习题14.1 1.求下列第一类曲线积分 ()(x+y)d,其中L是以O0),4(10),B(0)为顶点的三角形 (2)yds,其中L为单位圆周x2+y2=1 (y)Jxds,其中L为星形线x23+y23=a3 (4)j「x|ds,其中L为双纽线(x2+y2)2=x2-y2 j(x2+y2+=2)d,L为螺旋线x=ac,y= a sin t==b,051≤27x 的一段 (6)「 xyzds。其中L为曲线x=1,y= 3,z=12上相应于t从0变到1的 段弧 (7)(xy+yz+x)ds,其中L为球面x2+y2+2=a2和平面x+y+z=0的 交线 2.求椭圆周x= a cost,y= bsin t,0≤t≤2的质量,已知曲线在点M(x,y)处的 线密度是p(x,y)=ly 3.求下列曲面的面积: (1)z=axy包含在圆柱面x2+y2=a2(a>0)内的部分 ()锥面x2+y2==2被平面x+y+2=20(a>0所截的部分 (3)球面x2+y2+x2=a2包含在锥面z=√x2+y2内的部分 (4)圆柱面x2+y2=a2被两平面x+z=0,x-z=0(x>0,y>0)所截部分 (5)抛物面x2+y2=2a2包含在柱面(x2+y2)2=2a2xy(a>0)内的那部分 x=(b+acos o)cosp (6)环面{y=(b+ a cos g)sin,0≤≤2x,0≤9≤2x,其中0<a<b ==asin p, 4.求下列第一类曲面积分: ()j(x+y+)ds,其中是左半球面x2+y2+2=a2,ys0; ()jx+y2)d,其中Σ是区域{(xy=√x+y2≤≤的边界 (3)(xy+y2+x)4S,∑是锥面z=√x2+y2被柱面x2+y2=2ax所截部 dS,其中∑是圆柱面x2+y2=a2介于平面z=0与z=H 之间的部分;
习 题 14.1 1. 求下列第一类曲线积分： (1) ∫ + ，其中L 是以 L (x y)ds O(0,0), A(1 0, ), B(0 1, ) 为顶点的三角形； (2) ∫ ，其中L 为单位圆周 ； L | y | ds 1 2 2 x + y = (3) ∫ ，其中L 为星形线 ； L x ds 1/ 3 | | 2 / 3 2 / 3 2 / 3 x + y = a (4) ∫ ，其中L 为双纽线 ； L | x | ds 2 2 2 2 2 (x + y ) = x − y (5) ∫ + + ， 为螺旋线 L (x y z )ds 2 2 2 L x a = cost, y = a sin t, z = ≤ bt, 0 t ≤ 2π ； 的一段： (6) ∫ 。其中 为曲线 L xyzds L 2 3 2 1 , 3 2 2 , z t t x = t y = = 上相应于 从 0 变到 1 的 一段弧； t (7) ∫ + + ，其中 为球面 和平面 L (xy yz zx)ds L x y z a 2 2 2 + + = 2 x + +y z = 0 的 交线。 2. 求椭圆周 x a = = cost, y b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π 的质量，已知曲线在点 M( , x y) 处的 线密度是 ρ( , x y) =| y|。 3. 求下列曲面的面积： (1) z a = xy 包含在圆柱面 x y a 内的部分； 2 2 2 + = (a > 0) (2) 锥面 x y z 2 2 1 3 + = 2 被平面 x + y z + = 2a (a > 0) 所截的部分； (3) 球面 包含在锥面 2 2 2 2 x + y + z = a 2 2 z = x + y 内的部分； (4) 圆柱面 x y a 被两平面 2 2 + = 2 x + z = 0 0 , ( x − z = x > 0, y > 0) z 2 2 2 2 + = 2 ) 所截部分； (5) 抛物面 x y a 包含在柱面 内的那部分； 2 2 + = 2 ( ) x y a xy (a > 0 (6) 环面 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + = + sin , ( cos )sin , ( cos ) cos , φ φ ϕ φ ϕ z a y b a x b a 0 2 ≤ φ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ，其中0 < a < b 。 4. 求下列第一类曲面积分： (1) ∫∫ ，其中∑是左半球面 ， ； Σ (x + y + z)dS x y z a 2 2 2 + + = 2 y ≤ 0 (2) ∫∫ ，其中∑是区域 Σ (x + y )dS 2 2 {(x y, ,z)| x y z } 2 2 + ≤ ≤ 1 的边界； (3) ∫∫ ，∑是锥面 Σ (xy + yz + zx)dS z x = + y 2 2 被柱面 x 所截部 分； x y a 2 2 + = 2 (4) ∫∫ Σ + + dS x y z 2 2 2 1 ，其中∑是圆柱面 x y a 介于平面 与 2 2 + = 2 z = 0 z = H 之间的部分； 1
(5) dS,其中∑是球面x2+y =a: 6/x2+y2+s,其中∑是抛物面2=x2+y2介于平面二=0与二=8之 间的部分; (7)「ds,其中Σ是螺旋面x=vcos,y=usin,z=v,0≤u≤a, 0≤v≤2丌的一部分。 5.设球面∑的半径为R,球心在球面x2+y2+2=a2上。问当R何值时,Σ在球面 x2+y2+z2=a2内部的面积最大?并求该最大面积。 6.求密度为p(x,y)=z的抛物面壳z=(x2+y2),0≤z≤1的质量与重心 7.求均匀球面(半径是a,密度是1)对不在该球面上的质点(质量为1)的引力。 8.设(x,y,-)为连续函数,它在M(x0,y0,0)处有连续的二阶导数。记∑为以M点 为中心,半径为R的球面,以及 4rD fux,y,=)dS (1)证明:limT(R)=(x0,y0,=0); 02u a2ua2u (2)若( ≠0,求当R→0时无穷小量 7(R)-l(x0,y0,=a0)的主要部分 0.设E为上半椭球面2+2+2=1(=20,x为∑在点P(xy,处的切平面 p(x,y,=)为原点O(0,0,0)到平面x的距离,求 ds P(x,y,= 10.设Σ是单位球面x2+y2+2=1。证明 f(ax+by+cr)dS=2r[, f(ua2+b2+c2)du 其中abc为不全为零的常数,f(n)是l√a2+b2+c2上的一元连续函数 11.设有一高度为h()(t为时间)的雪堆在溶化过程中,其侧面满足方程(设长度单 位为cm,时间单位为h) =h(t) 2( h(e 已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9)。问高度为130cm的雪堆全部 融化需多少时间? 习题14.2 1.求下列第二类曲线积分: (1)∫(x2+y2)+(x2-y2),其中L是以4(10.,B(20)C(2,D(1) 为顶点的正方形,方向为逆时针方向
(5) ∫∫ Σ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + dS x y z 2 3 4 2 2 2 ，其中∑是球面 ； 2 2 2 2 x + y + z = a (6) ，其中∑是抛物面 介于平面 与 之 间的部分； ( ∫∫ Σ x + y + z dS 3 2 ) 2 2 2z = x + y z = 0 z = 8 (7) ∫∫ ，其中∑ 是螺旋面 Σ zdS x u = cosv, y = u sin v, z = ≤ v, 0 u ≤ a ， 0 ≤ v ≤ 2π 的一部分。 5．设球面Σ 的半径为 R ，球心在球面 上。问当 2 2 2 2 x + y + z = a R 何值时，Σ 在球面 内部的面积最大？并求该最大面积。 2 2 2 y 2 x + + z = a 6. 求密度为 ρ( , x y) = z 的抛物面壳 z x = + y ≤ z ≤ 1 2 0 2 2 ( ), 1的质量与重心。 7． 求均匀球面（半径是a ，密度是 1）对不在该球面上的质点（质量为 1）的引力。 8．设u( , x y z, ) 为连续函数，它在 M x( , 0 0 y ,z0 ) 处有连续的二阶导数。记∑为以 M 点 为中心，半径为 R 的球面，以及 ∫∫ Σ π = u x y z dS R T R ( , , ) 4 1 ( ) 2 。 （1）证明：lim ( ) ( , , ) ； R T R u x y z → = 0 0 0 0 （2）若( ) 0 ( , , ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 + + ≠ x y z z u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ，求当 R → 0时无穷小量 T R( ) − u(x , y ,z ) 0 0 0 的主要部分。 9. 设Σ 为上半椭球面 1 2 2 2 2 2 + + z = x y （ z ≥ 0 ），π 为Σ 在点 P(x, y,z) 处的切平面， ρ(x, y,z) 为原点O(0,0,0) 到平面π 的距离，求 ∫∫ Σ dS x y z z ρ( , , ) 。 10. 设Σ 是单位球面 1。证明 2 2 2 x + y + z = ∫∫ ∫ − Σ + + = + + 1 1 2 2 2 f (ax by cz)dS 2π f (u a b c )du ， 其中 a,b, c 为不全为零的常数， f (u) 是 2 2 2 | u |≤ a + b + c 上的一元连续函数。 11．设有一高度为 （t 为时间）的雪堆在溶化过程中，其侧面满足方程（设长度单 位为 cm，时间单位为 h） h(t) ( ) 2( ) ( ) 2 2 h t x y z h t + = − 。 已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数 0.9）。问高度为 130cm 的雪堆全部 融化需多少时间？ 习 题 14.2 1. 求下列第二类曲线积分： （1） ∫ + + − ，其中 是以 L (x y )dx (x y )dy 2 2 2 2 L A(1 0, ), B(2,0), C(2,1), D(1,1) 为顶点的正方形，方向为逆时针方向； 2
(2)「(x2-2x)dk+(y2-2x)如,其中L是抛物线的一段: y=x2,-1≤x≤1,方向由(-11)到(1,1) (x+y)dx-(x-y)dy ,其中L是圆周x2+y2=a2,方向为逆时针方 向 (4)「ya-xd+(x2+y2),其中L是曲线x=e,y=e',==a', 0≤t≤1,方向由(e,e-,a)到(1,1,1) (5)x+y+(x+y-1),L是从点(111)到点(2,34)的直线段 (6)|yax+zdy+xd,L为曲线 +y+==2az, x+r=a(a>O) 若从z轴的正向看 去,L的方向为逆时针方向 (7)(-)+(=-x)+(x-y),L为圆周 1, y=xana(0<a<r), 若从x轴的正向看去,这个圆周的方向为是逆时针方向 2.证明不等式 P(, y)dx+O(x, y )dys MC 其中C是曲线L的弧长,M=max{yP2(x,y)+Q2(x,y)xy)∈L}。记圆周 x2+y2=R2为L,利用以上不等式估计 并证明 lim I=0 3.方向依纵轴的负方向,且大小等于作用点的横坐标的平方的力构成一个力场。求质 量为m的质点沿抛物 从点(1,0)移到(0,1)时,场力所作的功 4.计算下列第二类曲面积分 (1)jx+y)d+(y+)dd+(=+x)dod,其中x是中心在原点,边长 为2h的立方体[-h,h×[-h,h×[-h,的表面,方向取外侧 (2) lynd=dx,其中是椭球面n+b2+2=1的上半部分,方向取上侧 (3)d+ xdEdx+yd,其中x是柱面x2+y2=1被平面=0和=4 所截部分,方向取外侧 (4)xd+3od,其中E是抛物面二=4-x2-y2在=20部分,方向 取下侧 ∫xy,)+xd+p2f(x,y2)+y]d+[(xy)+d,其
（2） ，其中 是抛物 线的一 段 ： ，方向由 ∫ − + − L (x 2xy)dx ( y 2xy)dy 2 2 L y x = − ≤ x ≤ 2 , 1 1 (−11, ) 到( , 11) ； （3） ∫ + + − − L 2 2 ( ) ( ) x y x y dx x y dy ，其中 是圆周 ，方向为逆时针方 向； L x y a 2 2 + = 2 （4） ∫ − + + ，其中 L 是曲线 ， L ydx xdy (x y )dz 2 2 t t t x = e y = e z = a − , , 0 ≤ t ≤ 1，方向由( , e e ,a) 到 ； −1 ( , 111, ) （5） ∫ + + + − ， 是从点 到点 的直线段； L xdx ydy (x y 1)dz L (111 , , ) ( , 2 3,4) （6） ， 为曲线 若从 轴的正向看 去， 的方向为逆时针方向； ∫ + + L ydx zdy xdz L ⎩ ⎨ ⎧ + = > + + = ( 0), 2 , 2 2 2 x z a a x y z az z L （7） ∫ − + − + − ，L 为圆周 L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz ⎩ ⎨ ⎧ = < < + + = tan (0 ), 1, 2 2 2 y x α α π x y z 若从 x 轴的正向看去，这个圆周的方向为是逆时针方向。 2. 证明不等式 P x y dx + Q x y dy ≤ MC ∫ L ( , ) ( , ) ， 其中 C 是曲线 L 的弧长， max{ ( , ) ( , ) |( , ) } 2 2 M = P x y + Q x y x y ∈ L 。记圆周 x y R 为 ，利用以上不等式估计 2 2 2 + = LR ( ) ∫ + + − = R R x xy y ydx xdy I L 2 2 2 ， 并证明 lim R R I →+∞ = 0 。 3. 方向依纵轴的负方向，且大小等于作用点的横坐标的平方的力构成一个力场。求质 量为m 的质点沿抛物线 y x 从点 移到 时，场力所作的功。 2 = −1 ( , 1 0) ( , 0 1) 4. 计算下列第二类曲面积分： （1） ，其中Σ是中心在原点，边长 为2 的立方体[ , ∫∫ Σ (x + y)dydz + ( y + z)dzdx + (z + x)dxdy h −h h] × [−h h, ] × [ , −h h] 的表面，方向取外侧； （2） ∫∫ ，其中Σ是椭球面 Σ yzdzdx x a y b z c 2 2 2 2 2 + + 2 = 1的上半部分，方向取上侧； （3）∫∫ ，其中Σ是柱面 被平面 和 所截部分，方向取外侧； Σ zdydz + xdzdx + ydxdy x y 2 2 + = 1 z = 0 z = 4 （4） ，其中Σ是抛物面 在 部分，方向 取下侧； ∫∫ Σ zxdydz + 3dxdy z x = − 4 −2 2 y z ≥ 0 （5） [ ] [ ] [ ] ∫∫ Σ f (x, y,z) + x dydz + 2 f (x, y,z) + y dzdx + f (x, y,z) + z dxdy ，其 3
中f(x,y,2)为连续函数,E是平面x-y+2=1在第四卦限部分,方向 取上侧 (6)∫x2d+y2ddx+(=2+5)dhy,其中x是锥面=√x2+y (0≤z≤h),方向取下侧 (7) dzdx,其中Σ是抛物面y=x2+2与平面y=1,y=2所 围立体的表面,方向取外侧。 (8) ∫+da+dh,其中为椭球面+)+=1,方向 取外侧 (9)「xb+ydax+=2dd,其中∑是球面(x-a)2+(y-b)2+ (z-c)2=R2,方向取外侧。 习题14.3 1.利用 Green公式计算下列积分: (1)j(x+y)ax-(x2+y2)d,其中L是以41),B(32,C(25)为顶点的 角形的边界,逆时针方向 (2)∫x2a-x2ydp,其中L是圆周x2+y2=a2,逆时针方向 (3) j x+2snx-ye+(snx-22,其中L是星形 线x3+y3=a3(a>0),逆时针方向; (4)∫e-cosy)x-(y-smyM小],其中L是曲线y=sinx上从(0)到 (x0)的一段; (5)∫(2-y-(+sm2y),其中L是圆周x2+y2=2x的上半部分, 方向从点(0,0)到点(2,0); (6) ∫ le"sin y-b0x+y)+( e cosy-axy,其中a,b是正常数,L为从 点A(2a,0)沿曲线y=√2ax-x2到点O(00)的一段: cdy- ya 其中L是以点(10)为中心,R为半径的圆周(R>1),逆 4x-+y 时针方向 (8)「(x-y)在+(x+),其中L为单位圆周x2+y2=1,逆时针方向: (9) [Gxsin y- cos y)dx+(xcos y-ysin y)dy 其中L是包围原点的
中 f x( , y,z) 为连续函数，Σ是平面 x − y z + = 1在第四卦限部分，方向 取上侧； （6） ∫∫ ，其中 Σ 是锥面 Σ x dydz + y dzdx + (z + 5)dxdy 2 2 2 2 2 z = x + y （0 ≤ z ≤ h ），方向取下侧。 （7） ∫∫ Σ + dzdx z x e y 2 2 ，其中Σ是抛物面 与平面 ， 所 围立体的表面，方向取外侧。 2 2 y = x + z y = 1 y = 2 （8） ∫∫ Σ + + dxdy z dzdx y dydz x 1 1 1 ，其中Σ为椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x ，方向 取外侧； （9） ，其中 Σ 是球面 ，方向取外侧。 ∫∫ Σ x dydz + y dzdx + z dxdy 2 2 2 − + − + 2 2 (x a) ( y b) 2 2 (z − c) = R 习 题 14.3 1． 利用 Green 公式计算下列积分： （1） ∫ + − + ，其中 是以 L (x y) dx (x y )dy 2 2 2 L A(11, ), B(3,2), C(2,5) 为顶点的 三角形的边界，逆时针方向； （2） ∫ − ，其中 是圆周 ，逆时针方向； L xy dx x ydy 2 2 L x y a 2 2 + = 2 （3） ( ) ( ) ∫ + − + − L x y x xy x y e dx x x ye dy x x cos 2 sin sin 2 2 2 2 ，其中 L 是星形 线 ( 0) 3 2 3 2 3 2 x + y = a a > ，逆时针方向； （4） [( ) ( ) ∫ − − − L e y dx y y dy x 1 cos sin ]，其中 L 是曲线 y x = sin 上从 ( , 0 0) 到 ( , π 0)的一段； （5） ( ) ( ) ∫ − − + L x y dx x y dy 2 2 sin ，其中 是圆周 的上半部分， 方向从点 到点 ； L x y 2 2 + = 2x ( , 0 0) (2,0) （6） [ ] ( ) ∫ − + + − L e y b x y dx e y ax dy x x sin ( ) cos ，其中 是正常数，L 为从 点 沿曲线 a,b A(2a,0) 2 y = 2ax − x 到点O(0,0)的一段； （7） ∫ + − L 2 2 4x y xdy ydx ，其中L 是以点(1,0) 为中心，R 为半径的圆周（ R > 1），逆 时针方向； （8） ∫ + − + + L 2 2 4 ( ) ( 4 ) x y x y dx x y dy ，其中L 为单位圆周 1，逆时针方向； 2 2 x + y = （9） [ ] ∫ + − + − L 2 2 ( sin cos ) ( cos sin ) x y e x y y y dx x y y y dy x ，其中L 是包围原点的 4
简单光滑闭曲线,逆时针方向。 2.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积: (1)星形线x=acos3t,y=asin3t (2)抛物线(x+y)2=ax(a>0)与x轴 (3)旋轮线的一段 x=a(t-sinn) t∈[0,2x]与x轴 y=a(1-cost), 3.先证明曲线积分与路径无关,再计算积分值 (1) (x-y(dx-dy (2)J,o(x)dx+(y)小y,其中φ(x),(y)为连续函数 (6,8)xdx+ydy (3) ,沿不通过原点的路径 4.证明(2 cosy+y2cosx)dx+(2 sinx-x2siny)dhy在整个xy平面上是某个函数的 全微分,并找出这样一个原函数。 5.证明xdx+y在除去y的负半轴及原点的裂缝xy平面上是某个函数的全微分,并找出 这样一个原函数 6.设Q(xy)在x平面上具有连续偏导数,曲线积分∫2x+xy)与路径无关,并 且对任意恒有2x+gx,y)=2+qx,y)dy,求Q(x,y) 0) 7.确定常数λ,使得右半平面x>0上的向量函数r(x,y)=2xy(x+y)i x2(x4+y2)2j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y) 8.设一力场为F=(3x2y+8xy2)i+(x3+8x2y+12ye),证明质点在此场内移动时, 场力所作的功与路径无关。 9.利用 Gauss公式计算下列曲面积分: (1)x2bh+y+h,为立方体0≤x,y:≤a的表面,方向取外侧: (2)(x-y+2)d+(y-:+x)ld+(-x+y)dh,其中E为闭曲面 x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1,方向取外侧 (3)』(x2cosa+y2cos+=2cosy)dS,其中E为锥面二2=x2+y2介于平面 二=0与z=h(h>0)之间的部分,方向取下侧 (4) xdhd+yddx+zhxd,其中卫为上半球面=√R2-x2-y2,方向取上 侧 (5)2(1-x2)dd+8xdax-4adxd,其中是由xy平面上的曲线 x=e"(0≤y≤a)绕x轴旋转而成的旋转面,曲面的法向量与x轴的正向的夹 角为钝角 (6)‖(2x+)dd+dtdy,其中Σ是曲面z=x2+y2(0≤≤1),曲面的法 向量与z轴的正向的夹角为锐角;
简单光滑闭曲线，逆时针方向。 2． 利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： （1） 星形线 x a = cos t, y = a sin t ； 3 3 （2） 抛物线( ) x y + = ax (a > ) 与 2 0 x 轴； （3） 旋轮线的一段： ⎩ ⎨ ⎧ = − = − (1 cos ), ( sin ), y a t x a t t t ∈[ , 0 2π] 与 x 轴。 3. 先证明曲线积分与路径无关，再计算积分值： （1） ( )( ； ( , ) ( , ) x − y dx − dy ∫ 0 0 1 1 ) （2） ϕ( ) φ( ) ，其中 ( , ) ( , ) x dx + y dy ∫ 2 1 1 2 ϕ( ) x , φ( y) 为连续函数； （3） xdx ydy x y + + ∫ 1 0 2 2 6 8 ( , ) ( , ) ，沿不通过原点的路径。 4．证明( c 2 os cos ) (2 sin sin ) 在整个 2 x y + + y x dx y x − x y dy 2 xy 平面上是某个函数的 全微分，并找出这样一个原函数。 5．证明 xdx ydy x y + +2 2 在除去 y 的负半轴及原点的裂缝 xy 平面上是某个函数的全微分，并找出 这样一个原函数。 6．设Q(x, y) 在 xy 平面上具有连续偏导数，曲线积分 与路径无关，并 且对任意 恒有 ，求 。 ∫ + L 2xydx Q(x, y)dy t ∫ ∫ + = + (1, ) (0, 0) ( ,1) (0, 0) 2 ( , ) 2 ( , ) t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy Q(x, y) 7 ． 确定常 数 λ ，使得右半平 面 上的向 量函数 为某二元函数 的梯度，并求 。 x > 0 r i λ ( , ) 2 ( ) 4 2 x y = xy x + y j λ ( ) 2 4 2 − x x + y u(x, y) u(x, y) 8．设一力场为 ，证明质点在此场内移动时， 场力所作的功与路径无关。 F (3 8 )i ( 8 12 ) j 2 2 3 2 y = x y + xy + x + x y + ye 9．利用 Gauss 公式计算下列曲面积分： （1） ∫∫ x 2 2 dydz + + y dzdx z 2 dxdy ，Σ为立方体 Σ 0 ≤ x, , y z ≤ a 的表面，方向取外侧； （2） ∫∫ ( ) x − + y z dydz + ( ) y − z + x dzdx + (z − x + y)dxdy ，其中 Σ 为闭曲面 Σ | x − y + z |+| y − z + x |+| z − x + y |= 1，方向取外侧； （3） ，其中Σ为锥面 介于平面 与 之间的部分，方向取下侧； ( ) x y z 2 2 2 cosα β + + cos cosγ ∫∫ Σ dS 2 ) z x y 2 2 = + z = 0 z h = (h > 0 （4） ∫∫ xdydz + + ydzdx zdxdy ，其中Σ为上半球面 Σ z R = − x − y 2 2 2 ，方向取上 侧； （5） ∫∫ 2 1( ) −+− x 2 dydz 8xydzdx 4zxdxdy ，其中 Σ 是 由 Σ xy 平 面 上的曲线 x e y a 绕 y = ≤ (0 ≤ ) x 轴旋转而成的旋转面，曲面的法向量与 轴的正向的夹 角为钝角。 x （6） ∫∫ ，其中Σ是曲面 （ Σ (2x + z)dydz + zdxdy 2 2 z = x + y 0 ≤ z ≤ 1），曲面的法 向量与 z 轴的正向的夹角为锐角； 5
(7) axdydz+(a+z)dxdy (x2+y2+2)2-(a>0),其中∑是下半球面= 方向取上侧; (8)[d2+x在+d山,其中∑是 (x2+y2+2)32 i)椭球面x2+2y2+32=1,方向取外侧 i)抛物面l-三=(x-2)2,(y-1)2 (二≥0),方向取上侧。 10.利用 Gauss公式证明阿基米德原理:将物体全部浸没在液体中时,物体所受的浮力等 于与物体同体积的液体的重量,而方向是垂直向上的 11.设某种流体的速度场为ν=yzi+x+xk,求单位时间内流体 (1)流过圆柱:x2+y2≤a2,0≤z≤h的侧面(方向取外侧)的流量 (2)流过该圆柱的全表面(方向取外侧)的流量。 12.利用 Stokes公式计算下列曲线积分: (1)y+db+xt,其中L是球面x2+y2+2=a2与平面x+y+二=0的交 线(它是圆周),从x轴的正向看去,此圆周的方向是逆时针方向 (2)j3x+5od-2y,其中L是圆柱面x2+y2=1与平面z=y+3的交线(它 是椭圆),从z轴的正向看去,是逆时针方向 (3)中(y--)x+(x-x)dy+(x-y)l,其中L为圆柱面x2+y2=a2和平面 +=1(a>0.h>0)的交线(它是椭圆),从x轴的正向看去,是逆时针方向 3 )「(y2-=2)x+(2-x2)+(x2-y2),其中L是用平面x+y+z=截 立方体0≤x,y,z≤1的表面所得的截痕,从x轴的正向看去,是逆时针方向 (5)(x2-y)d+(y2-x)d+(x2-xy)d,其中L是沿着螺线 x= a cos p,y=asin,z=从点A(a,0,0)至点B(a,O,h)的路径: (6)j(2-=2)dk+(2-x)d+(3x2-y2)k,其中L是平面x+y+=2与 柱面|x|+|yF=1的交线,从z轴的正向看去,是逆时针方向 13.设f()是R上恒为正值的连续函数,L是逆时针方向的圆周(x-a)2+(y-a)2=1。 证明 xf(y )a x≥2 14.设D为两条直线y=x,y=4x和两条双曲线xy=1,xy=4所围成的区域,F(u)是 具有连续导数的一元函数,记f(n)=F'(u)。证明 d=hn2”f(u)dh, 其中OD的方向为逆时针方向 15.证明:若Σ为封闭曲面,I为一固定向量,则
（7） ∫∫ Σ + + + + 2 2 2 1/ 2 2 ( ) ( ) x y z axdydz a z dxdy（ a > 0 ），其中Σ是下半球面 2 2 2 z = − a − x − y ， 方向取上侧； （8） ∫∫ Σ + + + + 2 2 2 3 / 2 (x y z ) xdydz ydzdx zdxdy ，其中Σ是 i）椭球面 2 3 1，方向取外侧； 2 2 2 x + y + z = ii）抛物面 + − − = 16 ( 2) 5 1 2 z x ( 0) 9 ( 1) 2 ≥ − z y ，方向取上侧。 10． 利用 Gauss 公式证明阿基米德原理：将物体全部浸没在液体中时，物体所受的浮力等 于与物体同体积的液体的重量，而方向是垂直向上的。 11．设某种流体的速度场为v = yzi + xzj + xyk ，求单位时间内流体 （1） 流过圆柱： xya z 的侧面（方向取外侧）的流量； 2 2 2 + ≤ , 0 ≤ ≤ h 2 （2） 流过该圆柱的全表面（方向取外侧）的流量。 12．利用 Stokes 公式计算下列曲线积分： （1） ∫ + + ，其中 是球面 与平面 L ydx zdy xdz L x y z a 2 2 2 + + = x + +y z = 0 的交 线（它是圆周），从 x 轴的正向看去，此圆周的方向是逆时针方向； （2）∫ + − ，其中 是圆柱面 与平面 L 3zdx 5xdy 2ydz L x y 2 2 + = 1 z y = + 3的交线（它 是椭圆），从 z 轴的正向看去，是逆时针方向； （3） ∫ − + − + − L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz ，其中 L 为圆柱面 x y a 和平面 2 2 + = 2 x a z h + = 1 0 ( , a h > > 0) 的交线（它是椭圆），从 x 轴的正向看去，是逆时针方向； （4） ∫ − + − + − ，其中 是用平面 L ( y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 L x y + + z = 3 2 截 立方体0 ≤ x, , y z ≤ 1的表面所得的截痕，从 x 轴的正向看去，是逆时针方向； （5） ∫ − + − + − ，其中 是沿着螺线 L (x yz)dx ( y xz)dy (z xy)dz 2 2 2 L x = a cosϕ ， ϕ π ϕ 2 sin , h y = a z = 从点 A a( ,0 0, ) 至点 B a( ,0,h) 的路径； （6） ，其中 是平面 与 柱面 ∫ − + − + − L ( y z )dx (2z x )dy (3x y )dz 2 2 2 2 2 2 L x + y + z = 2 | x | + | y |= 1的交线，从 z 轴的正向看去，是逆时针方向。 13．设 f (t) 是 R 上恒为正值的连续函数，L 是逆时针方向的圆周 。 证明 ( ) ( ) 1 2 2 x − a + y − a = 2π ( ) ( ) − ≥ ∫ dx f x y xf y dy L 。 14．设D为两条直线 y = x ，y = 4x 和两条双曲线 xy = 1，xy = 4 所围成的区域， 是 具有连续导数的一元函数，记 F(u) f (u) = F′(u) 。证明 ∫ ∫ = ∂ 4 1 ln 2 ( ) ( ) dy f u du y F xy D ， 其中∂D 的方向为逆时针方向。 15．证明：若Σ为封闭曲面， l 为一固定向量，则 6
∫ jcos(n, )ds=0 其中n为曲面∑的单位外法向量 16.设区域Ω由分片光滑封闭曲面∑所围成。证明: dxdydz =l cos(r, n)ds 其中n为曲面E的单位外法向量,r=(x,y),r=√x2+y2+2。 17.设函数P(x,y,z),Q(x,y,)和R(x,y,=)在R上具有连续偏导数。且对于任意光滑曲 面∑,成立 ∫ph+ghd+Rhdy=0 证明:在R3上 aP a0 OR 0 8.设L是平面 x cos a+ ncos B+ =cosy-p=0上的简单闭曲线,它所包围的区域D的 面积为S,其中(cosa,cosB,cosy)是平面取定方向上的单位向量。证明 ds S=lcos cos B cosy y 其中L的定向与平面的定向符合右手定则 习题14.4 1.计算下列微分形式的外微分 1)1-形式O=2xdx+x2dh (2)1-形式 2形式O=6dxAd-xaxA在 2.设O=a1(x1)dx1+a2(x2)dx2+…+an(xn)dxn是R”上的1-形式,求do 3.设O=a1(x2,x)dx2dx3+a2(x1,x3)dx3Adtx+a3(x1,x2)dtr1∧dx2是R上 的2形式,求do 4.设在R3上在一个开区域Ω=(a,b)×(c,d)x(e,∫)上定义了具有连续导数的函 (y),试求形如 o=b,()dx+b2(=)dy+b(x)da 的1-形式O,使得 do=a, (=)dy ad=+a2(x)d=Adx+a3 ()dx A dy )是R"上的2-形式,证明 d
cos( , ) = 0 ∫∫ Σ n l dS ， 其中n为曲面Σ的单位外法向量。 16．设区域Ω 由分片光滑封闭曲面Σ 所围成。证明： ∫∫∫ ∫∫ Ω Σ = dS r dxdydz cos( , ) 2 1 r n , 其中 n为曲面Σ的单位外法向量, r = (x, y,z) ， 2 2 2 r = x + y + z 。 17．设函数 P(x, y,z), Q(x, y,z) 和 R( , x y z, ) 在 3 R 上具有连续偏导数。且对于任意光滑曲 面Σ ，成立 + + = 0 ∫∫ Σ Pdydz Qdzdx Rdxdy 。 证明：在 3 R 上, ≡ 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z R y Q x P 。 18．设L 是平面 x cosα + y cos β + z cos γ − p = 0 上的简单闭曲线，它所包围的区域 的 面积为 ，其中 D S (cosα, cos β, cosγ ) 是平面取定方向上的单位向量。证明 ∫ = L cos cos cos 2 1 x y z dx dy dz S α β γ ， 其中L 的定向与平面的定向符合右手定则。 习 题 14.4 1. 计算下列微分形式的外微分： （1）1-形式 xydx x dy ； 2 ω = 2 + （2）1-形式ω = cos ydx − sin xdy ； （3）2-形式ω = 6zdx ∧ dy − xydx ∧ dz 。 2. 设ω = + a x dx a x dx + +a x dx 1 1 1 2 2 2 n n n ( ) ( ) " ( ) 是 n R 上的 1-形式，求dω 。 3. 设ω = ∧ a x x dx dx + a x x dx ∧ dx + a x x dx ∧ dx 1 2 3 2 3 2 1 3 3 1 312 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) 是 3 R 上 的 2-形式，求dω 。 4. 设在 3 R 上在一个开区域 Ω = (,) a b × (c,d) × (e, f ) 上定义了具有连续导数的函 数 a1 (z)， a2 (x) ， a3 ( y)，试求形如 b ( y)dx b (z)dy b (x)dz ω = 1 + 2 + 3 的 1-形式ω ，使得 d = a (z)dy ∧ dz + a (x)dz ∧ dx + a ( y)dx ∧ dy ω 1 2 3 。 5．设 ∑ （ = = ∧ n i j ij i j a dx dx , 1 ω aij = −a ji ，i, j = 1,2,", n ）是 n R 上的 2-形式，证明 dω ∑= ∧ ∧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = n i j k i j k j ki i jk k ij dx dx dx x a x a x a 3 , , 1 1 。 7
习题14.5 1.设a=3i+20j-15k,对下列数量场∫(x,y,-=),分别计算 grad f和div(ma) (1)f(x,y,)=(x2+y2+22) (2)∫(x,y,=) (3)f(x,y,2)=ln(x2 求向量场a=x2i+y2+2k穿过球面x2+y2+z2=1在第一卦限部分的通 量,其中球面在这一部分的定向为上侧 (1)满足dvf()r]=0的函数f(r); (2)满足div[grad∫(r)=0的函数f(r) 4.计算 其中c是常矢量 +y+zk,且c·r>0 5.计算向量场a= grad arctan2沿下列定向曲线的环量 (1)圆周(x-2)2+(y-2)2=1,z=0,定向为逆时针方向 (2)圆周x2+y2=4,z=1,定向为顺时针方向。 6.计算向量场r=xyz(i+j+k)在点M(1,32)处的旋度,以及在这点沿方向 n=i+2j+2k的环量面密度 7.设a=a2i+a,j+a2k向量场,f(x,y,)为数量场,证明:(假设函数a,an,a 和∫具有必要的连续偏导数) (2)rot(grad f)=0; (3)grad(diva)-rot(rota)=△a。 8.位于原点的点电荷q产生的静电场的电场强度为E= (xi+yj+k),其 丌E E0为真空介电常数。求rotE 9.设a为常向量,r=xi+y+zk,验证 (1)V·(a×r)=0 (2)V×(a×r)=2a; (3)V·(rra)=2r·a 10.求全微分(x2-2y)dx+(y2-2x)dy+(2-2xy)的原函数。 1l.证明向量场a=x-yi+、x+y j(x>0)是有势场并求势函数 12.证明向量场a=(2x+y+-)yzi+(x+2y+z)xj+(x+y+2-)xyk是有势场, 并求出它的势函数 13.验证: (1)u=y3-3x2y为平面R2上的调和函数; (2)u=lny(x-a)2+(y-b)2为R21{(a.b)}上的调和函数
习 题 14.5 1. 设a = 3i + 20 j −15k ，对下列数量场 f x( , y,z) ，分别计算grad f 和div( fa) ： （1） f x( , y,z) = + (x y + z ) − 2 2 2 1 2 ； （2） f x( , y,z) = + x y + z ； 2 2 2 （3） f x( , y,z) = + ln(x y + z ) 。 2 2 2 2. 求向量场 穿过球面 在第一卦限部分的通 量，其中球面在这一部分的定向为上侧。 a i j k 2 2 2 = x + y + z x y z 2 2 2 + + = 1 3. 设 r = xi + yj + zk ， r =|r | ，求： （1）满足div[ f (r)r] = 0 的函数 f r( ) ； （2）满足div[grad f (r)] = 0 的函数 f r( ) 。 4. 计算 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ + ln( ⋅ ) 2 1 grad c r c r 其中c 是常矢量， r = xi + yj + zk ，且c ⋅r > 0。 5. 计算向量场 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y a grad arctan 沿下列定向曲线的环量： （1）圆周( ) x y − + 2 2 ( − ) = 1, z = ，定向为逆时针方向； 2 2 0 （2）圆周 x y z 1，定向为顺时针方向。 2 2 + = 4, = 6. 计算向量场 r = xyz(i + j + k) 在点 M( , 1 3,2) 处的旋度，以及在这点沿方向 n = i + 2 j + 2k 的环量面密度。 7. 设a = ax i + ay j + azk 向量场， 为数量场，证明：（假设函数 和 具有必要的连续偏导数） f x( , y,z) a a x y , ,az f （1）div(rot a) = 0 ； （2）rot (grad f ) = 0； （3）grad(diva) − rot(rot a) = ∆a 。 8. 位于原点的点电荷 q 产生的静电场的电场强度为 ( ) 4 3 0 E xi yj zk r q = + + πε ，其 中r x = + y + z 2 2 2 ，ε 0 为真空介电常数。求 rot E 。 9. 设a 为常向量， r = xi + yj + zk ，验证： （1）∇ ⋅(a × r) = 0 ； （2）∇ × (a × r) = 2a ； （3）∇ ⋅((r ⋅r)a) = 2r ⋅ a 。 10. 求全微分( ) x yz dx ( ) y xz dy (z xy 的原函数。 2 2 2 − + 2 2 − + − 2 )dz 11. 证明向量场 ( 0) 2 2 2 2 > + + + + − = x x y x y x y x y a i j 是有势场并求势函数。 12. 证明向量场 a = (2x + y + z) yzi + (x + 2y + z)zxj + (x + y + 2z)xyk 是有势场， 并求出它的势函数。 13. 验证： （1）u y = − x y 为平面 3 2 3 2 R 上的调和函数； （2） 2 2 u = ln (x − a) + ( y − b) 为 \ {( , )}上的调和函数； 2 R a b 8
(3)t= 为R{(0,0,0)}上的调和函数 x-+y+ 14.设(x,y)在R2上具有二阶连续偏导数,证明u是调和函数的充要条件为:对于 R2中任意光滑封闭曲线C,成之 ds=0,一为沿C的外法线方向的方向导 15.设=l(x,y)与v=v(x,y)都为平面上的调和函数。置F=√2+y2。证明当 P≥2时,在F≠0的点成立 △(FP)≥0 16.设B={(x,y,z)x2+y2+2z2≤1},F(x,y,z):R3→R3为具有连续导数的向 量值函数,且满足 Fa=(00),VFB=0 证明:对于任何R3上具有连续偏导数的函数g(x,y,z)成立 Vg· Fdxdyd==0 17.设D={(x,y)∈R2|x2+y2<,(x,y)在D上具有连续二阶偏导数。进一步 设u在D上不恒等于零,但在D的边界OD上恒为零,且在D上成立 a-u au =Au(A为常数)。 ax 证明 ∫ gradu2ddy+2dy=0 18.设区域Ω由分片光滑封闭曲面Σ所围成,(x,y,)在Ω上具有二阶连续偏导数 a-ua-u a 且在Ω上调和,即满足 0 ax ay a (1)证明 其中n为∑的单位外法向量 (2)设(x0,y0,=0)∈9为一定点,证明 l(x0,y0,二0) I rr cos(r, n).I 4 其中r=(x-x0,y-y,2-0),r=r
（3） 2 2 2 1 x y z u + + = 为 \ {(0,0,0)}上的调和函数。 3 R 14. 设 u( , x y) 在 2 R 上具有二阶连续偏导数，证明 u 是调和函数的充要条件为：对于 2 R 中任意光滑封闭曲线C ，成立 = 0 ∂ ∂ ∫ C ds n u ， n u ∂ ∂ 为沿C 的外法线方向的方向导 数。 15. 设 u u = ( , x y) 与 v v = ( , x y) 都为平面上的调和函数。置 2 2 F = u + v 。证明当 p ≥ 2 时，在 F ≠ 0的点成立 ∆( ) F p ≥ 0 。 16. 设 ， ： 为具有连续导数的向 量值函数，且满足 {( , , ) | 1} 2 2 2 B = x y z x + y + z ≤ F(x, y,z) 3 3 R → R ≡ (0,0,0) ∂B F ，∇ ⋅ ≡ 0 B F 。 证明：对于任何 3 R 上具有连续偏导数的函数 g(x, y,z) 成立 ∇ ⋅ = 0 ∫∫∫ g dxdydz B F 。 17. 设 D={( , ) | 1}， 在 2 2 2 x y ∈ R x + y < u(x, y) D上具有连续二阶偏导数。进一步， 设u 在 D上不恒等于零，但在 D的边界∂D上恒为零，且在 D上成立 u y u x u = λ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 （λ 为常数）。 证明 grad 0 2 2 ∫∫ + ∫∫ = D D u dxdy λ u dxdy 。 18. 设区域Ω 由分片光滑封闭曲面Σ 所围成，u(x, y,z) 在Ω 上具有二阶连续偏导数， 且在Ω 上调和，即满足 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z u y u x u 。 （1）证明 = 0 ∂ ∂ ∫∫ Σ dS n u ， 其中 n为Σ 的单位外法向量； （2）设(x0 , y0 ,z0 ) ∈Ω 为一定点，证明 ∫∫ Σ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + dS n u r r u x y z u cos( , ) 1 4 1 ( , , ) 0 0 0 2 r n π ， 其中 ( , , ) 0 0 0 r = x − x y − y z − z ， r =| r |. 9
第十四章 第1节 (1)1 (2)4 4 (3)4a3.提示:将L的参数方程取为 x= acos t asin t (4)22.提示:将L的参数方程取为x=02c0s 5)-(3a2+4x2b2) 16√2 143 (7)-m3.提示:在L上成立x+y2+x=(x+y+x)2-(x2+y2+2)]。 2a b a2-b2 2.当a>b:2b2+ arcsin 当a<b:2 3.(1) +a (2)8√3m2提示:S=∫4S=d,其中 D=kxyk2-2++20x+y24,再令下=,则吨别=2 V=I a( v) S=2bb=j4,其中D-=(un米+23+326 提示:S: z≤x.0<x 20-3丌 a2;(6)4x2ab。 4.(1)-m3:(2)(+√2)z;(3) I5 v2a;(4)2r arctan
第十四章 第 1 节 1. （1）1+ 2 ；（2）4 ； （3） 3 4 4a . 提示：将 L 的参数方程取为 ； ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = y a t x a t 3 3 sin cos （4）2 2 . 提示：将 L 的参数方程取为⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = θ θ θ θ cos 2 sin cos 2 cos y x ； （5） 2 2 2 2 2 (3 4 ) 3 2 a + π b a + b π ；（6） 143 16 2 ； （7）−πa3 . 提示：在 L 上成立 [( ) ( )] 2 1 2 2 2 2 xy + yz + zx = x + y + z − x + y + z 。 2．当a > b ： a a b a b a b b 2 2 2 2 2 2 arcsin 2 2 − − + ； 当a < b： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + a b b a b a a b b 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 ； 当a = b ：4a 2。 3．（1） ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ (1+ ) −1 3 2 2 3 4 2 a a π ； （2） 2 8 3πa . 提示： = ∫∫ = ∫∫ ，其中 S D S dS 2dxdy { } 2 2 2 D = (x, y)(x − xy + y ) + 2a(x + y) ≤ 2a 。再令 ，则 ⎩ ⎨ ⎧ = + = − y u v x u v 2 ( , ) ( , ) = ∂ ∂ u v x y ， = ∫∫ = ∫∫ ' 2 4 D D S dxdy dudv ，其中 { } 2 2 2 D'= (u,v)(u + 2a) + 3v ≤ 6a 。 （3） 2 (2 − 2)πa ； （4）2a 2，提示： ∫∫ − = D dzdx a x a S 2 2 ， D = {(z, x) − x ≤ z ≤ x, 0 ≤ x ≤ a}。 （5） 2 9 20 3 a − π ；（6）4π2 ab。 4．（1）−πa3 ；（2） (1 2)π 2 1 + ；（3） 4 2 15 64 a ；（4） a H 2π arctan ； 1
