第九章习题 习题9.1 1.讨论下列级数的收敛性。收敛的话,试求出级数之和 (1) hal n(n+2) =3n+1 62n(n+1m+2) ∑ ∑(√m+2-2Ⅶm+1+√m) 2n-1 3" (9)∑q" cos nx(|qk1) 2.确定x的范围,使下列级数收敛。 (3)∑x"(1-x 3.求八进制无限循环小数(36.0736073607…)8的值 4设x,=x(0-xyd,求级数∑,的和 5.设抛物线l:y=nx2+和l”:y=(+1)x2+1 的交点的横坐标的绝对值为 (n=1.2.…) (1)求抛物线ln与l所围成的平面图形的面积Sn; (2)求级数∑的和 9.2 1.求下列数列的上极限与下极限 n 4s0 (3)xn=n[(-1)+2 /n+1+ 2.证2(-1)y+1+3(1
第九章习题 习 题 9.1 1. 讨论下列级数的收敛性。收敛的话，试求出级数之和。 ⑴ ∑ ∞ =1 ( + 2) 1 n n n ; ⑵ ∑ ∞ =1 3 +1 2 n n n ; ⑶ ∑ ∞ =1 ( +1)( + 2) 1 n n n n ; ⑷ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 3 1 2 1 n n n ; ⑸ ∑ ∞ =1 1 n n n ; ⑹ ∑ ∞ = − + + 1 2 1 1 3 5 4 n n n n ; ⑺ ∑ ∞ = + − + + 1 ( 2 2 1 ) n n n n ; ⑻ ∑ ∞ = − 1 3 2 1 n n n ; ⑼ ∑ ∞ =0 cos n n q nx (| q |< 1). 2. 确定 x 的范围，使下列级数收敛。 ⑴ ∑ ∞ =1 (1− ) 1 n n x ; ⑵ ∑ ∞ =1 e n nx ; ⑶ ∑ ∞ = − 1 (1 ) n n x x . 3. 求八进制无限循环小数 (36.0736073607 … )8 的值。 4. 设 ，求级数 的和。 ∫ = − 1 0 2 x x (1 x) dx n n ∑ ∞ n=1 n x 5. 设抛物线ln ： n y nx 2 1 = + 和 nl′ ： 1 1 ( 1) 2 + = + + n y n x 的交点的横坐标的绝对值为 （ ）。 n a n = 1,2," (1) 求抛物线ln 与 nl′ 所围成的平面图形的面积 Sn ； (2) 求级数∑ ∞ n=1 n n a S 的和。 习 题 9.2 1. 求下列数列的上极限与下极限 (1) x = n 2n +1 n 5 2 cos nπ ； (2) x = n + (-1) n n n n 1 2 + ； (3) x = -n [ (-1) n n + 2]； (4) x = n n n +1 + sin 3 nπ ； (5) x = 2 (-1) n n+1 +3 2 ( 1) ( 1) − − n n 。 2. 证明： 1
climx. c>0 (1) lim(x )=-lim x.: (2)lim(cx) 0 3.证明 (1)lim(xn+yn)>lim xn+lim yn: n→∞ (2)若limx,存在,则 lim(x +y, lim x, + lim y →① 证明:若 lim x=x,-∞0) 2.利用级数收敛的必要条件,证明 (2)lim(2m)! 3.利用Rabe判别法判断下列级数的收敛性:
(1) n→∞ lim (- x ) = - n n→∞ lim xn ； (2) n→∞ lim (c x ) = n ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ →∞ →∞ lim , 0. lim , 0, c x c c x c n n n n 3. 证明： (1) n→∞ lim ( xn + yn ) ≥ n→∞ lim xn + n→∞ lim n y ； (2) 若 lim 存在，则 n→∞ n x n→∞ lim ( x + )= + n n y n→∞ lim xn n→∞ lim n y 。 4. 证明：若 lim = x，-∞ ＜ x ＜ 0, 则 n→∞ xn n→∞ lim ( x )= n n y lim n→∞ ⋅ n x n→∞ lim n y ； n→∞ lim ( x )= n n y lim n→∞ ⋅ n x n→∞ lim n y 。 习 题 9.3 1. 讨论下列正项级数的收敛性： ⑴ ∑ ∞ =1 +4 1 4 n n n ; ⑵ ∑ ∞ =1 +3 2 3 2 n n n n ; ⑶ ∑ ∞ =2 2 ln 1 n n ; ⑷ ∑ ∞ =1 ! 1 n n ; ⑸ ∑ ∞ =1 2 ln n n n ; ⑹ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 cos n n π ; ⑺ ∑ ∞ =1 1 n n n ; ⑻ ( 1) 1 ∑ − ∞ n= n n ; ⑼ ∑ ∞ =1 2 n 2n n ; ⑽ ∑ ∞ = + + − 1 2 1 2 [2 ( 1) ] n n n n ; ⑾ ∑ ∞ = − 1 2 e n n n ; ⑿ ∑ ∞ =1 2 ! n n n n n ; ⒀ ∑ ∞ = + − − 1 2 2 ( 1 1) n n n ; ⒁ ∑ ∞ = − + − − 1 2 2 (2 1 1) n n n n ; ⒂ ∑ ∞ = − + 2 2 2 1 1 ln n n n ; ⒃ ∑ ∞ =3 ln cos n n π ; ⒄ ∑ ∞ =1 + + + 2 n (1 )(1 ) (1 ) n n a a a a " (a＞0)。 2. 利用级数收敛的必要条件，证明： (1) lim n→∞ 2 (n!) nn = 0； (2) lim n→∞ ( 1) 2 (2 )! n n+ n = 0。 3. 利用 Raabe 判别法判断下列级数的收敛性： 2
(1) (a>0); (a+1)(a+2)…(a+n 4.讨论下列级数的收敛性: (1) d x (3)∑["ln(1+x)dx。 5.利用不等式 证明: im|1+-+-+…+--lnn 存在(此极限为 Euler常数γ—见例248 6设∑x与∑y是两个正项级数,若lm=0或+∞,请问这两个级数的收敛性关 系如何 7.设正项级数∑x收敛,则∑x2也收敛:反之如何? 8设正项级数∑x收敛,则当P>时,级数∑D收敛:又问当0≤时,结论 是否仍然成立? 9.设∫(x)在[+∞)上单调增加,且limf(x)=A。 (1)证明级数∑U(On+1)-f(m)收敛,并求其和 (2)进一步设f(x)在+∞)上二阶可导,且∫"(x)0,证明级数∑收敛 1l设xn>0,2>1-(m=1.2…),证明∑x发散。 12.设正项级数∑x发散(xn>0,n=12,…),证明必存在发散的正项级数∑y 使得1imyn=0。 提示:设Sn=∑x,令n=S,yn=√S,-√Sm(n=234…)
(1) ∑ ∞ =1 ( +1)( + 2) ( + ) ! n a a a n n " (a＞0)； (2) ∑ ∞ =1 ln 3 1 n n ； (3) n n 1 2 1 1 1 2 1 + + + ∞ = ∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ " 。 4. 讨论下列级数的收敛性： (1) ∑∫ ∞ =1 − 1 0 d n 1 n x x x ； (2) ∑∫ ∞ = π π 1 2 2 2 d sin n n n x x x ； (3) ∑∫ ∞ = + 1 1 0 ln(1 ) d n n x x 。 5. 利用不等式 1 1 n + ＜ ∫ n+1 d n x x ＜ n 1 ，证明： lim n→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + − n n ln 1 3 1 2 1 1 " 存在(此极限为 Euler 常数 γ — 见例 2.4.8)。 6. 设∑ 与∑ 是两个正项级数，若 ∞ n=1 n x ∞ n=1 n y lim n→∞ n n y x = 0 或 +∞，请问这两个级数的收敛性关 系如何? 7. 设正项级数∑ 收敛，则 也收敛；反之如何? ∞ n=1 n x ∑ ∞ =1 2 n n x 8. 设正项级数∑ 收敛，则当 p＞ ∞ n=1 n x 2 1 时，级数∑ ∞ n=1 p n n x 收敛；又问当 0＜p≤ 2 1 时，结论 是否仍然成立? 9．设 f (x) 在[1,+∞) 上单调增加，且 f x A x = →+∞ lim ( ) 。 （1）证明级数∑ 收敛，并求其和； ∞ = + − 1 [ ( 1) ( )] n f n f n （2）进一步设 f (x) 在[1,+∞) 上二阶可导，且 f ′′(x) 0 ，证明级数∑ ∞ n=1 n n a λ 收敛。 11. 设 xn ＞0， n n x x +1 ＞ n 1 1− (n = 1,2,…)，证明∑ 发散。 ∞ n=1 n x 12．设正项级数∑ 发散（ ， ∞ n=1 n x xn > 0 n = 1,2,"），证明必存在发散的正项级数∑ ， ∞ n=1 n y 使得 lim = 0 →∞ n n n x y 。 （提示：设 ∑ ，令 = = n k n k S x 1 1 1 y = S ， n = Sn − Sn−1 y (n = 2,3,4,") ） 3
13.设正项级数∑x发散,Sn=∑x,证明级数∑收敛 (提示:利用不等式2≤ S. 14.设{an}为 Fibonacci数列。证明级数∑红收敛,并求其和 (提示:利用 Fibonacci数列的性质an=an+an1及lim2n_√5+1∠2) 习题9.4 1.讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛) (1)1- 2y( (x≠-n); n+1 )∑(-1)"sin n (5)2(-1) n ()∑(-1) x (8) y sin(n+ D)x cos(n-D).r 2+ ()∑(-1ynx 0 ∑(-1) (3n-2)(3n+2) (2 nP Ing n 2.利用 Cauchy收敛原理证明下述级数发散 56789 89 3.设正项级数∑x收敛,(xn}单调减少,利用 Cauchy收敛原理证明: lim nx=0 4.若对任意E>0和任意正整数p,存在N(E,P),使得 刀+2 对一切n>N成立,问级数∑x是否收敛?
13. 设正项级数∑ 发散， ，证明级数 ∞ n=1 n x ∑= = n k n k S x 1 ∑ ∞ =1 2 n n n S x 收敛。 (提示：利用不等式 2 n n S x ≤ 1 1 − − − n n n n S S S S ) 14．设{an }为 Fibonacci 数列。证明级数∑ ∞ n=1 2n n a 收敛，并求其和。 （提示：利用 Fibonacci 数列的性质 an+1 = an + an−1 及 2 2 5 1 lim 1 0 ). 2. 利用 Cauchy 收敛原理证明下述级数发散： ⑴ 1 + 2 1 - 3 1 + 4 1 + 5 1 - 6 1 + 7 1 + 8 1 - 9 1 +… ; ⑵ 1 - 2 1 + 3 1 + 4 1 - 5 1 + 6 1 + 7 1 - 8 1 + 9 1 + … 。 3. 设正项级数∑ 收敛，｛ ｝单调减少，利用 Cauchy 收敛原理证明： = 0。 ∞ n=1 n x n x n n nx →∞ lim 4. 若对任意ε ＞0 和任意正整数 p，存在 N(ε , p) ，使得 ｜ x n+1 + xn+2 + … + xn+ p ｜＜ε 对一切 n＞N 成立，问级数∑ 是否收敛? ∞ n=1 n x 4
5.若级数∑xn收敛,lim l,问级数∑y是否收敛 7→ 6.设xn≥0,1imxn=0,问交错级数∑(-)xn是否收敛 7.设正项数列{xn}单调减少,且级数∑(-1)”xn发散。问级数 是否收敛?并 说明理由。 8.设级数∑收敛,则当a>a6时,级数∑加也收敛。 9.若(nxn}收敛,∑m(xn-xn)收敛,则级数∑xn收敛 10.若∑(xn-xn)绝对收敛,∑yn收敛,则级数∑xnyn收敛。 设f(x)在[-1上具有二阶连续导数,且 lim 0 证明级数立门)他对收 已知任意项级数发微,证明数(+也发 13设x01m川-1>0证明:交错级数∑(”x,收数 示:证明存在正数a,当n充分大时,数列{“x}单调减少) 14.利用 23 nn→y(n→>∞) 其中y是Eur常数(见例248),求下述(-) 的更序级数的和 1+ 325749116 15.利用级数的 Cauchy乘积证明: 1) a(区)E)∑m 习题95 1.讨论下述无穷乘积的收敛性
5. 若级数∑ 收敛， ∞ n=1 n x lim n→∞ n n y x = 1，问级数∑ 是否收敛? ∞ n=1 n y 6. 设 ≥0， = 0，问交错级数 是否收敛? n x lim n→∞ n x n n n ∑ x ∞ = + − 1 1 ( 1) 7. 设正项数列{xn }单调减少，且级数∑ 发散。问级数 ∞ = − 1 ( 1) n n n x ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1+ 1 n n n x 是否收敛？并 说明理由。 8. 设级数∑ ∞ =1 0 n n n x α 收敛，则当α > α 0 时，级数∑ ∞ n=1 n n x α 也收敛。 9. 若｛nxn ｝收敛，∑ 收敛，则级数∑ 收敛。 ∞ = − − 2 1 ( ) n n n n x x ∞ n=1 n x 10. 若∑ 绝对收敛， 收敛，则级数 收敛。 ∞ = − − 2 1 ( ) n n n x x ∑ ∞ n=1 n y ∑ ∞ n=1 n n x y 11．设 f (x) 在[−1,1]上具有二阶连续导数，且 0 ( ) lim 0 = → x f x x 。 证明级数∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 n n f 绝对收敛。 12. 已知任意项级数 ∑ 发散，证明级数 ∞ n=1 n x ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 1 n n x n 也发散。 13. 设 ＞0， n n x lim n→∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + 1 n 1 n x x ＞0，证明：交错级数 n 收敛。 n n ∑ x ∞ = + − 1 1 ( 1) （提示：证明存在正数α ，当 n 充分大时，数列{n xn } α 单调减少） 14. 利用 1 + 2 1 + 3 1 + … + n 1 - ln n → γ ( n → ∞ )， 其中γ 是 Euler 常数(见例 2.4.8)，求下述∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n 的更序级数的和： 1 + 3 1 - 2 1 + 5 1 + 7 1 - 4 1 + 9 1 + 11 1 - 6 1 + … 。 15. 利用级数的 Cauchy 乘积证明： (1) ∑ ⋅ ∞ =0 ! 1 n n ∑ ∞ = − 0 ! ( 1) n n n = 1； (2) ⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q ∑ ∞ = + 0 ( 1) n n n q 2 (1 ) 1 − q (｜q｜＜1 ) 。 习 题 9.5 1. 讨论下述无穷乘积的收敛性 ⑴ ∏ ∞ =1 +2 2 n n 1 n ; ⑵ ∏ ∞ = − + 2 1 1 n n n ; 5
COS nsin n (p,q>0) 2.计算下述无穷乘积的值: (2) n(n+1) 3.设0<x<z,∑x收敛,则∏cosx收敛 4设1a.1<x,∑|an收敛,则门uan(+a绝对收敛 5.证明 0 2.4·6…(2n) (2)lim B(B+1)B+2)…(B+n) a(a+1)(a+2)…( 0(0<B<a 6.设|q|<1,证明 (提示: +4)-n-q)f-)=i-q q k=n+1 设a2 证明级数∑an与∑a都发散,但无穷乘 积∏(1+an)收敛
⑶ ∏ ∞ =3 cos n n π ; ⑷ ∏ ∞ =1 1 sin n n n ; ⑸ ∏ ∞ =1 1 e n nx ; ⑹ ∏= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − m n n x 1 2 2 2 1 π ; ⑺ ∏= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + m n n n x 1 2 1 ; ⑻ ∏ ∞ = + 1 1 1 n n n ; ⑼ ∏ ∞ = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 e n n x n x ; ⑽ ∏ ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 cos 1 1 n p q n n π （ p, q > 0 ）. 2. 计算下述无穷乘积的值： (1) ∏ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 1 n n ; ⑵ ∏ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 ( 1) 2 1 n n n ; (3) ∏ ∞ = + − 2 3 3 1 1 n n n 。 3. 设 0＜ xn ＜ 2 π ，∑ 收敛，则∏ 收敛。 ∞ =1 2 n n x ∞ =1 cos n n x 4. 设｜ an ｜＜ 4 π ，∑ 收敛，则 ∞ =1 | | n an ∏ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 4 tan n an π 绝对收敛。 5. 证明： (1) lim n→∞ 0 2 4 6 (2 ) 1 3 5 (2 1) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − n n " " ； (2) lim n→∞ 0 ( 1)( 2) ( ) ( 1)( 2) ( ) = + + + + + + n n α α α α β β β β " " ( 0 < β < α )。 6. 设｜q｜＜1，证明： ∏( ) ∞ = + 1 1 n n q = ∏( )。 ∞ = − − 1 2 1 1/ 1 n n q ( 提示：∏( ) = = + n k k q 2 1 1 ∏( ) ∏( ) = = − − n k k n k k q q 2 1 2 1 2 1 1 ∏( ) ∏( ) = − = + = − − n k k n k n k q q 1 2 1 2 1 2 1 1 ） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + n n 1 1 1 ∑ ∞ =1 2 n n 7. 设 a n a n 1 2 −1 = − ， n a n 1 2 = + ，证明级数 与 都发散，但无穷乘 积∏ 收敛。 ∑ ∞ n=1 n a ∞ = + 2 (1 ) n n a 6
第九章 第1节 1.(1)S=3.(2)发散.(3)S=.(4)S=.(5)发散.(6)S=3 (7)S= -√2+1.提示:Sn=Vn+2-√+1-√2+1 (8)S=1.提示:设Sn=∑ 则3S, 2k+1 ∑一,再两式相减 k=13 (9)S= g cos 提示:由∑q?em 利用Euer公式 2g cos0+q cosb+ isin e,对上式两边取实部 2.(1)(-∞0)U(2+∞).(2)(-∞,0).(3)(-1 提 n+1n+2n+3 5.(1)Sn=3an,其中an=1 n(n+1 n=1 a 第2节 1.(1) lim xn2 n-o n→ cos=.(2) lim xn=+oo, Iim xn=0 H→ (3) lim x.=-o0, lim x.=-oo.(4) lim x=1+ n→0 (5) lim x=5, lim x=-5 n→ 第3节 1.(1)收敛.(2)发散(3)发散.(4)收敛.(5)收敛.(6)收敛 (7)发散(8)发散.(9)收敛.(10)收敛.(11)收敛.(12)收敛 (13)发散.(14)收敛.(15)收敛.(16)收敛(17)收敛 3.()lm32-1|=a,所以当a>1时,级数收敛,当0<a<1时,级数发散 当a=1 级数发散
第九章 第 1 节 1．（1） 4 3 S = .（2）发散.（3） 4 1 S = .（4） 2 1 S = .（5）发散.（6） 20 9 S = 3 . （7） S = − 2 +1. 提示：Sn = n + 2 − n +1 − 2 +1. （8）S =1. 提示：设 ∑ = − = n k n k k S 1 3 2 1 ，则 ∑ = − − = n k n k k S 1 1 3 2 1 3 ∑ − = + = 1 0 3 2 1 n k k k ，再两式相减. （9） 2 1 2 cos 1 cos q q q S − + − = θ θ . 提示：由 ∑ ∞ = − = 0 1 1 n i n in qe q e θ θ ，利用 Euler 公式 θ θ θ e cos isin i = + ，对上式两边取实部. 2．（1）(−∞,0) ∪ (2,+∞).（2）(−∞,0).（3）(−1,1]. 4． ∑ ∞ = = 1 6 1 n n x . 提示： 3 1 2 2 1 1 + + + − + = n n n xn . 5．(1) 3 3 4 Sn = an , 其中 ( 1) 1 + = n n an . (2) 3 4 1 ∑ = ∞ n= n n a S . 第 2 节 1．（1） 2 1 lim = →∞ n n x ， 5 cos 2 1 lim π = − →∞ n n x .（2） = +∞ →∞ n n lim x ， lim = 0 →∞ n n x . （3） = −∞ →∞ n n lim x ， = −∞ →∞ n n lim x .（4） 2 3 lim = 1+ →∞ n n x ， 2 3 lim = 1− →∞ n n x . （5） lim = 5 →∞ n n x ， lim = −5 →∞ n n x . 第 3 节 1．（1）收敛.（2）发散.（3）发散.（4）收敛.（5）收敛.（6）收敛. （7）发散.（8）发散.（9）收敛.（10）收敛.（11）收敛.（12）收敛. （13）发散.（14）收敛.（15）收敛.（16）收敛.（17）收敛. 3．(1) a x x n n n n =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ lim 1 1 , 所以当a > 1时, 级数收敛，当0 < a < 1时, 级数发散； 当a = 1， 1 1 + = n xn ，级数发散. 1
(2)lim 1|=ln3>1,级数收敛 n→,① (3)lim n -n- 1|=hn20,使得mxn12a. 12.提示设S=∑x,令n=√S,yn=√Sn-√Sn1(n=234,…) 13.提示利用不等式x≤Sn-Sn S 14.提示:注意 Fibonacci数列的性质an+1=an+an1与mamy5+1绝对收敛,当p1时发散 (9)当<2时绝对收敛,当对≥2时发散(10)条件收敛 (11)当冈<1时绝对收敛
(2) lim 1 ln3 1 1 = > ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ n n n x x n , 级数收敛. (3) lim 1 ln 2 1 1 = 0 , 使得nxn+1 ≥ α . 12．提示: 设 ∑ , 令 ∞ = = k 1 n k S x 1 S1 y = , ( 2,3,4, ) yn = Sn − Sn−1 n = " . 13．提示: 利用不等式 n n n n n n n n S S S S S S S x 1 1 1 1 1 2 = − − ≤ − − − . 14. 提示: 注意 Fibonacci 数列的性质 an+1 = an + an−1 与 2 2 5 1 lim 1 1 绝对收敛, 当 p ≤ 1时发散. （9）当 x < 2 时绝对收敛, 当 x ≥ 2 时发散.（10）条件收敛. （11）当 x < 1时绝对收敛; 2
当x=1时P>1成n=191绝对收敛 其他情况 发散 P>1或p=1,q>1 绝对收敛 当x=-1时p=1q≤域或00条件收敛; 其他情况 发散 当{x>1时发散 (12)当a>1时绝对收敛;当00 5.∑yn不一定收敛反例:x.=(-1 n 6.∑(-1)xn不一定收敛反例:xn n=2k-1 k 7.收敛;提示:imxn=a>0 8.提示:∑x ),利用Abel判别法 n-o 9.提示:令an=xn,bn=1,则Bk=k,利用Abel变换得到 xk =x k=1 10.提示:由于∑y收敛,vE>0.3N,n>N,vp∈N*:∑<.由于 ∑(xn-xn)绝对收敛,所以收敛,于是可知{xn}有界设∑xn-xl=A, x≤B,令B4=ym1+ym2+…+ym,利用Abel变换得到 l-Ek x =*p B,-*+*)Bk<(A+B)E 1l提示:首先有f(0)=0,f(O)=0,于是1~"0)1
当 x = 1时, ; ⎩ ⎨ ⎧ > = > 其他情况 p 1或p 1, q 1 发散 绝对收敛 当 x = −1时, ; ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≤ > = > 其他情况 或 或 或 1, 1 0 1 0, 0 1 1, 1 p q p p q p p q 发散 条件收敛 绝对收敛 当 x > 1时发散. （12）当a > 1时绝对收敛; 当0 0 →∞ n α n x . 8. 提示: ∑ ∞ n=1 n n x α ) 1 ( 1 ∑ 0 0 ∞ = − = ⋅ n n n n x α α α , 利用 Abel 判别法. 9. 提示: 令an = xn ,bn = 1, 则 B k k = , 利用 Abel 变换得到 ∑ ∑ . = − = = − + − n k n k k n k k x nx k x x 1 1 1 1 ( ) 10. 提 示 : 由 于 ∑ 收 敛 , ∞ n=1 n y 0, , , N : + ∀ε > ∃N ∀n > N ∀p ∈ ∑ < ε + = + n p k n k y 1 . 由 于 ∑ 绝对收敛, 所以收敛,于是可知 ∞ = + − 2 1 ( ) n n n x x {xn } 有界. 设 x x A n ∑ n − n = ∞ = + 2 1 , xn ≤ B , 令 k n n n k B y y y = +1 + +2 +"+ + , 利用 Abel 变换得到 ( ) ( )ε 1 1 1 x y x B x x B A B n p k n p p k k k n p k n ∑ k k = − ∑ − < + + = + + + = + . 11. 提示: 首先有 f (0) = 0 , f '(0) = 0 , 于是 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n f 1 ～ 2 1 2 "(0) n f ⋅ . 3
12.提示:反证法令yn=(1+-)xn,若∑yn收敛,则由Abel判别法,∑xn 收敛 13.提示由1mx-1|>0,可知数列{)}当n充分大时是单调减少的,同 时存在B>a>0,当n充分大时,成立互>1+B>(+y,这说明数列 p2xn}当n充分大时也是单调减少的于是n3xn≤A,从而数列{n}趋于零 14.1n2.提示:设bn=1+1,l In n.c.= n n+1n+2 更序级数1+11111 325749116 的部分和数列为{Sn} 则有Sn=b4n-bn-Cn+2ln2.再利用 lim b=y与lmcn=ln2 第5节 (1)收敛(2)发散(3)收敛.(4)收敛.(5)当x>1时收敛,当x≤1时发 散(6)收敛(7)当1时收敛,当min(p,2q)≤1时发散 2.(1):提示: k=2 2 提 1n+2 k(k+1))3 (3);提示:门k3-1_2n2+n+1 1k3+13m(n-1) 3.提示:设 则0 4.提示:设tan(n+an)=1+an,则lin
12．提示： 反证法. 令 n n x n y ) 1 = (1+ , 若 ∑ 收敛, 则由 Abel 判别法, ∞ n=1 n y ∑ = ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 +1 n y n n 收敛. 13. 提示: 由 lim 1 0 1 >⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ n n n x x n , 可知数列{xn }当 充分大时是单调减少的; 同 时存在 n β > α > 0 , 当 n 充分大时, 成立 β α ) 1 1 (1 x 1 n n x n n > + > + + , 这说明数列 {n xn } α 当n充分大时也是单调减少的, 于是nα xn ≤ A , 从而数列{xn }趋于零. 14. ln 2 2 3 . 提示: 设 = 1 + bn 2 1 + 3 1 + … + n 1 - ln n, n n n cn 2 1 2 1 1 1 + + + + + = " , ∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n 的更序级数 1 + 3 1 - 2 1 + 5 1 + 7 1 - 4 1 + 9 1 + 11 1 - 6 1 + … 的部分和数列为 , 则有 { } Sn 2ln 2 2 1 S3n = b4n − bn − cn + . 再利用 = γ →∞ n n lim b 与 lim = ln 2 →∞ n n c . 第 5 节 1．（1）收敛.（2）发散.（3）收敛.（4）收敛.（5）当 时收敛，当 时发 散.（6）收敛.（7）当 x > 1 x ≤ 1 x 1时收敛，当min( p,2q) ≤ 1时发散. 2. (1) 2 1 ; 提示： ∏ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − n k 2 k 2 1 1 n n 1 2 1 + = ⋅ . (2) 3 1 ; 提示： ∏ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − n k 2 k(k 1) 2 1 n n 2 3 1 + = ⋅ . (3) 3 2 ; 提示： ∏ = + − n k k k 2 3 3 1 1 ( 1) 1 3 2 2 − + + = ⋅ n n n n . 3. 提示： 设 n n cos x = 1−α , 则 2 2 1 0 n n < α < x . 4. 提示： 设 n n a α π + ) = 1+ 4 tan( , 则 lim = 2 →∞ n n n a α . 4