量组可以被A的行向量组线性表示。同样方法 B 可证明A的行向量组可以被B的行向量组线性表示。 21.提示: rankI<rank(A)+rank(B)<n。 22.提示:说明 1B1+P2 2 是Ax=b的解,a1+a2,a2+a3,…,an+a1是Ax=0的m 个线性无关的解 23.提示:验证A2=A,从而说明A不可逆。 线性空间与线性变换练习题 §1线性空间 1.是线性空间:维数为1,(,1…,1)是一个基。 10)(01 2.是线性空间;维数为3 是一个基 0-1)(0-1 3.dmV1=m(n+1),dimV2==m(n-1)。 4 是一个基,维数为 5.(1)k=1时,dmN(4)=2,51=(1-1,1,0),点2=(0,-1,0,1)是一个基; k≠1时,dmN(A)=1,51=(-1,0.,-1,1)是一个基 (2)k=1时,dimN(4)=1,51=(-1,1,1)是一个基; k≠1时,dmN(A)=0,无基 (3)k=1时, dim Span{a1,a2,a3,a1}=2,a1,a2是一个基; k≠1时, dim Span{a1,a2,an3a4}=3,a1,a2,a3是一个基。 6.(1)(2,-1)y;(2)0-10:(3)(4.-2,0y;(4)(3-2,1)。 00 7.(1)111|:(2)(3.3)2;(3)c(3,2,-3)(c是任意常数)。 8.(1)提示:将a1,a2,a3与b,b2,b2的关系用矩阵表示,该矩阵可逆;

8 19．提示：利用行列式的性质    n k ai k Aj k 1   i j | A|。 20．提示：充分性：由 A 的行向量组与 B 的行向量组等价可推出存在矩阵 C ，D 使得 A  CB ， B  DA 。必要性：此时 Ax  0 与 x 0 B A          同解，由此可得到 rank (A)  rank         B A ，则 B 的行向量组可以被 A 的行向量组线性表示。同样方法 可证明 A 的行向量组可以被 B 的行向量组线性表示。 21．提示：rank         B A rank (A)  rank (B)  n 。 22．提示：说明 2 β1  β2 是 Ax  b 的解， 1 2 2 3 1 α  α , α  α ,  , αm  α 是 Ax  0 的 m 个线性无关的解。 23．提示：验证 A  A 2 ，从而说明 A 不可逆。 线性空间与线性变换练习题 §1 线性空间 1．是线性空间；维数为 1， T (1, 1,  , 1) 是一个基。 2．是线性空间；维数为 3；         0 1 1 0 ，         0 1 0 1 ，         1 1 0 0 是一个基。 3． ( 1) 2 1 dimV1  n n  ， ( 1) 2 1 dimV2  n n  。 4． 1 2 3 a , a , a 是一个基，维数为 3。 5．（1） k 1 时， dim N(A)  2， T (1, 1,1, 0) ξ1   ， T (0, 1, 0,1) ξ 2   是一个基； k  1 时， dim N(A) 1， T ( 1, 0, 1,1) ξ1    是一个基。 （2） k 1 时， dim ( ) 1 T N A ， T ( 1,1,1) ξ1   是一个基； k  1 时， dim ( )  0 T N A ，无基。 （3） k 1 时， dim Span{ , , , } a1 a2 a3 a4  2， 1 a ， 2 a 是一个基； k  1 时， dim Span{ , , , } a1 a2 a3 a4  3， 1 a ， 2 a ， 3 a 是一个基。 6．（1） T (2, 1, 1) ；（2）              1 0 1 0 1 0 2 3 4 ；（3） T (4,  2, 0) ；（4） T (3,  2, 1) 。 7．（1）           1 1 1 1 1 1 1 0 0 ；（2） T (1, 3, 3) ；（3） T c(3, 2,  3) （ c 是任意常数）。 8．（1）提示：将 1 a ， 2 a ， 3 a 与 1 b ， 2 b ， 3 b 的关系用矩阵表示，该矩阵可逆； （2） （ ）T  3, 2, 2

9.提示:若P(x)=anx”+an1x"+…+a1x+a0(an≠0),则 a 2!a (P(x),P(x)…P(x)=(,x,…,x 10.(1)提示:从定义验证,并在等式中取x=a,(i=1,2,…,n); (2) 11…1 §2线性变换及其矩阵表示 1.(1)不是;(2)是;(3)是 235 520-20 2.(1)-10-1:(2)1-4-5-2:(3)dmN(4)=1,dimA(R)=2。 0 271824 (1) 2010 2351 1-4-8-7 (2) 02 1347 000 0-100 4. 00-10 1000 297 5.(1)-121 (2)Ab1)=(3,2,-7),A(b2)=(-12,-5,22)2,A(b3)=(-9,-3,15) (3)(6,-2,0 (5)(4k-8,2-2k,18-9k)2(k是任意常数)。 2-10 6.(1)011:(2),2 100 9

9 9．提示：若 1 0 1 1 P(x) a x a x a x a n n n  n        （ an  0 ），则                    0 0 0 0 0 2 6 0 2! ! ( ( ), ( ), , ( )) (1, , , ) 1 1 2 3 0 1 2 ( )            n n n n n n a a na a a a a a a n a P x P x P x x x 。 10．（1）提示：从定义验证，并在等式中取 ai x  （ i 1, 2,  , n ）； （2）                       1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1         n n n n n n n n n a a a a a a a a a 。 §2 线性变换及其矩阵表示 1．（1）不是；（2）是；（3）是。 2．（1）              1 1 0 1 0 1 2 3 5 ；（2）                27 18 24 4 5 2 5 20 20 7 1 ；（3） dim N(A) 1，dim ( ) 2 3 A R  。 3．（1） 3a1  8a2  5a3  5a4 ； （2）                1 1 2 3 3 1 0 2 2 3 5 1 1 0 2 1 ；（3）                   1 3 4 7 1 4 6 4 1 4 8 7 2 0 1 0 。 4．                 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 。 5．（1）              1 3 2 1 2 1 2 9 7 ； （2） T A( ) (3, 2, 7) b1   ， T A( ) ( 12, 5, 22) b2    ， T A( ) ( 9, 3,15) b3    ； （3） T (6,  2, 0) ； （4） T (7,  5,17) ； （5） T (4k 8, 2  2k,18 9k) （ k 是任意常数）。 6．（1）            1 0 0 0 1 1 2 1 0 ；（2） T        5 4 , 2, 5 3 ；

(3)A(x)=(2x1-3x3,-x2x1+x2+2x3) 7.提示:用反证法。从a(x)=o(0)=0推出x=0。 8.提示:按定义写出线性组合表达式,再作用a。 9.提示:设a=x1a1+x2a2+…+x,an,则x=(x1x2…,xn)是齐次线性方程 Ax=0的非零解 10.(1)A2=0;(2)A(x)=Ax;(3)按定义直接验证 11.提示:按定义直接验证。 12.提示:说明σ在基B1,B12,B21,B2下的表示矩阵可逆 b d c d 13.提示:a的表示矩阵A满足A"+a14"+…+an14+an=0 14.(1)提示:从定义出发,在线性组合为零的表达式上作用的适当次幂 (2),o(2)…,an(k)就是所求的基 特征值与特征向量练习题 §1特征值与特征向量 1.(1)特征值为1(二重)和2。对应于特征值1的特征向量为c(1,0,0),对 应于特征值2的特征向量为c(1,2,1),其中c是不为零的任意常数 (2)特征值为1(二重)和-2。对应于特征值1的特征向量为 c1(-1,1,0)y+c2(-1,0,1)2,其中c,c2是不全为零的任意常数。对应于特征值2 的特征向量为c(1,1,1),其中c是不为零的任意常数 2.1+(n-1)a,1-a(n-1重) 4.(1)|A|=-6 (2)A-的特征值为1 A的特征值为-6,3,-2 (3)A2+2A+I的特征值为4,1,16 5.(-1)。 6.提示:证明2A+I的特征值不为零 8.a=2,b=4。 9.a+b=0 10

10 （3）   T A x x x x x x 1 3 2 1 2 3 1 ( )  2  3 ,  ,   2  x 。 7．提示：用反证法。从 (x) (0)  0 推出 x  0 。 8．提示：按定义写出线性组合表达式，再作用  。 9．提示：设 n n a  x1a1  x2a2  x a ，则 T n (x , x , , x ) x  1 2  是齐次线性方程 Ax  0 的非零解。 10．（1） A  0 2 ；（2） x A x 1 1 ( )   A  ；（3）按定义直接验证。 11．提示：按定义直接验证。 12．提示：说明  在基 B11， B12， B21， B22 下的表示矩阵可逆。 1  ：                    c d c b a a c d a b 。 13．提示：  的表示矩阵 A 满足 A  A    A I  O  n n n n n a a 1 a 1 1  。 14．（1）提示：从定义出发，在线性组合为零的表达式上作用  的适当次幂。 （2） , ( ), , ( ) 1 ξ ξ ξ n    就是所求的基。 特征值与特征向量练习题 §1 特征值与特征向量 1．（1）特征值为 1（二重）和 2。对应于特征值 1 的特征向量为 T c(1, 0, 0) ，对 应于特征值 2 的特征向量为 T c(1, 2,1) ，其中 c 是不为零的任意常数； （ 2 ） 特 征 值 为 1 （ 二 重 ） 和  2 。对应 于特征值 1 的 特 征 向 量 为 T T c ( 1,1, 0) c ( 1, 0,1) 1   2  ，其中 1 c ， 2 c 是不全为零的任意常数。对应于特征值 2 的特征向量为 T c(1, 1, 1) ，其中 c 是不为零的任意常数。 2．1 (n 1)a ，1 a （ n 1 重）。 3． 4。 4．（1） | A| 6 ； （2） 1 A 的特征值为 1， 2 1  ， 3 1 。 * A 的特征值为 6 ，3， 2 。 （3） A  2A I 2 的特征值为 4，1，16。 5． n (1) 。 6．提示：证明 2A I 的特征值不为零。 7．2 2 。 8．a  2，b  4。 9．a  b  0