习 题101 1.讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。 (1)Sn(x)=c (1)x∈(0,1) (i)x∈(l,+∞) (2)S(x)=xe x∈(0,+∞) 3)S,(x)=sin (1)x∈(-∞,+∞) (i)x∈[-A,A](A>0); (4)S,(x)=arctan nx (1)x∈(0,1) (i)x∈(1,+∞) G)s(x)=x2+1 x∈(-∞,+∞); (6)S(x)=nx(1-x) (7) S,(x)=-In (1)x∈(0,1), (i)x∈(1,+∞)); (8)Sn(x)= (1)x∈(0,1), l)x∈(1,+∞ (9)Sn(x)=(sin x) x∈[0,x]; () Sn(x)=(sin x) (i)x∈[0,1],(i)x∈[6,丌-8](>0); 0)S(x)=|1+ (1)x∈(-∞,+∞),(i)x∈[-A,4](A>0); (2)Sn(x) +-√x,()x∈(0+∞),(i)x∈[6,+∞)6>0 2.设S(x)=m(x-x2n),则函数序列{S(x)}在[,]上收敛但不一致收敛,且极限运算与 积分运算不能交换,即 lim S, (x)dx* limS(r)dx 3.设S(x 1+n2x 则 (1)函数序列{Sx)}在(-∞,+∞)上一致收敛 (2)S(x)}在(-+)上不一致收敛 (3)极限运算与求导运算不能交换,即 并不对一切x∈(-∞,+∞)成立。 4.设S(x)=- arctan x,则函数序列{S(x)}在(0,+∞)上一致收敛;试问极限运算与求 导运算能否交换,即 limS月(x) Iim Sn(x) 是否成立? 5.设S(x)=n“xe,其中a是参数。求a的取值范围,使得函数序列{S(x)}在[0,1上 (1)一致收敛
习 题 10.1 1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。 ⑴ Sn(x) = , (i) x −nx e ∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞) ； ⑵ Sn(x) = x , x −nx e ∈ (0,+∞) ； ⑶ Sn(x) = sin n x , (i) x∈ (−∞,+∞) ， (ii) x∈ [−A, A]( A > 0)； ⑷ Sn(x) = arctan nx, (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞)； ⑸ Sn(x) = 2 2 1 n x + , x∈ (−∞,+∞) ； ⑹ Sn(x) = nx(1 - x) n , x∈ [0,1]； ⑺ Sn(x) = n x ln n x , (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞))； ⑻ Sn(x) = n n x x 1+ , (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞) ； ⑼ Sn(x) = (sin x) n , x∈ [0,π ]； ⑽ Sn(x) = (sin x) n 1 , (i) x∈ [0,1]， (ii) x∈ [δ ,π − δ ]（δ > 0）； ⑾ Sn(x) = n n x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1+ , (i) x∈ (−∞,+∞) ， (ii) x∈ [−A, A]( A > 0)； ⑿ Sn(x) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − x n n x 1 , (i) x∈ (0,+∞) , (ii) x ∈[δ ,+∞), δ > 0。 2. 设Sn(x) = n(x n - n x 2 )，则函数序列{S (x)}在 上收敛但不一致收敛，且极限运算与 积分运算不能交换，即 n [0,1] n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx ≠ ∫ →∞ 1 0 lim n Sn(x) dx。 3. 设Sn(x) = 2 2 1 n x x + ，则 ⑴ 函数序列{Sn(x)}在(−∞,+∞) 上一致收敛； ⑵ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ( ) d d S x x n 在(−∞,+∞) 上不一致收敛； ⑶ 极限运算与求导运算不能交换，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 并不对一切 x∈ (−∞,+∞) 成立。 4. 设Sn(x) = n 1 arctan x n ，则函数序列{Sn(x)}在(0,+∞) 上一致收敛；试问极限运算与求 导运算能否交换，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 是否成立? 5. 设Sn(x) = ，其中a是参数。求a的取值范围，使得函数序列{S a nx n xe − n(x)}在[0,1]上 ⑴ 一致收敛； 1
(2)积分运算与极限运算可以交换,即 lim ls, (x)dr=5 lim Sm(x)dx (3)求导运算与极限运算可以交换,即对一切x∈[0,1]成立 lim Sm(x) n→dx 6.设S'(x)在区间(a,b)上连续, Sn(x)=nS x+--S(x) 证明:{S(x)}在(a,b)内闭一致收敛于S'(x) 7.设S0(x)在[Oa]上连续,令 Sm(x)=s,(odt, 证明:{S(x)}在[0,a]上一致收敛于0。 8.设S(x)在[0,1上连续,且S(1)=0。证明:{x"S(x)}在0,1上一致收敛。 习 题10.2 1.讨论下列函数项级数在所指定区间上的一致收敛性 (1)∑(1-x)x (2)∑(1-x)x, x∈0,1 。,0 [ (x∈D.+∞),(i)x∈{,+∞)(6>0) x∈(-∞,+∞) sIn nx x∈(-∞,+∞) nan+x' x∈[0,l x∈(-,+∞); (9)2"sin (x∈(0,+∞),(i)x∈[6+∞)(8>0 Inx sin nx x∈(-∞,+∞); (+x2) x∈(-∞,+∞);
⑵ 积分运算与极限运算可以交换，即 n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx = S ∫ →∞ 1 0 lim n n(x) dx； ⑶ 求导运算与极限运算可以交换，即对一切 x∈[0,1]成立 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 。 6. 设 S '(x)在区间(a,b)上连续， Sn(x) = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ( ) 1 S x n n S x ， 证明：{Sn(x)}在(a,b)内闭一致收敛于S '(x)。 7. 设 S0 (x) 在[0, a]上连续，令 Sn(x) = ∫ − d t， n = 。 x n S t 0 1 ( ) 1,2," 证明：{Sn(x)}在[0, a]上一致收敛于 0。 8. 设S(x)在[0,1]上连续，且S(1) = 0。证明：{x n S(x)}在[0,1]上一致收敛。 习 题 10.2 1. 讨论下列函数项级数在所指定区间上的一致收敛性。 ⑴ ∑ ， x∈[0, 1]； ∞ = − 0 (1 ) n n x x ⑵ ∑ ， ∞ = − 0 2 (1 ) n n x x x∈[0, 1]； ⑶ ∑ ， x∈ ∞ = − 0 3 2 e n nx x [0,+∞)； ⑷ ∑ ， (i) x∈ ∞ = − 0 2 e n nx x [0,+∞)， (ii) x∈[δ ,+∞)（δ＞0）； ⑸ ∑ ∞ =0 + 3 2 n 1 n x x ， x∈(-∞, +∞)； ⑹ ∑ ∞ =1 + 3 4 4 sin n n x nx ， x∈(-∞, +∞)； ⑺ ∑ ， x∈[0, 1]； ∞ = − − 0 ( 1) (1 ) n n n x x ⑻ ∑ ∞ = + − 1 2 ( 1) n n n x ， x∈(-∞, +∞)； ⑼ ∑ ∞ =0 3 1 2 sin n n n x ， (i) x∈(0, +∞)，(ii) x∈[δ ,+∞)（δ＞0）； ⑽ ∑ ∞ =1 sin sin n n x nx ， x∈(-∞, +∞)； ⑾ ∑ ∞ =0 + 2 2 n (1 ) n x x ， x∈(-∞, +∞)； 2
x∈(-∞,+∞) (1+x2) 2.证明:函数f(x)= cos nx 在(0,2)上连续,且有连续的导函数。 3.证明:函数f(x)=∑me在(0,+∞)上连续,且有各阶连续导数。 4证明:函数∑1在(1+-)上连续,且有各阶连续导数:函数∑二在(0+)上连 续,且有各阶连续导数。 5.证明:函数项级数f(x)=∑ arctan可以逐项求导,即 dr() arctan、xx d x 6.设数项级数∑an收敛,证明 (1)lim a, d 7.设m(x),n()在区间(ab)连续,且|an(x)≤mn()对一切n∈N成立证明:若∑(x) 在(a.b)上点态收敛于一个连续函数,则∑un(x)也必然收敛于一个连续函数。 8.设函数项级数∑n(x)在x=a与x=收敛,且对一切n∈N,a(x)在闭区间[ab]上单 调增加,证明:∑un(x)在[b上一致收敛。 9.设对一切n∈N,m(x)在=a右连续,且∑un(x)在x=发散,证明:对任意6>0, ∑un(x)在(aa+8)上必定非一致收敛。 0.证明函数项级数∑m1+ 在[-ad]上是一致收敛的,其中a是小于2ln2的 nIn- n 任意固定正数 -tan (1)证明:f(x)在D/2]上连续: (2)计算∫f(x)dk cos nx 2.设f(x) (1)证明:f(x)在(-∞,+∞)上连续;
⑿ ∑ ∞ = + − 0 2 2 (1 ) ( 1) n n n x x ， x∈(-∞, +∞)。 2. 证明：函数 ∑ ∞ = + = 0 2 1 cos ( ) n n nx f x 在(0,2π )上连续，且有连续的导函数。 3. 证明：函数 ∑ 在 ∞ = − = 1 ( ) e n nx f x n (0,+∞) 上连续，且有各阶连续导数。 4. 证明：函数∑ ∞ =1 1 n x n 在(1,+∞) 上连续，且有各阶连续导数；函数 ∑ ∞ = − 1 ( 1) n x n n 在 上连 续，且有各阶连续导数。 (0,+∞) 5. 证明：函数项级数 ∑ ∞ = = 1 2 ( ) arctan n n x f x 可以逐项求导，即 d x d f (x) = ∑ ∞ =1 2 arctan d d n n x x 。 6. 设数项级数 ∑ 收敛，证明： ∞ n=1 n a ⑴ →0+ lim x ∑ ∞ n=1 x n n a = ∑ ； ⑵ = ∞ n=1 an ∫ ∑ ∞ = 1 0 1 a x d x n n n ∑ ∞ n=1 +1 n n a 。 7. 设un (x)，vn (x)在区间(a, b)连续，且│un (x)│≤vn (x) 对一切n∈N+ 成立。证明：若 ∑ 在(a, b)上点态收敛于一个连续函数，则 也必然收敛于一个连续函数。 ∞ =1 ( ) n n v x ∑ ∞ =1 ( ) n n u x 8. 设函数项级数 ∑ 在x = a与x = b收敛，且对一切n∈N ∞ =1 ( ) n n u x + ，un (x)在闭区间 上单 调增加，证明： 在[a, b]上一致收敛。 [a,b] ∑ ∞ =1 ( ) n n u x 9. 设对一切n∈N+ ，un (x)在x= a右连续，且 在x = a发散，证明：对任意δ＞0， 在(a, a +δ)上必定非一致收敛。 ∑ ∞ =1 ( ) n n u x ∑ ∞ =1 ( ) n n u x 10．证明函数项级数∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 ln ln 1 n n n x 在[− a,a]上是一致收敛的，其中 a 是小于 的 任意固定正数。 2ln 22 11．设 ∑ ∞ = = 1 2 tan 2 1 ( ) n n n x f x 。 （1） 证明： f (x) 在[0, π / 2]上连续； （2） 计算 ∫ 2 6 ( ) π π f x dx 。 12．设 ∑ ∞ = + = 1 3 cos ( ) n n n nx f x 。 （1） 证明： f (x) 在(−∞, + ∞) 上连续； 3
(2)记F(x)=f(1)dt,证明: 设∫(x)= =02+x (1)证明f(x)在[0,+∞)上可导,且一致连续; )证明反常积分|。f(x)dx发散 习题103 求下列幂级数的收敛半径与收敛域 (1) 32+(-2) (2) (x-1) 2 (3)∑(-1) (0∑(-1mn+D x+ n+1 (7) ∑∑ (2n+) 2.设a>b>0,求下列幂级数的收敛域。 (1) (3) ax+bx2+ax+b2x4+.+d 3.设∑anx”与∑bx”的收敛半径分别为R和R2讨论下列幂级数的收敛半径 a x (2)∑(an+bn (3)∑abnx 4.应用逐项求导或逐项求积分等性质,求下列幂级数的和函数,并指出它们的定义域。 (1) (3)∑(-1)"n2x (4) n(n+1)
（2）记 = ∫ ，证明： x F x f t dt 0 ( ) ( ) 2 2 15 2 1 2 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − < π F 。 13．设 ∑ ∞ = + = 0 2 1 ( ) n n x f x 。 （1） 证明 f (x) 在[0, + ∞) 上可导，且一致连续； （2） 证明反常积分 ∫ 发散。 +∞ 0 f (x)dx 习 题 10.3 1. 求下列幂级数的收敛半径与收敛域。 ⑴ ∑ ∞ = + − 1 3 ( 2) n n n n x n ; ⑵ n n x n ( 1) 1 2 1 1 1 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = " ; ⑶ ∑ ∞ = ⋅ − 1 2 2 ( 1) n n n n n x ; ⑷ ∑ ∞ = + + + − 1 ( 1) 1 ln( 1) ( 1) n n n x n n ； ⑸ n n n x n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑ ∞ = 2 1 ! 3 1 ; ⑹ 2 2 2 ln n n n x n n ∑ ∞ = ; ⑺ n n n x n n ∑ ∞ =1 ! ； ⑻ n n x n n ∑ ∞ =1 2 (2 )! ( !) ; ⑼ n n x n n ∑ ∞ =1 (2 +1)!! (2 )!! 。 2. 设 a＞b＞0，求下列幂级数的收敛域。 ⑴ n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ; ⑵ ∑ ∞ n=1 +n n n a b x ; ⑶ a x + b x 2 + a 2 x 3 + b2 x 4 + … + an x 2n - 1 + bn x 2n + …。 3. 设 ∑ 与 的收敛半径分别为R ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ n=0 n n b x 1和R2, 讨论下列幂级数的收敛半径： (1) ∑ ; (2) ∑ ; ∞ =0 2 n n n a x ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x (3) ∑ 。 ∞ n=0 n n n a b x 4. 应用逐项求导或逐项求积分等性质，求下列幂级数的和函数，并指出它们的定义域。 ⑴ ∑ ∞ n=1 n nx ; ⑵ ∑ ∞ =0 + 2 n 2 1 n n x ; ⑶ ∑ ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n x ; ⑷ ∑ ∞ =1 ( +1) n n n n x ; 4
(5)∑n(n+1)x"; (6)1+ ∑ 5.设f(x)=∑anx",则不论∑anx”在x=r是否收敛,只要∑。;x在x=r收敛, 就成立 f(x)dx=∑ n=0n+1 并由此证明: 1 d x nal n 证明: 满足方程y z6(4n) (2)y=∑满足方程xy”+y-y=0 7.应用幂级数性质求下列级数的和 ()∑(-1)y ∑ n(n+2) 3"(2n+1) G)∑(-) n+1 ()∑(-1 n 8.设正项级数∑an发散,A=∑4,且im=0,求幂级数∑anx"的收敛半径 n→ 9.设∫(x)=∑二x”。 (1)证明f(x)在 22/上连续, 可导 (2)f(x)在x=处的左导数是否存在? 习 题10.4 1.求下列函数在指定点的 Taylor展开,并确定它们的收敛范围 (1)1+2x-3x2+5x3,x=1;
⑸ ∑ ∞ = + 1 ( 1) n n n n x ； ⑹ ∑ ∞ = + 1 2 (2 )! 1 n n n x ; ⑺ ∑ ∞ = + 1 ! 1 n n x n n 。 5. 设 f (x) = ∑ , 则不论 在 x = r 是否收敛，只要 ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n x n a 在 x = r 收敛， 就成立 ∫ r f x x 0 ( )d = ∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n r n a ， 并由此证明： ∫ ⋅ − 1 0 d 1 1 ln x x x =∑ ∞ =1 2 1 n n 。 6. 证明： (1) y = ∑ ∞ =0 4 (4 )! n n n x 满足方程 y (4) = y ; (2) y = ∑ ∞ =0 2 n ( !) n n x 满足方程 x y′′ + y ' - y = 0。 7. 应用幂级数性质求下列级数的和 ⑴ ∑ ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n ; ⑵ ∑ ∞ = ⋅ 1 2 1 n n n ; ⑶ ∑ ∞ = + + 1 1 4 ( 2) n n n n ; ⑷ ∑ ∞ = + 0 2 2 ( 1) n n n ; ⑸ ∑ ∞ = + − 0 3 (2 1) 1 ( 1) n n n n ; ⑹ ∑ ∞ = − − 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) n n n n ; ⑺ ∑ ∞ = + − 0 1 ! 2 ( 1) n n n n ; ⑻ ∑ ∞ = + 1 ! 1 n n n . 8．设正项级数∑ 发散， ，且 ∞ n=1 n a ∑= = n k n k A a 1 lim = 0 →∞ n n n A a ，求幂级数∑ 的收敛半径。 ∞ n=1 n n a x 9．设 ∑ ∞ = = 1 2 2 ( ) n n n x n f x 。 （1） 证明 f (x) 在 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 , 2 1 上连续，在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 , 2 1 上可导； （2） f (x) 在 2 1 x = 处的左导数是否存在？ 习 题 10.4 1. 求下列函数在指定点的 Taylor 展开，并确定它们的收敛范围： ⑴ 1 + 2x - 3x 2 + 5x 3 ， x0 = 1; ⑵ 2 1 x ， x0 = -1; 5
(4)sinx (5) In x (6)4-x, )ln(1-x) 10 2.求下列函数在x0=0的 Taylor,展开 至 至 sIn x (3) In cos x至x; 3.利用幂级数展开,计算下列积分,要求精确到0001。 d (2) osx' dx (0」 d 21+x 4.应用-1在x=0的幂级数展开,证明 5.求下列函数项级数的和函数 2cD(2+x) n(n+1) (2) 2 (提示:考虑 1、和-ln(1-x)的幂级数展开的乘积) 6.设{an}是等差数列,b>1,求级数∑的和 (提示:考虑幂级数 b 7.利用幂级数展开,计算[mx女。 8.(1)应用= arctan-+ arctan,计算π的值,要求精确到10- (2)应用= arcsin,计算π的值,要求精确到10-。 9.利用幂级数展开,计算edx的值,要求精确到10
⑶ 2 2 x x x − − ， x0 = 0; ⑷ sin x， x0 = 6 π ; ⑸ ln x ， x0 = 2; ⑹ 3 4 − x 2 ， x0 = 0; ⑺ 1 1 + − x x ， x0 = 1; ⑻ (1+x) ln (1-x), x0 = 0; ⑼ ln x x − + 1 1 ， x0 = 0; ⑽ x x − − 1 e , x0 = 0。 2. 求下列函数在x0 = 0 的Taylor展开 ⑴ x x sin 至 ； 4 x ⑵ sin x e 至 ； 4 x ⑶ ln cos x至 x 6 ； ⑷ x x − + 1 1 至x 4 。 3. 利用幂级数展开，计算下列积分，要求精确到 0.001。 ⑴ ∫ 1 0 d sin x x x ； ⑵ ∫ 1 0 2 cos x d x； ⑶ ∫ 2 1 0 d arctan x x x ； ⑷ ∫ +∞ 2 + 3 1 d x x 。 4. 应用 x x e −1 在 x = 0 的幂级数展开，证明： ∑ ∞ =1 ( +1)! n n n = 1。 5．求下列函数项级数的和函数 （1）∑ ∞ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − 1 2 1 2 2 ( 1) ( 1) n n n x x n n ； （2）∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + 1 1 2 1 1 n n x n " 。 （提示：考虑 1− x 1 和 − ln(1− x) 的幂级数展开的乘积） 6．设{an }是等差数列，b > 1，求级数∑ ∞ n=1 n n b a 的和。 （提示：考虑幂级数 n n n x b n ∑ ∞ =1 ） 7．利用幂级数展开，计算 ∫ − 1 0 2 1 ln dx x x 。 8． (1) 应用 4 π = arctan 2 1 + arctan 3 1 , 计算π的值，要求精确到10 −4 ； (2) 应用 6 π = arcsin 2 1 , 计算π的值，要求精确到10 −4 。 9．利用幂级数展开，计算 ∫ 3 − 1 1 e dx x 的值，要求精确到10 −4 。 6
题10.5 1.求f(x)=x的 Bernstein多项式Bn(,x) 2.设f(x)=√x,x∈p,1,求它的四次 Bernstein多项式B4(x) 3.设∫(x)在{a,b]上连续,证明:对任意给定的ε>0,存在有理系数多项式P(x),使得 I P(x)-f(x) 对一切x∈[a,b]成立 4.设∫(x)在[a,b上连续,且对任一多项式g(x)成立 f(x)g(x)dx=0。 证明在[a,b]上成立f(x)≡0。 5.设P(x)=0,Pn1(x)=Pn(x)+ (n=0,1,2;…),证明:(Pn(x)}在[-1,1上一 2 致收敛于|x|。 (提示:应用Din定理)
习 题 10.5 1. 求f (x) = x 3 的Bernstein多项式 Bn (f , x)。 2. 设 f (x) = x ，x∈[0, 1]，求它的四次 Bernstein 多项式 B4 (f ,x)。 3. 设 f (x)在[a, b]上连续，证明：对任意给定的ε＞0，存在有理系数多项式 P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切 x∈[a, b]成立。 4. 设 f (x)在[ , a b]上连续，且对任一多项式 g(x) 成立 ( ) ( ) = 0 ∫ b a f x g x dx 。 证明在[ , a b]上成立 f (x) ≡ 0。 5. 设 (x) = 0， (x) = (x) + P0 Pn+1 Pn 2 ( ) 2 2 x P x − n （n = 0,1,2,…），证明：｛ (x)｝在[-1,1]上一 致收敛于｜x｜。 Pn （提示：应用 Dini 定理） 7
第十章 第1节 1.(1)(i)非一致收敛(i)一致收敛 (2)一致收敛 (3)()非一致收敛(i)一致收敛 (4)(i)非一致收敛(i)一致收敛 (5)一致收敛 (6)非一致收敛 (7)()一致收敛(i)非一致收敛 (8)()非一致收敛.(i)非一致收敛 (9)非一致收敛 (10)(i)非一致收敛(i)一致收敛 (11)(i)非一致收敛(i)一致收敛 (12)(i)非一致收敛(i)一致收敛 4.不成立; lim s(1)=≠S"(1) 5.(1)a0,证明{Sn(x)在[a+nb-上一致收敛于S(x)取00,3δ>0,vx,x"∈{a+a,b-a] 只要x-x-N且x∈口+nb-川]时,x+∈口+a,b-d],于是|Sn(x)-S(x)= S(5)-S(x)0,38>0,当x∈[-81]时, "S(x)N时,对一切 x∈p-]成立|x<元 第2节 1.(1)非一致收敛 (2)一致收敛 (3)一致收敛
第十章 第 1 节 1．（1）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. （2）一致收敛. （3）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. （4）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. （5）一致收敛. （6）非一致收敛. （7）(i) 一致收敛. (ii) 非一致收敛. （8）(i) 非一致收敛. (ii) 非一致收敛. （9）非一致收敛. （10）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. （11）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. （12）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. 4. 不成立; '(1) 2 1 lim (1) ' Sn S n = ≠ →∞ . 5. (1) α 0 , 证明{ } Sn (x) 在[a +η,b −η]上一致收敛于 S'(x) . 取0 0, ∃δ > 0 , ∀x', x"∈ [ ] a +α,b −α , 只要 x'−x" N 且 x∈[ ] a +η,b −η 时, + ∈ n x 1 [a +α,b −α], 于是 Sn (x) − S'(x) = S'(ξ) − S'(x) 0, ∃δ > 0 , 当 x ∈[ ] 1−δ ,1 时, x S(x) N 时, 对一切 x ∈[0,1−δ ] 成立 M x n ε < . 第 2 节 1．（1）非一致收敛. （2）一致收敛. （3）一致收敛. 1
(4)()非一致收敛.(i)一致收敛 (5)一致收敛 (6)一致收敛 (7)一致收敛 (8)一致收敛 (9)(i)非一致收敛(i)一致收敛 (10)一致收敛 (11)非一致收敛 (12)一致收敛 2.提示:证明∑"与-∑”5在(2n)上内闭一致收敛 n=0n-+1 3.提示:证明∑me与(-1)∑ne(k=1,2,,)在(+∞)上内闭一致收敛 4.提示:证明∑n与(-1)4∑nln4n(k=12,…)在(1+∞)上内闭一致收敛; ∑(-1)nx与(-1)∑(-1)"nlnn(k=12,…)在(0,+∞)上内闭一致收敛 5.提示证明∑amnx=∑一1x在(,+)上一致收敛 6.提示:(1)利用Abel判别法证明∑"在)上一致收敛 2)利用Abe判别法证明∑anx”在[]上一致收敛 7.提示:先利用Din定理证明∑",(x)在(ab)内闭一致收敛,再利用 Cauchy 收敛原理证明∑un(x)在(a,b)内闭一致收敛 8.提示不等式∑u1(mu1(o(b外对一切xeb成立,然 后利用 Cauchy收敛原理 9.提示:反证法,设∑un(x)在(aa+)上一致收敛,则VE>0,彐N,对一切
（4）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. （5）一致收敛. （6）一致收敛. （7）一致收敛. （8）一致收敛. （9）(i) 非一致收敛.(ii) 一致收敛. （10）一致收敛. （11）非一致收敛. （12）一致收敛. 2. 提示: 证明 ∑ ∞ =0 +2 1 cos n n nx 与 ∑ ∞ = + − 0 2 1 sin n n n nx 在(0,2π )上内闭一致收敛. 3. 提示: 证明 ∑ 与 在 ∞ = − n 1 nx ne ( 1) ( 1,2, ) 1 − ∑ 1 = " ∞ = + − n e k n k k nx (0,+∞)上内闭一致收敛. 4. 提示: 证明 ∑ 与 在 ∞ = − n 1 x n ( 1) ln ( 1,2, ) 1 − ∑ = " ∞ = − n n k n k x k (1,+∞) 上内闭一致收敛; ∑ ∞ = − − 1 ( 1) n n x n 与( 1) ( 1) ln ( 1,2, )在 1 − ∑ − = " ∞ = − n n k n k n x k (0,+∞)上内闭一致收敛. 5. 提示: 证明 ∑ ∞ = = 1 2 arctan n n x dx d ∑ ∞ = + 1 2 2 2 1 n n x n 在(−∞,+∞) 上一致收敛. 6. 提示: (1) 利用 Abel 判别法证明 ∑ ∞ n=1 x n n a 在[0,δ )上一致收敛. (2) 利用 Abel 判别法证明 ∑ 在 ∞ n=1 n n a x [0,1]上一致收敛. 7． 提示: 先利用 Dini 定理证明 在 内闭一致收敛, 再利用 Cauchy 收敛原理证明 在 内闭一致收敛. ∑ ∞ =1 ( ) n n v x (a,b) ∑ ∞ =1 ( ) n n u x (a,b) 8. 提示: 不等式 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∑ ≤ ∑ ∑ = + = + = + m k n k m k n k m k n k u x u a u b 1 1 1 ( ) max ( ), ( ) 对一切 成立, 然 后利用 Cauchy 收敛原理. x ∈[a,b] 9. 提示: 反证法. 设 ∑ 在 ∞ =1 ( ) n n u x (a, a + δ ) 上一致收敛, 则 ∀ε > 0, ∃N, 对一切 2
m>n>N与一切x∈(aa+δ),成立∑(x)Inl 1 第3节 33 R=1,D=(0,2) (3)R F2,2](4)R=1,D=(-2 + 6)R=1,D=[-1] (7)R=e,D=(-e,e)提示:应用 Stirling公式 (8)R=4,D=(-44).提示:应用 Stirling公式 (9)R=1,D=1).提示:当x=1时应用Rabe判别法
m > n > N 与一切 x ∈ (a, a + δ ) , 成 立 2 ( ) 1 ε ∑ < = + m k n k u x , 再 令 x → a + , 得 到 ε ε ∑ ≤ < = + 2 ( ) 1 m k n k u a , 这说明∑ 在 ∞ =1 ( ) n n u x x = a 收敛. 10. 提示: n n a n n x 2 2 ln ln ln 1 ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + . 11．(2) ∫ 2 = 6 2 3 ( ) ln π π f x dx . 提示：∫ ∑ ∫ ∞ = 2 = 6 1 2 6 2 tan 2 1 ( ) π π π π n n n dx x f x dx 1 1 1 2 cos 3 2 cos ln + ∞ + = ⋅ = ∑ n n n π π ，再利用 ∏ ∞ = = 1 sin 2 cos n n x x x . 12. (2) 提示: ∑ ∞ = + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 3 2 sin 1 2 n n n n n F π π , 这是一个 Leibniz 级数, 它的前两项为 3 30 1 2 2 − . 13. 提示: (1) f (x1 ) − f (x2 ) = ∑ ∑ ∞ = ∞ = + − 0 0 + 1 2 2 1 2 1 n n n n x x ∑ ∞ = ≤ − ⋅ 0 1 2 4 1 n n x x . (2) ∫ = →+∞ A A f x dx 0 lim ( ) ∑∫ ∞ = →+∞ 0 + 0 2 lim n A n A x dx ⎟ = +∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ + ∞ = →+∞ 0 2 lim ln 1 n n A A . 第 3 节 1．（1） 3 1 R = , ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ = − 3 1 , 3 1 D . （2） R = 1, D = (0,2). （3） R = 2 , D = [− 2, 2].（4） R = 1, D = (− 2,0]. （5） R = +∞ , D = (− ∞,+∞). （6） R = 1, D = [−1,1]. （7） R = e , D = (− e,e). 提示: 应用 Stirling 公式. （8） R = 4 , D = (− 4,4). 提示: 应用 Stirling 公式. （9） R = 1, D = [−1,1). 提示：当 x = 1 时应用 Raabe 判别法. 3