习题16.1 1.设交流电的变化规律为E(t)= A sin ot, 将它转变为直流电的整流过程有两种类 (a) (1)半波整流(图161.5(a)) f(=n(sin ot +sin ot D: (2)全波整流(图16.1.5(b) 图16.1.5 f(=Asin ot 现取o=1,试将f(x)和f2(x)在[-x,] 展开为 Fourier级数。 将下列函数在[-,丌]上展开成 Fourier级数: (3)f()+ (1) f(x)=sgx (2)f(x)=cosx ,x∈[-x,0) (4)f(x)= 0,x∈[0,) ax,x∈l-丌 (5)f(x) bx,x∈[0,x) 3.将下列函数展开成正弦级数: (1)f(x)=丌+x,x∈[0,z] (2)f(x)=e-2x,x∈[0,r] (3)f(x)= ∈[0,), (4)f(x)= cos=,x∈[0,1), ,2] 4.将下列函数展开成余弦级数 (1)f(x)=x(兀-x),x∈[0,x];(2)f(x)=ex,x∈[0,] 2x,x∈[O,) (3)f(x)= (4)f(x)=x x∈ 1,x∈I 5.求定义在任意一个长度为2m的区间[a,a+2x]上的函数f(x)的 Fourier级数 及其系数的计算公式 6.将下列函数在指定区间展开成 Fourier级数: ()(x)=x-x,x∈[0,2 (2)f(x)=x2,x∈[0,2x] (3)f(x)=x,x∈[0,1 (4)f(x)= x∈[-10), [O,1); (5)f(x)= ∫c,x∈-T0) 0,x∈[0,T) (C是常数)
习 题 16.1 (a) (b) 图 16.1.5 ⒈ 设交流电的变化规律为 E t( ) = Asin ωt ， 将它转变为直流电的整流过程有两种类 型： ⑴ 半波整流（图 16.1.5(a)） f t A 1 2 ( ) = (sin f t A t 2 ( ) = ω |sin | ω ω t t +|sin |) ； ⑵ 全波整流（图 16.1.5(b)） ； 现取ω = 1，试将 f1(x)和 f 2 (x)在[−π ,π ] 展开为 Fourier 级数。 ⒉ 将下列函数在[−π ,π ]上展开成 Fourier 级数： ⑴ f (x) = sgn x ; ⑵ f x( ) = |cos x |; ⑶ 2 2 2 ( ) = − π x f x ; ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0, ); , [ ,0), π π x x x ⑸ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = , [0, ). , [ , 0), π π bx x ax x ⒊ 将下列函数展开成正弦级数： ⑴ f (x) = π + x , x ∈[0,π ]; ⑵ f x x ( ) = e−2 , x ∈[0,π ]; ⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = , [ , ]; 2 , [0, ), 2 2 π π π π x x x ⑷ f x( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = 0, [1,2]. , [0,1), 2 cos x x πx ⒋ 将下列函数展开成余弦级数： ⑴ f x( ) = x(π − x) , x ∈[0,π ]; ⑵ f x x ( ) = e , x ∈[0,π ]; ⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = 1, [ , ]; sin 2 , [0, ), 4 2 4 π π π x x x ⑷ 2 2 ( ) π π f x = x − + x − , x ∈[0,π ]. ⒌ 求定义在任意一个长度为2π 的区间[a, a + 2π ]上的函数 的 Fourier 级数 及其系数的计算公式。 f x( ) ⒍ 将下列函数在指定区间展开成 Fourier 级数： ⑴ 2 ( ) x f x − = π , x ∈[0, 2π ]; ⑵ f x( ) = x 2 , x ∈[0, 2π ]; ⑶ f (x) = x , x ∈[ , 0 1]; ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0,1); e , [ 1,0), 3 x x x ⑸ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0, ) , [ ,0), x T C x T (C 是常数). 1
7.某可控硅控制电路中的负载电流为 0≤t<To (1)= sinor,To≤t<T, 其中为圆频率,周期T= 现设初始 导通时间T=(见图16.1.6),求I(1)在 [0,刀]上的 Fourier级数。 8.设f(x)在[-x,x上可积或绝对可积,证明: (1)若对于任意x∈[-r,xz],成立 图16.1.6 f(x)=f(x+r), a,n-= b,,,=0 (2)若对于任意x∈[-,r],成立f(x)=-f(x+丌),则a2n=b2n=0 9.设f(x)在(.,x/2)上可积或绝对可积,应分别对它进行怎么样的延拓,才能 使它在[π,]上的 Fourier级数的形式为 (1)f(x)-2a, cos(2n-1)x 2)f(x)~∑ b sin2nx 10.设周期为2z的函数f(x)在[-兀,m上的 Fourier系数为an和bn,求下列函数 的 Fourier系数a,和b: (1)g(x)=f(-x); (2)h(x)=f(x+C)(C是常数) (3)F(x)=Of(x-dt(假定积分顺序可以交换) 习题16 1.设v(x)在[0,+∞)上连续且单调,imv(x)=0,证明 y(x)sin pxdx=0 2.设函数v(u)在[-z,丌]上分段连续,在u=0点连续且有单侧导数,证明 COS=-cos pu m[y(u) P→+-z deJo tw(u-w(=u)]cot 2du 3.设函数v(u)在[-δ,引]上单调,证明 limr v()-Hiw(0+)+w(0) sin pudu 4.证明 Dirichlet引理对v(u)是分段单调有界函数的情况依然成立 5.证明 Lipschitz判别法的推论。 6.对§16.1的习题2、3、4、6中的函数,验证它们的 Fourier级数满足收敛判 别法的条件,并分别写出这些 Fourier级数的和函数 7.利用∑=z,证明
⒎ 某可控硅控制电路中的负载电流为 图 16.1.6 ≤ < ≤ < , 0 , 0 0 T t T t T ⎩ ⎨ ⎧ = 5sin , 0, ( ) t I t ω 其中ω 为圆频率，周期 ω 2π T = 。现设初始 导通时间T T 0 8 = （见图 16.1.6），求 在 上的 Fourier 级数。 I t( ) [ , 0 T] ⒏ 设 f x( )在[−π ,π ]上可积或绝对可积，证明： ⑴ 若对于任意 x ∈[−π ,π ]，成立 f (x) = f (x + π ) ，则a b 2 1 n n − = 2 −1 = 0； ⑵ 若对于任意 x ∈[−π ,π ]，成立 f (x) = − f (x + π ) ，则a b 2 2 n n = = 0 . ⒐ 设 f x( )在(0, π / 2)上可积或绝对可积，应分别对它进行怎么样的延拓，才能 使它在[ , −π π]上的 Fourier 级数的形式为 ⑴ f x a n x n n ( ) ~ cos(2 1) 1 − = ∞ ∑ ; ⑵ f x b nx n n ( ) ~ sin 2 =1 ∞ ∑ . ⒑ 设周期为2π 的函数 f x( )在[ , −π π]上的 Fourier 系数为 和 ，求下列函数 的 Fourier 系数 和 an bn ~an ~ bn ： ⑴ g x( ) = f (−x); ⑵ h x( ) = f (x + C) (C 是常数)； ⑶ ∫− = − π π π F x f (t) f (x t)dt 1 ( ) （假定积分顺序可以交换）。 习 题 16.2 1．设ψ (x) 在[ , 0 +∞) 上连续且单调， lim ( ) = 0 →+∞ x x ψ ，证明 lim ( )sin 0 0 = ∫ +∞ →+∞ x pxdx p ψ . 2．设函数ψ (u) 在[−π ,π ]上分段连续，在 u = 0点连续且有单侧导数，证明 ∫ ∫ = − − − →+∞ − π π π ψ ψ ψ 0 2 [ ( ) ( )]cot 2 1 2 2sin cos 2 cos lim ( ) du u du u u u pu u u p . 3．设函数ψ (u) 在[−δ ,δ ]上单调，证明 0 sin [ (0 ) (0 )] 2 1 lim ( ) = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + + − →+∞ ∫− δ δ ψ ψ ψ du u pu u p . 4．证明 Dirichlet 引理对ψ (u) 是分段单调有界函数的情况依然成立。 5．证明 Lipschitz 判别法的推论。 6．对§16.1 的习题 2、3、4、6 中的函数，验证它们的 Fourier 级数满足收敛判 别法的条件，并分别写出这些 Fourier 级数的和函数。 7．利用∑ ∞ = = 1 2 2 6 1 n n π ，证明： 2
(1)1 A (2)1+2+ 8.求sinx全部非零零点的倒数的平方和。 9.证明下列关系式 (1)对0<x<2且a≠0,有 a cosnx-nsin nx r e (2)对0<x<2丌且a不是自然数,有 (3)对(2),令x=+asn2 arcoSe+m(cos2az-l)sinx Sin2a丌 n cos ax SInai 10.(1)验证函数 X≠ f(x)={n县 满足 Dirichlet-Jordan判别法条件而不满足Din- Lipschitz判别法条件 (2)验证函数 Xcos f(x) x,x≠0, 0 满足 Dini-Lipschitz判别法条件(今后会学到,它不满足 Dirichlet- Jordan 判别法条件,在此从略) 习题16.3 1.由例16.1.2的结果 x~2y(-1)”+1 .sin nx, x∈(-丌,n), 用逐项积分法求x2和x3的 Fourier级数。 2.证明定理1632的推论16.3.1:+∑( a cos nx+b, sIn nx)是某个可积或 绝对可积函数的 Fourier级数的必要条件是∑一收敛 nal n 3.说明级数S和∑匹点点收敛,但不可能是任何可积或绝对可 2 Inn In In n 积函数的 Fourier级数。 4.利用例16.1.1的结果 0) sin(2n-1) f(x) 0.x∈0,z)2h2n-1 和 Parseval等式,证明∑ (2n-1)2
⑴ 4 12 1 3 1 2 1 1 2 2 2 2 π − + − +" = ； ⑵ 7 8 1 5 1 3 1 1 2 2 2 2 π + + + +" = . 8. 求sin x 全部非零零点的倒数的平方和。 9. 证明下列关系式： ⑴ 对0 < x < 2π 且a ≠ 0，有 ax π e ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = − +∑ ∞ =1 2 2 2 cos sin 2 1 (e 1) n a a n a nx n nx a π ； ⑵ 对0 < x < 2π 且a 不是自然数，有 π cosax ∑ ∞ = − + − = + 1 2 2 sin 2 cos (cos 2 1)sin 2 sin 2 n a n a a nx n a nx a aπ π π ； ⑶ 对⑵，令 x = π ，有 ∑ ∞ = − − = + 1 2 2 2 ( 1) 1 2 sin n n a n a a a π π . 10． ⑴ 验证函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0 , 0, ln 1 ( ) 2 | | x x f x x π 满足 Dirichlet-Jordan 判别法条件而不满足 Dini-Lipschitz 判别法条件。 ⑵ 验证函数 ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0 cos , 0, ( ) 2 x x x f x x π 满足 Dini-Lipschitz 判别法条件（今后会学到，它不满足 Dirichlet-Jordan 判别法条件，在此从略）。 习 题 16.3 ⒈ 由例 16.1.2 的结果 x ~ ∑ ∞ = + − 1 1 sin ( 1) 2 n n nx n ， x ∈ (−π ,π ) ， 用逐项积分法求 x 2和 x 3 的 Fourier 级数。 2．证明定理 16.3.2 的推论 16.3.1： a a nx b n n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin x)是某个可积或 绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是 b n n n= ∞ ∑ 1 收敛。 3．说明级数 ∑ ∞ =2 ln sin n n nx 和 ∑ ∞ =2 ln ln sin n n nx 点点收敛，但不可能是任何可积或绝对可 积函数的 Fourier 级数。 4．利用例 16.1.1 的结果 f x( ) [ ) ⎩ [ ) ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = π π 0, 0, 1, ,0 x x ∑ ∞ = − − − 1 2 1 2 sin(2 1) 2 1 ~ n n n x π 和 Parseval 等式，证明 1 2 1 2 n=1 ( ) n − ∞ ∑ 8 2 π = . 3
5.利用例16.1.2的结果 f(x)= xx∈p.,)r2(-)"-1 -cOS x, xx∈-丌 0) 和 Parseval等式,求∑ 6.利用 3+2m cost,x∈(-x,丌) 和 Parseval等式,求 7.设f(x)为(-∞,+∞)上以2x为周期,且具有二阶连续导数的函数,记 bn f(x)sin ndx, b f(x)sin ndx 证明:若∑b绝对收敛,则 ∑√b,|0,存 在三角多项式 w,(x)=0+2(A cos kx+B, sin kx) 使得 f(x)-n(x)dx0 (3)f(x)=e-ax2,a>0; (4)f(x)= 0, 0 x0)的正弦变换和余弦变换。 x,x≥0 3.设f1(x)= xso, (r)= sinx,ossa 求f*f2(x) 0 0,其它
5．利用例 16.1.2 的结果 f x( ) [ ) [ ) ~ ,0 0, ⎩ ⎨ ⎧ − ∈ − ∈ = π π x x x x ∑ ∞ = − − + 1 2 cos 2 ( 1) 1 2 n n nx π n π ， 和 Parseval 等式，求 ∑ ∞ =1 − 4 (2 1) 1 n n 。 6. 利用 ∑ ∞ = − = + 1 2 2 2 cos ( 1) 4 3 n n nx n x π ， x ∈ (−π ,π ) 和 Parseval 等式，求 ∑ ∞ =1 4 1 n n 。 7．设 f (x) 为 (−∞,+∞) 上以 2π 为周期，且具有二阶连续导数的函数，记 ∫− = π π π b f x nxdx n ( )sin 1 , ∫− ′′ = ′′ π π π b f x nxdx n ( )sin 1 。 证明：若∑ 绝对收敛，则 ∞ = ′′ n 1 n b ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ 0 ，存 在三角多项式 ψ n (x) = ∑= + + n k k k A kx B kx A 1 0 ( cos sin ) 2 ， 使得 ψ ε π π − 0 ; ⑶ f x a x ( ) = e− 2 ， a > 0 ; ⑷ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ = 0, | | ; cos , | | , ( ) 0 δ ω δ x A x x f x ω0 ≠ 0是常数， ω0 π δ = 。 2．求 f x( ) = e− ax （ x ∈[0,+∞) ，a > 0 ）的正弦变换和余弦变换。 3．设 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − 0, 0, e , 0, ( ) 1 x x f x x ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = 0, , , 2 sin , 0 ( ) 2 其它 π x x f x 求 ( ) 1 2 f ∗ f x 。 4
习题165 1.说明离散 Fourier变换X()=∑x(n)e-2可以看成 Fourier变换 f(o=f(x)e-ieoxdx 的离散近似形式的推广。 2.证明正交关系式 3.设N=pq(P,q∈N),构造只需O(p+q)N)次运算的 Fourier变换算法。 4.对N=23,具体写出以2为底的FFT的计算流程 计算实习题 (在教师的指导下,编制程序在电子计算机上实际计算) 1.利用现成的数学通用软件(如 MATLAB、 Mathematica、 Maple等),对于 N=32,64,128 (1)生成实数序列{x(k)} (2)用FFT计算{x(k)kd的离散 Fourier变换序列{X()}d (3)作出{x(k)}和{X()}的图并进行分析(参见图16.5.4); (4)设定δ。>0,将{XO)}中满足|Xx()的数据全部置为零,再进行 离散 Fourier逆变换,将得到的数据与{x(k}比较 (5)改变δ的值,重复(4),分析不同的δ对逆变换所得到的数据的影响。 对于N=32,64,128, (1)产生两个实数序列{x(k)和{y(k)}xd (2)用直接方法计算{x(k)}和{y(k)}的卷积{(k); (3)改用离散 Fourier变换的思想,用FFT计算{z(k)}; (4)结合N比较两种算法所用的时间。 3.用H计算多项式∑(x和∑上x的乘积,并与当2x的Tlo m=0(2n+1)!m=0(2n)! 级数的相应项比较
习 题 16.5 1． 说明离散 Fourier 变换 X j x n i n j N n N ( ) = ( ) e − = − ∑ 2 0 1 π 可以看成 Fourier 变换 ∫ +∞ −∞ − f = f x dx iωx (ω) ( )e ˆ 的离散近似形式的推广。 2． 证明正交关系式 j k N nk i N n N n j i N , 2 1 0 2 e e 1 δ π π ∑ = − = − 。 3． 设 N = pq（ p, q ∈N ），构造只需O(( p + q)N) 次运算的 Fourier 变换算法。 4． 对 N = 23，具体写出以 2 为底的 FFT 的计算流程。 计 算 实 习 题 （在教师的指导下，编制程序在电子计算机上实际计算） ⒈ 利用现成的数学通用软件（如 MATLAB、Mathematica、Maple 等），对于 N = 32, , 64 128 ： ⑴ 生成实数序列{ ( x k )}k N = − 0 1 ； ⑵ 用 FFT 计算{ ( x k )}k N = − 0 1 的离散 Fourier 变换序列{ ( X j)}N j= − 0 1； ⑶ 作出 { ( x k )}和{ | X j ( )| }的图并进行分析（参见图 16.5.4）； ⑷ 设定δ 0 > 0 ，将{ | X j ( )| }中满足 0 | X ( j)|< δ 的数据全部置为零，再进行 离散 Fourier 逆变换，将得到的数据与{ ( x k )}比较； ⑸ 改变δ 0 的值，重复⑷，分析不同的δ 0 对逆变换所得到的数据的影响。 ⒉ 对于 N = 32, , 64 128 ， ⑴ 产生两个实数序列 { ( x k )}k N = − 0 1 和{ ( y k )}k N = − 0 1 ； ⑵ 用直接方法计算 { ( x k )}和{ ( y k )}的卷积{ (z k )}k N = − 0 1； ⑶ 改用离散 Fourier 变换的思想，用 FFT 计算{ (z k)} ； ⑷ 结合 N 比较两种算法所用的时间。 ⒊ 用 FFT 计算多项式 ( ) ( ) − + + = ∑ 1 2 1 2 1 0 n n n m x n ! 和 ( ) ( )! − = ∑ 1 2 2 0 n n n m x n 的乘积，并与 sin 2 2 x 的 Taylor 级数的相应项比较。 5
第十六章 第1节 1.(1)4+1smx-2422k:(2)24-42k 2.(1)4m2k-x:(2)2-4()c2k 丌k=12k-1 丌xk=4k (3)--x2+ (4) 丌,2=coS(2k+1) (2k+1)2 In x: (5)(a-b)x2(a-b)ycos(2k+N+4+b)2( SInx。 丌k=0(2k+1 3.(1)2y innx;(2)-∑ sin nx n-sin. n (3) sin sin nx;(4)sinx+-2 4.(1)Z-cOS 2kr (2) 1) 2、k-1) cOS /x n十 4 (3)(-+-)+=cos2 +-sin 2 (4)z+43|(-1y-c03 5.f(x)~+∑( a cos nx+ b sin nx),其中 an=-∫+x(x) cos ndx(n=012…),b1=2x( x)sin ndx(n=12…)。 6.(1)∑ -sin nx:(2)x2+4∑ cos nx a sin m: (3_Ii-sin2mur n=1( (4)(1-e-3) +>/3-(-°e coS nzD sin n/a +9
第十六章 第 1 节 1．（1） ∑ ∞ = − + − 1 2 4 1 2 cos 2 sin 2 1 k k A kx x A π π ；（2） ∑ ∞ = − − 1 2 4 1 2 4 cos 2 k k A A kx π π 。 2．（1） ∑ ∞ = − − 1 2 1 4 sin(2 1) k k k x π ；（2） ∑ ∞ = − − − 1 2 cos 2 4 1 2 4 ( 1) k k kx π π k ； （3） nx n n n cos 2( 1) 6 5 1 2 2 ∑ ∞ = − − π + ；（4） ∑ ∞ = + + − + 0 2 (2 1) 2 cos(2 1) 4 k k k x π π nx n n n sin ( 1) 1 1 ∑ ∞ = + − + ； （5） ∑ ∞ = + − + + − − 0 2 (2 1) 2( ) cos(2 1) 4 ( ) k k a b a b k x π π nx n a b n n sin ( 1) ( ) 1 1 ∑ ∞ = + − + + 。 3．（1） [ ] nx n n n sin 1 2( 1) 2 1 ∑ ∞ = − − ；（2） [ ] nx n n e n n sin 4 2 1 ( 1) 1 2 2 ∑ ∞ = − + − − π π ； （3） nx n n n n n sin 2 sin 4 ( 1) 2 1 2 1 ∑ ∞ = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + π π ；（4） x n n n n x n 2 sin 1 2 sin 2 2 sin 1 2 2 π π π π π ∑ ∞ = − − + 。 4．（1） ∑ ∞ = − 1 2 2 cos 2 6 k k π kx ；（2） ( 1) 1 − π π e [ ] nx n e n n cos 1 2 ( 1) 1 1 ∑ 2 ∞ = + − − + π π ； （3） cos 2x 2 ) 2 1 1 ( π π + + ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − 2 2 cos 2 2 sin 1 1 2 4 n nx n n n π π ； （4） nx n n n n cos 2 ( 1) cos 4 4 1 ∑ 2 ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + π π π 。 5． f x( ) ~ a a nx b n n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin x)，其中 an = ∫ + π π 2 ( ) cos 1 a a f x nxdx ( n = 0,1,2,"), bn = ∫ + π π 2 ( )sin 1 a a f x nxdx ( n = 1,2,")。 6．（1） nx n n sin 1 1 ∑ ∞ = ；（2） ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 1 2 2 cos sin 1 4 3 4 n nx n nx n π π ；（3） nx n n π π sin 2 1 1 2 1 1 ∑ ∞ = − ； （4） (1 ) 6 1 −3 − e ( ) ( ) ∑ ∞ = − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − + − − + 1 2 2 3 2 2 3 sin 9 1 ( 1) cos 9 31 ( 1) n n n n x n n e n x n e π π π π π ； 1
7. coSt+ in t 4 4 4 (n+1)丌1(n-1)丌 cOS coSn@t n+1 (n+1)x (n-1)丌 SInnoH。 f(丌+x)x∈(-丌, x∈(-丌 9.(1)f(x)= (2)f(x)= ∫(x) f(x) x∈(,x) 10.(1)Gn=an(n=0,12,…),bn=-bn(n=1,2,…); (2)a,=a, cos nC +b, sin nC (n=0, 1, 2, ..) b,=b cos nC-an sin nC (n=1, 2 (3)a0=a,an 第2节 1.提示:因为lmv(x)=0,所以存在N>0,使得当x≥N时,|v(x)k1。利 用积分第二中值定理可得「v(x) sin pdrN),因此 v(x) Sin pxo≤。而由 Riemann引理,lim「v(x) sin pxdxs=0。因此当 →+∞时 d=Jw( x)sin pxe+∫w(x)impk→0 2.提示:易知
（5） x T n n C C n π π (2 1) sin 2 1 2 1 2 1 − − − ∑ ∞ = 。 7． t ω t π ω π π sin 8 35 4 5 cos 4 5 (2 2) 4 5 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − + + n t n n n n n n ω π π π cos 1 2 4 ( 1) cos 1 1 4 ( 1) cos 1 1 2 5 2 ∑ 2 ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − − + + + n t n n n n n ω π π π sin 4 ( 1) sin 1 1 4 ( 1) sin 1 1 2 5 2 ∑ ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + + + 。 9．（1） ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − ∈ ∈ − ∈ − − + ∈ − − = , ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) (0, ,0) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( , ( ) ~ π π π π π π π π f x x f x x f x x f x x f x （2） ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − ∈ ∈ − − ∈ − + ∈ − − = , ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) (0, ,0) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( , ( ) ~ π π π π π π π π f x x f x x f x x f x x f x 10．（1）an = an ~ (n = 0,1,2,") ，bn = −bn ~ (n = 1,2,")； （2）an an cos nC bn sin nC ~ = + (n = 0,1,2,") ， bn bn cosnC an sin nC ~ = − (n = 1,2,")； （3） 2 0 0 ~a = a ， ~ 2 2 an = an − bn ，bn 2anbn ~ = (n = 1,2,") 。 第 2 节 1．提示：因为 lim ( )= 0 →+∞ x x ψ ，所以存在 N > 0，使得当 x ≥ N 时，|ψ (x) | N ），因此 p x pxdx N 4 ∫ ( )sin ≤ +∞ ψ 。而由 Riemann 引理， lim ( )sin 0。因此当 0 = ∫ →+∞ N p ψ x pxdx p → +∞ 时， ( )sin ( )sin ( )sin 0 。 0 0 ∫ = ∫ + ∫ → +∞ +∞ N N ψ x pxdx ψ x pxdx ψ x pxdx 2．提示：易知 2
coS--cos pu coS-- cos pu [v(a)-y(-) 2 于是 OS Ly(u)-v(-u)]cotdu=L [y(u)-y(-u)] 2 sin sIn 而 v(u)-y(-u) y(u)-y(0-[v(-u)-v(0 v(0)+v2(0) 2 利用 Riemann引理可得 lim [y(u)-v(u) cos pu du=o u sIn 3.提示:由于 v(n)-5v(0+)+(0-)}d=J0v(an)-v(0+)+[v(-n)-v(0 Sin pu 利用 Dirichlet引理即得结论。 8. 第3节 1.x2= cos nX,x∈(-r,丌); x2=2y(-170-x sIn nx,x∈(-丌,x)。 6 7.提示:利用分部积分法可得b=-n2bn。由于 √bn|=nbn 2b b2||(n=12,…)
∫ ∫ − = − − − − π π π ψ ψ ψ 0 2 2sin cos 2 cos [ ( ) ( )] 2 2sin cos 2 cos ( ) du u pu u du u u u pu u u ， 于是 . 2 sin cos [ ( ) ( )] 2 1 2 [ ( ) ( )]cot 2 1 2 2sin cos 2 cos ( ) ∫ ∫0 ∫0 − − − = − − − − π π π π ψ ψ ψ ψ ψ du u pu du u u u du u u u pu u u 而 (0) (0) 2 sin ( ) (0) [ ( ) (0)] 2 lim 2 2sin ( ) ( ) lim 0 0 + − → + → + = ′ + ′ − − − − = − − ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ u u u u u u u u u u 。 利用 Riemann 引理可得 p→+∞ lim 0 2 sin cos [ ( ) ( )] 2 1 0 − − = ∫ π ψ ψ du u pu u u 。 3．提示：由于 { } , sin [ ( ) (0 )] [ ( ) (0 )] sin [ (0 ) (0 )] 2 1 ( ) 0 ∫ = ∫ − + + − − − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + + − − δ δ δ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ du u pu du u u u pu u 利用 Dirichlet 引理即得结论。 8． 3 1 。 第 3 节 1． ∑ ∞ = − = + 1 2 2 2 cos ( 1) 4 3 n n nx n x π ， x ∈ (−π ,π ) ； ∑ ∞ = − − = 1 3 2 2 3 sin ( 1) (6 ) 2 n n nx n n x π ， x ∈ (−π ,π ) 。 5． (2 1) 96 1 4 1 4 π = − ∑ ∞ n= n 。 6． 90 1 4 1 4 π ∑ = ∞ n= n 。 7．提示：利用分部积分法可得 。由于 bn n bn 2 ′′ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = + ′′ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ≤ + | | 1 2 1 | | 1 2 1 | | 1 | | 2 2 2 2 n n n bn n n b n n b n b （n = 1,2,"）， 3
所以 ∑1=(+应 2(6 ∑|b1|-|2+∑b 8.提示:利用 Parseval等式可知f(x)d=0,于是f(x)=0。 第4节 (1)4(-c-);(2) a (3) ;(4) (5)48 sin(@-Oo) sin(@+Oo) 0+O 2.正弦变换 a2+n2:余弦变换:-a a+o 0 0. 3.f;*f2(x)=-(sin x+e),0<x 1+e2) 第5节 1.提示:先将圆频率O写成频率形式2丌,再对充分大的N,在区间[-N,N]以 间隔Ax对被积函数抽样(参见图16.5.2),在每个小区间内利用矩形公式近似 代替积分,则 f(o)f(x)e2ds∑f(mAx)e2nn△x, 再适当代换整理,就可以得到离散 Fourier变换形式 2.提示:设5≠1是方程x=1的一个根,则∑n=0
所以 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + < ≤ ≤ ∗ = − − . 2 (1 ), 2 1 , 2 (sin cos ), 0 2 1 0, 0, ( ) 2 1 2 π π π e e x x x e x x f f x x x 第 5 节 1. 提示：先将圆频率ω 写成频率形式2πs ，再对充分大的 N ，在区间[ , −N N]以 间隔 ∆x 对被积函数抽样（参见图 16.5.2），在每个小区间内利用矩形公式近似 代替积分，则 ∫− − ≈ N N s xi f f x dx π ω 2 ( ) ( )e ˆ ∑=− − ∆ ≈ ∆ ∆ M n M s n x i f n x x 2 ( ) ( )e π ， 再适当代换整理，就可以得到离散 Fourier 变换形式。 2．提示：设ξ ≠ 1是方程 x N = 1的一个根，则 0 。 1 0 ∑ = − = N n n ξ 4