Dirichlet积分 下面我们说明 Dirichlet积分 考虑含参变量反常积分 sInx (a) dx,a≥0 (这里引进了收敛因子εˉ,这是改善被积函数收敛性质的一种常用方法)。记 sInx ≠0, l, =0 显然f(x,a)与∫(x,a)=- e sinx都在[O,+∞)x[O,+∞)上连续。 易知。s关于a在0,+)上一致收敛,因此1(a)在D+)上连 从而 ∫n02k=(0)=limn/ax) 为了找出(a),我们利用积分号下求导的方法。这时有 r(a) Q/ear sin x (asin x+ cos x) SIn x 事实上,考虑 fa(x, a)x=- e" sin xdx 对于任意a0>0,由于| e- since(0≤x<+∞ ao≤a<+∞),且「etr 收敛,由 Weierstrass y.判别法,「"(xa)b=e-smxh在[an+o)上一致 收敛,因此上式在[an,+∞)上成立。由a0的任意性,上式在(0,+∞)上都成立 因此,对(a)=1+a2得到
Dirichlet 积分 下面我们说明 Dirichlet 积分 0 sin 2 x dx x 。 考虑含参变量反常积分 0 sin ( ) e dx x x I x ， 0。 （这里引进了收敛因子 x e ，这是改善被积函数收敛性质的一种常用方法）。记 1, 0. , 0, sin e ( , ) x x x x f x x 显然 f (x,) 与 f x x x ( , ) e sin 都在 [0, ) [0, ) 上连续。 易知 0 sin e dx x x x 关于 在 [0, ) 上一致收敛，因此 I() 在 [0, ) 上连 续，从而 0 sin x dx x 0 I I (0) lim ( ) 。 为了找出 I() ，我们利用积分号下求导的方法。这时有 0 2 2 0 0 sin ( ) e e ( sin cos ) 1 e sin . 1 1 x x x x I dx x x x xdx 事实上，考虑 0 0 f (x, )dx e sin xdx x ， 对于任意 0 0 ，由于 x x x 0 | e sin | e （ 0 x ，0 ），且 0 0 e dx x 收敛，由 Weierstrass 判别法， 0 0 f (x, )dx e sin xdx x 在 0 [ , ) 上一致 收敛，因此上式在 0 [ , ) 上成立。由 0 的任意性，上式在 (0, ) 上都成立。 因此，对 2 1 ( ) 1 I 积分，得到
(a)=- arctan a+C,a∈(0,+∞) 现在确定常数C。由于在(0,+∞)上 sInx dx≤eadx 因此lim(a)=0,所以C=,从而l(a)=- arctan a+。于是, +op sin x dx=1(0)= lim I(a)=lim-arctana+ 从这个结果可推出一个有趣的结论 gn(a)==l 2 [+o sin ax dx
I() arctan C ， (0, )。 现在确定常数 C 。由于在 (0, ) 上 1 e sin | ( )| e 0 0 dx dx x x I x x ， 因此 lim ( ) 0 I ，所以 2 C ，从而 2 ( ) arctan I 。于是， 0 sin dx x x 2 2 (0) lim ( ) lim arctan 0 0 I I 。 从这个结果可推出一个有趣的结论： 0 2 sin sgn( ) ax a dx x