习题3.1 1.按函数极限的定义证明 (1)limx3=8 (2) lim 11 (3) lim (4)lim →3x x→ (5) lim In x=-∞; (6)Iime-=0 )li 2.求下列函数极限: (1)lim x2 3x5-5x3+2x (3)lim (0)1im(1+2x)1+3)-1 (5)lim +x (6)lim (1+mx)2-(l+nx) x→0 Sinx- (7) lim lim coS x-coS 3x tan x-sin x (9)li (0) lim 3.利用夹逼法求极限: (1)lim - 4.利用夹逼法证明: 0(a>1,k为任意正整数) x→+a lr 0(k为任意正整数 5.讨论单侧极限: 0<x≤1, (1)f(x)={x2,1<x<2,在x=0.2三点 <X< 2)f(x)= 在x=0点; (3) Dirichlet函数 D(={x为有理数 0,x为无理数,在任意点: 1 (n=1,2,3,…)
习 题 3.1 1. 按函数极限的定义证明： ⑴ lim x→2 x 3 ＝8； ⑵ lim x→4 x = 2； ⑶ lim x→3 x x − + 1 1 ＝ 1 2 ； ⑷ lim x→∞ x x + − 1 2 1 = 1 2 ； ⑸ lim ln x x → +0 = − ∞ ； ⑹ lim x→+∞ e− x ＝0； ⑺ lim x→ +2 2 4 2 x x − = +∞ ； ⑻ lim x→−∞ x x 2 +1 = −∞ 。 2. 求下列函数极限： ⑴ lim x→1 x x x 2 2 1 2 1 − − − ； ⑵ lim x→∞ x x x 2 2 1 2 1 − − − ⑶ lim x→0 3 5 2 3 5 3 5 3 x x x x x − + − + x ； ⑷ lim x→0 ( ) 1 2 + x x (1+ 3 ) −1 x ； ⑸ lim x→0 ( ) 1 1 + − x x n ； ⑹ lim x→0 ( ) 1 1( ) 2 + − mx + nx x n m ； ⑺ lim x a → sin x a sin x a − − ； ⑻ lim x→0 x x 2 1− cos ； ⑼ lim x→0 cos x x cos x − 3 2 ； ⑽ lim x→0 3 tan sin x x − x 。 3. 利用夹逼法求极限： ⑴ lim x→0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 1 ； ⑵ lim x→+∞ x x 1 。 4. 利用夹逼法证明： (1) lim x→+∞ x a k x = 0 (a＞1，k 为任意正整数)； (2) lim x→+∞ lnk x x = 0 (k 为任意正整数); 5. 讨论单侧极限： (1) f x( ) = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < < < < < ≤ 2 2 3, , 1 2, , 0 1, 2 1 2 x x x x x x 在 x = 0,1,2 三点； (2) f x( ) = 2 1 2 1 1 1 x x + − ， 在 x = 0 点； (3) Dirichlet 函数 D (x) = 在任意点； ⎩ ⎨ ⎧ 0, , 1, , 为无理数 为有理数 x x (4) f x( ) = x 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x 1 , 在 x = 1 n （n = 1 2, ,3,"）。 1
6.说明下列函数极限的情况: sInx (1) lim (2)lim e sin x x (3) lim xsin (4)lim|1+ (5)lim1+ (6)lim 7.设函数 2+er sin (x) 问当x→0时,f(x)的极限是否存在? 8.设lmf(x)=A(a≥0),证明:Iimf(x2)=A。 9.(1)设lmf(x3)=A,证明:limf(x)=A。 2)设limf(x2)=A,问是否成立imf(x)=A? 0.写出下述命题的“否定命题”的分析表述: (1){xn}是无穷小量 (2){xn}是正无穷大量 (3)f(x)在x0的右极限是A (4)f(x)在x0的左极限是正无穷大量 (5)当x→-∞,f(x)的极限是A (6)当x→>+∞,∫(x)是负无穷大量 1l.证明limf(x)=+∞的充分必要条件是:对于任意从右方收敛于x0的数列{xn}(xn >x0),成立 12.证明limf(x)=-∞的充分必要条件是:对于任意正无穷大量{xn},成立 lim fo 13.证明Iimf(x)存在而且有限的充分必要条件是:对于任意正无穷大量{xn},相应的函 数值数列{∫(xn)}收敛。 14.分别写出下述函数极限存在而且有限的 Cauchy收敛原理,并加以证明 (1) lim f(x):(2) lim f(x):(3) lim f(x) 15.设∫(x)在(0,+∞)上满足函数方程f(2x)=f(x),且limf(x)=A,证明 f(x)≡A,x∈(0,+∞) 习题3.2 1.按定义证明下列函数在其定义域连续 (2)y=sn-;
6. 说明下列函数极限的情况： (1) lim x→∞ sin x x ; (2) lim x→∞ e sin x x ; (3) lim x→+∞ x x α sin 1 ; (4) lim x→∞ 2 1 1 x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ; (5) lim x→∞ x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; (6) lim x→ +0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x x 1 1 。 7．设函数 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = | | sin 1 2 ( ) 4 1 x x e e f x x x 。 问当 x → 0时， f (x) 的极限是否存在？ 8. 设lim = A（a≥0），证明： x a → f x( ) lim x a → f x( ) 2 = A 。 9. (1) 设 = A，证明： = A 。 0 lim x→ ( ) 3 f x 0 lim x→ f (x) (2) 设 = A，问是否成立 = A？ 0 lim x→ ( ) 2 f x 0 lim x→ f (x) 10. 写出下述命题的“否定命题”的分析表述： (1) { xn }是无穷小量； (2) { xn }是正无穷大量； (3) f x( ) 在 x0 的右极限是 A； (4) f x( ) 在 x0 的左极限是正无穷大量； (5) 当 x → − ∞ , f x( ) 的极限是 A； (6) 当 x→ + ∞ ， f (x) 是负无穷大量。 11. 证明 = 的充分必要条件是：对于任意从右方收敛于 的数列{ }（ ＞ ），成立 limx x → +0 f (x) + ∞ x0 xn xn x0 lim n→∞ f xn ( ) = + ∞ 。 12. 证明 = 的充分必要条件是：对于任意正无穷大量{ }, 成立 x→+∞ lim f (x) − ∞ xn lim n→∞ f xn ( ) = − ∞ 。 13. 证明 存在而且有限的充分必要条件是：对于任意正无穷大量{ }，相应的函 数值数列{ }收敛。 lim x→+∞ f (x) xn f xn ( ) 14．分别写出下述函数极限存在而且有限的 Cauchy 收敛原理，并加以证明： （1） lim ；（2） ；（3） 。 x x → 0 f x( ) limx x → +0 f x( ) lim x→−∞ f x( ) 15．设 f x( ) 在(0,+∞) 上满足函数方程 f (2x) = f (x) ，且 lim x→+∞ f (x) = A ，证明 f (x) ≡ A, x ∈ (0,+∞)。 习 题 3.2 1. 按定义证明下列函数在其定义域连续： (1) y = x ； (2) y = sin 1 x ； 2
sInx x≠ (3)y 0, x=0 2.确定下列函数的连续范围 ()y= tan x t cscx: (2)y (x-1)(x-3 (4)y=[x]n(1+x); x+1 (6)y=sgn(sin x)o 3.若f(x)在点x连续,证明∫2(x)与|f(x)|在点x0也连续。反之,若f2(x)或|(x) 在点x0连续,能否断言f(x)在点x0连续 4.若∫(x)在点x连续,g(x)在点x0不连续,能否断言f(x)·g(x)在点x0不连续? 又若∫(x)与g(x)在点x0都不连续,则上面的断言是否成立? 5.若∫,g在[a,b]上连续,则max{∫,g}与min(∫,g}在[a,b上连续,其中 maxf, g)=max (f(x), g(x)), xEla,b: min,g}=min{f(x),g(x)},x∈[a,b]。 6.若对任意δ>0,∫在[a+6,b-6]上连续,能否得出 (1)∫在(a,b)上连续 (2)f在[a,b上连续? 7.设limf(x)=α>0,limg(x)=β,证明;limf( 并求下列极限 (1)lim (2)in(x+1) X→① (3)1im sIn (Sina≠0); (4)lim n+x I-a(sin a n→(n (5) lim tan"+-|。 8指出下列函数的不连续点,并确定其不连续的类型 (1) (2)y=[x]sin- 3x+2 (4)y=[2x]-2[x] sInx (6)y= xIn"lx|: +3x-1 (7) x(x x为有理数 (9)y= x=(p,q互质,p>0) 0,x为无理数 0, x为无理数
(3) y = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ 1, 0. , 0, sin x x x x 2. 确定下列函数的连续范围： ⑴ y = tan x + csc x ； ⑵ y = 1 cos x ； ⑶ y = ( ) x x( x − − + 1 3 1 ) ； ⑷ y = [x] ln (1+x)； ⑸ y = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x 1 ； ⑹ y = sgn (sin x)。 3. 若 在点 连续，证明 与 | f x | 在点 也连续。反之，若 或 | f x | 在点 连续，能否断言 在点 连续? f x( ) x0 f x 2 ( ) ( ) x0 f x 2 ( ) ( ) x0 f x( ) x0 4. 若 f x( ) 在点 x0 连续， g(x) 在点 x0 不连续，能否断言 f x( ) ⋅ g(x) 在点 x 不连续? 0 又若 f x( ) 与 g(x) 在点 x 都不连续，则上面的断言是否成立? 0 5. 若 f , g 在[a,b]上连续，则 max { f , g }与 min{ f , g }在[a,b]上连续，其中 max{f，g} = max { f x( ) ， g(x) }，x∈[a,b]； min {f，g} = min { f x( ) ， g(x) }，x∈[a,b]。 6. 若对任意δ > 0，f 在［a +δ , b -δ ］上连续，能否得出 (1) f 在(a,b)上连续? (2) f 在[a,b]上连续? 7. 设 lim = ＞0， x x → 0 f x( ) α limx x → 0 g(x) = β ，证明： lim = ；并求下列极限： x x → 0 f x g x ( ) ( ) αβ ⑴ lim x→∞ 1 2 1 1 1 + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + x x x x ； ⑵ lim x→∞ x x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + 1 1 ； ⑶ lim x a → x a a x − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 sin sin (sin a ≠ 0) ； ⑷ lim n→∞ n n n x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + 1 ； ⑸ lim n→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n n 1 4 tan π 。 8. 指出下列函数的不连续点，并确定其不连续的类型： ⑴ y = x x x 2 3 1 3 2 − − + ⑵ y = [x]sin 1 x ； ⑶ y = x sin x ； ⑷ y = [2x] - 2[x]； ⑸ y = 1 x n 2 1 e x − ； ⑹ y = x x ； n ln | | ⑺ y = x x x x 2 2 1 − | |( − ) ； ⑻ y = 1 3 1 1 2 1 + − + − x x ； ⑼ y = ⎩ ⎨ ⎧ ; , 0 sin , 为无理数 为有理数 ， x πx x ⑽ y = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = > 0 . sin , ( , 0), 为无理数 互质 ， ， x p q p p q x p π 3
9.设f(x)在(0,+∞)上连续,且满足∫(x2)=f(x),x∈(0,+∞),证明f(x)在(0,+∞)上 为常数函数 习题3.3 1.确定a与α,使下列各无穷小量或无穷大量等价于(~)ax (1)ux)=x3-3x4+2x3,(x-0,x→∞) (2)减x)=3x+-x(x-0,x (3)(x)=√x3+ (x→0+x→+∞); (4)(x)=Vx+√x+√x(x→0+x→+∞) (5)a(x)=√1+3x-1+2x(x-0x→+∞ (6)x)=√x2+1-x(x→+∞) (7)(x)=√x3+xx2(x→0+) (8)a(x)= (x→0+); (9)u(x)=In cos x-arc tan x(x-O) (10)(x)=√1+tanx-√1-sinx(x→0) 2.(1)当x→+∞时,下列变量都是无穷大量,将它们从低阶到高阶进行排列,并说明理由 a(a>1),x2,x“(a>0),ln"x(k>0),[x]; (2)当x→0+时,下列变量都是无穷小量,将它们从高阶到低阶进行排列,并说明理由 (a>0) In (k>0) 3.计算下列极限 √+x-1 1)lim (2) lim ln(1+3x) cOSt (3)lim(x+√x+√x√x) ()lim(√1+x+x2.1-x+ (6)lim (a>0) (7) lim x(In(1+x)-Inx) In x-In (9) lim(x+e (0 lim cos x aD limn(vx-1)(x>0) ④ 2 lim n2(vx-"x)(x>0)。 习题3.4 1.证明:设函数f(x)在[a,+∞)上连续,且limf(x)=A(有限数),则f(x)在[a,+∞) 有界 2.证明:若函数f(x)在开区间(a,b)上连续,且fa+)和fb-)存在,则它可取到介于fa+)
9．设 f (x) 在(0,+∞) 上连续，且满足 ( ) ( ) ， 2 f x = f x x ∈ (0,+∞) ，证明 在 上 为常数函数。 f (x) (0,+∞) 习 题 3.3 1. 确定 a 与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) a xα ： (1) u(x) = x x x 5 4 − 3 + 2 3 , (x→0，x→∞)； (2) u(x) = x x x x 5 2 4 2 3 + − 3 (x→0，x→∞）； (3) u(x) = x 3 + x 3 2 (x→0+,x→+∞)； (4) u(x) = x + +x x (x→0+,x→+∞)； (5) u(x) = 1+ 3x - 1 2 3 + x (x→0,x→+∞)； (6) u(x) = x 2 + 1 - x (x→+∞)； (7) u(x) = 3 x + x - 3 2 x (x→0+)； (8) u(x) = 1+ x x - e (x→0+)； 2x (9) u(x) = ln cos x - arc tan x 2 (x→0)； (10) u(x) = 1+ tan x - 1− sin x (x→0)。 2. (1) 当 x→+∞时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进行排列，并说明理由。 a x (a＞1), x x , xα (α ＞0)， lnk x (k＞0)， [x]!； (2) 当 x→0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进行排列，并说明理由 xα (α ＞0)， ! 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x , a x − 1 (a＞1)， x x 1 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ x k 1 ln (k＞0)。 3. 计算下列极限： ⑴ lim x→0 1 1 2 1 3 3 2 + − + + x x ln( x) ； ⑵ →0+ lim x 1 1 − − cos cos x x ； ⑶ lim x→+∞ ( xxx + + - x )； ⑷ lim x→+∞ ( 1 2 + + x x - 1 2 − + x x )； ⑸ limx→ α a a x x − − α α (a＞0)； ⑹ limx a → x a x a α α − − (a＞0)； ⑺ lim x→+∞ x ( ln (1+x) - ln x )； ⑻ limx a → ln x a ln x a − − (a＞0)； ⑼ lim x→0 ( e x ) x x + 1 ； ⑽ lim x→0 2 1 2 2 cos x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ； ⑾ lim n→∞ n ( x n - 1) (x＞0)； ⑿ lim n→∞ n 2 ( x n - x n+1 ) (x＞0)。 习 题 3.4 1．证明：设函数 在 上连续，且 = A（有限数），则 在 有界。 f x( ) [a,+∞) lim x→+∞ f (x) f x( ) [a,+∞) 2．证明：若函数 f x( ) 在开区间(a,b)上连续，且 f(a+)和 f(b-)存在，则它可取到介于 f(a+) 4
和f(b-)之间的一切中间值 3.证明:若闭区间[a,b]上的单调有界函数f(x)能取到fa)和fb)之间的一切值,则f(x) 是[a,b]上的连续函数 4.应用 bolzano- Weierstrass定理证明闭区间上连续函数的有界性定理 5.应用闭区间套定理证明零点存在定理 6.证明方程x= asin+b(a,b>0)至少有一个正根 7.证明方程x3+px+q=0(p>0)有且仅有一个实根 8.证明: (1)sin-在(0,1)上不一致连续,但在(a,1)(a>0)上一致连 (2)sinx2在(-∞,+∞)上不一致连续,但在[0上一致连续 (3)√x在[0+∞)上一致连续 (4)lnx在[+∞)上一致连续 (5)cos√x在[Q,+∞)上一致连续。 证明:对椭圆内的任意一点P,存在椭圆过P的一条弦,使得P是该弦的中点 10.设函数∫(x)在[0,2]上连续,且f0)=f(2),证明:存在x,y∈,2],y-x=1,使得fx) =f) 11.若函数∫(x)在有限开区间(a,b)上一致连续,则f(x)在(a,b)上有界 12.证明 (1)某区间上两个一致连续函数之和必定一致连续 (2)某区间上两个一致连续函数之积不一定一致连续 13.设函数∫(x)在[a,b上连续,且∫(x)≠0,x∈[a,b],证明f(x)在[a,b]上恒正或恒负。 14.设函数∫(x)在[a6上连续,a≤x1<x2<…<xn≤b,证明在[a,b中必有ξ,使 得 ∫(s)=-[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)。 15.若函数f(x)在[a,+∞)上连续,且limf(x)=A(有限数,则f(x)在[a,+∞)上一致 连续
和 f(b-)之间的一切中间值。 3．证明：若闭区间 上的单调有界函数 能取到 f(a)和 f(b)之间的一切值，则 是 上的连续函数。 [a,b] f x( ) f x( ) [a,b] 4．应用 Bolzano-Weierstrass 定理证明闭区间上连续函数的有界性定理。 5．应用闭区间套定理证明零点存在定理。 6. 证明方程 x = asin x + b （ a,b > 0 ）至少有一个正根。 7．证明方程 0（ ）有且仅有一个实根。 3 x + px + q = p > 0 8．证明： （1）sin 1 x 在（0,1）上不一致连续，但在(a,1)(a＞0)上一致连续； （2）sin x 2 在(−∞,+∞) 上不一致连续，但在[0,A]上一致连续； （3） x 在[0,+∞) 上一致连续； （4）ln x 在[1,+∞)上一致连续； (5) cos x 在[0,+∞) 上一致连续。 9．证明：对椭圆内的任意一点 P，存在椭圆过 P 的一条弦，使得 P 是该弦的中点。 10．设函数 在[0,2]上连续，且 f(0) = f(2)，证明：存在 x，y∈[0, 2]，y - x = 1，使得 f(x) = f(y)。 f x( ) 11．若函数 f x( ) 在有限开区间(a,b)上一致连续，则 f x( ) 在(a,b)上有界。 12．证明： （1）某区间上两个一致连续函数之和必定一致连续； （2）某区间上两个一致连续函数之积不一定一致连续。 13. 设函数 f x( ) 在[a,b]上连续，且 f (x) ≠ 0, x ∈[a,b]，证明 f x( ) 在[a,b]上恒正或恒负。 14．设函数 f x( ) 在[a,b]上连续， a ≤ x1 < x2 < " < xn ≤ b ，证明在[a,b]中必有ξ ，使 得 [ ( ) ( ) ( )] 1 ( ) 1 2 n f x f x f x n f ξ = + +"+ 。 15．若函数 在 上连续，且 = A (有限数)，则 在 上一致 连续。 f x( ) [a,+∞) lim x→+∞ f x( ) f x( ) [a,+∞) 5
第三章 第1节 2.(1);(2);(3)5:(4)5:(5)n;(6)rmm(n-m);(7)cosa;(8)2 (9)4;(10) 3.(1)提示:当—1 (4)不存在;(5)1:(6)不存在 7.存在;提示:Iimf(x)=limf(x)=1 10.(1)36>0,VNn>N:|xl2≥ (2)3G>0.VNn>N:x 0,v6>0,3x∈(x,x+06):/(x)-4≥E (4)彐G0>0,V6>0,3x∈(x0-0,x0):f(x)≤G0
第三章 第 1 节 2．（1） 3 2 ；（2） 2 1 ；（3） 3 2 ；（4）5；（5）n ；（6） ( ) 2 1 nm n − m ；（7） ；（8） ； （9） ；（10） cosa 2 4 2 1 . 3．（1）提示：当 n x n 1 1 1 = 0,∀ ,∃ > : ≥ ε n N n N x ； （2） 0 0 ∃G > 0,∀N,∃n > N : xn ≤ G ； （3） 0 0 0 0 ∃ε > 0,∀δ > 0,∃x∈(x , x +δ ): f (x) − A ≥ ε ； （4） 0 0 0 0 ∃G > 0,∀δ > 0,∃x∈(x −δ , x ): f (x) ≤ G ； 1
(5)350>0,WX>0,x∈(-∞-1)1f(x)-4≥60: (6)3G0>0,Vx>0,3x∈(X,+∞):f(x)≥-Go 15.提示:Vx0∈(0,+∞),利用∫(x0)=f(2"x0)与limf(2"x0)=limf(x)=A 第2节 2.()u(+x)(2)u(2x-2x+2)=(3)u k∈Z k∈Z kx>1xNh(5)k-20U0+)kk∈乙k≠} (6)U(kx,(k+1)z) 提示:mU,g)=1((x)+g(+(x-gx0 min{,g}=((x)+g(x)-(x)-g(x)} 7.(1)1,(2)c2,(3)ec,(4)ex,(5)e2 8.(1)x=1,-2,第二类不连续点 (2)x=k(k∈Z,k≠0),第一类不连续点;x=0,第二类不连续点 (3)x=k丌(k∈Z,k≠0),第二类不连续点;x=0,第三类不连续点; (4)x=k(k∈Z) 类不连续点 (5)x=0,第三类不连续点 (6)x=0,第三类不连续点; (7)x=0,第一类不连续点:x=1,第三类不连续点;x=-1,第二类不连续点; (8)x=0,第三类不连续点; (9)非整数点,第二类不连续点 (10)非整数有理点,第三类不连续点 1 9.提示:Vx∈(0,+∞),利用f(x)=f(x2),limx2=1及f(x)的连续性,得到 f(x)≡f(1) 第3节 1.(1)l(x)~2x3(x→0):(x)~x5(x→∞)
（5） 0 0 ∃ε > 0,∀X > 0,∃x∈(−∞,−X ): f (x) − A ≥ ε ； （6） 0 0 ∃G > 0,∀X > 0,∃x∈(X ,+∞): f (x) ≥ −G . 15．提示： (0, ) ， 利用 与 . ∀x0 ∈ +∞ ( ) (2 ) 0 0 f x f x n = f x f x A x n n = = →∞ →+∞ lim (2 ) lim ( ) 0 第 2 节 2．（1） ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∈ 2 ( 1) , 2 kπ k π k Z ∪ ；（2） ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∈ 2 ,2 2 2 π π π kπ k k Z ∪ ；（3）(−1,1] [ ∪ 3,+∞)； （4）{ }+ x | x > −1, x ∉ N ；（5）{ } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −∞ +∞ | ∈ , ≠ 0 1 ( ,0) (0, ) \ k Z k k ∪ ； （6） ( ) π ,( +1)π ∈ k k k Z ∪ . 5．提示： { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 max f , g = f x + g x + f x − g x ； { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 min f , g = f x + g x − f x − g x . 7．（1）1，（2） ，（3） ，（4） ，（5） . 2 e a ecot x+1 e 2 e 8．（1） x =1,−2 ，第二类不连续点； （2） x = k (k ∈ Z,k ≠ 0) ，第一类不连续点； x = 0 ，第二类不连续点； （3） x = kπ (k ∈ Z,k ≠ 0) ，第二类不连续点； x = 0 ，第三类不连续点； （4） ( ) 2 1 x = k k ∈ Z ，第一类不连续点； （5） x = 0 ，第三类不连续点； （6） x = 0 ，第三类不连续点； （7） x = 0 ，第一类不连续点； x = 1，第三类不连续点； x = −1，第二类不连续点； （8） x = 0 ，第三类不连续点； （9）非整数点，第二类不连续点； （10）非整数有理点，第三类不连续点. 9．提示：∀x ∈ (0,+∞) ，利用 ( ) ( ) 2 1 n f x = f x ， lim 1 2 1 = →∞ n x n 及 的连续性，得到 . f (x) f (x) ≡ f (1) 第 3 节 1．（1）u(x) ～ 2x3 (x → 0) ；u(x) ～ x5 (x → ∞) ； 2
(2)l(x)~-2x-(x→>0);(x)~x(x→∞); (3)l(x)~x3(x→0+);l(x)~x2(x→>+∞) (4)u(x) (x) (5)(x)~2x(x→0);u(x)~√3x2(x→+∞) (6)u(x)~x-(x→+∞) (8)u(x)~-2x(x→>0+); (9)l(x) (x→>0); (10)l(x)~x(x→0) 2.(1)In^x(k>0),x(a>0),ax(a>1),[],xx; (>0), 3.(1)-,(2)0,(3)-,(4)1,(5)a"lna,(6)aaa (9)e2,(10) (11)lnx,(12)lnx 第4节 (1)在(0,1)上,令 0,但 2 在(a)上,利用不等式in x2x1 x2 (2)在-∞,+∞)上,令x nt+ 2 X=vn 43)-s)
（2）u(x) ～ 2 ( 0) ； ～ − x−1 x → u(x) ( ) 3 1 x x → ∞ ； （3）u(x) ～ ( 0 ) 3 2 x x → + ；u(x) ～ ( ) 2 3 x x → +∞ ； （4）u(x) ～ ( 0 ) 8 1 x x → + ；u(x) ～ ( ) 2 1 x x → +∞ ； （5）u(x) ～ ( 0) 6 5 x x → ；u(x) ～ 3 ( ) 2 1 x x → +∞ ； （6）u(x) ～ ( ) 2 1 1 → +∞ − x x ； （7）u(x) ～ ( 0 ) 2 1 x x → + ； （8）u(x) ～ − 2x (x → 0+) ； （9）u(x) ～ ( 0) 2 − 3 x 2 x → ； （10）u(x) ～ x (x → 0). 2．（1）lnk x (k＞0)， xα (α ＞0)，a (a＞1), [x]!, x x x ； (2) x x 1 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , ! 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x , a x − 1 (a＞1)， xα (α ＞0)， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ x k 1 ln (k＞0). 3．（1） 6 1 ，（2）0 ，（3） 2 1 ，（4）1，（5）a lna ，（6） ， α α−1 αa （7）1，（8） a 1 ，（9） ，（10） ，（11） ，（12） . 2 e −1 e ln x ln x 第 4 节 8．提示： （1） 在(0,1) 上，令 nπ xn ' 1 = ， 2 " 1 π π + = n xn ， 0 ，但 xn ' − xn " → 1 1 sin 1 sin ' " − = n n x x ； 在(a,1) 上，利用不等式 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 sin 1 sin a x x x x x x − − ≤ − ≤ . （2） 在 − ∞,+∞) 上，令 2 ' π xn = nπ + ， xn = nπ " ， 0 ，但 xn ' − xn " → sin( ) sin( ) 1 2 " 2 ' xn − xn = ； 3
在0上,利用不等式inx2- - sin x20,3X>a,Wx,x>X:(x)-f(x")<E由于f(x) 在[a,x+连续,所以一致连续,也就是30<6<1x,x∈[a,x+1](x-x1<6): f(x)-f(x)<E。于是x,x∈[+∞)(x-x1<o6):(x)-f(x)<6
在[0, A] 上，利用不等式 1 2 2 2 2 1 2 2 2 sin x1 − sin x ≤ x − x ≤ 2A x − x . （3） 利用不等式 1 2 1 2 x − x ≤ x − x . （4） 利用不等式 1 2 2 1 2 ln 1 ln 2 ln 1 x x x x x x x ≤ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = + . （5） 利用不等式 1 2 1 2 1 2 cos x − cos x ≤ x − x ≤ x − x . 9．提示：过 P 点作弦，设弦与 x 轴的夹角为θ ，P 点将弦分成长度为 ( ) l 1 θ 和 ( ) l2 θ 的两线 段。则 ( ) ( ) ( ) f θ = l 1 θ −l2 θ 在[0,π ]连续，满足 f (0) = − f (π ) ，于是在[0,π ]必有一个零点. 10．提示：令 F(x) = f (x +1) − f (x) ，则 F(1) = −F(0) ，于是 F(x) 在[0,1]必有一个零点. 14．提示： min { ( )} [ , ] f x x∈ a b ≤ [ ] ( ) + ( ) + + ( ) ≤ 1 1 2 n f x f x f x n " max{ ( )} [ , ] f x x∈ a b . 15．提示：由 f x A ， x = →+∞ lim ( ) ∀ε > 0, ∃X > a, ∀x', x"> X : f (x') − f (x") < ε 。由于 在[ 连续，所以一致连续，也就是 f (x) a, X +1] ∃0 < δ <1, ∀x', x"∈[a, X +1]( x'−x" < δ ): f (x') − f (x") < ε 。于是 ∀x', x"∈[a,+∞)( x'−x" < δ ): f (x') − f (x") < ε 4
