习题6. 1.求下列不定积分 (1)「(x3+2x2-5yx)dx (2)(sin x+3e")dx (3)J(xa+a")dx (5)(2csc4x-sec x tan x )dx (6)(x2-2)'dx √x+ 2x+ d x dx 3 2 dx (2 cOSx-SInx 1+x 0j(1-x2)x√xd coS 2x dx 2.曲线y=f(x)经过点(e,-1),且在任一点处的切线斜率为该点横坐标的倒数,求该曲 线的方程 3.已知曲线y=f(x)在任意一点(x,∫(x))处的切线斜率都比该点横坐标的立方根少1, (1)求出该曲线方程的所有可能形式,并在直角坐标系中画出示意图 (2)若已知该曲线经过(,1)点,求该曲线的方程。 习题6.2 1.求下列不定积分 dx (1) e ∫(2+32)dt d ()∫ sins xdx; (9) sin 5x cos 3xdx cos- orax
习 题 6.1 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ ( ) x x x d 3 2 ∫ + − 2 5 x x x ; ⑵ (sin x d e ) x ∫ + 3 ; ⑶ ( ) x a d a x ∫ + ; ⑷ ∫(2 + cot x)dx 2 ; ⑸ ∫(2csc x − sec x tan x)dx 2 ; ⑹ ( ) x d 2 3 ∫ − 2 x ; ⑺ ( ) x x ∫ + dx 1 2 ; ⑻ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + dx x x x 1 1 1 1 3 2 ; ⑼ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + dx x x 2 3 1 2 ; ⑽ 2 3 5 2 3 ⋅ − ⋅ ∫ x x x dx ; ⑾ cos cos sin 2x x x dx − ∫ ; ⑿ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + dx x x 2 2 1 3 1 2 ; ⒀ ( ) 1 2 ∫ − x x x dx ; ⒁ cos cos sin 2 2 2 x x x ∫ dx . ⒉ 曲线 经过点(e ，且在任一点处的切线斜率为该点横坐标的倒数，求该曲 线的方程。 y f = (x) ,−1) 3．已知曲线 y f = (x) 在任意一点(x, f (x))处的切线斜率都比该点横坐标的立方根少 1， （1） 求出该曲线方程的所有可能形式，并在直角坐标系中画出示意图； （2） 若已知该曲线经过( , 11) 点，求该曲线的方程。 习 题 6.2 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ dx 4 3 x − ∫ ; ⑵ dx 1 2x 2 − ∫ ; ⑶ dx x x e e − − ∫ ; ⑷ e3 2 x dx + ∫ ; ⑸ ( ) 2 3 x x 2 ∫ + dx ; ⑹ 1 2 5 2 + ∫ x dx ; ⑺ sin5 ∫ xdx ; ⑻ ∫ x xdx 10 2 tan sec ; ⑼ ∫sin 5x x cos3 dx ; ⑽ cos2 ∫ 5xdx ; 1
0D(2x+4)d in√x x2dx dx sin x (6 (arcsin x √-x2 dx 9「tan√l+x sin x cosx dx 1+sin +x 2.求下列不定积分 (1) (2)f-女 (3)/arc tan N 1+In x(1+x) (x In x) x-(x+ (7) 0) dx d x x+a 00jx2Ⅵ-xd dx √1-
⑾ ( ) ( ) 2 4 4 5 2 2 x dx x x + + + ∫ ; ⑿ sin x x ∫ dx ; ⒀ x dx x 2 4 3 1 2 − ∫ ; ⒁ ∫ − dx 1 sin x 1 ; ⒂ sin cos sin cos x x x x dx + − ∫ 3 ; ⒃ dx (arcsin x x )2 2 1− ∫ ; ⒄ dx x x 2 − 2 2 + ∫ ; ⒅ 1 9 4 2 − − ∫ x x dx ; ⒆ ∫ + + dx x x x 2 2 1 tan 1 ; ⒇ sin cos sin x x x dx 1 4 + ∫ . ⒉ 求下列不定积分： ⑴ dx x 1 2 + ∫ e ; ⑵ dx x x 1 2 + ∫ ; ⑶ ∫ + dx x x x (1 ) arc tan ; ⑷ 1 2 + ∫ ln ( ln ) x x x dx . ⑸ ∫ ( ) x x − + 1 2 ( ) d 20 x ; ⑹ x x dx 2 n ( +1) ∫ ; ⑺ dx x x 4 2 1+ ∫ ; ⑻ x x dx 2 − 9 ∫ ; ⑼ dx ( ) 1 x 2 3 − ∫ ; ⑽ dx ( ) x a 2 2 + ∫ 3 ; ⑾ x a x a dx − + ∫ ; ⑿ x x a x dx 2 − ∫ ; ⒀ dx 1 2 + x ∫ ; ⒁ x x 2 3 ∫ 1− dx ; ⒂ dx x x 2 −1 ∫ ; ⒃ x a x dx 2 2 2 − ∫ ; ⒄ a x x dx 2 2 4 − ∫ ; ⒅ dx 1 1 x 2 + − ∫ ; 2
dx d x 3.求下列不定积分 (2)∫xlmx-1) (5)」xcos2xotx; (6)arcsin x dx (7)arc tan xdx (8)x2arctanxdx csin x (9)x tan xdx Awda (3)e sin 5xdx d x ∫cos(nx)t; a∫( arcsin x)akx; √x 4.已知f(x)的一个原函数为 sInx 1+xsin x 求∫(x)f(x 5.设∫(sin2x)=cos2x+tan2x,求f(x)。 6.设∫(nx)= 求∫f( 7.求不定积分 COS x dx与 sIn x dx sin x+ cos x sin x+ cos x 8.求下列不定积分的递推表达式(n为正整数): Cos x dx d x
⒆ ∫ − dx x x 4 3 15 ( 1) ; ⒇ ∫ + dx x x n ( 1) 1 ; ⒊ 求下列不定积分： ⑴ x dx e2 ∫ x x dx ; ⑵ ∫ x x ln( −1) d ; ⑶ x x 2 ∫ sin 3 ; ⑷ x x dx sin2 ∫ ; ⑸ x x cos d 2 ∫ x ; ⑹ ∫ arcsin x dx ; ⑺ ∫ arc tan xdx ; ⑻ ∫ x arc tan xdx 2 ; ⑼ ∫ x xdx 2 tan ; ⑽ arcsin x x dx 1− ∫ ; ⑾ ln2 ∫ x dx ; ⑿ x x d 2 ∫ ln x ; ⒀ e sin − ∫ x 5xdx ; ⒁ e sin x x dx 2 ∫ ; ⒂ ln3 2 x x ∫ dx ; ⒃ ∫ cos(ln x d) x ; ⒄ (arcsin x) dx 2 ∫ ; ⒅ x dx ∫ e x ; ⒆ e x dx + ∫ 1 ; ⒇ ln(x x + + ) ∫ 1 2 dx . 4． 已知 f (x) 的一个原函数为 x x x 1 sin sin + ，求 ∫ f (x) f ′(x)dx 。 5．设 f x x x ，求 。 2 2 ′(sin ) = cos 2 + tan f (x) 6．设 x x f x ln(1 ) (ln ) + = ，求 ∫ f (x)dx 。 7. 求不定积分 ∫ + dx x x x sin cos cos 与 ∫ + dx x x x sin cos sin 。 8．求下列不定积分的递推表达式（ n 为正整数）： ⑴ I n = ∫ xdx n sin ; ⑵ I n = ∫ xdx n tan ; ⑶ I n = dx x n cos ∫ ; ⑷ I n = x x d n ∫ sin x ; ⑸ I n = e sin x n ∫ x dx ; ⑹ I n = ∫ x xdx n ln α ; ⑺ I n = x x dx n 1 2 − ∫ ; ⑻ I n = dx x x n 1+ ∫ . 3
9.导出求∫(ax+b)dx (ax b)dx x2+22x+n2 和∫(ax+b)√x2+2x+n2d型不定积 分的公式。 10.求下列不定积分: )」(5x+3x2+x+2 (2)j(x-l) 1.设n次多项式p(x)=∑ax,系数满足关系∑,=0,证明不定积分 ∫p是初等面数 习题6.3 1.求下列不定积分 ax-1)x+1 (x2-1)(x2+1) dx (x+1)(x+2)2(x+3)3 (x2+4x+4)(x2+4x+5)2 (7)∫x+5x+4 2+5x+4ax x3+5x-6 0 dx dx (x2+x+1)2 x(1+x7) ax2 +bx+c 2.在什么条件下,f(x) x(x+1的原函数仍是有理函数?
9．导出求 ( ) ax b dx x x + + + ∫ 2 2 2ξ η ， ( ) ax b dx x x + + + ∫ 2 2 2ξ η 和 ∫ ( ) ax + + b x x + dx 2 2ξ η2 型不定积 分的公式。 10．求下列不定积分: ⑴ ( ) 5 3 2 2 ∫ x x + + x + dx ; ⑵ ∫ ( ) x x − + 1 2x − 5 2 dx ; ⑶ ( ) x dx x x − + + ∫ 1 1 2 ; ⑷ ( ) x dx x x + + − ∫ 2 5 2 . 11． 设 n 次多项式 p x ai x ,系数满足关系 i n i ( ) = = ∑ 0 ∑= = − n i i i a 1 0 ( 1)! ，证明不定积分 ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ e dx x p 1 x 是初等函数。 习 题 6.3 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ dx ( ) x x − + ( ) ∫ 1 1 2 ； ⑵ 2 3 1 1 2 2 x x x dx + − + ∫ ( )( ) ； ⑶ x dx ( ) x x + + ( ) (x + ) ∫ 1 2 3 2 3 ； ⑷ dx ( ) x x (x x 2 2 + + 4 4 + + 4 5 ∫ )2 ； ⑸ 3 1 3 x dx + ∫ ； ⑹ dx x x 4 2 + +1 ∫ ； ⑺ x x x x dx 4 2 5 4 5 4 + + + + ∫ ； ⑻ x x x dx 3 3 1 5 6 + + − ∫ ； ⑼ x x dx 2 4 1− ∫ ； ⑽ dx x 4 +1 ∫ ； ⑾ dx ( ) x x( x 2 2 + + 1 1 + ∫ ) ； ⑿ x x x dx 2 3 1 1 + − ∫ ( ) ； ⒀ x x x dx 2 2 2 2 1 + + + ∫ ( ) ； ⒁ 1 1 7 7 − + ∫ x x x dx ( ) ； ⒂ x x x dx 9 10 5 2 ( ) + + 2 2 ∫ ； ⒃ x x dx n n 3 1 2 2 1 − + ∫ ( ) 。 ⒉ 在什么条件下， f x ax bx c x x ( ) ( ) = + + + 2 2 1 的原函数仍是有理函数？ 4
设p(x)是一个n次多项式,求 (x-a)m4 4.求下列不定积分 d (1) dx (x-a)(b-x) x dx d dx +1+ dx dx (7) x(1+x) 1+ 0) (x+1) dx (x-2)(x+1)2 5.设R(u,v,)是u,v,w的有理函数,给出 R(x √b+x)d 的求 6.求下列不定积分: 4+5 2+sin x 3+sin2x 1+sin x +cosx d x sin(x +a)cos(x +b) (9) tan tan(x+ a)dx
⒊ 设 p x 是一个 次多项式，求 n ( ) n p x x a dx n n ( ) ( ) − + ∫ 1 。 ⒋ 求下列不定积分： ⑴ x x dx 2 4 + ∫ ； ⑵ dx ( ) x a − − (b x ∫ ) ； ⑶ x x x dx 2 2 1+ − ∫ ； ⑷ x x x dx 2 4 1 1 + + ∫ ； ⑸ x x x x dx + − − + + − ∫ 1 1 1 1 ； ⑹ x x dx + − ∫ 1 1 ； ⑺ dx x x ( ) 1+ ∫ ； ⑻ dx x x 4 2 1+ ∫ ； ⑼ dx x x + ∫ 4 ； ⑽ ∫ + − dx x x 3 8 2 ( 1) ( 4) 。 ⑾ dx ( ) x x − + ( ) ∫ 2 1 3 2 ； ⑿ dx x x 14 4 + ∫ ； ⒌ 设 R u( , v, w) 是u v, ,w 的有理函数，给出 ∫ R x( , a + + x , b x ) dx 的求法。 ⒍ 求下列不定积分： ⑴ dx 4 5 + x ∫ cos ； ⑵ dx 2 + x ∫ sin ； ⑶ dx 3 x 2 + ∫ sin ； ⑷ dx 1+ + x x ∫ sin cos ； ⑸ dx 2 5 sin x − + cos x ∫ ； ⑹ dx ( c 2 + os x x )sin ∫ ； ⑺ ∫ x + x dx tan sin ； ⑻ dx sin(x a + + ) cos(x b) ∫ ； ⑼ ∫ tan x tan(x + a)dx ； ⑽ sin cos sin cos x x x x dx + ∫ ； 5
SIn- x dx SIn- x Cos- x 1+sin2 x 7.求下列不定积分 In +x (3)jln(x+ⅵ+x)x (5)x2e sin xdx (6)Jln(1+x2)a d x: (9)arc tan vxd 00J√xsin√xdx d x 1+sin x SIn- x x cos x-sIn x dx cos- x (ab≠0) a 2x+b2 cos2 x √x d x x 0∫-x2 arcs dx (1+ex)2
⑾ dx sin x cos x 2 2 ∫ ； ⑿ sin sin 2 2 1 x x dx + ∫ 。 ⒎ 求下列不定积分： ⑴ x x dx x e ( ) 1 2 + ∫ ； ⑵ ln ( ) x x dx 1 2 3 + 2 ∫ ； ⑶ ln ( ) 2 2 ∫ x + +1 x dx ； ⑷ x ln x d 2 ∫ x dx ； ⑸ x x 2 x ∫ e sin ； ⑹ ln(1 ) 2 ∫ + x dx ⑺ x x x dx 2 2 1 arcsin − ∫ ； ⑻ ∫ − − dx x x 2x 3 1 2 ； ⑼ ∫ arc tan xdx ； ⑽ ∫ x x sin dx ⑾ x x x dx + + ∫ sin 1 cos ； ⑿ 1+ ∫ sin cos x x dx ； ⒀ sin cos 2 3 x x ∫ dx ； ⒁ e cos sin cos sin x x x x x dx 3 2 − ∫ ； ⒂ dx x x e e − − ∫ ； ⒃ ∫ a x + b x dx 2 2 2 2 sin cos （ ab ≠ 0 ）； ⒄ x x x x dx 3 3 ( ) + ∫ ； ⒅ x x x ln dx 1 1 + − ∫ ； ⒆ 1 2 ∫ − x x arcsin dx ； ⒇ dx x ( e 1 )2 + ∫ 。 6
第六章 第1节 (2) 3er-cosx+C (3) a+1 a+1 In a (4)x-cotx+C (5)-2cot x-secx+C (6) x5+4x3-8x+C (7) 2x+C 3 11 (8)=x2+2x+2x2+3x3-6x6+C; 2 +c In 4 9 In 9 (10)2 (11) sin x-cosx+C: (12)2arctanx-3 arcsinx+C (13) x++C 7 (14)-2csc2x+C 2.曲线方程:y=lmx (2)曲线方程:y24-x+4 第2节
第六章 第 1 节 1 ． （ 1 ） x + x − x 2 + C 3 4 2 3 10 32 41 ； （ 2 ） 3 e x − cos x + C ； （ 3 ） a C a x a a x + + + + ln1 1 1 1 ； （ 4 ） x − cot x + C ； （ 5 ） − 2cot x − sec x + C ； （ 6 ） x − x + 4 x − 8 x + C 56 71 7 5 3 ； （ 7 ） x C x x − + 2 + 1 31 3 ； （ 8 ） x + x + x + x − x + C − 61 31 21 23 2 2 3 6 32 ； （ 9 ） C x x x ⎟ + ⎠⎞ ⎜⎝⎛ − + 32 32 ln2 9 ln 9 1 ln 4 4 ； （10 ） x C x ⎟ + ⎠⎞ ⎜⎝⎛ − 32 32 ln5 2 ； （11 ）sin x − cos x + C ； （12 ） 2arctan x − 3arcsin x + C ； （13 ） x − x 4 + C 15 47 154 74 ； （14 ） − 2csc 2 x + C . 2．曲线方程： y = ln x − 2 . 3 ． （ 1 ） y = x 3 − x + C 4 43 ； （ 2）曲线方程： 45 43 34 y = x − x + . 第 2 节 1
1.(1)-ln4x (2) arcsin√2x+ (4)-e3x+2+C 4x9x2.6 (5) In 4 In 9 In 6 √10 10 -arctan x+C: (7)--cos'x+-cos x-cosx+C (8)-tanx+C cos 8 4OS 2x+C: (10)-x+-sin10x+C; (11) x2+4x+5 (12)-2cos√x+C (13)-=(1-2x3)4+C (14)-cot 兀\+C 24 (15)-(sin x-cos x)3+C: (16) arcsin x (17) arctan(x-1)+C: (18)-arcsin +=v9-4x+C
1 ． （ 1 ） ln 4 x − 3 + C 41 ； （ 2 ） arcsin 2 x + C 22 ； （ 3 ） C ee xx + +− 11 ln 21 ； （ 4 ） e C x + 3 + 2 31 ； （ 5 ） C x x x + ⋅ + + ln 6 2 6 ln 9 9 ln 4 4 ； （ 6 ） x + C 2 10 arctan 10 10 ； （ 7 ） − x + cos x − cos x + C 32 cos 51 5 3 ； （ 8 ） x + C 11 tan 111 ； （ 9 ） − x − cos 2 x + C 41 cos 8 161 ； （10 ） x + sin10 x + C 201 21 ； （11 ） C x x + + + − 4 5 1 2 ； （12 ） − 2cos x + C ； （13 ） − − x 4 + C 3 3 ( 1 2 ) 92 ； （14 ） C x ⎟ + ⎠⎞ ⎜⎝⎛ − − 2 4 cot π ； （15 ） x − x 3 + C 2 (sin cos ) 23 ； （16 ） C x − + arcsi n 1 ； （17 ）arctan( x − 1 ) + C ； （18 ） x C x + − + 2 9 4 41 32 arcsin 21 ； 2
(19)-In/ V1+x2+C: (20)arctan(sin x)+C 2.(1)In( 1-x+C: C (3)( arctan√x)2+C ln (5)(x+2)2 )(x+2) (6)(x+1)y+32(x+1)”+2(x+1 C +3 +2 3 (7)-(1+x2)2 (1+x2)2+C (8)Vx-9-3 -=+C: +c (10) +c 3a+x (12) x(2a-x)+3a (13)√2x-ln(+√2x)+C (14)-3-x)3+5 4 (1-x)3-(1-x)3+C 10 5 (16) arcsin -+C:
（19 ） − + x + C 2 ln cos 1 ； （20 ） arctan(sin x ) + C 21 2 . 2 ． （ 1 ） e x C x ln( 1+ − 1 ) − + 2 ； （ 2 ） C xx + 1 + − 1 ln 2 ； （ 3 ） x + C 2 (arctan ) ； （ 4 ） C x x − + ln1 ； （ 5 ） C x x + + − + 7 ( 2 ) 22 ( 2 ) 22 21 ； （ 6 ） C n x nx n x n n n + + + + ++ − + + + + + 1 ( 1 ) 2 2 ( 1 ) 3 ( 1 ) 3 2 1 ； （ 7 ） x C x x x + − + + 23 2 3 21 2 ( 1 ) 3 1 ( 1 ) 1 ； （ 8 ） C x x − − + 3 9 3arccos 2 ； （ 9 ） C x x + − 2 1 ； （10 ） C a x a x + + 2 2 2 ； （11 ） x − a − a x + x − a + C 2 2 2 2 ln ； （12 ） C ax x a x a a x − + + + − 2 ( 2 ) 3 arcsin 2 3 2 ； （13 ） 2 x − ln( 1 + 2 x ) + C ； （14 ） − − x + − x − − x 3 + C 4 37 3 10 ( 1 ) 43 ( 1 ) 76 ( 1 ) 103 ； （15 ） C x + 1 arccos ； （16 ） C a a x − x a − x + arcsin + 2 2 1 2 2 2 ； 3
(17) a2-x2)2+C (18)arcsin x-tan(arcsin x)+C: (9)8xp2-4x2-+-+c (20)-ln xe C (2)ln|x-11-ln|x-11-(x+1)2+C; (39=2)cos 2xsin 3x 曹 27 (4)-xcot x+In sin x +C (5)=t-t-t (6) xarcsinx+1-x2+c: (7)arctan x-In(1+x)+C: (8)=x arctan x n(1+x2)+C (9)tan x+In cos x I (10)-2√1-x 4√l+x+C (11)x(lnx-1)2+x+C (12)-x3In (13) e(5 cos 5x+sin 5x) (14)e(5-2sin 2x-coS 2x)+C
（17） a x C a x − − + 2 3 2 2 2 3 ( ) 3 1 ； （18） x − arcsin x) + C 2 1 arcsin tan( ； （19） C x x x x + − + + − − − − 4 ln 1 4 3 4( 1) 3 8( 1) 1 4 4 4 2 4 ； （20） C x x n n n + +1 ln 1 . 3．（1） xe e C x x − + 2 2 4 1 2 1 ； （2） x x x C x − − − − + +2 2 ( 1) 4 1 ln | 1| 2 1 ln | 1| 2 ； （3） C x x x x + + − − 9 2 sin 3 27 (9 2) cos3 2 ； （4）− x cot x + ln | sin x | +C ； （5） C x x x x + + + 8 cos 2 4 sin 2 4 2 ； （6） x x + − x + C 2 arcsin 1 ； （7） x x − ln(1+ x ) + C 2 1 arctan 2 ； （8） x x − x + ln(1+ x ) + C 6 1 6 1 arctan 3 1 3 2 2 ； （9） x x + x − x + C 2 2 1 tan ln | cos | ； （10）− 2 1− x arcsin x + 4 1+ x + C ； （11） x(ln x −1) 2 + x + C ； （12） x x − x + C 3 3 9 1 ln 3 1 ； （13） C e x x x + + − − 26 (5cos5 sin 5 ) ； （14） e x x C x (5 − 2sin 2 − cos 2 ) + 10 1 ； 4