习 题11.1 证明定理11.1.1:.距离满足正定性、对称性和三角不等式 证明:若R”中的点列{x4}收敛,则其极限是唯一的。 3.设R”中的点列{x}和{yk}收敛,证明:对于任何实数a,B,成立等式 lim(aa By)=a limxk+ B lim yk 4.求下列R中子集的内部、边界与闭包: (1)S={(x,y)|x>0,y≠0}; (2)S={(x,y)10r); (4)u= arcsin
习 题 11.1 1. 证明定理 11.1.1： 距离满足正定性、对称性和三角不等式。 2. 证明：若 n R 中的点列{xk }收敛，则其极限是唯一的。 3. 设 n R 中的点列{xk }和{yk }收敛，证明：对于任何实数α, β ，成立等式 lim( ) k k k αx + βy →∞ = α k k x →∞ lim + β k k y →∞ lim 。 4. 求下列 2 R 中子集的内部、边界与闭包： （1）S = {(x, y)| x > 0, y ≠ 0}； （2）S = ≤ ； 2 2 {(x, y) | 0 r ； （4） 2 2 arcsin x y z u + = 。 1
2.设 x)(x2+y212(x>0),求f(x) 3.若函数 (x,y)=yy+f(x-1) 且当y=4时z=x+1,求∫(x)和z(x,y)。 4.讨论下列函数当(x,y)趋于(0,0)时的极限是否存在 (1)f(x,y) (2)f(x,y)= (3)f(x,y)= j1,00)x2 cos(x (7) lim (8)lim(x2+y2)e-(x+y)。 (x,y)→+(0.0(x-+y2)xy 8.讨论下列函数在原点的二重极限和二次极限: (1)f(x,y)=2 y+( (2)f(x,y)= x2(1+x2)-y2(1+y2) (3) f(, y)=xsin -+ysin- 9.验证函数 y 0且x20且x2<y< 其它点
2. 设 2 2 3 / 2 3 (x y ) x x y f + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (x > 0) ，求 f (x) 。 3． 若函数 z(x, y) = y + f ( x −1) ， 且当 y = 4时 z = x +1，求 f (x) 和 z(x, y)。 4． 讨论下列函数当(x, y) 趋于(0,0) 时的极限是否存在： （1） x y x y f x y + − ( , ) = ； （2） 2 2 ( , ) x y xy f x y + = ； （3） （4） ⎩ ⎨ ⎧ < ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 其它点 且 且 0, (2 ), 0 2 , 1 , 2 1 , 0 2 2 1 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x x y x x y x x x y x x f x y 2
在原点不连续,而在其它点连续 f(xy)=x2+p2,x2+y2≠0 x2+y2=0 的连续范围 1.设f(1)在区间(a,b)上具有连续导数,D=(a,b)×(a,b)。定义D上的函数 f(x)-fly) F(x,y)= x-y f(x), 证明:对于任何c∈(an,b)成立 lim F(x,y)=f(c) (x,y)→(c,c) 12.设二元函数f(x,y)在开集DcR2内对于变量x是连续的,对于变量y满足 Lipschitz 条件 f(x,y)-f(x,y”)≤Ly 其中(x,y3),(x,y")∈D,L为常数(通常称为 Lipschitz常数)。证明∫(x,y)在D内连 续 3.证明:若∫和g是D上的连续映射,则映射∫+g与函数在D上都是连续的 14.证明复合映射的连续性定理(定理11.2.2)。 习题113 1.设DcR”,∫:D→>Rm为连续映射。如果D中的点列{xk}满足 lim x=a,且 D,证明 limf(xk)=∫(a) 2.设∫是R”上的连续函数,c为实数。设 {x∈R"|f(x)0,点集{x∈R"|∫(x)≤c}是紧集。 5.设二元函数∫在R2上连续。证明
在原点不连续，而在其它点连续。 10. 讨论函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 的连续范围。 11．设 f (t) 在区间(a,b)上具有连续导数， D = (a,b) × (a,b) 。定义 D上的函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′ = ≠ − − = ( ), . , , ( ) ( ) ( , ) f x x y x y x y f x f y F x y 证明：对于任何c ∈ (a,b) 成立 lim ( , ) ( ) ( , ) ( , ) F x y f c x y c c = ′ → 。 12．设二元函数 f (x, y) 在开集 2 D ⊂ R 内对于变量 x 是连续的，对于变量 y 满足 Lipschitz 条件： | f (x, y′) − f (x, y′′) | ≤ L | y'− y′′ | ， 其中(x, y′), (x, y′′)∈D ， L 为常数（通常称为 Lipschitz 常数）。证明 在 内连 续。 f (x, y) D 13．证明：若 f 和 g 是 D 上的连续映射，则映射 f + g 与函数＜f , g＞在 D 上都是连续的。 14. 证明复合映射的连续性定理（定理 11.2.2）。 习 题 11.3 1． 设D⊂ n R ， 为连续映射。如果D中的点列{x m f : D → R k}满足 x = a ，且 →∞ k k lim a∈D，证明 lim f (x ) = f (a) →∞ k k 。 2． 设 f 是 n R 上的连续函数，c 为实数。设 { | f ( ) c} n Ac = x ∈ R x 0 ，点集{x | f (x) ≤ 是紧集。 n ∈ R c} 5． 设二元函数 f 在 2 R 上连续。证明： 3
(1)若,imf(x,y)=+∞,则∫在R2上的最小值必定存在 (2)若,imf(x,y)=0,则∫在R上的最大值与最小值至少存在一个。 6.设∫是R”上的连续函数,满足 (1)当x≠0时成立f(x)>0 2)对于任意x与c>0,成立f(cx)=cf(x)。 证明:存在a>0,b>0,使得 x|≤∫(x)≤b|x|。 7.设∫:R”→Rm为连续映射。证明对于R中的任意子集A,成立 f(4)c∫(4)。 举例说明∫(A)能够是∫(4)的真子集。 8.设∫是有界开区域DcR2上的一致连续函数。证明: (1)可以将∫连续延拓到D的边界上,即存在定义在D上的连续函数∫,使 得A=f (2)∫在D上有界
（1） 若 = +∞ ，则 在 + →+∞ lim ( , ) 2 2 f x y x y f 2 R 上的最小值必定存在； （2） 若 2 lim2 ( , ) = 0，则 在 + →+∞ f x y x y f 2 R 上的最大值与最小值至少存在一个。 6．设 f 是 n R 上的连续函数，满足 (1) 当 x ≠ 0时成立 f (x) > 0 ； (2) 对于任意 x 与c > 0，成立 f (cx) = cf (x)。 证明：存在a > 0, b > 0 ，使得 a | x |≤ f (x)≤b | x | 。 7．设 f : Rn → Rm 为连续映射。证明对于 n R 中的任意子集 A，成立 f (A) ⊂ f (A) 。 举例说明 f (A)能够是 f (A)的真子集。 8．设 f 是有界开区域 2 D ⊂ R 上的一致连续函数。证明： （1）可以将 f 连续延拓到D的边界上，即存在定义在D上的连续函数 ，使 得 f ~ f = f D ~ ； （2） f 在D上有界。 4
第十一章 第1节 4(1)S=(x,y)x>0,y≠0};Os={x,y)=0或x>0,y=0};S=4xy)x20 ()s={xy00,y>0,> (3)D={x,y,2)r +<R ()D=(xy:8x2+y2x+y2≠0 2.f(x)= f(x)=x2+2x,=(x,y)=x+vy- 4(1)不存在;(2)不存在;(3)不存在 (4)极限存在为零.提示:利用平均值不等式 x t-x+y
第十一章 第 1 节 4. (1) = { } (x, y) x > 0, y ≠ 0 D S ; ∂ S = {(x, y) x = 0或x > 0, y = 0}; S = { } (x, y) x ≥ 0 . (2) {( , ) 0 1} 2 2 = x y x} 2 2 ; (2) D = { } (x, y,z) x > 0, y > 0,z > 0 ; (3) { } 2 2 2 2 2 D = (x, y,z) r ≤ x + y + z ≤ R ; (4) {( , , ) , 0} 2 2 2 2 D = x y z z ≤ x + y x + y ≠ . 2. 2 3 2 (1 ) 1 ( ) x f x + = . 3. f (x) x 2x , 2 = + z(x, y) = x + y −1. 4. (1) 不存在；（2）不存在；（3）不存在； （4）极限存在为零. 提示: 利用平均值不等式 = + 3 4 8 x y 3 8 8 4 4 8 4 1 3 2 1 2 1 x y x x y ≥ + + . 1
7.(1)1;(2)+∞;(3);(4)2;(5)1;(6)0;(7)+∞;(8)0 8.(1)两个二次极限存在为0,二重极限不存在; (2)两个二次极限存在分别为1和-1,二重极限不存在; (3)两个二次极限不存在,二重极限存在为0。 1l.提示:利用 Lagrange中值定理f(x)-f(y)=f()(x-y) 12.提示:利用(x,y)-f(x0,y0)≤|(x,y)-f(xy0)+f(x,y0)-f(xo,y0 第3节 3.提示:f(1-,1-)-f(1--,1--)→+ 2 2 5.(1)提示:任取一点(x0,y),由,limf(x,y)=+,可知存在R>0,当 x2+y2>R2,成立f(x,y)>f(x,y0)。f(x,y)在紧集{(x,yx2+y2≤R2}上必 定取到最小值,且此最小值就是它在R2上的最小值 (2)提示:任取(x0,y0),设f(xy)>0,由,limf(x,y)=0,可知存在R>0, 当x2+y2>R2,成立f(x,y)0,当x2+y2>R2,成立f(x,y)>f(x,10), 则f(x,y)在紧集{xy)x2+y2sR2}上必定取到最小值,且此最小值就是它在 R2上的最小值。 6.提示:单位球面是R"上的紧集,设∫在单位球面上的最小最大值分别为a和 b,再利用f(x)={x 8.提示:设s∈aD,证明对任意点列{xn}(xn∈D,xn→5),点列{f(x)}收敛, 且极限只与5有关,而与点列{xn}的选取无关,记该极限为g(),令 ∫f(x)x∈D g(x)x∈OD 再证明∫在D连续
7. （1）1;（2）+ ∞ ;（3） 2 1 ;（4）2 ;（5）1;（6）0 ;（7）+ ∞ ;（8）0 . 8. (1) 两个二次极限存在为0 ，二重极限不存在； （2）两个二次极限存在分别为1和−1，二重极限不存在； （3）两个二次极限不存在，二重极限存在为0 。 11. 提示：利用 Lagrange 中值定理 f (x) − f ( y) = f '(ξ )(x − y). 12．提示: 利用 f (x, y) − f (x0 , y0 ) ≤ f (x, y) − f (x, y0 ) + ( , ) ( , ). 0 0 0 f x y − f x y 第 3 节 3. 提示： − − ) − 2 1 ,1 2 1 (1 n n f − − ) → +∞ 1 ,1 1 (1 n n f . 5.（1）提示：任取一点(x0 , y0 ) ，由 = +∞ + →+∞ lim ( , ) 2 2 f x y x y ，可知存在 ，当 ，成立 。 在紧集 R > 0 2 2 2 x + y > R ( , ) ( , ) 0 0 f x y > f x y f (x, y) {( , ) } 2 2 2 x y x + y ≤ R 上必 定取到最小值，且此最小值就是它在 2 R 上的最小值； （2）提示：任取(x0 , y0 ) ，设 f (x0 , y0 ) > 0 ，由 lim ( , ) 0 2 2 = + →+∞ f x y x y ，可知存在 ， 当 ，成立 ，则 在紧集 R > 0 2 2 2 x + y > R ( , ) ( , ) 0 0 f x y 0 2 2 2 x + y > R ( , ) ( , ) 0 0 f x y > f x y f (x, y) {( , ) } 2 2 2 x y x + y ≤ R 上必定取到最小值，且此最小值就是它在 2 R 上的最小值。 6．提示：单位球面是 n R 上的紧集，设 在单位球面上的最小最大值分别为 和 ，再利用 f a b ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = x x f (x) x f 。 8. 提示: 设ς ∈ ∂D , 证明对任意点列{xn } ( xn ∈ D , → ς n x ), 点列{ 收敛, 且极限只与 f (xn )} ς 有关, 而与点列{xn }的选取无关, 记该极限为 g(ς ) , 令 ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∂ ∈ = g x x D f x x D f x ( ) ( ) ( ) ~ ， 再证明 f ~在 D 连续。 2