数学,你究竟是什么? 张荫南 数学,你究竟是什么?这是停留在数学系的老师、学生心中 的一个看似容易,其实并不简单的问题。对于毕生都与数学 打交道的人来说,更是挥之不去地想弄个明白的心愿。大量 的学术著作致力于这个目标,给出了很好的对数学的描述 但似乎还是有很多事情值得我们去探求,去思索。 符号思维是人类文明的要素之一。 纵观几千年的人类文明史可以发现所谓文明的进步也就是 人类的思维活动水平和能力的进化。正是后者的推动才造就 了各个阶段人类社会物质文明的飞跃。我们如何进行思维、 想象和创造? 语言应是这些心灵活动的基本工具。要用语言将感知的事情 说出来,写成文字,进行交流。慢慢地模糊的思想将变得清 楚而有条理,吸引我们去思考和创造。另外,富于直观的图 形、打动心灵的音符也是我们进行思索的重要形式。艺术家 手中画笔,音乐大师的不朽乐章,同样是表达内心的感受, 启发思维灵感的重要途径。当大家阅读和欣赏莎士比亚、贝 多芬、达芬奇的不朽名著时,除了感受到这些璀璨群星所代 表的人类形象思维的高度之外是否想过还有其它形式的思 维活动?
1 数学，你究竟是什么？ 张荫南 数学，你究竟是什么？这是停留在数学系的老师、学生心中 的一个看似容易，其实并不简单的问题。对于毕生都与数学 打交道的人来说，更是挥之不去地想弄个明白的心愿。大量 的学术著作致力于这个目标，给出了很好的对数学的描述。 但似乎还是有很多事情值得我们去探求，去思索。 符号思维是人类文明的要素之一。 纵观几千年的人类文明史可以发现所谓文明的进步也就是 人类的思维活动水平和能力的进化。正是后者的推动才造就 了各个阶段人类社会物质文明的飞跃。我们如何进行思维、 想象和创造？ 语言应是这些心灵活动的基本工具。要用语言将感知的事情 说出来，写成文字，进行交流。慢慢地模糊的思想将变得清 楚而有条理，吸引我们去思考和创造。另外，富于直观的图 形、打动心灵的音符也是我们进行思索的重要形式。艺术家 手中画笔，音乐大师的不朽乐章，同样是表达内心的感受， 启发思维灵感的重要途径。当大家阅读和欣赏莎士比亚、贝 多芬、达芬奇的不朽名著时，除了感受到这些璀璨群星所代 表的人类形象思维的高度之外是否想过还有其它形式的思 维活动？
人类在进行思维时,使用的最基本的元素是概念和想法。文 学、艺术、音乐的思维中要用很复杂的形式去表达它们,例 如,用陈述性的句子去描写某一概念。这样的表达虽有生动, 直观之优点,但是却不利于进行精确和高效的思考,所得结 论也没有一个通用的表达形式,尤其要指出的是,思维方式 的成果难以进行移植。实际上,人类在漫长的进化过程中, 除了形成形象思维的能力外,还具有了符号思维的能力。我 们利用符号去表达思维过程中所涉及的诸多元素,建立和规 定符号之间的各种关系,进一步确定符号的逻辑,这样就可 以脱离具体的内容,组织大脑的符号逻辑思考运动,推出各 种用符号表达的结论,进而达到认识丰富多彩的外部世界之 符号思维的最光辉的典范之一就是阿拉伯数字的发明和应 用。我们通过十个符号,加上正负号,小数点记号和进位制, 构建了阿拉伯数系。它可用于对世界上的各种具体的对象进 行计量。这些符号之间有四则运算和大小的比较法则。在此 基础上产生了复式薄记法和进行商业活动的各种计算法。可 以说阿拉伯数字造就了人类文明的产生和现代商业社会的 发展 用数字表达各种具体对象的数量无疑是一大进步,人们可以 只与数字打交道而不必考虑它的具体含义,思考与计算的效 率大为提高。同时,这项工作也有可能用机器来实现。从中
2 人类在进行思维时，使用的最基本的元素是概念和想法。文 学、艺术、音乐的思维中要用很复杂的形式去表达它们，例 如，用陈述性的句子去描写某一概念。这样的表达虽有生动， 直观之优点，但是却不利于进行精确和高效的思考，所得结 论也没有一个通用的表达形式，尤其要指出的是，思维方式 的成果难以进行移植。实际上，人类在漫长的进化过程中， 除了形成形象思维的能力外，还具有了符号思维的能力。我 们利用符号去表达思维过程中所涉及的诸多元素，建立和规 定符号之间的各种关系，进一步确定符号的逻辑，这样就可 以脱离具体的内容，组织大脑的符号逻辑思考运动，推出各 种用符号表达的结论，进而达到认识丰富多彩的外部世界之 目的。 符号思维的最光辉的典范之一就是阿拉伯数字的发明和应 用。我们通过十个符号，加上正负号，小数点记号和进位制， 构建了阿拉伯数系。它可用于对世界上的各种具体的对象进 行计量。这些符号之间有四则运算和大小的比较法则。在此 基础上产生了复式薄记法和进行商业活动的各种计算法。可 以说阿拉伯数字造就了人类文明的产生和现代商业社会的 发展。 用数字表达各种具体对象的数量无疑是一大进步，人们可以 只与数字打交道而不必考虑它的具体含义，思考与计算的效 率大为提高。同时，这项工作也有可能用机器来实现。从中
国的算盘、古代的计算器到现代的电脑都源于这项数字符号 的应用 但是上述符号化的进程并未止步于阿拉伯数字。我们进一步 用字母符号x,y,a,b,c等代表各种具体的数字,这种符号化 的结果产生变量的概念。从此可书写出各种公式,例如,多 项式,代数方程式等。专门研究符号学的代数也开始应运而 生 变量之间是有相互依赖关系的,其中我们常常遇到的关系也 能符号化,这就是函数,例如, 一元函数y=f(x), 多元函数y=f(x1,x2,…,xn) 都是变量关系的符号化。走出了这一步后,才可能研究变量 的増量分析,借助于极限的思维方式,人类发明了微积分 这时函数的符号又衍生出新的符号,例如导函数,偏导数, 微分形式。它们之间有和谐统一的符号运算律和必然的逻辑 规律。通过这种符号逻辑的推演,我们的思维水平大大提高 了。试问,如果没有对 Maxwell方程的研究,我们对电磁场 理论的了解能达到现在的程度吗?你能想象电气化时代和 现代信息社会的来临吗? 总之,符号思维是人类思维的基本形式之一,它是人类文明 的必不可少的构成要素。数学就是研究、创造、发展符号思 维的科学
3 国的算盘、古代的计算器到现代的电脑都源于这项数字符号 的应用。 但是上述符号化的进程并未止步于阿拉伯数字。我们进一步 用字母符号 x,y,a,b,c 等代表各种具体的数字，这种符号化 的结果产生变量的概念。从此可书写出各种公式，例如，多 项式，代数方程式等。专门研究符号学的代数也开始应运而 生。 变量之间是有相互依赖关系的，其中我们常常遇到的关系也 能符号化，这就是函数，例如， 一元函数 y = f(x), 多元函数 y = f(x1, x2, ⋯ , xn) , 都是变量关系的符号化。走出了这一步后，才可能研究变量 的增量分析，借助于极限的思维方式，人类发明了微积分。 这时函数的符号又衍生出新的符号，例如导函数，偏导数， 微分形式。它们之间有和谐统一的符号运算律和必然的逻辑 规律。通过这种符号逻辑的推演，我们的思维水平大大提高 了。试问，如果没有对 Maxwell 方程的研究，我们对电磁场 理论的了解能达到现在的程度吗？你能想象电气化时代和 现代信息社会的来临吗？ 总之，符号思维是人类思维的基本形式之一，它是人类文明 的必不可少的构成要素。数学就是研究、创造、发展符号思 维的科学
沿着这条线索前进,我们可以对数学家的工作,数学分支的 产生和发展,现代数学潮流等诸多问题进行一些有趣的讨论。 数学家在做些什么? 数学家就是致力于发展和推进人类符号思维能力的人 他们不断地创造各种新的符号体系或者改造和扩充原有的 符号以对付在人类社会发展进程中,科学技术进步和科学探 求深入时,我们要精确地表达新的对象并进行深入思考的需 求。这就是问题的数学加工。科学研究的第一步是要将问题 说清楚,问题的符号表述是至关重要的。当然这只是一个开 始。发现相应的符号思维逻辑和推理方法是更具有挑战性的 工作。分析这个过程是很有趣的。科学问题来自于现实生活, 它包含的各个方面有着自身固有的关系与逻辑。这是推动我 们思考的潜在原动力。黑格尔曾说过,“存在的就是合理的” 合理的东西中一定包含其内在的逻辑,它必定会寻求表达形 式和基础。只不过,可能我们尚不知道它相应的符号逻辑是 什么。例如,心理学就是尚未找到它的符号逻辑的学科,可 能就在这里存在着发展数学的大机会!当数学家们试图用符 号思维去理解和研究各种新的对象时,常常会身处矛盾之中, 可能会发现我们已掌握的符号逻辑推演方法不完全能解决 问题,或者感到困惑莫解,其实这时,数学家已站在打开新
4 沿着这条线索前进，我们可以对数学家的工作，数学分支的 产生和发展，现代数学潮流等诸多问题进行一些有趣的讨论。 数学家在做些什么？ 数学家就是致力于发展和推进人类符号思维能力的人。 他们不断地创造各种新的符号体系或者改造和扩充原有的 符号以对付在人类社会发展进程中，科学技术进步和科学探 求深入时，我们要精确地表达新的对象并进行深入思考的需 求。这就是问题的数学加工。科学研究的第一步是要将问题 说清楚，问题的符号表述是至关重要的。当然这只是一个开 始。发现相应的符号思维逻辑和推理方法是更具有挑战性的 工作。分析这个过程是很有趣的。科学问题来自于现实生活， 它包含的各个方面有着自身固有的关系与逻辑。这是推动我 们思考的潜在原动力。黑格尔曾说过，“存在的就是合理的”。 合理的东西中一定包含其内在的逻辑，它必定会寻求表达形 式和基础。只不过，可能我们尚不知道它相应的符号逻辑是 什么。例如，心理学就是尚未找到它的符号逻辑的学科，可 能就在这里存在着发展数学的大机会！当数学家们试图用符 号思维去理解和研究各种新的对象时，常常会身处矛盾之中， 可能会发现我们已掌握的符号逻辑推演方法不完全能解决 问题，或者感到困惑莫解，其实这时，数学家已站在打开新
世界的门口了!量子物理与数学的恩怨情仇提供了很好的佐 伟大的数学家冯·诺意曼很生动地刻画出新数学诞生的过程。 他说:“这一起始阶段必然是试探性的,即从非数学的貌似 合理的想法向正式的数学过程转变。最后确定的理论必须具 有数学的严密性和概念的一般性。我们必须将其首先应用于 对一些基本问题的解释中,这些问题的答案是人们从未怀疑 过的,而且是不需要借助理论解释就可以获得的。在早期阶 段,应用是为了使这一理论更加准确。当理论应用于较为复 杂的情况时,会在一定程度上超出我们熟悉的范围,并变得 不那么易于理解,这时,我们就进入了另一个阶段。在这里 理论和应用验证相互促进。这一阶段之后才是真正的成功 真正根据理论做出预测。” 随着人类社会的发展,符号思维也在不断地进化之中,现在 它已具有丰富的内容,众多的分支,长期发展过程中积累了 丰富的成果。数学家们在一个领域做出的杰出贡献常会在另 个领域以出乎意料的形式得到发扬光大。一个训练有素, 视野宽广,思想活跃的数学家更有机会去发展已有的符号逻 辑,去做出全新的工作 在数学的内部亦包含着驱使它向前进化的巨大原动力。同 个对象可通过不同的符号逻辑去表达和研究它,最后产生出 新的符号逻辑,例如,代数几何、代数数论、几何分析就是
5 世界的门口了！量子物理与数学的恩怨情仇提供了很好的佐 证。 伟大的数学家冯∙诺意曼很生动地刻画出新数学诞生的过程。 他说：“这一起始阶段必然是试探性的，即从非数学的貌似 合理的想法向正式的数学过程转变。最后确定的理论必须具 有数学的严密性和概念的一般性。我们必须将其首先应用于 对一些基本问题的解释中，这些问题的答案是人们从未怀疑 过的，而且是不需要借助理论解释就可以获得的。在早期阶 段，应用是为了使这一理论更加准确。当理论应用于较为复 杂的情况时，会在一定程度上超出我们熟悉的范围，并变得 不那么易于理解，这时，我们就进入了另一个阶段。在这里 理论和应用验证相互促进。这一阶段之后才是真正的成功： 真正根据理论做出预测。” 随着人类社会的发展，符号思维也在不断地进化之中，现在 它已具有丰富的内容，众多的分支，长期发展过程中积累了 丰富的成果。数学家们在一个领域做出的杰出贡献常会在另 一个领域以出乎意料的形式得到发扬光大。一个训练有素， 视野宽广，思想活跃的数学家更有机会去发展已有的符号逻 辑，去做出全新的工作。 在数学的内部亦包含着驱使它向前进化的巨大原动力。同一 个对象可通过不同的符号逻辑去表达和研究它，最后产生出 新的符号逻辑，例如，代数几何、代数数论、几何分析就是
此类例子 总之,数学家做的第一项的工作就是感受社会需求的驱动, 创造和发展新的符号思维的逻辑和方法,也就是创造新数学 随着社会发展的加速,新数学产生的速度日益增加。这可从 混沌、分形几何、生物信息学、复杂网络等等的飞速涌现得 到证实。 数学大厦的建立是一项宏伟的工程。大师们幻画出草图,工 程师们确立施工方案,数学工作者从不同的角度给它添砖加 瓦。一个数学分支从出生到成熟可能需要几代人的努力。这 种学术的进化是由广大的数学工作者完成的。数学工作者的 幸勤劳动,无论它是名垂青史的成就,或默默无闻的耕耘, 都是值得尊敬的工作。数学家依靠自已的大脑为基本的硬件 进行创造和发明。虽然计算机,甚至超级计算机能给数学家 们提供了便利和帮助,但并没有改变这个事实。某种程度上, 符号逻辑即是人脑进行思维的“软件”。广大数学工作者就 是软件的设计者、程序员。正如在计算机科学中发生的一样, 有些人从事语言的开发研究,有部份人做算法分析,很多人 编写针对具体目标的软件。但两者也有很大的差异。在计算 机领域中的大部份工作者是属于公司的,他们的工作直接组 织在公司的项目之中。而数学家的工作基本形式是个体的, 是由各自的科学兴趣激励出来的思维活动。如何将这些千差 万别的个体努力自然地合成为一项有明确目标的研究工作
6 此类例子。 总之，数学家做的第一项的工作就是感受社会需求的驱动， 创造和发展新的符号思维的逻辑和方法，也就是创造新数学。 随着社会发展的加速，新数学产生的速度日益增加。这可从 混沌、分形几何、生物信息学、复杂网络等等的飞速涌现得 到证实。 数学大厦的建立是一项宏伟的工程。大师们勾画出草图，工 程师们确立施工方案，数学工作者从不同的角度给它添砖加 瓦。一个数学分支从出生到成熟可能需要几代人的努力。这 种学术的进化是由广大的数学工作者完成的。数学工作者的 幸勤劳动，无论它是名垂青史的成就，或默默无闻的耕耘， 都是值得尊敬的工作。数学家依靠自已的大脑为基本的硬件 进行创造和发明。虽然计算机，甚至超级计算机能给数学家 们提供了便利和帮助，但并没有改变这个事实。某种程度上， 符号逻辑即是人脑进行思维的“软件”。广大数学工作者就 是软件的设计者、程序员。正如在计算机科学中发生的一样， 有些人从事语言的开发研究，有部份人做算法分析，很多人 编写针对具体目标的软件。但两者也有很大的差异。在计算 机领域中的大部份工作者是属于公司的，他们的工作直接组 织在公司的项目之中。而数学家的工作基本形式是个体的， 是由各自的科学兴趣激励出来的思维活动。如何将这些千差 万别的个体努力自然地合成为一项有明确目标的研究工作
呢?这全靠数学家之间的学术交流,现代因特网、通信技术, 交通工具和各方面对数学的财务资助使数学界的交流达到 空前的水平。这也是现代数学大发展的因素之一。 人类文明的进步要通过世代传承才得以实现。我们教人们认 字,掌握语言,这样在语言基础上的形象思维能力才能世代 相传。符号思维的能力的传递也是一样,它通过数学课程来 传递。在数学研究中所获得的知识显得很专门,只有通过教 授才能使大家共享。这些工作统称为数学教育。没有它,数 学将无法为人类文明的进步做出贡献,也就失去了存在的价 值。所以,数学家同时应该是一个好的数学老师,这是他们 必需做的另一项工作。 数学家只对符号负责 据说那位俄罗斯的天才数学家曾在一次新闻发布会上兴致 勃勃地介绍他对庞加莱猜想的研究工作,有一位小报记者提 出一个问题,“教授先生,你的证明有什么用?”俄罗斯人 很不高兴地回答,“你的问題有意义吗?”他的愤怒是有道 理的。作为一个职业的数学家,他的工作是发现新的有价值 的符号逻辑,将人们的符号思维能力提高到一个新水平。数 学家只对自已的符号负责。至于某个成果是否有应用的问题 并不是他必需考虑的事情。明确数学家工作的边界可能是重 要的,否则就会对数学家们提出不合适的要求,同时也不利
7 呢？这全靠数学家之间的学术交流，现代因特网、通信技术， 交通工具和各方面对数学的财务资助使数学界的交流达到 空前的水平。这也是现代数学大发展的因素之一。 人类文明的进步要通过世代传承才得以实现。我们教人们认 字，掌握语言，这样在语言基础上的形象思维能力才能世代 相传。符号思维的能力的传递也是一样，它通过数学课程来 传递。在数学研究中所获得的知识显得很专门，只有通过教 授才能使大家共享。这些工作统称为数学教育。没有它，数 学将无法为人类文明的进步做出贡献，也就失去了存在的价 值。所以，数学家同时应该是一个好的数学老师，这是他们 必需做的另一项工作。 数学家只对符号负责。 据说那位俄罗斯的天才数学家曾在一次新闻发布会上兴致 勃勃地介绍他对庞加莱猜想的研究工作，有一位小报记者提 出一个问题，“教授先生，你的证明有什么用？”俄罗斯人 很不高兴地回答，“你的问题有意义吗？”他的愤怒是有道 理的。作为一个职业的数学家，他的工作是发现新的有价值 的符号逻辑，将人们的符号思维能力提高到一个新水平。数 学家只对自已的符号负责。至于某个成果是否有应用的问题 并不是他必需考虑的事情。明确数学家工作的边界可能是重 要的，否则就会对数学家们提出不合适的要求，同时也不利
于他们专注于自已的研究工作 理论物理学的论文表面上看去和数学论文非常类似。但是爱 因斯坦的思维方式与数学家是本质不同的。他也要利用在数 学中形成的符号思维推理,但是这些只是他表达其物理思想 的工具,他决没有只对符号负责的想法,但他一定是要对物 理实验的事实、物理图景、物理思想预测性等负责。与数学 家不同,物理学家更关注在他使用的数学符号后面的物理世 界的真实逻辑,这种真实的逻辑常表现在物理现象和实验之 中。当数学的推论能帮助他深化物理理论时,他们是喜欢的, 当出现矛盾时,首先遭到抛弃的就是这些数学符号和推论 和数学家相比,物理学家显得更感性,更接近形象思维。数 学家可从他们那里学到很多东西。在综合形象思维与符号思 维方面,物理学做得更好 现在让我们来分析金融数学。现代金融的大发展和大动荡给 数学提供了巨大的机遇。为了刻画在不确定性条件下的金融 交易,世界顶尖的头脑为之付出了巨大的劳动。他们创造了 规模空前的市场,通过现代通信工具,成千上万的交易者坐 在电脑终端前用键盘追寻着成功。难以捉摸的期货价格的变 动,货币汇率的升降,股票指数的涨落、海量交易数据等交 织成现代社会的交响乐。伟大的实践一定会产生伟大的思想, 大量的金融理念急需符号化,交易规律的研究需要符号思维 的支持。这时,金融数学应运而生了。然而应强调的是金融
8 于他们专注于自已的研究工作。 理论物理学的论文表面上看去和数学论文非常类似。但是爱 因斯坦的思维方式与数学家是本质不同的。他也要利用在数 学中形成的符号思维推理，但是这些只是他表达其物理思想 的工具，他决没有只对符号负责的想法，但他一定是要对物 理实验的事实、物理图景、物理思想预测性等负责。与数学 家不同，物理学家更关注在他使用的数学符号后面的物理世 界的真实逻辑，这种真实的逻辑常表现在物理现象和实验之 中。当数学的推论能帮助他深化物理理论时，他们是喜欢的， 当出现矛盾时，首先遭到抛弃的就是这些数学符号和推论。 和数学家相比，物理学家显得更感性，更接近形象思维。数 学家可从他们那里学到很多东西。在综合形象思维与符号思 维方面，物理学做得更好。 现在让我们来分析金融数学。现代金融的大发展和大动荡给 数学提供了巨大的机遇。为了刻画在不确定性条件下的金融 交易，世界顶尖的头脑为之付出了巨大的劳动。他们创造了 规模空前的市场，通过现代通信工具，成千上万的交易者坐 在电脑终端前用键盘追寻着成功。难以捉摸的期货价格的变 动，货币汇率的升降，股票指数的涨落、海量交易数据等交 织成现代社会的交响乐。伟大的实践一定会产生伟大的思想， 大量的金融理念急需符号化，交易规律的研究需要符号思维 的支持。这时，金融数学应运而生了。然而应强调的是金融
数学与拓扑学、函数论、随机过程一样都是数学,金融数学 家的工作责职仍然是符号及其逻辑,他们不需要为各种具体 交易的贏亏伤脑筋,但必需为他的随机微分方程付出心血。 总之,应该用数学的标准考量他们,而不应该用银行家的标 准进行要求。虽然绝大部份的金融从业人员,从普通的交易 员到对冲基金的掌门人,对金融数学的深奧理论都难以完全 明白,但是两者之间的互动已呈现出积极的趋向。最近华尔 街的金融大风暴提出了一大批新的问题。例如,1966年格林 斯潘首次推出“非理性繁荣”的概念后,人们对金融市场的 投机性泡沫给出了很大的关注,正如 Robert j. Shiller所 描述那样,“价格上涨的信息剌刺激了投资者的热情,并且这 种热情通过心理的相互影响在人与人之间逐步扩散,在此过 程中,越来越多的人加入到推动价格上涨的投机行列,完全 不考虑资产的实际价值,而一味地沉浸在对其它投资者发迹 的羡慕与赌徒般的兴奋之中”。也就是说,在交易价格与交 易者的判断与决策之间存在着一种反馈环。如何发展我们的 符号思维方式来研究这些呢?这是一个非常具有挑战性的 重要问题。它可能会成为金融数学发展的未来推动力之 外面的世界多精彩 支笔、一张纸、一杯茶,再加上一个好的头脑和一方宁静 的天地,不需要很大的资金支持,不会受制于令人烦心的人
9 数学与拓扑学、函数论、随机过程一样都是数学，金融数学 家的工作责职仍然是符号及其逻辑，他们不需要为各种具体 交易的赢亏伤脑筋，但必需为他的随机微分方程付出心血。 总之，应该用数学的标准考量他们，而不应该用银行家的标 准进行要求。虽然绝大部份的金融从业人员，从普通的交易 员到对冲基金的掌门人，对金融数学的深奥理论都难以完全 明白，但是两者之间的互动已呈现出积极的趋向。最近华尔 街的金融大风暴提出了一大批新的问题。例如，1966 年格林 斯潘首次推出“非理性繁荣”的概念后，人们对金融市场的 投机性泡沫给出了很大的关注，正如 Robert J.Shiller 所 描述那样，“价格上涨的信息刺激了投资者的热情，并且这 种热情通过心理的相互影响在人与人之间逐步扩散，在此过 程中，越来越多的人加入到推动价格上涨的投机行列，完全 不考虑资产的实际价值，而一味地沉浸在对其它投资者发迹 的羡慕与赌徒般的兴奋之中”。也就是说，在交易价格与交 易者的判断与决策之间存在着一种反馈环。如何发展我们的 符号思维方式来研究这些呢？这是一个非常具有挑战性的 重要问题。它可能会成为金融数学发展的未来推动力之一。 外面的世界多精彩。 一支笔、一张纸、一杯茶，再加上一个好的头脑和一方宁静 的天地，不需要很大的资金支持，不会受制于令人烦心的人
际关系,数学家可以在斗室中尽情地发挥自已的思维能力, 向着科学的顶峰冲击。这是何等令人神往的理想境界!因特 网和视频通信将朋友们紧紧相连,大家可以便捷地分享成功 的喜悦和失败的教训。数学家在学术界和社会上的地位日益 提高,有自已的学术刊物,社交圈子,和评价标准。生活的 切都显得平静而美好 大师们的思想永远是带来激情和创造的主要源泉之一。例如, 一代宗师K.Ito,他将随机微分,Ito公式带到这个世界上 来,造就了日本概率论几十年的繁荣。但,随着大师的离去, 日本的概率论也慢慢地归于平凡。 “不尽长江东流去,浪淘尽千古风流人物”。分析大师们的 潮起潮落,也许能提供观察数学的一个新视角。大师是我们 崇拜的先驱者,但,他们也只是时代的弄潮儿,谁都无法超 越时代去建立丰功伟业。二十世纪的大部份时间中,我们主 要致力于解决只涉及单个或几个相互关联的对象。例如,设 计一台蒸汽机,制造几台电动机,完成一些商业上的交易, 观察某个行星的运动等。当然,这并不是说我们没有涉及群 体的问题,达尔文关于物种的进化,摩尔根的遗传学的研究, 芝加哥的证券交易所等已开启了文明的另一个窗口。但这些 尚未成为当时的主流。数学所代表的符号思维与时代的要求 是同步的。上世纪上半叶的数学大师们,如牛顿、莱布尼慈 拉普拉斯,高斯等都在各自的领域研究着各种单独的数学对
10 际关系，数学家可以在斗室中尽情地发挥自已的思维能力， 向着科学的顶峰冲击。这是何等令人神往的理想境界！因特 网和视频通信将朋友们紧紧相连，大家可以便捷地分享成功 的喜悦和失败的教训。数学家在学术界和社会上的地位日益 提高，有自已的学术刊物，社交圈子，和评价标准。生活的 一切都显得平静而美好。 大师们的思想永远是带来激情和创造的主要源泉之一。例如， 一代宗师 K.Ito，他将随机微分，Ito 公式带到这个世界上 来，造就了日本概率论几十年的繁荣。但，随着大师的离去， 日本的概率论也慢慢地归于平凡。 “不尽长江东流去，浪淘尽千古风流人物”。分析大师们的 潮起潮落，也许能提供观察数学的一个新视角。大师是我们 崇拜的先驱者，但，他们也只是时代的弄潮儿，谁都无法超 越时代去建立丰功伟业。二十世纪的大部份时间中，我们主 要致力于解决只涉及单个或几个相互关联的对象。例如，设 计一台蒸汽机，制造几台电动机，完成一些商业上的交易， 观察某个行星的运动等。当然，这并不是说我们没有涉及群 体的问题，达尔文关于物种的进化，摩尔根的遗传学的研究， 芝加哥的证券交易所等已开启了文明的另一个窗口。但这些 尚未成为当时的主流。数学所代表的符号思维与时代的要求 是同步的。上世纪上半叶的数学大师们，如牛顿、莱布尼慈、 拉普拉斯，高斯等都在各自的领域研究着各种单独的数学对
