复旦大学：《微分方程数值解》课程教学资源（课堂讲义）发展方程的差分方法

微分方程数值解 发展方程的差分方法 陈文斌 复旦大学数学系 NA diffe,tex-微分方程数值解-陈文斌-174/2003-7:49-p.146

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Problems 扩散方程的差分方法 NA diffc.tex-微分方程数值解-陈文斌-17/4/2003-749-p.2A46

Problems *ѐ§©{ NA˙diffc2.tex – ‡©§êŠ) – ©R – 17/4/2003 – 7:49 – p.2/46

Problems 扩散方程的差分方法 双曲方程的差分方法 NA diffc.tex-微分方程数值解-陈文斌-17/4/2003-749-p.2A46

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Problems 扩散方程的差分方法 双曲方程的差分方法 波动方程的离散 NA diffc.tex-微分方程数值解-陈文斌-17/4/2003-749-p.2A46

Problems *ѐ§©{ V­§©{ ÅЧlÑ NA˙diffc2.tex – ‡©§êŠ) – ©R – 17/4/2003 – 7:49 – p.2/46

parabolic equations 扩散方程初值问题:设α>0,在区 域D={(x,t)-∞<x<∞,0≤t≤们找u(x,t)满 足 <∞,0<t≤T (x,0)=(x),-∞<x<∞ NA diffe,tex-微分方程数值解-陈文斌-174/2003-7:49-p.346

parabolic equations * Ñ §Ð Š ¯ Kµa > 0 § 3 «  D ∞ = { (x, t )| − ∞ < x < ∞, 0 ≤ t ≤ T } é u (x, t ) ÷ v    ∂u ∂t = a ∂ 2 u ∂x 2 , −∞ < x < ∞, 0 < t ≤ T u (x, 0) = φ ( x ), −∞ < x < ∞ NA˙diffc2.tex – ‡© § ê Š ) –  © R – 17/4/2003 – 7:49 – p.3/46

Diffusing equations 扩散方程初边值问题:设a>0,在区 域D={(x,t)0<x<1,0≤t≤们}找(x,t满足 au a2, 0<<1.0<t<T (x,0)=0(x),0<x<1初值条件 (0,+)=(1,t)=0,0≤t≤T边值条件 这里边值条件也可以有多种提法 NA diffe,tex-微分方程数值解-陈文斌-174/2003-7:49-p.4/46

Diffusing equations * Ñ §Ð > Š ¯ Kµa > 0 § 3 «  D ∞ = { (x, t )|0 Š ^ ‡ ù p > Š ^ ‡  Œ ± k õ « J { " NA˙diffc2.tex – ‡© § ê Š ) –  © R – 17/4/2003 – 7:49 – p.4/46

Diffusing equations 区域的离散:这里需要空间方向x和时间方向t的 离散,假设空间方向N等分,空间步长 为h=,x;=2*h;时间方向为步长 为 T 方程离散 边界条件的处理 NA diffe,tex-微分方程数值解-陈文斌-174/2003-7:49-p.5/46

Diffusing equations «   l Ñ:ù p I ‡ m  • x Ú ž m  • t  l Ñ § b  m  • N  © § m Ú   h = 1 N ,x i = i ∗ h¶ž m  •  Ú   τ § t j = jτ "  § l Ñ > . ^ ‡  ? n NA˙diffc2.tex – ‡© § ê Š ) –  © R – 17/4/2003 – 7:49 – p.5/46

Diffusing equations 区域的离散 c∞OoμAa,n

Diffusing equations «   l Ñ ÇøÓòµÄÍø¸ñ x t T (x i,t j) x i t j NA˙diffc2.tex – ‡© § ê Š ) –  © R – 17/4/2003 – 7:49 – p.6/46

Diffusing equations 方程离散:在节点(x,t处建立差分方程,这里用方 向的向后差商来代替时间方向的一阶导数,用x方向 的二阶中心差商来代替空间方向的两阶导数,特别 地,我们考虑用不同时间层的加权组合来处理 j+1 +Us T +1 2u+ +a(1-6) =0 这样的计算格式称为两层加权平均格式 NA diffe,tex-微分方程数值解-陈文斌-174/2003-7:49-p.7146

Diffusing equations  § l Ñ:3 ! : ( x i, t j ) ? ï á © § § ù p ^ t  •  • ￾  û 5 O ž m  •    ê § ^ x  •    ¥ %  û 5 O m  •  ü   ê § A O / § · ‚  Ä ^ Ø Ó ž m ￾  \  | Ü 5 ? nµ u j+1 i − u j i τ − aθ u j+1 i+1 − 2 u j+1 i + u j+1 i − 1 h 2 + a(1 − θ ) u j i+1 − 2 u j i + u j i − 1 h 2 = 0 ù   O Ž ‚ ª ¡  ü ￾ \  ² þ ‚ ª " NA˙diffc2.tex – ‡© § ê Š ) –  © R – 17/4/2003 – 7:49 – p.7/46

Diffusing equations 此格式的截断误差是 1210u B()=a[ar(5-6 +O(72)+O(Th2)+O(h4 NA diffe,tex-微分方程数值解-陈文斌-174/2003-7:49-p.846

Diffusing equations d ‚ ª   ä Ø  ´ R j i ( θ) = a aτ  1 2 − θ  − h 2 12 ∂ 4 u ∂x 4 ( x i, t j ) + O ( τ 2) + O (τh 2) + O ( h 4 ) NA˙diffc2.tex – ‡© § ê Š ) –  © R – 17/4/2003 – 7:49 – p.8/46