习题1.1 1.证明由n个元素组成的集合T={a1,a2,…,an}有2”个子集 证明 (1)任意无限集必包含一个可列子集; (2)设A与B都是可列集,证明AUB也是可列集。 3.指出下列表述中的错误 (2)aci a,b, c) (3){a,b}∈{a,b,c}; ){a,b,{a,b}}={a,b} 4用集合符号表示下列数集 (1)满足工-3 ≤0的实数全体; (2)平面上第一象限的点的全体 (3)大于0并且小于1的有理数全体; (4)方程 sin x cot x=0的实数解全体 5.证明下列集合等式 (1)An(BUD)=(A∩B)U(A∩D) (2)(AUB)=AC∩B 6.举例说明集合运算不满足消去律 (1)AU∪B=AUC≈B=C A∩B=A∩C≠B=C 其中符号“今”表示左边的命题不能推出右边的命题 7.下述命题是否正确?不正确的话,请改正。 (1)x∈A∩B台x∈A并且x∈B (2)x∈A∪B台x∈A或者x∈B 习题1.2 1.设S={a,B,y},T={a,b,c},问有多少种可能的映射∫:S→>T?其中哪些是双射? 2.(1)建立区间[a,b]与[0,1]之间的一一对应;
习 题 1.1 ⒈ 证明由n 个元素组成的集合T a = a an { } 1 2 ， ，"， 有2 个子集。 n ⒉ 证明： (1) 任意无限集必包含一个可列子集； (2) 设 A 与 B 都是可列集，证明 A∪ B 也是可列集。 ⒊ 指出下列表述中的错误： (1) { }0 = ∅ ； (2) a ⊂ { , a b, c } ； (3) { , a b } ∈{ , a b, c } ； (4) { , a b,{a b, } } = { , a b }。 ⒋ 用集合符号表示下列数集： (1) 满足 x x − + ≤ 3 2 0 的实数全体； (2) 平面上第一象限的点的全体； (3) 大于 0 并且小于 1 的有理数全体； (4) 方程sin x cot x = 0的实数解全体。 ⒌ 证明下列集合等式： (1) A B ∩ ∪ ( ) D = ( A∩ B)∪( A∩ D) ； (2) ( ) A B A B 。 C C ∪ ∩ = C ⒍ 举例说明集合运算不满足消去律： (1) A B ∪ = A∪C ≠> B = C ； (2) A B ∩ = A∩C ≠> B = C 。 其中符号“ ≠> ”表示左边的命题不能推出右边的命题。 ⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) x ∈ A∩ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B ； (2) x ∈ A∪ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。 习 题 1.2 1. 设 S = {α, β,γ },T = { , abc, } ，问有多少种可能的映射 f ：S → T ?其中哪些是双射? 2. (1) 建立区间[ , a b ]与[ , 0 1 ] 之间的一一对应； 1
(2)建立区间(0,1)与(-∞+∞)之间的一一对应 3.将下列函数∫和g构成复合函数,并指出定义域与值域 (1)y=f(u)=log u,u=g(x=x-3 (2)y=f(u=arcsinu, u=g(x)=3 ()y=f(u=Vu2-I, u=g(x)=secx (4)y=f(l)=u,u=g(x)= x+1 4.指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的 (1)y=arcsin (2)y=loga(x2-1)。 5.求下列函数的自然定义域与值域: (1)y=log sinx (a>l) (3)y 6.问下列函数∫和g是否等同? (1)f(x)=log (x),g(x)=2logx: (2)f(x)=sec2x-tan2'x, g(x)=1 (3)f(x)=sin x+cos x, g(x)=1 7.(1)设∫(x+3)=2x2-3x2+5x-1,求f(x) (2)设 -1)3x+1 8.设∫(x)= 求∫o∫,∫o∫of∫,∫o∫。∫。∫的函数表达式 9.证明:定义于(-∞,+∞)上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和 10.写出折线ABCD所表示的函数关系y=f(x)的分段表示,其中A=(0,3), B=(1-1),C=(3,2),D=(40)
(2) 建立区间( , 0 1 ) 与( , −∞ +∞) 之间的一一对应。 3. 将下列函数 f 和 g 构成复合函数，并指出定义域与值域： (1) y f = = ( ) u log , a u u = g( ) x = x 2 − 3; (2) y f = = ( ) u arcsin u , u = g( ) x = x 3 ； (3) y f = = ( ) u u 2 − 1 , u = g( ) x = sec x ； (4) y f = = ( ) u u , u = g( ) x = x x − + 1 1 。 4. 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的： (1) y x = + arcsin 1 1 2 ; (2) 1 3 2 log ( 1) 3 a y x = − 。 5. 求下列函数的自然定义域与值域： (1) y = loga sin x （ a > 1）； (2) y x = cos ； (3) y x = − 4 3 − 2 x ； (4) y x x = +2 4 1 。 6. 问下列函数 f 和 g 是否等同？ (1) f x( ) = 2 log ( ) a x ， g( ) x = 2loga x ； (2) f x( ) = 2 2 sec x − tan x , g( ) x = 1； (3) f x( ) = sin cos 2 2 x + x , g( ) x = 1。 7. (1) 设 f x( ) + = 3 2x − 3x + 5x − ,求 ； 3 2 1 f x( ) (2) 设 3 1 3 1 1 + − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x x x x f ,求 f x( ) 。 8. 设 f x( ) = + 1 1 x ,求 f D f ， f f D D f , f f D D f D f 的函数表达式。 9. 证明：定义于( , −∞ +∞) 上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和。 10. 写出折线 ABCD 所表示的函数关系 y f = (x) 的分段表示，其中 A = ( , 0 3) ， B = ( , 1 −1) ，C = ( , 3 2) ， D = ( , 4 0) 。 2
1l.设∫(x)表示图128中阴影部分面积,写出函数y=f(x),x∈[0,2]的表达式。 图128 图129 12.一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体,比重分别为136,1,08克/厘米(图129),上 层煤油液体高度为5厘米,中层水液体高度为4厘米,下层汞液体高度为2厘米,试求压 强P与液体深度x之间的函数关系 3.试求定义在[0,1]上的函数,它是[O,1]与[0,1]之间的一一对应,但在[0,1]的任 一子区间上都不是单调函数
11. 设 f x( ) 表示图1.2.8中阴影部分面积，写出函数 y f = (x), x ∈[ , 0 2 ] 的表达式。 y ( , 1 1 ) O x 2 x 图 1.2.8 图 1.2.9 12. 一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，比重分别为13.6，1，0.8克／厘米３ (图1.2.9)，上 层煤油液体高度为5厘米，中层水液体高度为4厘米，下层汞液体高度为2厘米，试求压 强 P 与液体深度 x 之间的函数关系。 13. 试求定义在[ , 上的函数，它是[ , 与[ , 之间的一一对应，但在[ , 的任 一子区间上都不是单调函数。 0 1 ] 0 1 ] 0 1 ] 0 1 ] 3
第一章 第1节 4.(1)女x|-20且y>0}; 3){x10<x<1且x∈Q} (4){x|x=k丌+,k∈ 7.(1)不正确。xgA∩BxgA或者xgB; (2)不正确。xgA∪B分xgA并且xgB 第2节 2.(1)f:[a,b]→[0,1 xHy= (2)f:(0,1)→(-∞,+∞) x→tan(x-=] 3.(1)y=log(x2-3),定义域:(∞-3U3,+∞),值域:(-,+∞) (2)y= arcsin3,定义域:(+∞,值域:(0 丌 m定2+值 (4) 定义域:(-∞-1儿U[+∞),值域:[0儿(1+∞) 5.(1)定义域:∪(2k丌,(2k+1)丌),值域: k∈Z (2)定义域:U|2kx x,值域: k∈Z
第一章 第 1 节 4．（1）{ } x | −2 0且 y > 0 ； （3）{ } x | 0 < x <1且x∈Q ； （4） ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ x x = k + ,k ∈ Z 2 | π π . 7．（1）不正确。 x∉ A∩ B ⇔ x∉ A或者x∉ B ； （2）不正确。 x∉ A∪ B ⇔ x∉ A并且x∉ B . 第 2 节 2．（1） f :[a,b] →[0,1] . b a x a x y − − 6 = （2） f :(0,1) → (−∞,+∞) ) ] 2 1 x 6 tan[(x − π 3．（1） log ( 3) ，定义域： 2 y = a x − (− ∞,− 3)∪ ( 3,+∞)，值域：(−∞,+∞) ； （2） y = arcsin 3x ，定义域：(− ∞,0]，值域： ⎥ ⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ 2 0, π ； （3） y = tan x ，定义域： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∈ 2 , 2 π π π kπ k k Z ∪ ，值域：[0,+∞)； （4） 1 1 + − = x x y ，定义域：( ) − ∞,−1 ∪[1,+∞)，值域：[0,1)∪(1,+∞). 5．（1）定义域： ( ) 2 π ,(2 +1)π ∈ k k k Z ∪ ，值域：(− ∞,0]； （2）定义域： ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ∈ 2 ,2 2 2 π π π kπ k k Z ∪ ，值域：[0,1]； 1
(3)定义域:[4],值域:|0 (4)定义域:(-∞,0)儿(0.+∞),值域: 32 +∞ 7.(1)f(x)=2x3-21x2+77x-97: 2x+1 (2)f(x) 4x-1 8.(1)f°f(x)x+1 x+2 f∫ofof(x)= ∫o∫ofo∫(x) 9.f(x)=(x)+f(-x),f(x)-/←x).f(x)+f(-是偶函数,(x)-f(-x)是奇 2 2 2 函数 4x+3 35 10.y={=x- x∈(,3] x∈[2 78.4x x∈05] 12.P(x)={98x-9 59 13283x-112112x∈(,1 xx为有理数 13.f(x) xx为无理数
（3）定义域：[− 4,1]，值域： ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 5 0, ； （4）定义域：( ) − ∞,0 ∪ (0,+∞)，值域： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ ,+∞ 2 3 2 3 . 7．（1） f (x) = 2x3 − 21x 2 + 77x − 97 ； （2） 4 1 2 1 ( ) − + = x x f x 。 8．（1） 2 1 ( ) + + = x x f D f x ； 2 3 2 ( ) + + = x x f D f D f x ； 3 5 2 3 ( ) + + = x x f D f D f D f x 。 9． 2 ( ) ( ) ( ) f x f x f x + − = 2 f (x) − f (−x) + ， 2 f (x) + f (−x) 是偶函数， 2 f (x) − f (−x) 是奇 函数. 10． [ ] ( ] ⎪ ( ] ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − + ∈ − ∈ − + ∈ = 2 8 3,4 1,3 2 5 2 3 4 3 0,1 x x x x x x y 11． [ ] ( ] ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − + − ∈ ∈ = 2 1 1,2 2 1 1,2 2 1 2 2 x x x x x y 12． [ ] ( ] ( ] ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ∈ − ∈ ∈ = 1332.8 11211.2 9,11 98 98 5,9 78.4 0,5 ( ) x x x x x x P x 13． ⎩ ⎨ ⎧ − = 为无理数 为有理数 x x x x f x 1 ( ) 2