§5应用举例 本节介绍函数微分的一些应用,包括极值和最值问题、函数作 图以及在数学建模中的应用 极值问题 f(x)的全部极值点必定都在使得f(x)=0和使得f(x)不存在的 点集之中。使f(x)=0的点称为f(x)的驻点
本节介绍函数微分的一些应用，包括极值和最值问题、函数作 图以及在数学建模中的应用。 极值问题 f x( )的全部极值点必定都在使得 f x ′() 0 = 和使得 f x ′( )不存在的 点集之中。使 ′ xf = 0)( 的点称为 xf )( 的驻点。 §5 应用举例
定理5.5.1(极值点判定定理)设函数f(x)在x0点的某一领域中 有定义,且f(x)在x0点连续 (1)设存在。>0,使得f(x)在(x。-δ,x)与(x,x+δ)上可导, (i)若在(x0-6,x)上有f(x)≥0,在(x0,x0+。)上有∫(x)≤0,则 x是f(x)的极大值点; (i)若在(x0-,x)上有∫(x)≤0,在(xnx0+δ)上有f(x)≥0, 则x是f(x)的极小值点; (i)若f(x)在(x0-6,x)与(x0,x+。)上同号,则x不是f(x)的 极值点
定理 5.5.1（极值点判定定理） 设函数 xf )( 在 x0点的某一领域 中 有定义，且 xf )( 在 x0点连续。 ⑴ 设存在 δ > 0，使得 xf )( 在 ),( 0 0 − δ xx 与 ),( xx 00 + δ 上可导， (i) 若在 ),( 0 0 − δ xx 上有 f x ′() 0 ≥ ，在 ),( xx 00 + δ 上有 f x ′() 0 ≤ ，则 x0 是 xf )( 的极大值点； (ii) 若在 ),( 0 0 − δ xx 上有 f x ′() 0 ≤ ，在 ),( xx 00 + δ 上有 f x ′() 0 ≥ ， 则 x0是 xf )( 的极小值点； (iii) 若 f x ′( ) 在 ),( 0 0 − δ xx 与 ),( xx 00 + δ 上同号，则 x0不是 xf )( 的 极值点
定理5.5.1(极值点判定定理)设函数f(x)在x0点的某一领域中 有定义,且f(x)在x0点连续 (1)设存在。>0,使得f(x)在(x。-δ,x)与(x,x+δ)上可导, (i)若在(x0-6,x)上有f(x)≥0,在(x0,x0+。)上有∫(x)≤0,则 x是f(x)的极大值点; (i)若在(x0-,x)上有∫(x)≤0,在(xnx0+δ)上有f(x)≥0, 则x是∫(x)的极小值点 (i)若f(x)在(x0-6,x)与(x0,x+。)上同号,则x不是f(x)的 极值点 (2)设∫(x)=0,且f(x)在x0点二阶可导, (i)若f"(x)0,则x是f(x)的极小值点 (i)若f"(x)=0,则x可能是f(x)的极值点,也可能不是f(x) 的极值点
⑵ 设 0)(′ xf 0 = ，且 f x( )在x0 点二阶可导， (i) 若 f x ′′( ) 0 0，则x0是 xf )( 的极小值点； (iii) 若 f x ′′( ) 0 = 0，则 x0可能是 xf )( 的极值点，也可能不是 xf )( 的极值点。 定理 5.5.1（极值点判定定理） 设函数 xf )( 在 x0点的某一领域中 有定义，且 xf )( 在 x0点连续。 ⑴ 设存在δ > 0，使得 xf )( 在 ),( 0 0 −δ xx 与 ),( xx 00 + δ 上可导， (i) 若在 ),( 0 0 − δ xx 上有 f x ′() 0 ≥ ，在 ),( xx 00 + δ 上有 f x ′() 0 ≤ ，则 x0 是 xf )( 的极大值点； (ii) 若在 ),( 0 0 −δ xx 上有 f x ′() 0 ≤ ，在 ),( xx 00 + δ 上有 f x ′() 0 ≥ ， 则 x0是 xf )( 的极小值点； (iii) 若 f x ′( )在 ),( 0 0 − δ xx 与 ),( xx 00 + δ 上同号，则x0不是 xf )( 的 极值点
证(1)的结论显然,我们只证(2) 因为f(x)=0,由 Taylor公式 f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+ f"(x0) (x-x0)2+o(x-x0)2) 2! CX =f(x0)+ (x-x0)2+o(x-x0)2) 得到 f(x)-f(x0) 20=0f"(x)+ o(x-x0)2 (x-x0) 因为当x→x时上式右侧第二项趋于0,所以当f(x)0的情况 证毕
证 (1)的结论显然，我们只证(2)。 因为 0 f x ′()0 = ，由 Taylor 公式 = xfxf 0 )()( + f ′( 0 x ) !2 )( )( 0 0 xf xx ′′ +− +− 2 0 xx )( ))(( 2 0 − xxo = xf 0 )( + !2 )( 0 ′′ xf +− 2 0 xx )( ))(( 2 0 − xxo 得到 0 2 0 () ( ) ( ) fx fx x x − = − 2 0 2 0 0 )( ))(( )( !21 xx xxo xf −− ′′ + 。 因为当 0 → xx 时上式右侧第二项趋于 0，所以当 0)(′′ xf 0 的情况。 证毕
关于定理551中(2)(ii),可分别考察函数y=x4,y=-x4和 y=x3。x=0是y=x4的极小值点,是y=-x4的极大值点,而不是y=x 的极值点。但它们都满足y(0)=0和y(0)=0的条件
关于定理 5.5.1 中(2)(iii)，可分别考察函数 4 = xy , 4 −= xy 和 3 = xy 。x = 0是 4 = xy 的极小值点，是 4 −= xy 的极大值点，而不是 3 = xy 的极值点。但它们都满足 y′ = 0)0( 和 y′′ = 0)0( 的条件
关于定理551中(2)(ii),可分别考察函数y=x4,y=-x4和 y=x3。x=0是y=x+的极小值点,是y=-x4的极大值点,而不是y=x 的极值点。但它们都满足y(0)=0和y(0)=0的条件。 例5.5.1求函数f(x)=V(2x-x2)2的极值 解函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)。由 4 f(x)=(2x-x2)3(1-x), 可知f(x)的驻点为x=1,使得f(x)不存在的点为x=0和x=2。由于 (1)当-∞0 (3)当10, 由定理55,1中(1)的结论知f(0)=0是极小值,f()=1是极大值, f(2)=0是极小值
例 5.5.1 求函数 3 22 −= xxxf )2()( 的极值。 解 函数 xf )( 的定义域为 −∞ +∞),( 。由 )1()2( 34 )( 31- 2 ′ −−= xxxxf ， 可知 xf )( 的驻点为x = 1，使得 ′ xf )( 不存在的点为x = 0和x = 2。由于 （1） 当 ∞− 0)( ； （3） 当 0)( ， 由定理 5.5.1 中(1)的结论知 f = 0)0( 是极小值， f = 1)1( 是极大值， f = 0)2( 是极小值。 关于定理 5.5.1 中(2)(iii)，可分别考察函数 4 = xy , 4 −= xy 和 3 = xy 。x = 0是 4 = xy 的极小值点，是 4 −= xy 的极大值点，而不是 3 = xy 的极值点。但它们都满足 y′ = 0)0( 和 y′′ = 0)0( 的条件
例5.5.2求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值。 解函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)。计算得 f(x)=6x(x2-1)2,f"(x)=6(x2-1)5x2-1)。 显然f(x)的驻点为x=0,x=1和x=-1。由于f(0)=6>0,所以由定理 551中(2)的结论知f(0)=0是极小值 由于f(1)=0,不能用定理551中(2)的结论。但由于f(x)在 x=1与x=-1的左、右两侧保持同号,由定理5.5.1中(1)的结论,知f(1) 和f(-1)都不是函数f(x)的极值
例 5.5.2 求函数 1)1()( 32 xxf +−= 的极值。 解 函数 xf )( 的定义域为 −∞ +∞),( 。计算得 22 ′ xxxf −= )1(6)( ， )15)(1(6)( 2 2 ′′ xxxf −−= 。 显然 xf )( 的驻点为x = 0，x = 1和 x = −1。由于 f ′′ = > 06)0( ，所以由定理 5.5.1 中(2)的结论知 f = 0)0( 是极小值。 由于 f ′′ ± = 0)1( ，不能用定理 5.5.1 中(2)的结论。 但由于 ′ xf )( 在 x = 1与 x −= 1的左、右两侧保持同号，由定理 5.5.1 中(1)的结论，知 f )1( 和 f − )1( 都不是函数 xf )( 的极值
最值问题 闭区间上的连续函数必定能取到最大值与最小值, 函数的最大值与最小值统称为函数的最值,使函数取到最大值 (或最小值)的点称为函数的最大值点(或最小值点),也称为函数 的最值点。 对于一个定义于闭区间[a,b]上的函数f(x)来说,区间的两个端点 a与b有可能成为它的最值点。同时,若最值点属于开区间(a,b)的话, 那它一定是函数的极值点。因此,只要找出所有f(x)的驻点与使f(x 不存在的点,再加上区间的端点,从中找出使函数取最大值或最小值 的点就可以了
最值问题 闭区间上的连续函数必定能取到最大值与最小值。 函数的最大值与最小值统称为函数的最值，使函数取到最大值 （或最小值）的点称为函数的最大值点（或最小值点），也称为函数 的最值点。 对于一个定义于闭区间[ ,ba ]上的函数 f x( )来说，区间的两个端点 a与b 有可能成为它的最值点。同时，若最值点属于开区间( ,ba )的话， 那它一定是函数的极值点。因此，只要找出所有 xf )( 的驻点与使 f x ′( ) 不存在的点，再加上区间的端点，从中找出使函数取最大值或最小值 的点就可以了
例55.3求函数(x)=V(2x-x2)2在区间[1上的最大值与最小 值 解由例5.5.1,已知函数f(x)在区间[14]上的极大值点为x=1, 极大值为f()=1,极小值点为x=0与x=2,两个极小值都为0。为了 求最大值与最小值,还须加上函数在区间端点的值f(-1)=9与 f(4)=4。对这些值进行比较,就得到函数f(x)在区间[-14]上的最大 值点为x=4,最大值为f(4)=4,最小值点为x=0与x=2,最小值为0
例 5.5.3 求函数 3 22 −= xxxf )2()( 在区间[− 4,1 ]上的最大值与最小 值。 解 由例 5.5.1，已知函数 xf )( 在区间[ ] − 4,1 上的极大值点为x = 1， 极大值为 f = 1)1( ，极小值点为x = 0与 x = 2，两个极小值都为0。为了 求最大值与最小值，还须加上函数在区间端点的值 3 f =− 9)1( 与 f = 4)4( 。对这些值进行比较，就得到函数 xf )( 在区间[− 4,1 ]上的最大 值点为x = 4，最大值为 f = 4)4( ，最小值点为x = 0与 x = 2，最小值为 0
例5.5.4用铝合金制造容积固定的圆柱形罐头,罐身(侧面和 底部)用整块材料拉制而成,顶盖是另装上去的,设顶盖的厚度是罐 身厚度的三倍。问如何确定它的底面半径和高才能使得用料最省? 解设罐身的厚度为δ,则顶盖的厚度是3δ。 记罐头的容积为v,底面半径为r,则高为h=2。于是,罐身的 用料为 )+2m+2 顶盖的用料为 U2(r)=36mr2, 因此问题化为求函数 U(r)=U1(r)+U2()=4m2+2-,r∈(0,+∞) 的最小值
例 5.5.4 用铝合金制造容积固定的圆柱形罐头，罐身（侧面和 底部）用整块材料拉制而成，顶盖是另装上去的，设顶盖的厚度是罐 身厚度的三倍。问如何确定它的底面半径和高才能使得用料最省？ 解 设罐身的厚度为δ ，则顶盖的厚度是 3δ 。 记罐头的容积为V ，底面半径为r ，则高为h V r = π 2 。于是，罐身的 用料为 )( ( ) 2 ,2 2 2 1 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ +=+= rV πδππδ rrhrrU 顶盖的用料为 Ur r 2 2 () , = δπ 3 因此问题化为求函数 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ +=+= rV rrUrUrU 24)()()( 2 1 2 πδ ，r ∈ +∞),0( 的最小值
